1
第四章 正弦交流电路
学习目标与要求：
（ 1）理解正弦交流电的基本特性、表示方法及其相量表示；
（ 2）学习用相量法求解正弦交流电路；
（ 3）理解单个参数的正弦交流电路特点，掌握其相量计算方法；
（ 4）理解复合正弦交流电路的特点，掌握其相量计算方法；
（ 5）理解正弦电路中阻抗、阻抗角的意义及其在电路中的计算；
（ 6）理解串联谐振的意义和条件，了解并联谐振的意义和条件；
（ 7）理解正弦交流电路的不同功率之间的关系，掌握其计算方法。
2
案例 4.1
我们最熟悉和最常用的家用电器采用是都是交流电，如电视、电脑、照明灯、
冰箱、空调等家用电器。
3
4.1.1 交流电路概述
交流电与直流电的区别在于：
直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周
期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。
在生产和生活中使用的电能，几乎都是交流电能，即使是电解、电镀、电讯
等行业需要直流供电，大多数也是将交流电能通过整流装置变成直流电能。在
日常生产和生活中所用的交流电，一般都是指 正弦交流电 。
因为交流电能够方便地用变压器改变电压，用高压输电，可将电能输送很远，
而且损耗小；交流电机比直流电机构造简单，造价便宜，运行可靠。所以，现
在发电厂所发的都是交流电，工农业生产和日常生活中广泛应用的也是交流电。
4,1交流电路中的基本物理量
4
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由
频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。
所以 频率, 幅值 和 初相位 就称为确定正弦量的 三要素 。
t
i
0 t
i
0
t
i
0 t
i
0
（ b）脉动直流电
（ d）交流方波
（ a）稳恒直流电
（ c）正弦交流电
图 4.1 直流电和交流电的电波波形图
5
4.1.2 正弦交流电的基本特征和三要素
设某支路中正弦电流 i 在选定参考方向下的瞬时值表达式为,
)s in (m ?? ?? tIi
1．瞬时值、最大值和有效值
我们把任意时刻正弦交流电的数值称为
瞬时值,用小写字母表示，如 i,u及 e表示
电流、电压及电动势的瞬时值。
最大的瞬时值称为 最大值 （也叫 幅值、峰值 ）。用带下标的小写字母表示。
如 Im,Um 及 Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
图 4.2 正弦电流波形图
ωt
i
0 t
6
4.1.2 正弦交流电的基本特征和三要素
设某支路中正弦电流 i 在选定参考方向下的瞬时值表达式为,
)s in (m ?? ?? tIi
1．瞬时值、最大值和有效值
我们把任意时刻正弦交流电的数值称为
瞬时值,用小写字母表示，如 i,u及 e表示
电流、电压及电动势的瞬时值。
最大的瞬时值称为 最大值 （也叫 幅值、峰值 ）。用带下标的小写字母表示。
如 Im,Um 及 Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
图 4.2 正弦电流波形图
ωt
i
0
Im
t
7
某一个周期 电流 i 通过 电阻 R在一个 周期 T内产生的热量，和另一个直流
电流通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的 热量相等,那么这个周期性变
化的电流 i 的 有效值 在数值上就等于这个 直流 I。
规定：有效值都用大写字母表示，和表示直流的字母一样。
?? T0 21 dtiTI
周期电流的有效值
2
mII ?
当周期电流为正弦量时，可得
2m
UU ?
2m
EE ?
正弦电压和正弦电动势可得
8
例 4.1 已知某交流电压为 V，这个交流电压的最大值和有效值分
别为多少？
tu ?s in2220?
V1.3 1 1V22 2 0m ??U
V220V2 22202m ??? UU
解：最大值
有效值 ωt
u
0 π
2π
311.1
9
2．频率与周期
正弦量变化一次所需的时间（秒）称为 周期 T。
每秒内变化的次数称为 频率 f，它的单位是 赫兹
（ Hz）。
频率是周期的倒数，即
Tf
1?
正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用 角频率 ω来表示，它
的单位是 弧度 /秒（ rad/s） 。角频率是指交流电在 1秒钟内变化的电角度。
若交流电 1秒钟内变化了 f 次，则可得角频率与频率的关系式为
Tf
?? 2π2 ??
图 4.2 正弦电流波形图
ωt
i
0
T
π
T
2
Im
10
例 4.3 已知某正弦交流电压为
求该电压的最大值、有效值、频率、角频率和周期各为多少？
由公式（ 4.1）
与本题比较可知
u= sin t V
)s in (m ?? ?? tIi
um=
ω=
f=
T=
U=
220 218
求解:
220V
218 rad/s
34.7133757961783 Hz
2.880734E-02 s
1 5 5, 5 8 6 9 8 7 2 7 0 1 5 6 V
11
)( ?? ?t
3．初相
)s in (m ?? ?? tIi
?
公式 中的 称为正弦量的 相位角 或 相位,它反映
出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为 初相位角 或 初相位 。上式中的 就 是这个电流的 初相 。规定
初相的绝对值不能超过 π。
在一个正弦交流电路中，电压 u和电流 i的频率是相同的，但初相不一定相同，
如图 4.3所示。图中 u 和 i 的波形可用下式表示
)s in ( um ?? ?? tUu
)s in ( im ?? ?? tIi
?
两个同频率正弦量的相位角之差或
初相位角之差，称为 相位差,用 表示。
iuiu )()( ??????? ?????? tt
图中电压 u 和电流 i 的相位差为
图 4.3 u 和 i 的相位不相等
ωt
u
0
i
φ
u
φ
i
12
)( ?? ?t
3．初相
)s in (m ?? ?? tIi
?
公式 中的 称为正弦量的 相位角 或 相位,它反映
出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为 初相位角 或 初相位 。上式中的 就 是这个电流的 初相 。规定
初相的绝对值不能超过 π。
在一个正弦交流电路中，电压 u和电流 i的频率是相同的，但初相不一定相同，
如图 4.3所示。图中 u 和 i 的波形可用下式表示
)s in ( um ?? ?? tUu
)s in ( im ?? ?? tIi
?
两个同频率正弦量的相位角之差或
初相位角之差，称为 相位差,用 表示。
iuiu )()( ??????? ?????? tt
图中电压 u 和电流 i 的相位差为
图 4.3 u 和 i 的相位不相等
ωt
u
0
i
φ
u
φ
iφ
13
4.2.1 复 数
1．复数的实部、虚部和模
1?
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中 i代表电流，所以
改用 j 代表虚单位，即 j =
1?
图 4.5 有向线段的复数表示
令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，
称为 实轴,以 +1为单位；纵轴表示虚部，
称为 虚轴,以 +j为单位。
22 bar ??
4,2 正弦量的相量表示
有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的 幅角,用 表示。?
A
a
b
r
φ
o +1
+j
A=a+jb
复平面中有一有向线段 A，其实部为 a，
其虚部为 b，如图 4.5所示，于是有向线段
A可用下面的复数表示为：
r 表示复数的大小，称为 复数的模 。
14
2．复数的表达方式
abarc tan??因为
?cosra ? ?s inrb ?和
所以
该式称为复数的直角坐标式。
?jreA ?
还可以写为
该式称复数的指数形式。在工程上常常写为
??? rA
该式称为复数的极坐标形式。
)s i n( c o ss i nc o sA ???? jrjrrjba ?????＝
15
一个复数可用上述几种复数式来表示，可以相互转换。复数的加减运算
可用直角坐标式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
实数和虚数可以看成复数的特例：实数是虚部为零、幅角为零或 180o的
的复数，虚数是实部为零、幅角为 90o的 或 -90o的复数。
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做 共轭复数 。用 A*表示 A
的共轭复数，则有
A = a + jb
A*= a - jb
16
4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如, A1=a1+jb1 A2=a2+jb2
则 A1± A2=（ a1+jb1） ± （ a2+jb2） =（ a1± a2） +j（ b1± b2）
即几个复数相加或相减就是把它们的 实部和虚部分别相加减 。
图 4.6 矢量和与矢量差
17
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
A2= r
?j1 reA ? ?je如将复数 乘以另一个复数,则得
?je ?je )j( ???e=
如以 ?-je 除复数 ?j1 reA ?,则得
A3= r )j( ???e
?即使原矢量顺时针旋转了 角。就是矢量 A3比矢量 A1滞后了 角。?
