第 4章 正弦交流电路
4,1交流电路中的基本物理量
4,6正弦交流电路中的功率
4,2正弦量的相量表示
4,3电路基本定律的相量形式
4,4 电阻、电感、电容电路
4,5 谐振电路
授课日期 班次 授课时数 2
课题,第四章 正弦交流电路 4.1交流电路中的基本物理量
教学目的：掌握正弦交流电的基本特征及三要素
重点,正弦交流电的基本特征及三要素
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P112,4.3； 4.6 日光灯电路安装与功率因数提高的综合实训
自用参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：由案例 4.1引入本次课
第四章 正弦交流电路
4.1交流电路中的基本物理量
4.1.1交流电路概述
4.1.2正弦交流电的基本特征和三要素
1.瞬时值, 最大值和有效值 2.频率与周期
3.初相 4.例题分析
课后小计：
4,1交流电路中的基本物理量
案例 4.1 我们最熟悉和最常用的家用电器采用是都是交流电，如电视、
电脑、照明灯、冰箱、空调等家用电器。即便是像收音机、复读机等采用直
流电源的家用电器也是通过稳压电源将交流电转变为直流电后使用。这些电
器设备的电路模型在交流电路中的规律与直流电路中的规律是不一样的，因
此分析交流电路的特征及相应电路模型的交流响应是我们的重要任务。
第 4章 正弦交流电路
4,1,1交流电路概述
交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流
电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。
图 4.1所示为直流电和交流电的电波波形。
正弦电压和电流等物理量，常统称为 正弦量 。
频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的 三要素 。
4,1,1交流电路概述
图 4.1 直流电和交流电的电波波形图
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某支路中正弦
电流 i在选定参考方向下的瞬时值表达式为
)s in (m ?? ?? tIi
1．瞬时值、最大值和有效值
把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值, 用小写字母表示, 如 i,u及 e
表示电流, 电压及电动势的瞬时值 。 瞬时值有正, 有负, 也可能为零 。
最大的瞬时值称为最大值 （ 也叫幅值, 峰值 ） 。 用带下标的小写字母表
示 。 如 Im,Um及 Em分别表示电流, 电压及电动势的最大值 。
正弦量的有效植：
2
mII ?
2
mUU ?
2
mEE ?
例 4.1 已知某交流电压为 V，这个交流电压的最大值和有效值分别为多少？
解：最大值
有效值
V1.3 1 1V22 2 0m ??U
V220V2 22202m ??? UU
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
2．频率与周期
正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期 T，如图 4.2所示。每秒内变化
的次数称为频率 f，它的单位是赫兹（ Hz）。
图 4.2 正弦电流波形图
频率是周期的倒数, 即
Tf
1?
在我国和大多数国家都采用 50Hz作
为电力标准频率，习惯上称为工频。
角频率是指交流电在 1秒钟内变化的电角度。
若交流电 1秒钟内变化了 f次，则可得角频率
与频率的关系式为
Tf
?? 2π2 ??
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
解,V311
m ?U
r a d /s314??
Hz50Hz14.32 314π2 ???? ?f
s02.0s5011 ??? fT
例 4.3 已知某正弦交流电压为,求该电压的最大值、
频率、角频率和周期各为多少？
V3 1 4s in3 1 1 tu ?
3．初相
称为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为初相位角或初相位。
规定初相的绝对值不能超过 π 。
)( ?? ?t
如图 4.3所示，图中 u和 i的波形可用下式表示
)s in ( um ?? ?? tUu
)s in ( im ?? ?? tIi
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
图 4.3 u和 i的相位不相等
两个同频率正弦量的相位角之
差或初相位角之差，称为 相位
差,用 表示。
图 4.3中电压 u和电流 i的相位差
为
?
iuiu )()( ??????? ?????? tt
u? i?＞,则 u较 i先到达正的幅值。
在相位上 u比 i超前 角，或者说 i比
u滞后 角。 ??
初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做 同相 。
同相的两个正弦量同时到达零值，同时到达最大值，步调一致。
如图 4.4中的 i1和 i2。
相位差 为 的两个正弦量叫做 反相 。? ?180
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
图 4.4 正弦量的同相与反相
例 4.4 已知某正弦电压在 时
为 110 V，初相角为,求其
有效值。
0?t
2 ?30
解：此正弦电压表达式为
)30s in (m ??? tUu ?
?? 30s in)0( mUu则
V2220V5.0 211030s i n )0(m ???? uU
V220V2 22202m ??? UU
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.2正弦量的相量表示
4.3电路基本定律的相量形式
教学目的：理解相量与相量法；掌握正弦量的相量表示；掌握电路基本定律的相量形式
重点,正弦量的相量表示；电路基本定律的相量形式
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P112,4.7； 4.8
自用参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
—— 通过做教材 P112,4.1,4.2题来复习正弦交流电的基本特征
二, 新授,4.2正弦量的相量表示
4.2.1复数
4.2.2复数的运算
4.2.3相量
1.相量法的定义 2,正弦量的相量表示 3.例题分析
4.2.3电路基本定律的相量形式
1.基尔霍夫电流定律的相量形式
2.基尔霍夫电压定律的相量形式
课后小计：
4,2正弦量的相量表示
4,2,1复数
1．复数的实部、虚部和模
叫虚单位，数学上用 i来代表它，因为在电工中 i代表电流，所以
改用 j代表虚单位，即
1?
1??j
图 4.5 有向线段的复数表示
如图 4.5所示，有向线段 A可用下面的复数
表示为 A=a+jb
由图 4.5可见, 22 bar ??
表示复数的大小，称为复数的模。有向线
段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，
用 表示，规定幅角的绝对值小于 。
r
? ?180
2．复数的表达方式
复数的直角坐标式,
)s i n( c o s
s i nco s
??
??
jr
jrrjbaA
??
????
4,2,1复数
复数的指数形式, ?jreA ?
复数的极坐标形式, ??? rA
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做 共轭复数 。用 A*表示 A的共
轭复数，则有 A=a+jb
A*=a-jb
例 4.5 写出下列复数的直角坐标形式。
??485 ??901 ??? 905.5（ 1） （ 2） （ 3）
解,72.335.348s i n548c o s5485 jj ????????（ 1）
jj ??????? 90s i n90c o s901（ 2）
5.5)90s i n (5.5)90c o s (5.5905.5 jj ??????????（ 3）
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如, A1=a1+jb1 A2=a2+jb2
则 A1± A2=（ a1+jb1） ± a2+jb2） =（ a1± a2） +j（ b1± b2）
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
复数与复平面上的有向线段（矢
量）对应，复数的加减与表示复数
的有向线段（矢量）的加减相对应，
并且复平面上矢量的加减可用对应
的复数相加减来计算。
图 4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
A1=a1+jb1= 11 ??r
A2=a2+jb2 = 22 ??r
如：
)( 21
2
1
22
11
2
1 ??
?
? ???
?
??
r
r
r
r
A
A
?j1 reA ? ?je如将复数 乘以另一个复数,则得
A2= r ?je ?je )j( ???e=
同理，如以 ?-je 除复数 ?j
1 reA ?
，则得 A3= r )j( ???e
?即使原矢量顺时针旋转了 角。就是矢量 A3比矢量 A1滞后了 角。?
当 ? =± ?90 时，则 j90s inj90c o sj 9 0 ????????e
乘上 -j后，即顺时针（向后）旋转了 。
因此任意一个相量乘上 +j后，即逆时针（向前）旋转了 ；?90
?90 所以 j称为旋转 ?90 的旋转因子。
4.2.3 向 量
1．向量法的定义
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算
的方法称为相量法。
设有一正弦电压
)s in (m ?? ?? tUu
图 4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量
4.2.3 向 量
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大
写字母上打“●”表示。
于是表示正弦电压 )s in (m ?? ?? tUu 的相量为
??? ? ????? mmmm )s i nj( c o s UeUUU j?
或 ???
? ????? UUeUU j)s i nj( c o s?
mU?
：电压的幅值相量 U?,电压的有效值相量
按照正弦量的大小和相位关系用初始位
置的有向线段画出的若干个相量的图形，称
为 相量图 。
图 4.8 电压和电流的相量图
表示正弦量的相量有两种形式：
相量图 和 复数式 （相量式）。
4.2.3 向 量
例 4.7 试写出表示,
和 的相量，并画出相量图。
V3 1 4s i n22 2 0A tu ?
V)1 2 03 1 4s i n (22 2 0B ??? tu
V)120314s i n (2220C ??? tu
解：分别用有效值相量, 和 表示正弦电压, 和,则AU? BU?
CU? Au Bu Cu
V2 2 002 2 0 ????? AU
V)2 3j21(220120220 ???????? BU
V)2 3j21(220120220 ??????? CU
相量图如图 4.9所示。
图 4.9 例 4.7图
4,3电路基本定律的相量形式
1．基尔霍夫电流定律的相量形式
正弦交流电路中，连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数
和为零，即
0??I?
一般对参考方向背离节点的电流的相量取正号，反之取负号。
由相量形式的 KCL可知，
正弦交流电路中连接在一
个节点的各支路电流的相
量组成一个闭合多边形 。
如图 4.10,节点 O的
KCL相量表达式为
04321 ???? IIII ????
