带电体在电场中所受的电场力
1、点电荷所受的电场力
EqF ?? ??
点电荷在电场中所受的力大小等
于 qE,方向取决与电量的正负
2、带电体所受的电场力 —— 迭加原理 F?d
dq
0?q
F?
0?qF?
EqF ?? ?? dd
qEFF
VV
?? ??? dd ???
电场力作功有何特点？
（下一页）
0qr
drr ?
c
ld?
c?
E?
?
b
a
§ 8 -6 环路定理 电势
与路径无关
dlEq
ldEqldFdA
?c o s0
0
?
????
????上的元功ld?
drdl ??c o s其中
???
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则 ?q
ar
br
dr
一．静电力作功的特点
? ???
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0 ????
１、点电荷的电场中静电力作功的特点
F?
（下一页）
２．点电荷系电场中静电力作功的特点
? ?????
b
a
nab ldEEEqA
??
??
??
)( 210
? ? ? ??????
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
??
??
????
02010
? ??????
i ibia
i
n rr
qqAAA )11(
4 0
0
21 ????
(与路径
无关 )
静电力作功与路径无关，静电场力是保守力
（下一页）
? ? ? ??????
a cb bda
ab ldEqldEqldEqA
??????
000
? ? ?????
a cb adb
ldEqldEq 000 ????
二、静电场的环流定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00 ?q?
静电场中电场强度 E? 的环流恒为零 ? ?? 0ldE ???
沿闭合路径 acbda 一周静电场力所作的功0q
? ??? 0ldE ??
定义,? ? ldE ?? —— 静电场的环流
静电场的环流定
理的物理意义,静电场力是保守力，作功与路径无关
（下一页）
回忆：重力作功的特点与重力势能
a
b
babgagg m g hm g hEEA ????
重力作功等于重力势能增量的负值
保守力作功等于相应的势能增量的负值
bgagg EEA ??
静电场力做功与路径无关，静电场力是一种保守力。
可以引入一种势能 —— 静电势能
三．电势能：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能
电势能的定义：静电力的功 = 静电势能增量的负值
（下一页）
a b则 电场力的功 ? ?? b
a
ab ldEqA
??
0 ba WW ??
0??W
?
?
? ????
a
aa ldEqAW
??
0
b点电势能 bW
试验电荷 处于0q
a点电势能 aW
a
b
静电势能的零点,当场源电荷分布在有限区域内时
通常取无限远为电势能的零点
点电荷在静电场中的某一点所具有的电势能等于将该
电荷从 该点移到无限远电场力所作的功 。
。注意,1）只有在静电场中才能引入电势能；
2）电势能属于电荷与电场共有，是系统的能量，是
试验电荷与场的相互作用能。 。
（下一页）
四．电势 电势差
?
?
???
a
a
a ldEq
WV ??
0
单位正电荷在该点所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远点（电势零点）电场力所作的功
2、电势差
? ?
? ?
??????
a b
baab ldEldEVVV
????
? ? ????
b
a
b
a
lElE dc o sd
??
将单位正电荷从 a移
到 b电场力所作的功
?
?
??
a
a ldEqW
??
0
定义,静电场中任一
点的电势为：
静电场中任意两点的电势之差
当场源电荷分布
在有限区域内时
电势零点在无限
远处！
1、电势 V
（下一页）
电势及电势差的单位都是“伏特”,符号, V,
功、电势差、电势能之间的关系
? ??????
b
a
babaab WWVVqldEqA )(
??
★ 讨论,
１, 0?
abA ba WW ?
0?q
ba VV ?
则
0?q 则 ba VV ?
2,0?
abA
ba WW ?
0?q ba VV ?则
0?q ba VV ?则
（下一页）
根据电场叠加原理场中任一点的
五．电势叠加原理
若场源为
1q 2q nq?? 的点电荷系
场强
电势
nE.,,.,,,EEE
???? ????
21
? ?? ?
? ?? ?
?????????
P P
n
P P
p ldEldEldEldEV
????????
.......21
?
?
?????
n
i
in VVVV
1
21,.,..,
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和
（下一页）
§ 8 - 7 电势的计算
?
?
???
a
a
a ldEq
WV ??
0
?
?
?
n
i
PiP VV
1
方法一：定义法 ?? ???
a
a
a ldEq
WV ??
0
应用条件：电场分布可以由高斯定理简单求出
方法二：叠加法
基本思想：先求出点电荷的电势，再由叠加原
理计算任意电场的电势。
?