A1=a1+jb1 = 11 ??r A2=a2+jb2 = 22 ??r如：
)( 21
2
1
22
11
2
1 ???? ?????? rrrrAA
11 ??r 22 ??r )( 21 ?? ??A1·A2= · = r1·r2则
18
当 ? =± ?90 时，则
j90s inj90c o sj 9 0 ????????e
因此任意一个相量乘上 +j后，即逆时针（向前）旋转了 ；?90
乘上 -j后，即顺时针（向后）旋转了 。?90
所以 j 称为旋转 ?90 的 旋转因子 。
19
4.2.3 向 量
1．向量法的定义
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算的
方法称为相量法。
图 4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量
设有一正弦电压 )s in (
m ?? ?? tUu
动画
20向量的产生
21
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为 相量,并在大写字
母上打,●,表示。
于是表示正弦电压 )s in (m ?? ?? tUu 的相量为
??? ? ????? mmmm )s i nj( c o s UeUUU j?
或
??? ? ????? UUeUU j)s i nj( c o s?
mU?,电压的幅值相量，
U?,电压的有效值相量。
22
按照正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，
称为 相量图 。在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。
U
Iφφ
u
φi
电压和电流的相量图
表示正弦量的相量有两种形式,相量图 和 复数式 （相量式）。
)s in ( um ?? ?? tUu )s in ( im ?? ?? tIi
ωt
u
0
i
φ
u
φ
iφ
电压和电流的波形图
23
4,3电路基本定律的相量形式
1．基尔霍夫电流定律的相量形式
正弦交流电路中，各电流、电压都是与电流同频率的正弦量，把这些
正弦量用相量表示，便有：
连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零,即 0??I?
一般对参考方向背离节点的电流的相量取正号，反之取负号。
24
由相量形式的 KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点的各支路电
流的相量组成一个 闭合多边形 。
如图 4.10,节点的 KCL相量表达式为 0
4321 ???? IIII ????
图 4.10 KCL的相量形式
i1 i2
i3 i4
I1 I2
I3 I4
I1
I2-I3
I4
25
2．基尔霍夫电压定律的相量形式
在正弦交流电路中，任一回路的各支路电压的相量的代数和为零，即 0??U?
应用 KVL时，也是先对回路选一绕行方向,对参考方向与绕行方向一致的电
压的相量取正号，反之取负号 。
回路的电压方程,0
4321 ???? uuuu
其 KVL相量表达式为,04321 ???? UUUU ????
图 4.11 KVL的相量形式
26
4,4 电阻、电感、电容电路
案例 4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械（龙门铣床、
龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机的等效电路如图所示。
案例 4.3 在照明电路中使用的白炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于感性负载，家用风
扇为单相交流电动机，它的等效电路如图所示。
27
4,4,1 单一参数电路
1．纯电阻电路
（ 1）元件上电压和电流关系
i
u R
++
-
纯电阻元件交流电路
ωt
i
0
u
π
2π
电阻电压电流的波形图
U
I
电阻电路电压与电流的相量图
设电阻两端电压为 tUtu ?s in)(
m?
则 tIt
RUR tuti ?? s ins in)()( mm ???
比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电
压 u和电流 i的频率相同，电压与电流的有效值
（或最大值）的关系符合欧姆定律，而且电
压与电流同相（相位差 ）。0??
28
（ 2）电阻元件的功率
1）瞬时功率
电阻中某一时刻消耗的电功率叫做 瞬时功率,它等于电压 u与电流 i瞬时
值的乘积，并用小写字母 p表示。
tIUuipp ?2mmR s i n???
2 2c o s1mm tIU ???
)2c os1( tUI ???
在任何瞬时,恒有 p≥0，说明
电阻只要有电流就消耗能量，将
电能转为热能，它是一种耗能元
件。 电阻元件瞬时功率的波形图
29
2）平均功率
瞬时功率虽然表明了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大
小，所以工程中常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为 平均功
率,用大写字母 P表示：
R
URIUIIU 22mm
2 ????P
式中的 U,I不是直流电压、电流，而是正弦交流电的有效值。
30
2．纯电感电路
（ 1）元件的电压和电流关系
i
Lu
+
-
i
0
u
π
2π
ωt
tLItiLu ?? c o sdd m??
)90s in (m ??? tLI ??
)90s in (m ??? tU ?
比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压 u和电
流 i 也是同频率的正弦量，电压的相位超前电流 90°,
电压与电流在数值上满足关系式
或
mm LIU ??
LIUIU ???
m
m
31
（ 2）感抗的概念
电感具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为 感抗,用 XL表示，
即
fLLX ?? 2L ＝＝
感抗是表示线圈对交流电流阻碍作用的大小。
从 XL=2πfL可知，感抗的大小与线圈本身的电感量 L和通过线圈电流
的频率有关。 f越高,XL越大，意味着线圈对电流的阻碍作用越大； f越
低,XL越小，即线圈对电流的阻碍作用也越小。当 f=0时 XL=0，表明线
圈对直流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的, 直流畅通，高
频受阻, 作用。
32
U
φ
电感电路相量图
如用相量表示电压与电流的关系，则为
IILIXU ??? ?jj L ??
???? ? 9090j UUeU?
???? ? 00j IIeI?
L90j j XeI
U
I
U ?? ???
33
（ 3）电感元件的功率
1）瞬时功率
tIUtItUuipp ??? 2s i n21s i n)90s i n ( mmmmL ??????
tUI ?2sin?
可见，电感元件的 瞬时功率 pL仍是一
个按正弦规律变化的正弦量，只是变化频
率是电源频率的两倍。
2）平均功率
0L ?P
纯电感条件下电路中仅有能量的交换而没有能
量的损耗。
34
工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时功率的最大值定
义为电感的 无功功率,简称感性无功功率，用 QL表示。
即
L
2
L
2
L X
UXIUIQ ???
QL的基本单位是 乏 （ var） 。
无功功率并不是“无用”的功率，它的含义是表示电源与电感性负载之
间能量的交换。许多设备在工作中都和电源存在着能量的交换。如异步电
动机、变压器等要要依靠大市场的变化来工作，磁场的变化会引起磁场能
量的变化，这就说明设备和电源之间存在能量的交换。因此发电机除了发
出有功功率以外，还要发出适量的无功功率以满足这些设备的需要。
35
3．纯电容电路
（ 1）元件的电压和电流关系
i
Cu
+
-
当电压发生变化时，电容器极板上的电荷也
要随着发生变化，在电路中就引起电流
tuCtqi dddd ??如果
tUu ?s inm?
则
)( s indddd m ttCUtuCi ???
tCU ?? c o sm?
)90s in (m ??? tCU ??
)90s in (m ??? tI ?
电容两端电压 u和电流 i也是同频率的正弦量，
电流的相位超前电压 90°,电压与电流在数值上满足：
mm CUI ?? CIUIU ?1
m
m ??或
u
0
i
π
2π
ωt
电容电压电流波形图
36
（ 2）容抗的概念
电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为 容抗,用 XC表示，
即
C?1 fC?21
XC= =
容抗 XC与电容 C，频率 f成反比。是因为电容越大时，在同样电压下，
电容器所容纳的电荷量就越大，因而电流越大。当频率越高时，电容器
的充电与放电就进行得越快，在同样电压下，单位时间内电荷的移动量
就越多，因而电流越大。所以电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，
相当于短路；而当频率 f很低或 f=0（直流）时，电容就相当于开路。这
就是电容的, 隔直通交, 作用，电容这一特性在电子技术中被广泛应用。
37
如用相量表示电压与电流的关系
I
U
φ
电容电路相量图 CICIIXU ?? jjj C ???? ????