图 4.10 KCL的相量形式
4,3电路基本定律的相量形式
2．基尔霍夫电压定律的相量形式
在正弦交流电路中，任一回路的各支路电压的相量的代数和为零，即
0??U?
正弦交流电路中，一个回路的各支路电压的相量组成一个闭合多边形。
例如图 4.11，回路的电压方程为：
04321 ???? uuuu
其 KVL相量表达式为：
04321 ???? UUUU ????
图 4.11 KVL的相量形式
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.4电阻、电感、电容电路
教学目的：掌握单一参数的正弦交流电路的特点及相量计算方法；
掌握复合正弦交流电路的特点及相量计算方法
重点,单一参数及复合正弦交流电路的特点和相量计算方法
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P113,4.11； 4.12
自用参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
1,通过做教材 P112,4.9题来复习正弦量的相量表示
2,电路基本定律的相量形式
二, 新授：由案例 4.2； 4.3引入本次课
4.4电阻, 电感, 电容电路
4.4.1单一参数电路
1,纯电阻电路 2.纯电感电路 3.纯电容电路
—— 元件上电压和电流的关系；元件的功率
4.4.2电阻, 电感, 电容串联电路
1.RLC串联电路 2,RL串联电路
4.4.3电阻, 电感, 电容并联电路
课后小计：
4,4 电阻、电感、电容电路
案例 4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械
（龙门铣床、龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机
的等效电路如图 4.12所示。电路中的 f1侧为定子侧,f2侧为转子侧,r1,r2
和 X1,X2分别为定子侧和转子侧的等效电阻和电感。从电路中可见，交流
异步电动机属于电感性负载，而且不是简单的电阻与电感相串联的负载。
因此分析电动机时就要按照它的等效电路模型，利用交流电路计算的方法
进行分析计算。
图 4.12 交流异步电动机的等效电路模型
4,4 电阻、电感、电容电路
案例 4.3 在照明电路中使用的白
炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于
感性负载，家用风扇为单相交流电
动机，它的等效电路如图 4.13所示。
图中 U1,U2为工作绕组,V1,V2
为起动绕组，它们实际上是纯电阻
与纯电感相串联。由图中可知，风
扇是一种电阻、电感和电容混联的
负载。 图 4.13 家用风扇电动机等效电路模型
4,4,1 单一参数电路
1．纯电阻电路
（ 1）元件上电压和电流关系
纯电阻电路是最简单的交流电路，如图 4.14所示。在日常生活和工作
中接触到的白炽灯、电炉、电烙铁等，都属于电阻性负载，它们与交流
电源连接组成纯电阻电路。
4,4,1 单一参数电路
图 4.15 电阻电压电流的波形图图 4.14 纯电阻元件交流电路
设电阻两端电压为
tUtu ?s in)( m?
tItRUR tuti ?? s i ns i n)()( mm ???则
比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电压 u和电流 i的频率相同，电压
与电流的有效值（或最大值）的关系符合欧姆定律，而且电压与电流同相
（相位差 ）。它们在数值上满足关系式0??
4,4,1 单一参数电路
RIU ?
R
UI ?或
用相量表示电压与电流的关系为
IRU ?? ?
电阻元件的电流、电压相量图
如图 4.16所示。
图 4.16 电阻电路电压与电流的相量图（ 2）电阻元件的功率
1）瞬时功率
电阻中某一时刻消耗的电功率叫做瞬时功率，它等于电压 u与电流 i
瞬时值的乘积，并用小写字母 p表示。
tIUuipp ?2mmR s i n???
2
2c o s1
mm
tIU ???
)2c os1( tUI ???
4,4,1 单一参数电路
在任何瞬时，恒有 p≥0，说
明电阻只要有电流就消耗能
量，将电能转为热能，它是
一种 耗能元件 。
图 4.17 电阻元件瞬时功率的波形图
2）平均功率
瞬工程中常用瞬时功率在一个周期
内的平均值表示功率，称为平均功率，
用大写字母 P表示。由图所见：
R
URIUIIUP 22mm
2 ????
表达方式与直流电路中电阻功率的形式相同，但式中的 U,I不是直流
电压、电流，而是正弦交流电的有效值。
4,4,1 单一参数电路
例 4.8 图 4.14电路中，,,求电流 i的
瞬时值表达式,相量表达式和平均功率 P。
??10R V)30s i n (210R ??? tu ?
解, 由 得 V)30s i n (210
R ??? tu ?
V3010 0R ??U?
A30110 3010 0
0
R ?????
R
UI ??
A)30s i n (2 0?? ti ?
W10110R ???? IUP
2．纯电感电路
（ 1）元件的电压和电流关系
纯电感线圈电路如图 4.18所示 。
设电路正弦电流为
在电压, 电流关联参考方向下, 电感元件两端电压为 tIi ?s inm?
4,4,1 单一参数电路
图 4.18 纯电感元件交流电路
比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压 u和电流 i 也是同频率的
正弦量，电压的相位超前电流 90°,电压与电流在数值上满足关系式
mm LIU ?? L
I
U
I
U ???
m
m或
表示电感电压、电流的波形如图 4.19所示。
图 4.19 电感元件电压与电流的波形图
tLItiLu ?? c o sdd m?? )90s in (m ??? tLI ?? )90s in (m ??? tU ?
4,4,1 单一参数电路
（ 2）感抗的概念
电感具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用 XL表示，
即
fLLX ?? 2L ＝＝
感抗表示线圈对交流电流阻碍作用的大小。 当 f=0时 XL=0，表明线圈对直
流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的“直流畅通，高频受阻”作
用。 用相量表示电压与电流的关系为
ILIXU ??? ?jj L ??
电感元件的电压、电流相量图如图 4.20所示。
图 4.20 电感电路相量图
（ 3）电感元件的功率
1）瞬时功率
tIU
tItUuipp
?
??
2s i n
2
1
s i n)90s i n (
mm
mmL
?
?????
tUI ?2s in?
2）平均功率
纯电感条件下电路中仅有能量的交换而没有能量的损耗。 0
L ?P
4,4,1 单一参数电路
图 4.21 纯电感电路瞬时功率的波形图
工程中为了表示能量交换的规模
大小，将电感瞬时功率的最大值
定义为电感的 无功功率,简称感
性无功功率，用 QL表示。即
L
2
L
2
L X
UXIUIQ ???
QL的基本单位是乏（ var）。
例 4.9 把一个电感量为 0.35H的线圈，
接到
的电源上，求线圈中电流瞬时值表达式。
V)60π1 0 0s i n (22 2 0 ??? tu
解：由线圈两端电压的解析式 V)60π1 0 0s i n (22 2 0 ??? tu
可以得到 V220?U π rad /s100?? ?? 60?
V6022 0 ???U?
??????? 1 1 035.014.31 0 0L LX ?
A)30(2A11 0901 6022 0j
L
L
L ???????
????
X
UI ??
4,4,1 单一参数电路
因此通过线圈的电流瞬时值表达式为
A)6π100s i n (22 ??? ti3．纯电容电路
（ 1）元件的电压和电流关系
图 4.22 电容电路
如果在电容 C两端加一正弦电压 tUu ?s inm?
)( s i ndddd m ttCUtuCi ???
tCU ?? c o sm? )90s in (m ??? tCU ??
)90s in (m ??? tI ?
则
比较电压和电流的关系式可见：电容两端电压 u和
电流 i也是同频率的正弦量，电流的相位超前电压
90°,电压与电流在数值上满足关系式
4,4,1 单一参数电路
mm CUI ?? CIUIU ?1
m
m ??
或
图 4.23 电容电压电流波形图
（ 2）容抗的概念
电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性
质，所以称为容抗，用 XC表示，即
fCCX C ?? 2
11 ??
电容元件对高频电流所呈现的容抗
很小，相当于短路；而当频率 f很低或
f=0（直流）时，电容就相当于开路。
这就是电容的“隔直通交”作用。
用相量表示电压与电流的关系为
C
I
C
IIXU
?? jjj C
???? ????
4,4,1 单一参数电路
电容元件的电压、电流相量图如图 4.24所示。
图 4.24 电容电路相量图
（ 3）电容元件的功率
1）瞬时功率
ttIU
tItUuipp C
??
???
co ss i n
)
2
s i n (s i n
mm
mm
?
?????
tUItIU ?? 2s i n2s i n2 mm ??
其变化波形如图 4.25所示。
图 4.25 电容瞬时功率的波形图
2）平均功率
由图 4.25可见，纯电容元件的平均功率
0?P
为了表示能量交换的规模大小，将电容瞬时
功率的最大值定义为电容的无功功率，或称
容性无功功率，用 QC表示，即
C
2
C
2
C X
UXIUIQ ??? （ var）
4,4,1 单一参数电路
例 4.10 把电容量为 40μF的电容器接到交流电源上，通过电容器的电流为
，试求电容器两端的电压瞬时值表达式。 A)30314s i n (275.2 ???? ti
解：由通过电容器的电流解析式 A)30314s i n (275.2 ???? ti
可以得到 A75.2?I sr a d /314?? ?? 30?
A3075.2 ???I?
??????? ? 801040314 11 6C CX ?
V)60(220V3075.280)90(1j C ?????????????? IXU ??
