§ 9-5 静电场的能量 能量密度
一、带电电容器的能量
开
始
时
刻
A B
0?q
U
dq
任
一
时
刻
q? q?
Au Bu
U
终
了
时
刻
Q? Q?
AU BU
U
（下一页 ）
C
QW
C 2
2
??
? ??
Q
C
Qdq
C
qA
0
2
2
? 电容器的电能
C
qUVV
BA ???
dqCqU d qdA ??
dq
任
一
时
刻
q? q?
Au Bu
U
设任意时刻极板上的电荷为 q,
两极板间的电势差为 U,则有：
考虑此时将 dq 的电荷从负极板
移到正极板，电源所做的功为
充电完毕后，电源所做的总功为：
2
2
1 CU?QU
2
1?
UQC /??
（下一页 ）
电场能量密度 =
二、电场的能量和能量密度
对平行板电容器 2
2
1 CUW ?
2
2
1 )Ed)(
d
S(W ??
)Sd(E 221 ?? VE 221 ??
2
2
1 E
V
Ww
e ???
2
2
1 D
?? DE2
1?
电场的空间体积
d
S?
q? q?
这个结果对任意电
场都是成立的。
ED ??? ??
（下一页 ）
非均匀电场的能量计算要用积分的办法
? ???
V V
dVEw d VW 2
2
1
???
V
D E d V
2
1
dV
（下一页 ）
例 1,计算球形电容器的能量
AR
BR
q? q?已知
AR BR q?
r解,场强分布
24 r
qE
???
取体积元 drrdV 24 ??
dVEw d VdW 221 ??? drr)rq( 222 4421 ?????
能量 ? ???
V
R
R
B
A
dr
r
qdWW
2
2
8 ??
)RR(q
BA
11
8
2
?? ??
AB
BA
c
RR
RR
q
c
q
W
?
??
??
42
1
2
1 22
还可以由电容器的能量公式计算
)RR(q
BA
11
8
2
?? ??
（下一页 ）
1d t 2d
d
A B
例 2,平行板电容器
已知, dS 插入厚为,t 的铜版
求,? C
?如插入的为 r? 的介质板，
再计算其电容。并考虑 当充电到 U0 后，
再断开电源,抽出介质板的过程中，
外力所做的功。
?充电到 U0, 断开电源,
抽出铜板，求外力的功 A;
（下一页 ）
求 C?
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
?E?
◎ 设 q?
场强分布◎
◎ 电势差
2010 dEEtdEuu BA ????
)dd(E 210 ?? )dd(Sq 21
0
?? ?
◎
21
0
dd
S
uu
qC
BA ?
??? ?
td
S
??
0?;0?E?
铜板内：
S
qE
00
0 ???
??铜板外：
（下一页 ）
解：
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
?E?
A B
q? q?
?充电到
0U
抽出铜板，
求外力的功 A 12 WWWA ??? ?
2
01 2
1 CUW ? 2
02
1 U
td
S
??
抽出铜板后 0CUq ? 不变,C 变为：
dSC /0???
C
qW
??? 2
2
2 C
UC
?? 2
2
0
2
2
02
0
12 )(2 Utd
StWWA
?
???? ?
2
0
20
0
)(
2
1 U
td
S
S
d
?
?
?
?
W 1 和 W 2, 抽出铜板前后
电容器的能量。
（下一页 ）
?如插入的为 r? 的介质，
再作计算
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
?E? EtddEuu BA ???? )( 210
ttd
r??
?
?
?
00
)( ???
)1(
0
??
?
?
???
rr
r
BA td
S
uu
qC
??
??
充电到
0U
2
01 2
1 UCW ?????
抽出介质后：
C
qW
???? 2
2
2
12 WWWA ??????????
d
SC 0???
0uCq ???q 不变：
（下一页 ）
课
堂
练
习
计算均匀带电导体球及
均匀带电介质球的电场能量
导体球 ?E
0
2
04 r
q
??
Rr ?
Rr ?
? ???
V V
dVEw d VW 2021 ?
?
?
???
R
drr)
r
q( 22
2
0
0 442
10 ?
??
?
R
q
0
2
8???
++ +
+
++
+ ++
+
R
q
该电场能量也可
以由电容器的能
量公式计算：
R
q
C
q
W
0
2
2
42
1
2
1
??
?
?
dr r
（下一页 ）
均匀带电介质球体：
q
R
?E
3
04 R
qr
r???
2
04 r
q
??
Rr ?
Rr ?
??
R
r dVEW
0
2
02
1 ?? ???
R
dVE 20
2
1 ?
R
q
R
q
0
22
840 ????
??
r
dr
R
qW
e ??20
3 2?
（下一页 ）
rrV dd 24??
讨论,若该带电体为一个点电荷，
则其静电能如何？
q R
R
qW
e ??? 20
3 2
??? eWR,0
若考虑一个点电荷的静电能时，则不能再将其
视为点电荷。应将其视为有一定大小的带电体。
（下一页 ）
三、点电荷体系的静电互能
1q
4q
3q
2q
点电荷体系的静电自能等于将系统中的各个点
电荷彼此分散到无限远的过程中电场力作的功。
点电荷体系的静电互能等于将系统中的各个点电
荷从无限远移来构成现在体系的过程中外力作的功。
点电荷体系的静电能等于每个
点电荷的 静电自能 与各点电荷彼此
相互作用的 静电互能 之和。
（下一页 ）
1、两点电荷体系的静电互能 r1q 2q
将点电荷 q2移动到无限远的过程中电场力的功为：
err Wr
qqVqWWA ?
??????? ? 0
21
11 40
将点电荷 q1移动到无限远的过程中电场力的功为：
err Wr
qqVqWWA ?
??????? ? 0
21
22 40
)(21 2211 VqVqW e ??
（下一页 ）
2、多个点电荷构成的体系的
静电互能 1q
4q
3q
2q
?
?
?
n
i
iie VqW
12
1
其中 Vi 为除了第 i 个点电荷外其他所有点电荷
在 第 i 个点电荷处产生的电势。
（下一页 ）
作 业
P99 T9-28。
下面本章小结