???? ? 00j UUeU?
???? ? 9090j IIeI?
C90j j XeI
U
I
U ??? ????
38
（ 3）电容元件的功率
1）瞬时功率
电容元件瞬时功率的变化规律：
ttIUtItUuipp C ????? c oss i n)2s i n (s i n mmmm ??????
tUItIU ?? 2s in2s in2 mm ??
电容元件的瞬时功率是一个幅值为 UI，以
2ω的角频率随时间而变化的交变量，其变化
波形如图所示。
在正弦交流电作用下，纯电容元件不断地
与电源进行能量交换，但却不消耗能量。
电容瞬时功率的波形图
39
2）平均功率
由上图可见，纯电容元件的 平均功率 P=0.
虽然纯电容不消耗功率，但是它与电源之间存在能量交换。为了表
示能量交换的规模大小，将电容瞬时功率的最大值定义为电容的无功
功率，或称容性无功功率，用 QC表示，即
C
2
C2C X
UXIUIQ ???
QC的单位也是乏（ var）。
40
4.4.2 电阻、电感、电容串联电路
1,RLC串联电路
（ 1） RLC串联电路的电压电流关系
R
i
C
+
-
Lu
?90
根据 KVL定律可列出 CL uuuu ???
设电路中的电流为 tIi ?sin
m?
则电阻元件上的电压 uR与电流同相，即
tUtRIu ?? s ins in RmmR ??
电感元件上的电压 uL比电流超前 90°,即
)90s i n()90s i n( LmmL ?????? tUtLIu ???
电容元件上的电压 uC比电流滞后
)90s i n ()90s i n ( CmmC ?????? tUtCIu ???
41
U
I
U
U
U
U
U UL C+
L
C
R
C
φ
电源电压为
CLR uuuu ???
= )s in ( ?? ?tU
m
相量图
由电压相量所组成的直角三角形，称为 电压三角形,
U
U
U UL C+
R
φ
电压三角形
利用这个电压三角形，可求得电源电压的有效值，即
2CL22CL2R )()()( IXIXRIUUUU ??????=
2CL2 )( XXRI ??
也可写为
?IU 2CL2 )( XXR ??
42
（ 2）电路中的阻抗及相量图
|Z|
R
X XL C-φ
阻抗三角形
电路中电压与电流的有效值（或幅值）之比为 。 2CL2 )( XXR ??
它的单位也是欧姆，也具有对电流起阻碍作用的性质，我们称它为电路的 阻抗模,
用 Z 代表，即
Z = 2CL2 )( XXR ?? = 22 )1( CLR ?? ??
Z, R、（ LX - CX ）三者之间的关系也可用一个直角三角形 —— 阻抗三角形 表示。
相位差 ? 也可从电压三角形得出，即
? =arctan ??R CLU UU arctan RXX CL ?
43
如用相量表示电压与电流的关系，则为
IXIXIRUUUU ??????? CLCLR jj ??????
= IXXR ?)](j[
CL ??
?IU?? )(j CL XXR ??
式中的 )(j CL XXR ?? 称为电路的阻抗，用大写的 Z表示
Z= )(j CL XXR ?? = 2CL2 )( XXR ??
R XXe CLa rc ta nj ?
=
?jeZ
阻抗的幅角
?
即为电流与电压之间的相位差。
? 为正；对容性电路，
?
为负。对感性电路，
R
i
XC
+
-
XLU
用阻抗形式表示的 RLC电路图
44
4.4.3 电阻、电感、电容并联电路
R
i
C
+
-
L
u
iL iC
1?
RL支路中的电流为
2L211 XR
U
Z
UI
???
=arctan
RXL
电容支路中的电流为
CC X
UI ?
总电流相量等于两条支路中电流的相量和
LR UXR UI ?jj L1 ????
???
C
U
X
UI
?
1jj CC ????
???
C1 III ??? ??
45
例 4.12 有一 RLC串联的交流电路，已知 R= Ω,XL= Ω,
XC= Ω,I= A,试求电路两端电压 U。
因为是 RLC串联交流电路，因此
Z= )(j CL XXR ?? =
而 I=
所以 U=ZI=
10 20
8 20
求解
10+j 12 Ω
20A
417.612266540527V
46
4,5 谐振电路
案例 4.4 在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择信号。收音机通过接
收天线，接收到各种频率的电磁波，每一种频率的电磁波都要在天线回路中产生相
应的微弱的感应电流。为了达到选择信号的目的，通常在收音机里采用如图所示的
谐振电路。
(a)接收器的调谐电路 (b)等效电路
47
4.5.1 串联谐振
1,谐振条件
R
i
XC
+
-
XLU
总阻抗 ?
?? ?????????? ZXRXXRCLRZ j)(j1jj CL
22 )1( CLRZ ?? ???
CLXXX ?? 1CL ????
当 ω为某一值，恰好使感抗 XL和容抗 XC相等时，则 X=0，
此时电路中的电流和电压同相位，电路的阻抗最小，且
等于电阻（ Z=R）。电路的这种状态称为谐振。由于是在
RLC串联电路中发生的谐振，故又称为 串联谐振 。 RLC串联电路
对于 RLC串联电路，谐振时应满足以下条件
01 ??? CLX ?? 或 CL ?? 1? ω为谐振角频率，用 ω0表示，则
LC10 ??
电路发生谐振的频率称为 谐振频率。 LCf π2 10 ?
48
2．谐振电路分析
当电路发生谐振时,X=0，因此 |Z|=R，即此时电路的阻抗最小，
因而在电源电压不变的情况下，电路中的电流将在谐振时达到最大，
其数值为
R
UII ??
0
由于电源电压与电路中电流同相，因此电路对电源呈现电阻性，电
源供给电路的能量全被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量的互
换。能量的互换只发生在电感线圈与电容器之间。
I
U
U
U U R=
L
C
RLC串联谐振相量图
因为
RUXIXU LLL ?? RUXIXU CCC ??
当 XL=XC>R时,UL和 UC都高于电源电压 U。
因为串联谐振时 UL和 UC可能超过电源电
压许多倍，所以串联谐振也称 电压谐振 。
49
UL或 UC与电源电压 U的比值，通常用 Q来表示
RXRXUUUUQ CLCL ????
Q称为电路的 品质因数 。
表示在谐振时电容或电感元件上的电压是电源电压的 Q倍。例如，
Q=120V,U=10V，那么在谐振时电容或电感上的电压就高达 1200V。
在外加电压 U不变的情况下,I 也将随频率变化，这一曲线称为电流
谐振曲线。
网络具有这种选择接近于谐振频率
附近的电流通过的性能称为,选择性,。
选择性与电路的品质因数 Q有关，品质
因数越大，电流谐振曲线越尖锐，选择
性越好。 ff1 f0 f2o
I0
I0
I(f)
2
50
例 4.16 在电阻、电感、电容串联谐振电路中,L= mH,C= pF，品质因数
Q=,交流电压的有效值 U= mV。试求：
（ 1）电路的谐振频率 f0。
（ 2）谐振时电路中的电流 I。
（ 3）电容上的电压 UC。
（ 1）电路的谐振频率
LCf π2
1
0 ?
（ 2）由于品质因数
CLRR LRXQ 10L ??? ?
故 R =
谐振时，电流为 I = U/R =
（ 3）电容两端的电压是电源电压的 Q倍，即
UC=QU=
0.05 200
100 1
求解
= 1592356.68789809 Hz
5 Ω
,2 A
,1 V
51
4.5.2 并联谐振
1,R,L,C 并联谐振电路
（ 1）谐振条件
+
U
-
I IB
IR IL IC
RLC并联谐振电路
电路的总电流相量
?????? ????? )1(j1jj LCRUUCLURU ???? ????CLR IIII ???? ??? =
要使电路发生谐振，上式虚部为零，因此应
满足下列条件 01 ??
CL ?? LC
10 ??即 谐振频率 为
LCf π2
1
0 ?