电容器两端电压瞬时表达式为 )603 1 4s i n (22 2 0 ??? tu
则
电容器的容抗为
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
1,RLC串联电路
（ 1） RLC串联电路的电压电流关系
图 4.26 RLC串联电路
(a) (b)
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
根据 KVL定律可列出
CL uuuu ???
设电路中的电流为
tIi ?s inm?
电容元件上的电压 uC比电流滞后,即?90
则电阻元件上的电压 uR与电流同相，即 tUtRIu ?? s i ns i n
RmmR ??
电感元件上的电压 uL比电流超前,即?90
)90s i n()90s i n( LmmL ?????? tUtLIu ???
)90s i n ()90s i n ( CmmC ?????? tUtCIu ???
电源电压为
???? CLR uuuu )s in ( ?? ?tU m
由电压相量所组成的直角三角形，称为 电压三角形,
利用这个电压三角形，可求得电源电压的有效值，即
2CL22CL2R )()()( IXIXRIUUUU ?????? 2CL2 )( XXRI ???
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
图 4.27 电压三角形
（ 2）电路中的阻抗及相量图
2CL2 )( XXRZ ??? 22 )1(
CLR ?? ???
电路中电压与电流的有效值（或幅值）之比为 。 它
的单位也是欧姆，也具有对电流起阻碍作用的性质，我们称它为电路的
阻抗模，用 代表，即
2CL2 )( XXR ??
Z
,R,（ - ）三者之间的关系也可用一个直角三形 —
— 阻抗三角形来表示,Z LX CX
图 4.28 阻抗三角形
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
电源电压 u与电流 i之间的相位差也可从电压三角形得出，即
R
XX
U
UU CL ???? a r ct ana r ct an
R
CL?
用相量表示电压与电流的关系为
IXIXIRUUUU ??????? CLCLR jj ??????
IXXR ?)](j[ CL ???
将上式写成
)(j CL XXR
I
U ???
?
?
式中的 称为电路的阻抗，用大写的 Z表示，即)(j CL XXR ??
R
XXe CLa r c ta nj ?
???? )(j CL XXRZ 2CL2 )( XXR ?? ?jeZ?
阻抗的幅角即为电流与电压之间的相位差。对感性电路,为正；
对容性电路,为负。 ??
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
2,RL串联电路
实际的设备大部分是呈感性的，如日光灯负载，可以用理想电阻与理想
电感相串联的电路模型表示，这类负载称为 电感性负载,简称 RL电路。
如图 4.30所示。
图 4.30 RL串联电路
电路的电压方程为 LR uuu ??
RIU ?? ? IXU ?? LL j?因为
LR UUU ??? ??
所以
RL串联电路的阻抗为
LjXRZ ??
电路阻抗的模为 22
LXRZ ??
幅角或阻抗角为
R
X La r c ta n??
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
例 4.11 在 RLC串联电路中，,,,若电源电
压,求：电路的电流、电阻电压、电感电压和电
容电压的相量 。
?? 30R ?? 40LX ?? 80CX
Vs in2220 tu ??
解：由于 Vs in2220 tu ??
所以 V0220 0??U?
A534.4A5350 02 20A)8040(j30 02 20)(j
CL
?????? ????? ??????? XXR UZUI ???
??? 30R RIU ?? V531 4 2V534.4 ?????
?? LL j XIU ?? V1 4 31 7 6V9040534.4 ????????
??? CC j XIU ?? V37523V9080534.4 ??????????
4,4,3电阻、电感、电容并联电路
图 4.32 RL串联支路与 C并联的电路
RL支路中的电流为
2
L
211 XR
U
Z
UI
?
??
R
X L
1 a r c t a n??
该支路相角
电容支路中的电流为
C
C X
UI ?
总电流相量等于两条支路中电流的相量和
LR
U
XR
UI
?jj L1 ????
???
C
U
X
UI
?
1jj CC ????
???
C1 III ??? ??
图 4.33 电路相量图
其相量图如图 4.33所示。
4,4,3电阻、电感、电容并联电路
例 4.14 一只日光灯和一只白炽灯并联接在 f=50Hz、电压 U=220V的电源上，
如图 4.34所示，日光灯的额定电压 UN=220V，取用功率 P1=40W，其功率因数
cos 1=0.5；白炽灯的额定电压 UN=220V，取用功率 P2=60W。求电流 I1,I2和
总电流 I大小是多少？
?
图 4.34 例 4.13图 图 4.35 例 4.13相量图
解：日光灯支路的电流
A363.0A5.0220 40co s
1
1 ???? ?U
PI
4,4,3电阻、电感、电容并联电路
由于,所以,设电压相量 为参考相量，
令,则电流 I1的相量
01 60??5.0c o s
1 ?? U
?
V0220 0??U?
A603 6 3.01 ????I?
白炽灯支路的电流 A2 7 2.0A
2 2 0
60
2 ??? U
PI
电流 I2的相量
A0272.0 02 ???I?
在并联电路中有
=[（ 0.1815-j0.314） +0.272]A
=(0.4535-j0.314)A
=0.552 A
??? 21 III ??? ??? 603 6 3.0 A0272.0 0???
??? 7.34
因此有
8 2 2.07.34c o sc o s ???? ）（?
AI 5 5 2.0?
各电流与电压的相量图如图 4.35所示。
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.5谐振电路
教学目的：掌握串联谐振的意义和条件；了解并联谐振的意义和条件
重点,串联谐振的意义和条件
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P113,4.23
自用 参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
1,通过做教材 P113,4.13题来复习单一参数的正弦交流电路的特点及相量计算方法 。
2,复合正弦交流电路的特点
二, 新授：由案例 4.4引入本次课
4.5谐振电路
4.5.1串联谐振
1.谐振条件 2.谐振电路分析 3.典型例题分析
4.5.2并联谐振
1,R,L,C并联谐振电路 2,R,L,与 C并联谐振电路
3,典型例题分析
课后小计：
4,5 谐振电路
案例 4.4 在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择信号。收音机
通过接收天线，接收到各种频率的电磁波，每一种频率的电磁波都要在天
线回路中产生相应的微弱的感应电流。为了达到选择信号的目的，通常在
收音机里采用如图 )所示的谐振电路。
(a)接收器的调谐电路 (b)等效电路
4,5,1 串联谐振
1,谐振条件
图 4.37 RLC串联电路
如图 4.37所示的 RLC串联电路，其总阻抗为
?
?
?
????
??????
ZXR
XXR
C
LRZ
j
)(j1jj CL
22 )1(
CLRZ ?? ???
CLXXX ??
1
CL ????
当 ω为某一值，恰好使感抗 XL和容抗 XC相等时，则 X=0，此时电路中
的电流和电压同相位，电路的阻抗最小，且等于电阻（ Z=R）。电路的
这种状态称为谐振。由于是在 RLC串联电路中发生的谐振，故又称为 串
联谐振 。
4,5,1 串联谐振
对于 RLC串联电路，谐振时应满足以下条件
01 ??? CLX ?? 或 CL ?? 1?
ω为谐振角频率，用 ω0表示，则
LC
1
0 ??
电路发生谐振的频率称为 谐振频率
LCf π2
1
0 ?
2．谐振电路分析
电路发生谐振时,X=0，因此,电路的阻
抗最小，因而在电源电压不变的情况下，电路中
的电流将在谐振时达到最大，其数值为
RZ ?
R
UII ??
0
发生谐振时，电路中的感抗和容抗相等，而电抗为零。
电源电压,如图 4.38相量图所示。RUU ?? ?
图 4.38 RLC串联谐振相量图
4,5,1 串联谐振
R
UXIXU
LLL ?? R
UXIXU
CCC ??
当 XL=XC>R时,UL和 UC都高于电源电压 U。
因为串联谐振时 UL和 UC可能超过电源电压许多倍，所以串联谐振也称
电压谐振 。
因为
UL或 UC与电源电压 U的比值，通常用品质因素 Q来表示
R
X
R
X
U
U
U
UQ CLCL ????
在 RLC串联电路中，阻抗随频率的变
化而改变，在外加电压 U不变的情况
下,I也将随频率变化，这一曲线称为
电流谐振曲线。如图 4.39所示。
图 4.39 电流谐振曲线
4,5,1 串联谐振
例 4.16 在电阻、电感、电容串联谐振电路中,L=0.05mH,C=200pF，
品质因数 Q=100，交流电压的有效值 U=1mV。试求：
（ 1）电路的谐振频率 f0。
（ 2）谐振时电路中的电流 I。
（ 3）电容上的电压 UC。
解（ 1）电路的谐振频率
M H z59.1Hz10210514.32 1π2 1 1050 ???????? ??LCf
（ 2）由于品质因数
??????? ?
?
5102 10510 011 10
5
C
L
RQ
故电流为
mA2.0A5101 30 ???? ?RUI
（ 3）电容两端的电压是电源电压的 Q倍，即
V1.0V101 0 0 3C ???? ?QUU
4,5,2并联谐振
1,R,L,C并联谐振电路
（ 1）谐振条件
当信号源内阻很大时，采用串联谐振会使 Q值大为降低，使谐振电路的选
择性显著变差。这种情况下，常采用并联谐振电路。
图 4.41 RLC并联谐振电路
（ a）电路 (b)相量图
4,5,2并联谐振
RLC并联电路如图 4.41（ a）所示，在外加电压 U的作用下,电路的总电流
相量
CLR IIII ???? ??? ?