IR
I
I
U
C
L 相量图
52
（ 2）谐振电路特点
在 RLC并联电路中，当 XL=XC,即 时，从电源流出的电流最小，CL ?? 1?
电路的总电压与总电流同相，我们把这种现象称为 并联谐振 。
谐振时，电路中电流与电压同相，电路呈现阻性，谐振电流
RUI ?0
并联谐振电路也引入品质因数 Q，且与串联回路的 Q值一样,
C
L
RR
LQ 10 ?? ?
并联谐振电路的 特点 。
①并联谐振电路的总阻抗最大。这与串联谐振电路相反。
RQRCZ 21 ??
② 并联谐振电路的总电流最小。这与串联谐振电路相反。
RUI ?0③ 谐振时，回路阻抗为纯电阻，回路端电压与总电流同相。这与串联谐振电路相同。
RLC并联谐振电路的特点有些与串联谐振电路相似，有些与串联谐振电路相反。
4,6 正弦交流电路中的功率
案例 4.5 电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。如某台变压器提供的
容量为 250kVA，某台电动机的额定功率为 2.5kW，一盏白炽灯的功率为 60W等
等。由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小也各自不一样。前面
所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量。所以我们要对电路中的不
同功率进行分析。
54
案例 4.6 电力系统中的负载大多是呈感性的。这类负载不单只消耗电网能量，
还要占用电网能量，这是我们所不希望的。日光灯负载内带有电容器就是为了
减小感性负载占用电网的能量。这种利用电容来达到减小占用电网能量的方法
称为无功补偿法，也就是后面我们提到的提高功率因数。
55
4.6.1 正弦交流电路中的功率
1.瞬时功率
Z
i
+
-
u
在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率
tItUuip mm ??? s i n)s i n ( ???
)2c o s (21c o s21s i n)s i n ( ?????? ????? ttt
)2c o s (c o s ??? ??? tUIUIp
由上可见，瞬时功率由两部分组成，
一部分是 恒定分量,是一个与时间无关的量；另一部分是 正弦分量,其
频率为电源频率的两倍。
交流电路中的功率
因
所以
56
2．平均功率（有功功率）
负载是要消耗电能的，其所消耗的能量可以用平均功率来表示。将一个周
期内瞬时功率的平均值称为 平均功率,也称 有功功率 。
?P ?cosUI
?
纯电阻电路时，电压与电流同相，即
当电路为纯电感或纯电容电路时，电流与电压的相位差均为 90o
角均为电路负载的阻抗角，也就是电路中电压与电流的相位差。当负载一
定时 cos 是一常数，称之为负载的功率因数,角则称为 功率因数角 。?
?
?
?cosUI? UI?=0,cos =1,P? ?
,cos =0
57
3．无功功率
电路中的电感元件与电容元件要
与电源之间进行能量交换，
?s i n)()( 2CLCL UIIXXIUUQ ?????
?sin
?sin
在感性电路中，由于 为正值，
所以 Q为正值，即 QL>QC；在容性电路
中,为负值，所以 Q为负值，
即 QL<QC。
显然，在既有电感又有电容的电
路中，总的无功功率为 QL与 QC的代
数和，即
Q =QL-QC
4．视在功率
我们把额定电压与额定电流的乘积
称为视在功率，
S = UI
视在功率常用来表示电器设备的
容量，其单位为 伏安 。
某变频器铭牌
58
5．功率三角形
将交流电路表示电压间关系的电压
三角形的各边乘以电流 I 即成为 功率
三角形 。
P,Q,S三者之间的关系：
?c osUIP ?
?s inUIQ ?
22 QPS ??
PQarc tan??
S
P
Qφ
6．功率因数
功率因数 cos φ，其大小等于有功功
率与视在功率的比值，在电工技术中，
一般用 λ表示，当负载为纯电阻负载时，
cos φ=1；但对大部分负载而言，功率
因数一般在 0~1之间：
电气设备 功率因数
计算机 0.6
异步电动机 0.6~0.9
工频感应加热炉 0.1~0.3
日光灯 0.5~0.6
59
例 4.20 已知电阻 R= Ω，电感 L= mH，电容 C= μF，串联后接到电压
)303 1 4s in (22 2 0 ??? tu V的电源上。求电路的 P,Q和 S。
电路的阻抗
???? )(j CL XXRZ
根据 )303 1 4s in (22 2 0 ??? tu V，可知电压相量 ??? 30220U? V
因此电流相量为
?? ZUI ??
58W1.534.4220c o s ?????? ?UIP
电路的平均功率
?? ?c osUIP
电路的无功功率
?? ?sinUIQ电路的视在功率
??UIS
300 382 40
求解
3 0 0 + j 4 0, 3 3 0 1 6 5 6 0 5 0 9 5 5 = 3 0 2, 6 9 8 7 3 1 8 4 0 3 1 4 ∠ 7, 6 6 0 4 7 3 5 0 0 4 0 9 2 9 ° Ω
,726795248405794∠ 22.33953 °A
158.469399931572W
2 1, 3 0 3 6 5 7 1 4 1 9 3 4 7 V a r
159.895VA
ψ > 0,电压超前电流，因此电路为感性。
60
4,6,2 功率因数的提高
案例 4.7 在生产和生活中使用的电气设备大多属于感性负载，它们的功率因
数都较低。如供电系统的功率因数是由用户负载的大小和性质决定的，在一般
情况下，供电系统的功率因数总是小于 1。
例如，变压器容量 1000kVA,cosφ=1时能提供 1000kW的有功功率，而
在 cosφ =0.7时则只能提供 700kW的有功功率。
61
1．功率因数低的危害
I
I C
L
U
I
φ
φ
1
1)使发电设备容量不能充分利用。
2)增加输电线路上的损耗。
2．提高功率因数的方法
常用的方法是在感性负载的两端 并联电容器 。
R
i
+
-
L
u
iL
C
iC
电路图
U
I
I C
L
I
φ
φ
1
相量图
在电感性负载上并联了电容器
以后，减少了电源与负载之间的
能量互换。这时电感性负载所需
的无功功率，大部分或全部由电
容器供给，就是说能量的互换现
在主要发生在电感性负载与电容
器之间，因而使发电机容量能得
到充分利用。
其次，由相量图可见，并联电
容器以后线路电流也减小了，因
而减小了功率损耗。
62
本 章 小 结
1.正弦交流电的基本概念
（ 1）正弦交流电的 三要素 )s in (m ?? ?? tIi
（ 2）正弦交流电的有效值与最大值之间有 的关系。2mII?
（ 3）两个同频率正弦量的初相位角之差，称为 相位差 。两同频率的正弦量有
同相、反相、超前和滞后的关系。
2.正弦交流电的表示法
正弦交流电可用 解析式、波形图和相量图 （相量复数式）三种方法来表示。
63
3．正弦交流电路中单个参数元件的规律
元件名称 相量关系 有效值关系 相位关系 相量图
电阻 R
电感 L
电容 C
IRU ?? ?R
??? 90iu ??
IXU ?? CC j－?IXU CC ? ??? 90iu ??
RIU ?R iu ?? ?
IXU ?? LL j?IXU LL ?
4,RLC串联的交流电路
电压电流相量关系：
复阻抗：
阻抗模：
阻抗角：
)](j[ CL XXRIU －?? ??
?? IUZ ?? )(j CL XXR －? ＝ ??Z
2CL2 )( XXRZ ＋??
R XX CLa r c t a n －＝?
64
5．谐振电路
RLC串联谐振电路,
CL XX ＝ CL ?? 1?
LCf π2 10 ?
谐振条件,或
谐振频率：
6．正弦交流电路的功率
?cosUIP ?
?sinUIQ ?
22 QPUIS ???
有功功率：
无功功率：
视在功率：
7．功率因数的提高
提高电路的功率因数对提高设备利用率和节约电能有着重要意义。一
般采用在感性负载两端并联电容器的方法来提高电路的功率因数。
65
第四章 正弦交流电路
学习目标与要求：
（ 1）理解正弦交流电的基本特性、表示方法及其相量表示；
（ 2）学习用相量法求解正弦交流电路；
（ 3）理解单个参数的正弦交流电路特点，掌握其相量计算方法；
（ 4）理解复合正弦交流电路的特点，掌握其相量计算方法；
（ 5）理解正弦电路中阻抗、阻抗角的意义及其在电路中的计算；
（ 6）理解串联谐振的意义和条件，了解并联谐振的意义和条件；
（ 7）理解正弦交流电路的不同功率之间的关系，掌握其计算方法。
2
案例 4.1
我们最熟悉和最常用的家用电器采用是都是交流电，如电视、电脑、照明灯、
冰箱、空调等家用电器。
3
4.1.1 交流电路概述
交流电与直流电的区别在于：
直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周
期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。
在生产和生活中使用的电能，几乎都是交流电能，即使是电解、电镀、电讯
等行业需要直流供电，大多数也是将交流电能通过整流装置变成直流电能。在
日常生产和生活中所用的交流电，一般都是指 正弦交流电 。
因为交流电能够方便地用变压器改变电压，用高压输电，可将电能输送很远，
而且损耗小；交流电机比直流电机构造简单，造价便宜，运行可靠。所以，现
在发电厂所发的都是交流电，工农业生产和日常生活中广泛应用的也是交流电。
4,1交流电路中的基本物理量
4
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由
频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。
所以 频率, 幅值 和 初相位 就称为确定正弦量的 三要素 。
t
i
0 t
i
0
t
i
0 t
i
0
（ b）脉动直流电
（ d）交流方波
（ a）稳恒直流电
（ c）正弦交流电
图 4.1 直流电和交流电的电波波形图
5
4.1.2 正弦交流电的基本特征和三要素
设某支路中正弦电流 i 在选定参考方向下的瞬时值表达式为,
)s in (m ?? ?? tIi
1．瞬时值、最大值和有效值
我们把任意时刻正弦交流电的数值称为
瞬时值,用小写字母表示，如 i,u及 e表示
电流、电压及电动势的瞬时值。
最大的瞬时值称为 最大值 （也叫 幅值、峰值 ）。用带下标的小写字母表示。
如 Im,Um 及 Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
图 4.2 正弦电流波形图
ωt
i
0 t
6
4.1.2 正弦交流电的基本特征和三要素
设某支路中正弦电流 i 在选定参考方向下的瞬时值表达式为,
)s in (m ?? ?? tIi
1．瞬时值、最大值和有效值
我们把任意时刻正弦交流电的数值称为
瞬时值,用小写字母表示，如 i,u及 e表示
电流、电压及电动势的瞬时值。
最大的瞬时值称为 最大值 （也叫 幅值、峰值 ）。用带下标的小写字母表示。
如 Im,Um 及 Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
图 4.2 正弦电流波形图
ωt
i
0
Im
t
7
某一个周期 电流 i 通过 电阻 R在一个 周期 T内产生的热量，和另一个直流
电流通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的 热量相等,那么这个周期性变
化的电流 i 的 有效值 在数值上就等于这个 直流 I。
规定：有效值都用大写字母表示，和表示直流的字母一样。
?? T0 21 dtiTI
周期电流的有效值
2
mII ?
当周期电流为正弦量时，可得
2m
UU ?
2m
EE ?
正弦电压和正弦电动势可得
8
例 4.1 已知某交流电压为 V，这个交流电压的最大值和有效值分
别为多少？
tu ?s in2220?
V1.3 1 1V22 2 0m ??U
V220V2 22202m ??? UU
解：最大值
有效值 ωt
u
0 π
2π
311.1
9
2．频率与周期
正弦量变化一次所需的时间（秒）称为 周期 T。
每秒内变化的次数称为 频率 f，它的单位是 赫兹
（ Hz）。
频率是周期的倒数，即
Tf
1?
正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用 角频率 ω来表示，它
的单位是 弧度 /秒（ rad/s） 。角频率是指交流电在 1秒钟内变化的电角度。
若交流电 1秒钟内变化了 f 次，则可得角频率与频率的关系式为
Tf
?? 2π2 ??
图 4.2 正弦电流波形图
ωt
i
0
T
π
T
2
Im
10
例 4.3 已知某正弦交流电压为
求该电压的最大值、有效值、频率、角频率和周期各为多少？
由公式（ 4.1）
与本题比较可知
u= sin t V
)s in (m ?? ?? tIi
um=
ω=
f=
T=
U=
220 218
求解:
220V
218 rad/s
34.7133757961783 Hz
2.880734E-02 s
1 5 5, 5 8 6 9 8 7 2 7 0 1 5 6 V
11
)( ?? ?t
3．初相
)s in (m ?? ?? tIi
?
公式 中的 称为正弦量的 相位角 或 相位,它反映
出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为 初相位角 或 初相位 。上式中的 就 是这个电流的 初相 。规定
初相的绝对值不能超过 π。
在一个正弦交流电路中，电压 u和电流 i的频率是相同的，但初相不一定相同，
如图 4.3所示。图中 u 和 i 的波形可用下式表示
)s in ( um ?? ?? tUu
)s in ( im ?? ?? tIi
?
两个同频率正弦量的相位角之差或
初相位角之差，称为 相位差,用 表示。
iuiu )()( ??????? ?????? tt
图中电压 u 和电流 i 的相位差为
图 4.3 u 和 i 的相位不相等
ωt
u
0
i
φ
u
φ
i
12
)( ?? ?t
3．初相
)s in (m ?? ?? tIi
?
公式 中的 称为正弦量的 相位角 或 相位,它反映
出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为 初相位角 或 初相位 。上式中的 就 是这个电流的 初相 。规定
初相的绝对值不能超过 π。
在一个正弦交流电路中，电压 u和电流 i的频率是相同的，但初相不一定相同，
如图 4.3所示。图中 u 和 i 的波形可用下式表示
)s in ( um ?? ?? tUu
)s in ( im ?? ?? tIi
?
两个同频率正弦量的相位角之差或
初相位角之差，称为 相位差,用 表示。
iuiu )()( ??????? ?????? tt
图中电压 u 和电流 i 的相位差为
图 4.3 u 和 i 的相位不相等
ωt
u
0
i
φ
u
φ
iφ
13
4.2.1 复 数
1．复数的实部、虚部和模
1?
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中 i代表电流，所以
改用 j 代表虚单位，即 j =
1?
图 4.5 有向线段的复数表示
令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，
称为 实轴,以 +1为单位；纵轴表示虚部，
称为 虚轴,以 +j为单位。
22 bar ??
4,2 正弦量的相量表示
有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的 幅角,用 表示。?
A
a
b
r
φ
o +1
+j
A=a+jb
复平面中有一有向线段 A，其实部为 a，
其虚部为 b，如图 4.5所示，于是有向线段
A可用下面的复数表示为：
r 表示复数的大小，称为 复数的模 。
14
2．复数的表达方式
abarc tan??因为
?cosra ? ?s inrb ?和
所以
该式称为复数的直角坐标式。
?jreA ?
还可以写为
该式称复数的指数形式。在工程上常常写为
??? rA
该式称为复数的极坐标形式。
)s i n( c o ss i nc o sA ???? jrjrrjba ?????＝
15
一个复数可用上述几种复数式来表示，可以相互转换。复数的加减运算
可用直角坐标式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
实数和虚数可以看成复数的特例：实数是虚部为零、幅角为零或 180o的
的复数，虚数是实部为零、幅角为 90o的 或 -90o的复数。
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做 共轭复数 。用 A*表示 A
的共轭复数，则有
A = a + jb
A*= a - jb
16
4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如, A1=a1+jb1 A2=a2+jb2
则 A1± A2=（ a1+jb1） ± （ a2+jb2） =（ a1± a2） +j（ b1± b2）
即几个复数相加或相减就是把它们的 实部和虚部分别相加减 。
图 4.6 矢量和与矢量差
17
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
A2= r
?j1 reA ? ?je如将复数 乘以另一个复数,则得
?je ?je )j( ???e=
如以 ?-je 除复数 ?j1 reA ?,则得
A3= r )j( ???e
?即使原矢量顺时针旋转了 角。就是矢量 A3比矢量 A1滞后了 角。?