?
??
?
? ?????? )1(j1j
j LCRUUCL
U
R
U
????
????
要使电路发生谐振，应满足下列条件
01 ?? CL ?? LC
1
0 ??
即
谐振频率为
LCf π2
1
0 ?
（ 2）谐振电路特点
在 RLC并联电路中，当 XL=XC，即时，从电源流出的电流最小，电路
的总电压与总电流同相，我们把这种现象称为 并联谐振 。
并联谐振电路的 特点,
① 并联谐振电路的总阻抗最大。 RQRCZ 21 ??
② 并联谐振电路的总电流最小。
R
UI ?
0
4,5,2并联谐振
③ 谐振时，回路阻抗为纯电阻，回路端电压与总电流同相。
2,R,L与 C并联谐振电路
（ 1）谐振条件
在实际工程电路中，最常见的、用途极广泛的谐振电路是由电感线圈和电容
器并联组成，如图 4.42所示。
图 4.42 R,L与 C并联谐振电路
（ a）电路
(b)相量图
4,5,2并联谐振
电感线圈与电容并联谐振电路的谐振频率为
L
CR
LCf
2
0 1π2
1 ??
在一般情况下，线圈的电阻比较小，所以振荡频率近似为
LCf π2
1
0 ?（ 2）谐振电路特点
1）电路呈纯电阻特性，总阻抗最大，当 时，R
C
L ?? CRLZ ?
2）品质因数定义为
C
L
RQ
1?
3）总电流与电压同相，数量关系为 ZIU
0?
4）支路电流为总电流的 Q倍，即 QIII ??
CL
因此，并联谐振又叫做 电流谐振 。
4,5,2并联谐振
例 4.18 在图 4.43所示线圈与电容器并联电路，已知线圈的电阻 R=10Ω，
电感 L=0.127mH，电容 C=200pF。求电路的谐振频率 f0和谐振阻抗 Z0。
图 4.43 线圈与电容并联谐振电路
解：谐振回路的品质因数
8010200 10127.01011 12
3
?? ??? ?
?
C
L
RQ
因为回路的品质因数 Q>>1，所以谐振频率
Hz10
Hz
102 00101 27.0π2
1
π2
1
6
1230
?
???
??
??LC
f
电路的谐振阻抗
??
????????
k64
10641080 3220 RQ
CR
LZ
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.6正弦交流电路中的功率
教学目的：掌握正弦交流电路中不同功率的计算及相互之间的关系；
掌握提高功率因素的意义及方法
重点,不同功率的计算及相互之间的关系；提高功率因素的方法
难点,提高功率因素的方法
教具,多媒体
作业,P114,4.29
自用 参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
—— 通过做教材 P113,4.25题来巩固串联谐振
二, 新授：由案例 4.5,4.6引入本次课
4.6正弦交流电路中的功率
4.6.1正弦交流电路中的功率
1.瞬时功率 2.平均功率 （ 有功功率 ）
3.无功功率 4.势在功率
5.功率三角形 6.功率因素 7.例题分析
4.6.2功率因素的提高
1.提高功率因素的意义
2,提高功率因素的方法 —— 举例说明
课后小计：
4,6正弦交流电路中的功率
案例 4.5 电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。如某台变压器
提供的容量为 250kVA，某台电动机的额定功率为 2.5kW，一盏白炽灯的
功率为 60W等等。由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小
也各自不一样。前面所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量
。所以我们要对电路中的不同功率进行分析。
案例 4.6 电力系统中的负载大多是呈感性的。这类负载不单只消耗
电网能量，还要占用电网能量，这是我们所不希望的。日光灯负载内
带有电容器就是为了减小感性负载占用电网的能量。这种利用电容来
达到减小占用电网能量的方法称为无功补偿法，也就是后面我们提到
的提高功率因数。
4,6,1正弦交流电路中的功率
1,瞬时功率
如图 4.44所示，若通过负载的电流为,则负载两端的电压
为,其参考方向如图。在电流、电压关联参考方向下，
瞬时功率
tIi m ?s in?
)s in ( ?? ?? tUu m
4,6,1正弦交流电路中的功率
tItUuip mm ??? s i n)s i n ( ???
)2c o s (c o s ??? ??? tUIUI
图 4.44 交流电路中的功率
2．平均功率（有功功率）
将一个周期内瞬时功率的平均值称为平均功率，
也称有功功率。有功功率为
?c osUIP ?
3．无功功率
电路中的电感元件与电容元件要与电源之间进行能量交换，根据电感元
件、电容元件的无功功率，考虑到 与 相位相反，于是LU? CU?
?s i n)()( 2CLCL UIIXXIUUQ ?????
在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率为 QL与 QC的代数和，即
Q =QL-QC
4．视在功率
4,6,1正弦交流电路中的功率
用额定电压与额定电流的乘积来表示视在功率，即 S=UI
视在功率常用来表示电器设备的容量，其单位为伏安。视在功率不是表示
交流电路实际消耗的功率，而只能表示电源可能提供的最大功率，或指某
设备的容量。
5．功率三角形
将交流电路表示电压间关系的电压三角形的各边乘以电流 I即成为功率三
角形，如图 4.45所示。
图 4.45 功率三角形
由功率三角形可得到 P,Q,S三者之间的关系
?c osUIP ? ?s inUIQ ?
22 QPS ??
P
Qa r c t a n??
6．功率因数
功率因数,其大小等于有功功率与视在功
率的比值，在电工技术中，一般用 表示。
?cos
?
4,6,1正弦交流电路中的功率
例 4.20 已知电阻 R=30Ω，电感 L=328mH，电容 C=40μF，串联后接到
电压 的电源上。求电路的 P,Q和 S。V)303 1 4s i n (22 2 0 0?? tu
解：电路的阻抗
??????????? ?? )10403 1 4 1103 8 23 1 4(j30)(j 63CL XXRZ
??????????? 1.535040j30)80120(j30 ）（
电压相量 V3022 0 0??U?
因此电流相量为
A1.234.4A1.5350 30220 ?????? ???? ZUI ??
电路的平均功率 W58W1.534.4220c o s ?????? ?UIP
电路的无功功率 v a r774v a r1.53s i n4.4220s i n ????? ?UIQ
电路的视在功率 VA9 6 8VA4.42 2 0 ???? UIS
由上可见,>0，电压超前电流，因此电路为感性。?
4,6,2功率因数的提高
案例 4.7在生产和生活中使用的电气设备大多属于感性负载，它们的功率
因数都较低。如供电系统的功率因数是由用户负载的大小和性质决定的，
在一般情况下，供电系统的功率因数总是小于 1。例如，变压器容量
1000kVA,cos=1时能提供 1000kW的有功功率，而在 cos=0.7时则只能提
供 700kW的有功功率。
1．提高功率因数的意义
1)使发电设备容量得到充分利用。
2)减小输电线路上的损耗。
2．提高功率因数的方法
提高功率因数，常用的方
法是在感性负载的两端并
联电容器。其电路图和相
量图如图 4.46所示。
图 4.46 提高功率因数
(a)电路图 (b)相量图
4,6,2功率因数的提高
在感性负载 RL支路上并联电容器 C后，流过负载支路的电流,负载本身
的功率因数及电路中消耗的有功功率也不变。即
2
L
21 XR
UI
?? 2L21c o s XR
R
???
121 co s ?UIRIP ?? 保持不变
但总电压 u与总电流 i的相位差 减小了，总功率因数 cos 增大了。这里所
讲的功率因数是指电源或电网的功率因数提高，而不是提高某个感性负载的
功率因数。其次，由相量图可见，并联电容器以后线路电流也减小了，因而
减小了功率损耗。
? ?
例 4.21 有一电感性负载，其功率 P＝ 10kW，功率因数, 接在电
压 U＝ 220V的电源上，电源频率 f＝ 50Hz。 (1)如要将功率因数提高
到,试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线
路电流。 (2)如要将功率因数从 0.95再提高到 1，试问并联电容器的电容值还
需增加多少?
6.0co s 1 ??
95.0c os ??
4,6,2功率因数的提高
解, 计算并联电容器的电容值，可从相量图导出一个公式。
)t a n( t a n
s i n)
c o s
(s i n)
c o s
(
s i ns i n
1
1
1
1C
??
?
?
?
?
??
??
??
??
U
P
U
P
U
P
III
CUXUI ???
C
C又因
)t a n( t a n 1 ??? ?? UPCU所以
)t a n( t a n 12 ??? ?? UPC
由此得
（ 1） 6.0c o s 1 ?? ?? 531?
95.0c os ?? ??18?
因此所需电容值为
4,6,2功率因数的提高
μF656μF)18t a n53( t a n22050π2 1010)t a n( t a n 2
3
12 ??????
???? ??
? U
PC
电容并联前的线路电流（负载电流）为
A6.75A6.0220 1010c os
3
1
1 ??
???
?U
PI
并联电容后的线路电流为
A8.47A95.0220 1010co s
3
????? ?U PI
（ 2）如要将功率因数由 0.95再提高到 1，则需要增加的电容值为
μF6.213μF)0t a n18( t a n22050π2 1010)t a n( t a n 2
3
12 ??????
???? ??
? U
PC
4,1交流电路中的基本物理量
4,6正弦交流电路中的功率
4,2正弦量的相量表示
4,3电路基本定律的相量形式
4,4 电阻、电感、电容电路
4,5 谐振电路
授课日期 班次 授课时数 2
课题,第四章 正弦交流电路 4.1交流电路中的基本物理量
教学目的：掌握正弦交流电的基本特征及三要素
重点,正弦交流电的基本特征及三要素
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P112,4.3； 4.6 日光灯电路安装与功率因数提高的综合实训
自用参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：由案例 4.1引入本次课
第四章 正弦交流电路
4.1交流电路中的基本物理量
4.1.1交流电路概述
4.1.2正弦交流电的基本特征和三要素
1.瞬时值, 最大值和有效值 2.频率与周期
3.初相 4.例题分析
课后小计：
4,1交流电路中的基本物理量
案例 4.1 我们最熟悉和最常用的家用电器采用是都是交流电，如电视、
电脑、照明灯、冰箱、空调等家用电器。即便是像收音机、复读机等采用直
流电源的家用电器也是通过稳压电源将交流电转变为直流电后使用。这些电
器设备的电路模型在交流电路中的规律与直流电路中的规律是不一样的，因
此分析交流电路的特征及相应电路模型的交流响应是我们的重要任务。
第 4章 正弦交流电路
4,1,1交流电路概述
交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流
电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。
图 4.1所示为直流电和交流电的电波波形。
正弦电压和电流等物理量，常统称为 正弦量 。
频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的 三要素 。
4,1,1交流电路概述
图 4.1 直流电和交流电的电波波形图
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某支路中正弦
电流 i在选定参考方向下的瞬时值表达式为
)s in (m ?? ?? tIi
1．瞬时值、最大值和有效值
把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值, 用小写字母表示, 如 i,u及 e
表示电流, 电压及电动势的瞬时值 。 瞬时值有正, 有负, 也可能为零 。
最大的瞬时值称为最大值 （ 也叫幅值, 峰值 ） 。 用带下标的小写字母表
示 。 如 Im,Um及 Em分别表示电流, 电压及电动势的最大值 。
正弦量的有效植：
2
mII ?
2
mUU ?
2
mEE ?
例 4.1 已知某交流电压为 V，这个交流电压的最大值和有效值分别为多少？
解：最大值
有效值
V1.3 1 1V22 2 0m ??U
V220V2 22202m ??? UU
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
2．频率与周期
正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期 T，如图 4.2所示。每秒内变化
的次数称为频率 f，它的单位是赫兹（ Hz）。
图 4.2 正弦电流波形图
频率是周期的倒数, 即
Tf
1?
在我国和大多数国家都采用 50Hz作
为电力标准频率，习惯上称为工频。
角频率是指交流电在 1秒钟内变化的电角度。
若交流电 1秒钟内变化了 f次，则可得角频率
与频率的关系式为
Tf
?? 2π2 ??
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
解,V311
m ?U
r a d /s314??
Hz50Hz14.32 314π2 ???? ?f
s02.0s5011 ??? fT
例 4.3 已知某正弦交流电压为,求该电压的最大值、
频率、角频率和周期各为多少？
V3 1 4s in3 1 1 tu ?
3．初相
称为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为初相位角或初相位。
规定初相的绝对值不能超过 π 。
)( ?? ?t
如图 4.3所示，图中 u和 i的波形可用下式表示
)s in ( um ?? ?? tUu
)s in ( im ?? ?? tIi
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
图 4.3 u和 i的相位不相等
两个同频率正弦量的相位角之
差或初相位角之差，称为 相位
差,用 表示。
图 4.3中电压 u和电流 i的相位差
为
?
iuiu )()( ??????? ?????? tt
u? i?＞,则 u较 i先到达正的幅值。
在相位上 u比 i超前 角，或者说 i比
u滞后 角。 ??
初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做 同相 。
同相的两个正弦量同时到达零值，同时到达最大值，步调一致。
如图 4.4中的 i1和 i2。
相位差 为 的两个正弦量叫做 反相 。? ?180
4,1,2正弦交流电的基本特征和三要素
图 4.4 正弦量的同相与反相
例 4.4 已知某正弦电压在 时
为 110 V，初相角为,求其
有效值。
0?t
2 ?30
解：此正弦电压表达式为
)30s in (m ??? tUu ?
?? 30s in)0( mUu则
V2220V5.0 211030s i n )0(m ???? uU
V220V2 22202m ??? UU
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.2正弦量的相量表示
4.3电路基本定律的相量形式
教学目的：理解相量与相量法；掌握正弦量的相量表示；掌握电路基本定律的相量形式
重点,正弦量的相量表示；电路基本定律的相量形式
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P112,4.7； 4.8
自用参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
—— 通过做教材 P112,4.1,4.2题来复习正弦交流电的基本特征
二, 新授,4.2正弦量的相量表示
4.2.1复数
4.2.2复数的运算
4.2.3相量
1.相量法的定义 2,正弦量的相量表示 3.例题分析
4.2.3电路基本定律的相量形式
1.基尔霍夫电流定律的相量形式
2.基尔霍夫电压定律的相量形式
课后小计：
4,2正弦量的相量表示
4,2,1复数
1．复数的实部、虚部和模
叫虚单位，数学上用 i来代表它，因为在电工中 i代表电流，所以
改用 j代表虚单位，即
1?
1??j
图 4.5 有向线段的复数表示
如图 4.5所示，有向线段 A可用下面的复数
表示为 A=a+jb
由图 4.5可见, 22 bar ??
表示复数的大小，称为复数的模。有向线
段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，
用 表示，规定幅角的绝对值小于 。
r
? ?180
2．复数的表达方式
复数的直角坐标式,
)s i n( c o s
s i nco s
??
??
jr
jrrjbaA
??
????
4,2,1复数
复数的指数形式, ?jreA ?
复数的极坐标形式, ??? rA
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做 共轭复数 。用 A*表示 A的共
轭复数，则有 A=a+jb
A*=a-jb
例 4.5 写出下列复数的直角坐标形式。
??485 ??901 ??? 905.5（ 1） （ 2） （ 3）
解,72.335.348s i n548c o s5485 jj ????????（ 1）
jj ??????? 90s i n90c o s901（ 2）
5.5)90s i n (5.5)90c o s (5.5905.5 jj ??????????（ 3）
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如, A1=a1+jb1 A2=a2+jb2
则 A1± A2=（ a1+jb1） ± a2+jb2） =（ a1± a2） +j（ b1± b2）
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
复数与复平面上的有向线段（矢
量）对应，复数的加减与表示复数
的有向线段（矢量）的加减相对应，
并且复平面上矢量的加减可用对应
的复数相加减来计算。
图 4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
A1=a1+jb1= 11 ??r
A2=a2+jb2 = 22 ??r
如：
)( 21
2
1
22
11
2
1 ??
?
? ???
?
??
r
r
r
r
A
A
?j1 reA ? ?je如将复数 乘以另一个复数,则得
A2= r ?je ?je )j( ???e=
同理，如以 ?-je 除复数 ?j
1 reA ?
，则得 A3= r )j( ???e
?即使原矢量顺时针旋转了 角。就是矢量 A3比矢量 A1滞后了 角。?
当 ? =± ?90 时，则 j90s inj90c o sj 9 0 ????????e
乘上 -j后，即顺时针（向后）旋转了 。
因此任意一个相量乘上 +j后，即逆时针（向前）旋转了 ；?90
?90 所以 j称为旋转 ?90 的旋转因子。
4.2.3 向 量
1．向量法的定义
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算
的方法称为相量法。
设有一正弦电压
)s in (m ?? ?? tUu
图 4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量
4.2.3 向 量
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大
写字母上打“●”表示。
于是表示正弦电压 )s in (m ?? ?? tUu 的相量为
??? ? ????? mmmm )s i nj( c o s UeUUU j?
或 ???
? ????? UUeUU j)s i nj( c o s?
mU?
：电压的幅值相量 U?,电压的有效值相量
按照正弦量的大小和相位关系用初始位
置的有向线段画出的若干个相量的图形，称
为 相量图 。
图 4.8 电压和电流的相量图
表示正弦量的相量有两种形式：
相量图 和 复数式 （相量式）。
4.2.3 向 量
例 4.7 试写出表示,
和 的相量，并画出相量图。
V3 1 4s i n22 2 0A tu ?
V)1 2 03 1 4s i n (22 2 0B ??? tu
V)120314s i n (2220C ??? tu
解：分别用有效值相量, 和 表示正弦电压, 和,则AU? BU?
CU? Au Bu Cu
V2 2 002 2 0 ????? AU
V)2 3j21(220120220 ???????? BU
V)2 3j21(220120220 ??????? CU
相量图如图 4.9所示。
图 4.9 例 4.7图
4,3电路基本定律的相量形式
1．基尔霍夫电流定律的相量形式
正弦交流电路中，连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数
和为零，即
0??I?
一般对参考方向背离节点的电流的相量取正号，反之取负号。
由相量形式的 KCL可知，
正弦交流电路中连接在一
个节点的各支路电流的相
量组成一个闭合多边形 。
如图 4.10,节点 O的
KCL相量表达式为
04321 ???? IIII ????
图 4.10 KCL的相量形式
4,3电路基本定律的相量形式
2．基尔霍夫电压定律的相量形式
在正弦交流电路中，任一回路的各支路电压的相量的代数和为零，即
0??U?