A1=a1+jb1 = 11 ??r A2=a2+jb2 = 22 ??r如：
)( 21
2
1
22
11
2
1 ???? ?????? rrrrAA
11 ??r 22 ??r )( 21 ?? ??A1·A2= · = r1·r2则
18
当 ? =± ?90 时，则
j90s inj90c o sj 9 0 ????????e
因此任意一个相量乘上 +j后，即逆时针（向前）旋转了 ；?90
乘上 -j后，即顺时针（向后）旋转了 。?90
所以 j 称为旋转 ?90 的 旋转因子 。
19
4.2.3 向 量
1．向量法的定义
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算的
方法称为相量法。
图 4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量
设有一正弦电压 )s in (
m ?? ?? tUu
动画
20向量的产生
21
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为 相量,并在大写字
母上打,●,表示。
于是表示正弦电压 )s in (m ?? ?? tUu 的相量为
??? ? ????? mmmm )s i nj( c o s UeUUU j?
或
??? ? ????? UUeUU j)s i nj( c o s?
mU?,电压的幅值相量，
U?,电压的有效值相量。
22
按照正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，
称为 相量图 。在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。
U
Iφφ
u
φi
电压和电流的相量图
表示正弦量的相量有两种形式,相量图 和 复数式 （相量式）。
)s in ( um ?? ?? tUu )s in ( im ?? ?? tIi
ωt
u
0
i
φ
u
φ
iφ
电压和电流的波形图
23
4,3电路基本定律的相量形式
1．基尔霍夫电流定律的相量形式
正弦交流电路中，各电流、电压都是与电流同频率的正弦量，把这些
正弦量用相量表示，便有：
连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零,即 0??I?
一般对参考方向背离节点的电流的相量取正号，反之取负号。
24
由相量形式的 KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点的各支路电
流的相量组成一个 闭合多边形 。
如图 4.10,节点的 KCL相量表达式为 0
4321 ???? IIII ????
图 4.10 KCL的相量形式
i1 i2
i3 i4
I1 I2
I3 I4
I1
I2-I3
I4
25
2．基尔霍夫电压定律的相量形式
在正弦交流电路中，任一回路的各支路电压的相量的代数和为零，即 0??U?
应用 KVL时，也是先对回路选一绕行方向,对参考方向与绕行方向一致的电
压的相量取正号，反之取负号 。
回路的电压方程,0
4321 ???? uuuu
其 KVL相量表达式为,04321 ???? UUUU ????
图 4.11 KVL的相量形式
26
4,4 电阻、电感、电容电路
案例 4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械（龙门铣床、
龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机的等效电路如图所示。
案例 4.3 在照明电路中使用的白炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于感性负载，家用风
扇为单相交流电动机，它的等效电路如图所示。
27
4,4,1 单一参数电路
1．纯电阻电路
（ 1）元件上电压和电流关系
i
u R
++
-
纯电阻元件交流电路
ωt
i
0
u
π
2π
电阻电压电流的波形图
U
I
电阻电路电压与电流的相量图
设电阻两端电压为 tUtu ?s in)(
m?
则 tIt
RUR tuti ?? s ins in)()( mm ???
比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电
压 u和电流 i的频率相同，电压与电流的有效值
（或最大值）的关系符合欧姆定律，而且电
压与电流同相（相位差 ）。0??
28
（ 2）电阻元件的功率
1）瞬时功率
电阻中某一时刻消耗的电功率叫做 瞬时功率,它等于电压 u与电流 i瞬时
值的乘积，并用小写字母 p表示。
tIUuipp ?2mmR s i n???
2 2c o s1mm tIU ???
)2c os1( tUI ???
在任何瞬时,恒有 p≥0，说明
电阻只要有电流就消耗能量，将
电能转为热能，它是一种耗能元
件。 电阻元件瞬时功率的波形图
29
2）平均功率
瞬时功率虽然表明了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大
小，所以工程中常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为 平均功
率,用大写字母 P表示：
R
URIUIIU 22mm
2 ????P
式中的 U,I不是直流电压、电流，而是正弦交流电的有效值。
30
2．纯电感电路
（ 1）元件的电压和电流关系
i
Lu
+
-
i
0
u
π
2π
ωt
tLItiLu ?? c o sdd m??
)90s in (m ??? tLI ??
)90s in (m ??? tU ?
比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压 u和电
流 i 也是同频率的正弦量，电压的相位超前电流 90°,
电压与电流在数值上满足关系式
或
mm LIU ??
LIUIU ???
m
m
31
（ 2）感抗的概念
电感具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为 感抗,用 XL表示，
即
fLLX ?? 2L ＝＝
感抗是表示线圈对交流电流阻碍作用的大小。
从 XL=2πfL可知，感抗的大小与线圈本身的电感量 L和通过线圈电流
的频率有关。 f越高,XL越大，意味着线圈对电流的阻碍作用越大； f越
低,XL越小，即线圈对电流的阻碍作用也越小。当 f=0时 XL=0，表明线
圈对直流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的, 直流畅通，高
频受阻, 作用。
32
U
φ
电感电路相量图
如用相量表示电压与电流的关系，则为
IILIXU ??? ?jj L ??
???? ? 9090j UUeU?
???? ? 00j IIeI?
L90j j XeI
U
I
U ?? ???
33
（ 3）电感元件的功率
1）瞬时功率
tIUtItUuipp ??? 2s i n21s i n)90s i n ( mmmmL ??????
tUI ?2sin?
可见，电感元件的 瞬时功率 pL仍是一
个按正弦规律变化的正弦量，只是变化频
率是电源频率的两倍。
2）平均功率
0L ?P
纯电感条件下电路中仅有能量的交换而没有能
量的损耗。
34
工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时功率的最大值定
义为电感的 无功功率,简称感性无功功率，用 QL表示。
即
L
2
L
2
L X
UXIUIQ ???
QL的基本单位是 乏 （ var） 。
无功功率并不是“无用”的功率，它的含义是表示电源与电感性负载之
间能量的交换。许多设备在工作中都和电源存在着能量的交换。如异步电
动机、变压器等要要依靠大市场的变化来工作，磁场的变化会引起磁场能
量的变化，这就说明设备和电源之间存在能量的交换。因此发电机除了发
出有功功率以外，还要发出适量的无功功率以满足这些设备的需要。
35
3．纯电容电路
（ 1）元件的电压和电流关系
i
Cu
+
-
当电压发生变化时，电容器极板上的电荷也
要随着发生变化，在电路中就引起电流
tuCtqi dddd ??如果
tUu ?s inm?
则
)( s indddd m ttCUtuCi ???
tCU ?? c o sm?
)90s in (m ??? tCU ??
)90s in (m ??? tI ?
电容两端电压 u和电流 i也是同频率的正弦量，
电流的相位超前电压 90°,电压与电流在数值上满足：
mm CUI ?? CIUIU ?1
m
m ??或
u
0
i
π
2π
ωt
电容电压电流波形图
36
（ 2）容抗的概念
电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为 容抗,用 XC表示，
即
C?1 fC?21
XC= =
容抗 XC与电容 C，频率 f成反比。是因为电容越大时，在同样电压下，
电容器所容纳的电荷量就越大，因而电流越大。当频率越高时，电容器
的充电与放电就进行得越快，在同样电压下，单位时间内电荷的移动量
就越多，因而电流越大。所以电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，
相当于短路；而当频率 f很低或 f=0（直流）时，电容就相当于开路。这
就是电容的, 隔直通交, 作用，电容这一特性在电子技术中被广泛应用。
37
如用相量表示电压与电流的关系
I
U
φ
电容电路相量图 CICIIXU ?? jjj C ???? ????