正弦交流电路中，一个回路的各支路电压的相量组成一个闭合多边形。
例如图 4.11，回路的电压方程为：
04321 ???? uuuu
其 KVL相量表达式为：
04321 ???? UUUU ????
图 4.11 KVL的相量形式
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.4电阻、电感、电容电路
教学目的：掌握单一参数的正弦交流电路的特点及相量计算方法；
掌握复合正弦交流电路的特点及相量计算方法
重点,单一参数及复合正弦交流电路的特点和相量计算方法
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P113,4.11； 4.12
自用参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
1,通过做教材 P112,4.9题来复习正弦量的相量表示
2,电路基本定律的相量形式
二, 新授：由案例 4.2； 4.3引入本次课
4.4电阻, 电感, 电容电路
4.4.1单一参数电路
1,纯电阻电路 2.纯电感电路 3.纯电容电路
—— 元件上电压和电流的关系；元件的功率
4.4.2电阻, 电感, 电容串联电路
1.RLC串联电路 2,RL串联电路
4.4.3电阻, 电感, 电容并联电路
课后小计：
4,4 电阻、电感、电容电路
案例 4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械
（龙门铣床、龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机
的等效电路如图 4.12所示。电路中的 f1侧为定子侧,f2侧为转子侧,r1,r2
和 X1,X2分别为定子侧和转子侧的等效电阻和电感。从电路中可见，交流
异步电动机属于电感性负载，而且不是简单的电阻与电感相串联的负载。
因此分析电动机时就要按照它的等效电路模型，利用交流电路计算的方法
进行分析计算。
图 4.12 交流异步电动机的等效电路模型
4,4 电阻、电感、电容电路
案例 4.3 在照明电路中使用的白
炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于
感性负载，家用风扇为单相交流电
动机，它的等效电路如图 4.13所示。
图中 U1,U2为工作绕组,V1,V2
为起动绕组，它们实际上是纯电阻
与纯电感相串联。由图中可知，风
扇是一种电阻、电感和电容混联的
负载。 图 4.13 家用风扇电动机等效电路模型
4,4,1 单一参数电路
1．纯电阻电路
（ 1）元件上电压和电流关系
纯电阻电路是最简单的交流电路，如图 4.14所示。在日常生活和工作
中接触到的白炽灯、电炉、电烙铁等，都属于电阻性负载，它们与交流
电源连接组成纯电阻电路。
4,4,1 单一参数电路
图 4.15 电阻电压电流的波形图图 4.14 纯电阻元件交流电路
设电阻两端电压为
tUtu ?s in)( m?
tItRUR tuti ?? s i ns i n)()( mm ???则
比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电压 u和电流 i的频率相同，电压
与电流的有效值（或最大值）的关系符合欧姆定律，而且电压与电流同相
（相位差 ）。它们在数值上满足关系式0??
4,4,1 单一参数电路
RIU ?
R
UI ?或
用相量表示电压与电流的关系为
IRU ?? ?
电阻元件的电流、电压相量图
如图 4.16所示。
图 4.16 电阻电路电压与电流的相量图（ 2）电阻元件的功率
1）瞬时功率
电阻中某一时刻消耗的电功率叫做瞬时功率，它等于电压 u与电流 i
瞬时值的乘积，并用小写字母 p表示。
tIUuipp ?2mmR s i n???
2
2c o s1
mm
tIU ???
)2c os1( tUI ???
4,4,1 单一参数电路
在任何瞬时，恒有 p≥0，说
明电阻只要有电流就消耗能
量，将电能转为热能，它是
一种 耗能元件 。
图 4.17 电阻元件瞬时功率的波形图
2）平均功率
瞬工程中常用瞬时功率在一个周期
内的平均值表示功率，称为平均功率，
用大写字母 P表示。由图所见：
R
URIUIIUP 22mm
2 ????
表达方式与直流电路中电阻功率的形式相同，但式中的 U,I不是直流
电压、电流，而是正弦交流电的有效值。
4,4,1 单一参数电路
例 4.8 图 4.14电路中，,,求电流 i的
瞬时值表达式,相量表达式和平均功率 P。
??10R V)30s i n (210R ??? tu ?
解, 由 得 V)30s i n (210
R ??? tu ?
V3010 0R ??U?
A30110 3010 0
0
R ?????
R
UI ??
A)30s i n (2 0?? ti ?
W10110R ???? IUP
2．纯电感电路
（ 1）元件的电压和电流关系
纯电感线圈电路如图 4.18所示 。
设电路正弦电流为
在电压, 电流关联参考方向下, 电感元件两端电压为 tIi ?s inm?
4,4,1 单一参数电路
图 4.18 纯电感元件交流电路
比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压 u和电流 i 也是同频率的
正弦量，电压的相位超前电流 90°,电压与电流在数值上满足关系式
mm LIU ?? L
I
U
I
U ???
m
m或
表示电感电压、电流的波形如图 4.19所示。
图 4.19 电感元件电压与电流的波形图
tLItiLu ?? c o sdd m?? )90s in (m ??? tLI ?? )90s in (m ??? tU ?
4,4,1 单一参数电路
（ 2）感抗的概念
电感具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用 XL表示，
即
fLLX ?? 2L ＝＝
感抗表示线圈对交流电流阻碍作用的大小。 当 f=0时 XL=0，表明线圈对直
流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的“直流畅通，高频受阻”作
用。 用相量表示电压与电流的关系为
ILIXU ??? ?jj L ??
电感元件的电压、电流相量图如图 4.20所示。
图 4.20 电感电路相量图
（ 3）电感元件的功率
1）瞬时功率
tIU
tItUuipp
?
??
2s i n
2
1
s i n)90s i n (
mm
mmL
?
?????
tUI ?2s in?
2）平均功率
纯电感条件下电路中仅有能量的交换而没有能量的损耗。 0
L ?P
4,4,1 单一参数电路
图 4.21 纯电感电路瞬时功率的波形图
工程中为了表示能量交换的规模
大小，将电感瞬时功率的最大值
定义为电感的 无功功率,简称感
性无功功率，用 QL表示。即
L
2
L
2
L X
UXIUIQ ???
QL的基本单位是乏（ var）。
例 4.9 把一个电感量为 0.35H的线圈，
接到
的电源上，求线圈中电流瞬时值表达式。
V)60π1 0 0s i n (22 2 0 ??? tu
解：由线圈两端电压的解析式 V)60π1 0 0s i n (22 2 0 ??? tu
可以得到 V220?U π rad /s100?? ?? 60?
V6022 0 ???U?
??????? 1 1 035.014.31 0 0L LX ?
A)30(2A11 0901 6022 0j
L
L
L ???????
????
X
UI ??
4,4,1 单一参数电路
因此通过线圈的电流瞬时值表达式为
A)6π100s i n (22 ??? ti3．纯电容电路
（ 1）元件的电压和电流关系
图 4.22 电容电路
如果在电容 C两端加一正弦电压 tUu ?s inm?
)( s i ndddd m ttCUtuCi ???
tCU ?? c o sm? )90s in (m ??? tCU ??
)90s in (m ??? tI ?
则
比较电压和电流的关系式可见：电容两端电压 u和
电流 i也是同频率的正弦量，电流的相位超前电压
90°,电压与电流在数值上满足关系式
4,4,1 单一参数电路
mm CUI ?? CIUIU ?1
m
m ??
或
图 4.23 电容电压电流波形图
（ 2）容抗的概念
电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性
质，所以称为容抗，用 XC表示，即
fCCX C ?? 2
11 ??
电容元件对高频电流所呈现的容抗
很小，相当于短路；而当频率 f很低或
f=0（直流）时，电容就相当于开路。
这就是电容的“隔直通交”作用。
用相量表示电压与电流的关系为
C
I
C
IIXU
?? jjj C
???? ????
4,4,1 单一参数电路
电容元件的电压、电流相量图如图 4.24所示。
图 4.24 电容电路相量图
（ 3）电容元件的功率
1）瞬时功率
ttIU
tItUuipp C
??
???
co ss i n
)
2
s i n (s i n
mm
mm
?
?????
tUItIU ?? 2s i n2s i n2 mm ??
其变化波形如图 4.25所示。
图 4.25 电容瞬时功率的波形图
2）平均功率
由图 4.25可见，纯电容元件的平均功率
0?P
为了表示能量交换的规模大小，将电容瞬时
功率的最大值定义为电容的无功功率，或称
容性无功功率，用 QC表示，即
C
2
C
2
C X
UXIUIQ ??? （ var）
4,4,1 单一参数电路
例 4.10 把电容量为 40μF的电容器接到交流电源上，通过电容器的电流为
，试求电容器两端的电压瞬时值表达式。 A)30314s i n (275.2 ???? ti
解：由通过电容器的电流解析式 A)30314s i n (275.2 ???? ti
可以得到 A75.2?I sr a d /314?? ?? 30?
A3075.2 ???I?
??????? ? 801040314 11 6C CX ?
V)60(220V3075.280)90(1j C ?????????????? IXU ??
电容器两端电压瞬时表达式为 )603 1 4s i n (22 2 0 ??? tu
则
电容器的容抗为
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
1,RLC串联电路
（ 1） RLC串联电路的电压电流关系
图 4.26 RLC串联电路
(a) (b)
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
根据 KVL定律可列出
CL uuuu ???