???? ? 00j UUeU?
???? ? 9090j IIeI?
C90j j XeI
U
I
U ??? ????
38
（ 3）电容元件的功率
1）瞬时功率
电容元件瞬时功率的变化规律：
ttIUtItUuipp C ????? c oss i n)2s i n (s i n mmmm ??????
tUItIU ?? 2s in2s in2 mm ??
电容元件的瞬时功率是一个幅值为 UI，以
2ω的角频率随时间而变化的交变量，其变化
波形如图所示。
在正弦交流电作用下，纯电容元件不断地
与电源进行能量交换，但却不消耗能量。
电容瞬时功率的波形图
39
2）平均功率
由上图可见，纯电容元件的 平均功率 P=0.
虽然纯电容不消耗功率，但是它与电源之间存在能量交换。为了表
示能量交换的规模大小，将电容瞬时功率的最大值定义为电容的无功
功率，或称容性无功功率，用 QC表示，即
C
2
C2C X
UXIUIQ ???
QC的单位也是乏（ var）。
40
4.4.2 电阻、电感、电容串联电路
1,RLC串联电路
（ 1） RLC串联电路的电压电流关系
R
i
C
+
-
Lu
?90
根据 KVL定律可列出 CL uuuu ???
设电路中的电流为 tIi ?sin
m?
则电阻元件上的电压 uR与电流同相，即
tUtRIu ?? s ins in RmmR ??
电感元件上的电压 uL比电流超前 90°,即
)90s i n()90s i n( LmmL ?????? tUtLIu ???
电容元件上的电压 uC比电流滞后
)90s i n ()90s i n ( CmmC ?????? tUtCIu ???
41
U
I
U
U
U
U
U UL C+
L
C
R
C
φ
电源电压为
CLR uuuu ???
= )s in ( ?? ?tU
m
相量图
由电压相量所组成的直角三角形，称为 电压三角形,
U
U
U UL C+
R
φ
电压三角形
利用这个电压三角形，可求得电源电压的有效值，即
2CL22CL2R )()()( IXIXRIUUUU ??????=
2CL2 )( XXRI ??
也可写为
?IU 2CL2 )( XXR ??
42
（ 2）电路中的阻抗及相量图
|Z|
R
X XL C-φ
阻抗三角形
电路中电压与电流的有效值（或幅值）之比为 。 2CL2 )( XXR ??
它的单位也是欧姆，也具有对电流起阻碍作用的性质，我们称它为电路的 阻抗模,
用 Z 代表，即
Z = 2CL2 )( XXR ?? = 22 )1( CLR ?? ??
Z, R、（ LX - CX ）三者之间的关系也可用一个直角三角形 —— 阻抗三角形 表示。
相位差 ? 也可从电压三角形得出，即
? =arctan ??R CLU UU arctan RXX CL ?
43
如用相量表示电压与电流的关系，则为
IXIXIRUUUU ??????? CLCLR jj ??????
= IXXR ?)](j[
CL ??
?IU?? )(j CL XXR ??
式中的 )(j CL XXR ?? 称为电路的阻抗，用大写的 Z表示
Z= )(j CL XXR ?? = 2CL2 )( XXR ??
R XXe CLa rc ta nj ?
=
?jeZ
阻抗的幅角
?
即为电流与电压之间的相位差。
? 为正；对容性电路，
?
为负。对感性电路，
R
i
XC
+
-
XLU
用阻抗形式表示的 RLC电路图
44
4.4.3 电阻、电感、电容并联电路
R
i
C
+
-
L
u
iL iC
1?
RL支路中的电流为
2L211 XR
U
Z
UI
???
=arctan
RXL
电容支路中的电流为
CC X
UI ?
总电流相量等于两条支路中电流的相量和
LR UXR UI ?jj L1 ????
???
C
U
X
UI
?
1jj CC ????
???
C1 III ??? ??
45
例 4.12 有一 RLC串联的交流电路，已知 R= Ω,XL= Ω,
XC= Ω,I= A,试求电路两端电压 U。
因为是 RLC串联交流电路，因此
Z= )(j CL XXR ?? =
而 I=
所以 U=ZI=
10 20
8 20
求解
10+j 12 Ω
20A
417.612266540527V
46
4,5 谐振电路
案例 4.4 在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择信号。收音机通过接
收天线，接收到各种频率的电磁波，每一种频率的电磁波都要在天线回路中产生相
应的微弱的感应电流。为了达到选择信号的目的，通常在收音机里采用如图所示的
谐振电路。
(a)接收器的调谐电路 (b)等效电路
47
4.5.1 串联谐振
1,谐振条件
R
i
XC
+
-
XLU
总阻抗 ?
?? ?????????? ZXRXXRCLRZ j)(j1jj CL
22 )1( CLRZ ?? ???
CLXXX ?? 1CL ????
当 ω为某一值，恰好使感抗 XL和容抗 XC相等时，则 X=0，
此时电路中的电流和电压同相位，电路的阻抗最小，且
等于电阻（ Z=R）。电路的这种状态称为谐振。由于是在
RLC串联电路中发生的谐振，故又称为 串联谐振 。 RLC串联电路
对于 RLC串联电路，谐振时应满足以下条件
01 ??? CLX ?? 或 CL ?? 1? ω为谐振角频率，用 ω0表示，则
LC10 ??
电路发生谐振的频率称为 谐振频率。 LCf π2 10 ?
48
2．谐振电路分析
当电路发生谐振时,X=0，因此 |Z|=R，即此时电路的阻抗最小，
因而在电源电压不变的情况下，电路中的电流将在谐振时达到最大，
其数值为
R
UII ??
0
由于电源电压与电路中电流同相，因此电路对电源呈现电阻性，电
源供给电路的能量全被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量的互
换。能量的互换只发生在电感线圈与电容器之间。
I
U
U
U U R=
L
C
RLC串联谐振相量图
因为
RUXIXU LLL ?? RUXIXU CCC ??
当 XL=XC>R时,UL和 UC都高于电源电压 U。
因为串联谐振时 UL和 UC可能超过电源电
压许多倍，所以串联谐振也称 电压谐振 。
49
UL或 UC与电源电压 U的比值，通常用 Q来表示
RXRXUUUUQ CLCL ????
Q称为电路的 品质因数 。
表示在谐振时电容或电感元件上的电压是电源电压的 Q倍。例如，
Q=120V,U=10V，那么在谐振时电容或电感上的电压就高达 1200V。
在外加电压 U不变的情况下,I 也将随频率变化，这一曲线称为电流
谐振曲线。
网络具有这种选择接近于谐振频率
附近的电流通过的性能称为,选择性,。
选择性与电路的品质因数 Q有关，品质
因数越大，电流谐振曲线越尖锐，选择
性越好。 ff1 f0 f2o
I0
I0
I(f)
2
50
例 4.16 在电阻、电感、电容串联谐振电路中,L= mH,C= pF，品质因数
Q=,交流电压的有效值 U= mV。试求：
（ 1）电路的谐振频率 f0。
（ 2）谐振时电路中的电流 I。
（ 3）电容上的电压 UC。
（ 1）电路的谐振频率
LCf π2
1
0 ?
（ 2）由于品质因数
CLRR LRXQ 10L ??? ?
故 R =
谐振时，电流为 I = U/R =
（ 3）电容两端的电压是电源电压的 Q倍，即
UC=QU=
0.05 200
100 1
求解
= 1592356.68789809 Hz
5 Ω
,2 A
,1 V
51
4.5.2 并联谐振
1,R,L,C 并联谐振电路
（ 1）谐振条件
+
U
-
I IB
IR IL IC
RLC并联谐振电路
电路的总电流相量
?????? ????? )1(j1jj LCRUUCLURU ???? ????CLR IIII ???? ??? =
要使电路发生谐振，上式虚部为零，因此应
满足下列条件 01 ??
CL ?? LC
10 ??即 谐振频率 为
LCf π2
1
0 ?