设电路中的电流为
tIi ?s inm?
电容元件上的电压 uC比电流滞后,即?90
则电阻元件上的电压 uR与电流同相，即 tUtRIu ?? s i ns i n
RmmR ??
电感元件上的电压 uL比电流超前,即?90
)90s i n()90s i n( LmmL ?????? tUtLIu ???
)90s i n ()90s i n ( CmmC ?????? tUtCIu ???
电源电压为
???? CLR uuuu )s in ( ?? ?tU m
由电压相量所组成的直角三角形，称为 电压三角形,
利用这个电压三角形，可求得电源电压的有效值，即
2CL22CL2R )()()( IXIXRIUUUU ?????? 2CL2 )( XXRI ???
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
图 4.27 电压三角形
（ 2）电路中的阻抗及相量图
2CL2 )( XXRZ ??? 22 )1(
CLR ?? ???
电路中电压与电流的有效值（或幅值）之比为 。 它
的单位也是欧姆，也具有对电流起阻碍作用的性质，我们称它为电路的
阻抗模，用 代表，即
2CL2 )( XXR ??
Z
,R,（ - ）三者之间的关系也可用一个直角三形 —
— 阻抗三角形来表示,Z LX CX
图 4.28 阻抗三角形
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
电源电压 u与电流 i之间的相位差也可从电压三角形得出，即
R
XX
U
UU CL ???? a r ct ana r ct an
R
CL?
用相量表示电压与电流的关系为
IXIXIRUUUU ??????? CLCLR jj ??????
IXXR ?)](j[ CL ???
将上式写成
)(j CL XXR
I
U ???
?
?
式中的 称为电路的阻抗，用大写的 Z表示，即)(j CL XXR ??
R
XXe CLa r c ta nj ?
???? )(j CL XXRZ 2CL2 )( XXR ?? ?jeZ?
阻抗的幅角即为电流与电压之间的相位差。对感性电路,为正；
对容性电路,为负。 ??
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
2,RL串联电路
实际的设备大部分是呈感性的，如日光灯负载，可以用理想电阻与理想
电感相串联的电路模型表示，这类负载称为 电感性负载,简称 RL电路。
如图 4.30所示。
图 4.30 RL串联电路
电路的电压方程为 LR uuu ??
RIU ?? ? IXU ?? LL j?因为
LR UUU ??? ??
所以
RL串联电路的阻抗为
LjXRZ ??
电路阻抗的模为 22
LXRZ ??
幅角或阻抗角为
R
X La r c ta n??
4,4,2 电阻、电感、电容串联电路
例 4.11 在 RLC串联电路中，,,,若电源电
压,求：电路的电流、电阻电压、电感电压和电
容电压的相量 。
?? 30R ?? 40LX ?? 80CX
Vs in2220 tu ??
解：由于 Vs in2220 tu ??
所以 V0220 0??U?
A534.4A5350 02 20A)8040(j30 02 20)(j
CL
?????? ????? ??????? XXR UZUI ???
??? 30R RIU ?? V531 4 2V534.4 ?????
?? LL j XIU ?? V1 4 31 7 6V9040534.4 ????????
??? CC j XIU ?? V37523V9080534.4 ??????????
4,4,3电阻、电感、电容并联电路
图 4.32 RL串联支路与 C并联的电路
RL支路中的电流为
2
L
211 XR
U
Z
UI
?
??
R
X L
1 a r c t a n??
该支路相角
电容支路中的电流为
C
C X
UI ?
总电流相量等于两条支路中电流的相量和
LR
U
XR
UI
?jj L1 ????
???
C
U
X
UI
?
1jj CC ????
???
C1 III ??? ??
图 4.33 电路相量图
其相量图如图 4.33所示。
4,4,3电阻、电感、电容并联电路
例 4.14 一只日光灯和一只白炽灯并联接在 f=50Hz、电压 U=220V的电源上，
如图 4.34所示，日光灯的额定电压 UN=220V，取用功率 P1=40W，其功率因数
cos 1=0.5；白炽灯的额定电压 UN=220V，取用功率 P2=60W。求电流 I1,I2和
总电流 I大小是多少？
?
图 4.34 例 4.13图 图 4.35 例 4.13相量图
解：日光灯支路的电流
A363.0A5.0220 40co s
1
1 ???? ?U
PI
4,4,3电阻、电感、电容并联电路
由于,所以,设电压相量 为参考相量，
令,则电流 I1的相量
01 60??5.0c o s
1 ?? U
?
V0220 0??U?
A603 6 3.01 ????I?
白炽灯支路的电流 A2 7 2.0A
2 2 0
60
2 ??? U
PI
电流 I2的相量
A0272.0 02 ???I?
在并联电路中有
=[（ 0.1815-j0.314） +0.272]A
=(0.4535-j0.314)A
=0.552 A
??? 21 III ??? ??? 603 6 3.0 A0272.0 0???
??? 7.34
因此有
8 2 2.07.34c o sc o s ???? ）（?
AI 5 5 2.0?
各电流与电压的相量图如图 4.35所示。
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.5谐振电路
教学目的：掌握串联谐振的意义和条件；了解并联谐振的意义和条件
重点,串联谐振的意义和条件
难点,与重点相同
教具,多媒体
作业,P113,4.23
自用 参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
1,通过做教材 P113,4.13题来复习单一参数的正弦交流电路的特点及相量计算方法 。
2,复合正弦交流电路的特点
二, 新授：由案例 4.4引入本次课
4.5谐振电路
4.5.1串联谐振
1.谐振条件 2.谐振电路分析 3.典型例题分析
4.5.2并联谐振
1,R,L,C并联谐振电路 2,R,L,与 C并联谐振电路
3,典型例题分析
课后小计：
4,5 谐振电路
案例 4.4 在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择信号。收音机
通过接收天线，接收到各种频率的电磁波，每一种频率的电磁波都要在天
线回路中产生相应的微弱的感应电流。为了达到选择信号的目的，通常在
收音机里采用如图 )所示的谐振电路。
(a)接收器的调谐电路 (b)等效电路
4,5,1 串联谐振
1,谐振条件
图 4.37 RLC串联电路
如图 4.37所示的 RLC串联电路，其总阻抗为
?
?
?
????
??????
ZXR
XXR
C
LRZ
j
)(j1jj CL
22 )1(
CLRZ ?? ???
CLXXX ??
1
CL ????
当 ω为某一值，恰好使感抗 XL和容抗 XC相等时，则 X=0，此时电路中
的电流和电压同相位，电路的阻抗最小，且等于电阻（ Z=R）。电路的
这种状态称为谐振。由于是在 RLC串联电路中发生的谐振，故又称为 串
联谐振 。
4,5,1 串联谐振
对于 RLC串联电路，谐振时应满足以下条件
01 ??? CLX ?? 或 CL ?? 1?
ω为谐振角频率，用 ω0表示，则
LC
1
0 ??
电路发生谐振的频率称为 谐振频率
LCf π2
1
0 ?
2．谐振电路分析
电路发生谐振时,X=0，因此,电路的阻
抗最小，因而在电源电压不变的情况下，电路中
的电流将在谐振时达到最大，其数值为
RZ ?
R
UII ??
0
发生谐振时，电路中的感抗和容抗相等，而电抗为零。
电源电压,如图 4.38相量图所示。RUU ?? ?
图 4.38 RLC串联谐振相量图
4,5,1 串联谐振
R
UXIXU
LLL ?? R
UXIXU
CCC ??
当 XL=XC>R时,UL和 UC都高于电源电压 U。
因为串联谐振时 UL和 UC可能超过电源电压许多倍，所以串联谐振也称
电压谐振 。
因为
UL或 UC与电源电压 U的比值，通常用品质因素 Q来表示
R
X
R
X
U
U
U
UQ CLCL ????
在 RLC串联电路中，阻抗随频率的变
化而改变，在外加电压 U不变的情况
下,I也将随频率变化，这一曲线称为
电流谐振曲线。如图 4.39所示。
图 4.39 电流谐振曲线
4,5,1 串联谐振
例 4.16 在电阻、电感、电容串联谐振电路中,L=0.05mH,C=200pF，
品质因数 Q=100，交流电压的有效值 U=1mV。试求：
（ 1）电路的谐振频率 f0。
（ 2）谐振时电路中的电流 I。
（ 3）电容上的电压 UC。
解（ 1）电路的谐振频率
M H z59.1Hz10210514.32 1π2 1 1050 ???????? ??LCf
（ 2）由于品质因数
??????? ?
?
5102 10510 011 10
5
C
L
RQ
故电流为
mA2.0A5101 30 ???? ?RUI
（ 3）电容两端的电压是电源电压的 Q倍，即
V1.0V101 0 0 3C ???? ?QUU
4,5,2并联谐振
1,R,L,C并联谐振电路
（ 1）谐振条件
当信号源内阻很大时，采用串联谐振会使 Q值大为降低，使谐振电路的选
择性显著变差。这种情况下，常采用并联谐振电路。
图 4.41 RLC并联谐振电路
（ a）电路 (b)相量图
4,5,2并联谐振
RLC并联电路如图 4.41（ a）所示，在外加电压 U的作用下,电路的总电流
相量
CLR IIII ???? ??? ?
?
??
?
? ?????? )1(j1j
j LCRUUCL
U
R
U
????
????
要使电路发生谐振，应满足下列条件
01 ?? CL ?? LC
1
0 ??
即
谐振频率为
LCf π2
1
0 ?
（ 2）谐振电路特点
在 RLC并联电路中，当 XL=XC，即时，从电源流出的电流最小，电路
的总电压与总电流同相，我们把这种现象称为 并联谐振 。
并联谐振电路的 特点,
① 并联谐振电路的总阻抗最大。 RQRCZ 21 ??
② 并联谐振电路的总电流最小。
R
UI ?
0
4,5,2并联谐振
③ 谐振时，回路阻抗为纯电阻，回路端电压与总电流同相。
2,R,L与 C并联谐振电路
（ 1）谐振条件
在实际工程电路中，最常见的、用途极广泛的谐振电路是由电感线圈和电容
器并联组成，如图 4.42所示。
图 4.42 R,L与 C并联谐振电路
（ a）电路
(b)相量图
4,5,2并联谐振
电感线圈与电容并联谐振电路的谐振频率为
L
CR
LCf
2
0 1π2
1 ??
在一般情况下，线圈的电阻比较小，所以振荡频率近似为
LCf π2
1
0 ?（ 2）谐振电路特点
1）电路呈纯电阻特性，总阻抗最大，当 时，R
C
L ?? CRLZ ?
2）品质因数定义为
C
L
RQ
1?
3）总电流与电压同相，数量关系为 ZIU
0?
4）支路电流为总电流的 Q倍，即 QIII ??
CL
因此，并联谐振又叫做 电流谐振 。
4,5,2并联谐振
例 4.18 在图 4.43所示线圈与电容器并联电路，已知线圈的电阻 R=10Ω，
电感 L=0.127mH，电容 C=200pF。求电路的谐振频率 f0和谐振阻抗 Z0。
图 4.43 线圈与电容并联谐振电路
解：谐振回路的品质因数
8010200 10127.01011 12
3
?? ??? ?
?
C
L
RQ
因为回路的品质因数 Q>>1，所以谐振频率
Hz10
Hz
102 00101 27.0π2
1
π2
1
6
1230
?
???
??
??LC
f
电路的谐振阻抗
??
????????
k64
10641080 3220 RQ
CR
LZ
授课日期 班次 授课时数 2
课题,4.6正弦交流电路中的功率
教学目的：掌握正弦交流电路中不同功率的计算及相互之间的关系；
掌握提高功率因素的意义及方法
重点,不同功率的计算及相互之间的关系；提高功率因素的方法
难点,提高功率因素的方法
教具,多媒体
作业,P114,4.29
自用 参考书：, 电路, 丘关源 著
教学过程：一, 复习提问
—— 通过做教材 P113,4.25题来巩固串联谐振
二, 新授：由案例 4.5,4.6引入本次课
4.6正弦交流电路中的功率
4.6.1正弦交流电路中的功率
1.瞬时功率 2.平均功率 （ 有功功率 ）
3.无功功率 4.势在功率
5.功率三角形 6.功率因素 7.例题分析
4.6.2功率因素的提高
1.提高功率因素的意义
2,提高功率因素的方法 —— 举例说明
课后小计：
4,6正弦交流电路中的功率
案例 4.5 电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。如某台变压器
提供的容量为 250kVA，某台电动机的额定功率为 2.5kW，一盏白炽灯的
功率为 60W等等。由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小
也各自不一样。前面所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量
。所以我们要对电路中的不同功率进行分析。
案例 4.6 电力系统中的负载大多是呈感性的。这类负载不单只消耗
电网能量，还要占用电网能量，这是我们所不希望的。日光灯负载内
带有电容器就是为了减小感性负载占用电网的能量。这种利用电容来
达到减小占用电网能量的方法称为无功补偿法，也就是后面我们提到
的提高功率因数。
4,6,1正弦交流电路中的功率
1,瞬时功率
如图 4.44所示，若通过负载的电流为,则负载两端的电压
为,其参考方向如图。在电流、电压关联参考方向下，
瞬时功率
tIi m ?s in?
)s in ( ?? ?? tUu m
4,6,1正弦交流电路中的功率
tItUuip mm ??? s i n)s i n ( ???
)2c o s (c o s ??? ??? tUIUI
图 4.44 交流电路中的功率
2．平均功率（有功功率）
将一个周期内瞬时功率的平均值称为平均功率，
也称有功功率。有功功率为
?c osUIP ?
3．无功功率
电路中的电感元件与电容元件要与电源之间进行能量交换，根据电感元
件、电容元件的无功功率，考虑到 与 相位相反，于是LU? CU?
?s i n)()( 2CLCL UIIXXIUUQ ?????
在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率为 QL与 QC的代数和，即
Q =QL-QC
4．视在功率
4,6,1正弦交流电路中的功率
用额定电压与额定电流的乘积来表示视在功率，即 S=UI
视在功率常用来表示电器设备的容量，其单位为伏安。视在功率不是表示
交流电路实际消耗的功率，而只能表示电源可能提供的最大功率，或指某
设备的容量。
5．功率三角形
将交流电路表示电压间关系的电压三角形的各边乘以电流 I即成为功率三
角形，如图 4.45所示。
图 4.45 功率三角形
由功率三角形可得到 P,Q,S三者之间的关系
?c osUIP ? ?s inUIQ ?
22 QPS ??
P
Qa r c t a n??
6．功率因数
功率因数,其大小等于有功功率与视在功
率的比值，在电工技术中，一般用 表示。
?cos
?
4,6,1正弦交流电路中的功率
例 4.20 已知电阻 R=30Ω，电感 L=328mH，电容 C=40μF，串联后接到
电压 的电源上。求电路的 P,Q和 S。V)303 1 4s i n (22 2 0 0?? tu
解：电路的阻抗
??????????? ?? )10403 1 4 1103 8 23 1 4(j30)(j 63CL XXRZ
??????????? 1.535040j30)80120(j30 ）（
电压相量 V3022 0 0??U?
因此电流相量为
A1.234.4A1.5350 30220 ?????? ???? ZUI ??
电路的平均功率 W58W1.534.4220c o s ?????? ?UIP
电路的无功功率 v a r774v a r1.53s i n4.4220s i n ????? ?UIQ
电路的视在功率 VA9 6 8VA4.42 2 0 ???? UIS
由上可见,>0，电压超前电流，因此电路为感性。?
4,6,2功率因数的提高
案例 4.7在生产和生活中使用的电气设备大多属于感性负载，它们的功率
因数都较低。如供电系统的功率因数是由用户负载的大小和性质决定的，
在一般情况下，供电系统的功率因数总是小于 1。例如，变压器容量
1000kVA,cos=1时能提供 1000kW的有功功率，而在 cos=0.7时则只能提
供 700kW的有功功率。
1．提高功率因数的意义
1)使发电设备容量得到充分利用。
2)减小输电线路上的损耗。
2．提高功率因数的方法
提高功率因数，常用的方
法是在感性负载的两端并
联电容器。其电路图和相
量图如图 4.46所示。
图 4.46 提高功率因数
(a)电路图 (b)相量图
4,6,2功率因数的提高
在感性负载 RL支路上并联电容器 C后，流过负载支路的电流,负载本身
的功率因数及电路中消耗的有功功率也不变。即
2
L
21 XR
UI
?? 2L21c o s XR
R
???
121 co s ?UIRIP ?? 保持不变
但总电压 u与总电流 i的相位差 减小了，总功率因数 cos 增大了。这里所
讲的功率因数是指电源或电网的功率因数提高，而不是提高某个感性负载的
功率因数。其次，由相量图可见，并联电容器以后线路电流也减小了，因而
减小了功率损耗。
? ?
例 4.21 有一电感性负载，其功率 P＝ 10kW，功率因数, 接在电
压 U＝ 220V的电源上，电源频率 f＝ 50Hz。 (1)如要将功率因数提高
到,试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线
路电流。 (2)如要将功率因数从 0.95再提高到 1，试问并联电容器的电容值还
需增加多少?
6.0co s 1 ??
95.0c os ??
4,6,2功率因数的提高
解, 计算并联电容器的电容值，可从相量图导出一个公式。
)t a n( t a n
s i n)
c o s
(s i n)
c o s
(
s i ns i n
1
1
1
1C
??
?
?
?
?
??
??
??
??
U
P
U
P
U
P
III
CUXUI ???
C
C又因
)t a n( t a n 1 ??? ?? UPCU所以
)t a n( t a n 12 ??? ?? UPC
由此得
（ 1） 6.0c o s 1 ?? ?? 531?
95.0c os ?? ??18?
因此所需电容值为
4,6,2功率因数的提高
μF656μF)18t a n53( t a n22050π2 1010)t a n( t a n 2
3
12 ??????
???? ??
? U
PC
电容并联前的线路电流（负载电流）为
A6.75A6.0220 1010c os
3
1
1 ??
???
?U
PI
并联电容后的线路电流为
A8.47A95.0220 1010co s
3
????? ?U PI
（ 2）如要将功率因数由 0.95再提高到 1，则需要增加的电容值为
μF6.213μF)0t a n18( t a n22050π2 1010)t a n( t a n 2
3
12 ??????
???? ??
? U
PC