IR
I
I
U
C
L 相量图
52
（ 2）谐振电路特点
在 RLC并联电路中，当 XL=XC,即 时，从电源流出的电流最小，CL ?? 1?
电路的总电压与总电流同相，我们把这种现象称为 并联谐振 。
谐振时，电路中电流与电压同相，电路呈现阻性，谐振电流
RUI ?0
并联谐振电路也引入品质因数 Q，且与串联回路的 Q值一样,
C
L
RR
LQ 10 ?? ?
并联谐振电路的 特点 。
①并联谐振电路的总阻抗最大。这与串联谐振电路相反。
RQRCZ 21 ??
② 并联谐振电路的总电流最小。这与串联谐振电路相反。
RUI ?0③ 谐振时，回路阻抗为纯电阻，回路端电压与总电流同相。这与串联谐振电路相同。
RLC并联谐振电路的特点有些与串联谐振电路相似，有些与串联谐振电路相反。
4,6 正弦交流电路中的功率
案例 4.5 电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。如某台变压器提供的
容量为 250kVA，某台电动机的额定功率为 2.5kW，一盏白炽灯的功率为 60W等
等。由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小也各自不一样。前面
所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量。所以我们要对电路中的不
同功率进行分析。
54
案例 4.6 电力系统中的负载大多是呈感性的。这类负载不单只消耗电网能量，
还要占用电网能量，这是我们所不希望的。日光灯负载内带有电容器就是为了
减小感性负载占用电网的能量。这种利用电容来达到减小占用电网能量的方法
称为无功补偿法，也就是后面我们提到的提高功率因数。
55
4.6.1 正弦交流电路中的功率
1.瞬时功率
Z
i
+
-
u
在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率
tItUuip mm ??? s i n)s i n ( ???
)2c o s (21c o s21s i n)s i n ( ?????? ????? ttt
)2c o s (c o s ??? ??? tUIUIp
由上可见，瞬时功率由两部分组成，
一部分是 恒定分量,是一个与时间无关的量；另一部分是 正弦分量,其
频率为电源频率的两倍。
交流电路中的功率
因
所以
56
2．平均功率（有功功率）
负载是要消耗电能的，其所消耗的能量可以用平均功率来表示。将一个周
期内瞬时功率的平均值称为 平均功率,也称 有功功率 。
?P ?cosUI
?
纯电阻电路时，电压与电流同相，即
当电路为纯电感或纯电容电路时，电流与电压的相位差均为 90o
角均为电路负载的阻抗角，也就是电路中电压与电流的相位差。当负载一
定时 cos 是一常数，称之为负载的功率因数,角则称为 功率因数角 。?
?
?
?cosUI? UI?=0,cos =1,P? ?
,cos =0
57
3．无功功率
电路中的电感元件与电容元件要
与电源之间进行能量交换，
?s i n)()( 2CLCL UIIXXIUUQ ?????
?sin
?sin
在感性电路中，由于 为正值，
所以 Q为正值，即 QL>QC；在容性电路
中,为负值，所以 Q为负值，
即 QL<QC。
显然，在既有电感又有电容的电
路中，总的无功功率为 QL与 QC的代
数和，即
Q =QL-QC
4．视在功率
我们把额定电压与额定电流的乘积
称为视在功率，
S = UI
视在功率常用来表示电器设备的
容量，其单位为 伏安 。
某变频器铭牌
58
5．功率三角形
将交流电路表示电压间关系的电压
三角形的各边乘以电流 I 即成为 功率
三角形 。
P,Q,S三者之间的关系：
?c osUIP ?
?s inUIQ ?
22 QPS ??
PQarc tan??
S
P
Qφ
6．功率因数
功率因数 cos φ，其大小等于有功功
率与视在功率的比值，在电工技术中，
一般用 λ表示，当负载为纯电阻负载时，
cos φ=1；但对大部分负载而言，功率
因数一般在 0~1之间：
电气设备 功率因数
计算机 0.6
异步电动机 0.6~0.9
工频感应加热炉 0.1~0.3
日光灯 0.5~0.6
59
例 4.20 已知电阻 R= Ω，电感 L= mH，电容 C= μF，串联后接到电压
)303 1 4s in (22 2 0 ??? tu V的电源上。求电路的 P,Q和 S。
电路的阻抗
???? )(j CL XXRZ
根据 )303 1 4s in (22 2 0 ??? tu V，可知电压相量 ??? 30220U? V
因此电流相量为
?? ZUI ??
58W1.534.4220c o s ?????? ?UIP
电路的平均功率
?? ?c osUIP
电路的无功功率
?? ?sinUIQ电路的视在功率
??UIS
300 382 40
求解
3 0 0 + j 4 0, 3 3 0 1 6 5 6 0 5 0 9 5 5 = 3 0 2, 6 9 8 7 3 1 8 4 0 3 1 4 ∠ 7, 6 6 0 4 7 3 5 0 0 4 0 9 2 9 ° Ω
,726795248405794∠ 22.33953 °A
158.469399931572W
2 1, 3 0 3 6 5 7 1 4 1 9 3 4 7 V a r
159.895VA
ψ > 0,电压超前电流，因此电路为感性。
60
4,6,2 功率因数的提高
案例 4.7 在生产和生活中使用的电气设备大多属于感性负载，它们的功率因
数都较低。如供电系统的功率因数是由用户负载的大小和性质决定的，在一般
情况下，供电系统的功率因数总是小于 1。
例如，变压器容量 1000kVA,cosφ=1时能提供 1000kW的有功功率，而
在 cosφ =0.7时则只能提供 700kW的有功功率。
61
1．功率因数低的危害
I
I C
L
U
I
φ
φ
1
1)使发电设备容量不能充分利用。
2)增加输电线路上的损耗。
2．提高功率因数的方法
常用的方法是在感性负载的两端 并联电容器 。
R
i
+
-
L
u
iL
C
iC
电路图
U
I
I C
L
I
φ
φ
1
相量图
在电感性负载上并联了电容器
以后，减少了电源与负载之间的
能量互换。这时电感性负载所需
的无功功率，大部分或全部由电
容器供给，就是说能量的互换现
在主要发生在电感性负载与电容
器之间，因而使发电机容量能得
到充分利用。
其次，由相量图可见，并联电
容器以后线路电流也减小了，因
而减小了功率损耗。
62
本 章 小 结
1.正弦交流电的基本概念
（ 1）正弦交流电的 三要素 )s in (m ?? ?? tIi
（ 2）正弦交流电的有效值与最大值之间有 的关系。2mII?
（ 3）两个同频率正弦量的初相位角之差，称为 相位差 。两同频率的正弦量有
同相、反相、超前和滞后的关系。
2.正弦交流电的表示法
正弦交流电可用 解析式、波形图和相量图 （相量复数式）三种方法来表示。
63
3．正弦交流电路中单个参数元件的规律
元件名称 相量关系 有效值关系 相位关系 相量图
电阻 R
电感 L
电容 C
IRU ?? ?R
??? 90iu ??
IXU ?? CC j－?IXU CC ? ??? 90iu ??
RIU ?R iu ?? ?
IXU ?? LL j?IXU LL ?
4,RLC串联的交流电路
电压电流相量关系：
复阻抗：
阻抗模：
阻抗角：
)](j[ CL XXRIU －?? ??
?? IUZ ?? )(j CL XXR －? ＝ ??Z
2CL2 )( XXRZ ＋??
R XX CLa r c t a n －＝?
64
5．谐振电路
RLC串联谐振电路,
CL XX ＝ CL ?? 1?
LCf π2 10 ?
谐振条件,或
谐振频率：
6．正弦交流电路的功率
?cosUIP ?
?sinUIQ ?
22 QPUIS ???
有功功率：
无功功率：
视在功率：
7．功率因数的提高
提高电路的功率因数对提高设备利用率和节约电能有着重要意义。一
般采用在感性负载两端并联电容器的方法来提高电路的功率因数。
65