?
?
n
i
PiP VV
1 （下一页）
1.点电荷电场中的电势
r
?q P?0r
?
如图 P 点的场强为
02
04
r
r
qE ??
??
?
? ?
? ?
??
?
??
???
P r
P r
qdr
r
qldEV
0
2
0 44
??由电势定义得
讨论,
② 对称性：
① 大小,q>0 V>0 r V ?r 0?V (最小 )
q<0 V<0 r V r
?
0?V (最大 )
在以 q为球心的同一球面上各点的电势相等
V1
V2
（下一页）
由电势叠加原理,P 点的电势为
2,点电荷系的电势
?? ????
i
i
i r
qVV
04
? ? ???? rdqdVV
04
3,连续带电体的电势
由电势叠加原理 dq P?r
1r
?1q
?2q
nq?
P2r
nr
r
qV
P
04
???点电荷的电势：
（下一页）
例１,求电偶极子电场中远场任一点Ｐ的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
?
),( yxP?ppP
VVV 21 ??
由叠加原理
lr ??? ???? c o s12 lrr 221 rrr ?
2
0
2
0
c o s
4
1c o s
4),( r
p
r
lqrV ?
???
?
?????
222 yxr ??? 22c o s
yx
x
?
??
2
3
220 )(4
1),(
yx
pxyxV
?
??
??
解,
210
12
2010 4
)()
4
(
4 rr
rrq
r
q
r
q
??
??
??
??
??
?
（下一页）
VrqV o 2
0
108.2844 ?????
r
O
2q1q
4q 3q
例题 2,已知正方形顶点有四个等量的点电荷
r =5cm
Cq 9100.4 ???
③ 求 该过程中电势能的改变
①求 oV
②求 将 cq 90 100.1 ??? 的点电荷从 ?
移到 O点电场力所作的功
JqVVqA 720000 108.28)108.280()( ??? ????????
0108.28 2 ????? ?? OO AWW 电势能
babaab WWVVqA ???? )(
babaab WWVVqA ???? )(
电场力
作负功
同号电荷相互靠近，
相互作用增强。
（下一页）
例 3,求均匀带电圆环 （ R,q ) 轴线
上的电势分布
微元电势叠加法
r
dqdV
04 ??
?
r
dl
04 ??
??
r
q
r
R
r
dldVV R
P
0
2
0 00 44
2
4 ??
?
??
???
??
??? ? ??
22
04 xR
q
???
?
解,
（下一页）
X
Y
Z
O? ?
?
?
?
?
? ?
?
R
dl
r
?
Px
l
?
?d
例 4,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
解, 方法一 叠加法 (微元法 )
任一圆环
))(s i n2( ???? RdRdsdsdq ??
l
dqdV
04 ??
?
l
dqdV
08
s i n
??
???
?? drRl d l s i n22 ?
rR
qdldV
08 ??
?
?c o s2222 RrrRl ???由图
?
?
?
??
Rr
Rr
out r
q
rR
q dlV
00 48 ????
Rr?
Rr? ??
?
??
rR
rR
in R
q
rR
qdlV
00 48 ????
O
R
P
r
（下一页）
方法二 定义法
Rr?
Rr?
由高斯定理求出场强分布
Rr?
Rr?
?E
2
04 r
q
??
0
?
?
??
P
P ldEV
??由电势
的定义
? ?
?
????
R
r R
P i n ldEldEV
????
?
?
??
R
drrq 2
04
0 ??
R
q
04??
?
?
?
??
?
r
P o u t drr
qV
2
04
r
q
04??
?
O
R
P
r
Pin Pout
（下一页）
均匀带电球面电场中电势的分布
O R r
V
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
Rr
r
q
Rr
R
q
V
,
4
,
4
0
0
（下一页）
例题 5,求等量异号的同心带电球面的电势分布
已知 q? q?
AR BR
?
AR
BR
q?q?
由高斯定理可以求得：
ARr? BRr ?
2
04 r
q
?? BA RrR ??
?E
0
由电势定义
解, 方法一 定义法
P
?
?
??
P
P ldEV
??
??
?
????
B
B
R
R
r
P ldEldEV
????
??
?
????
B
B
R
R
r
ldr
r
q ?
0d
4 20??
BR
q
r
q
00 44 ??
????
（下一页）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
??
?
B
BA
B
A
BA
Rr
RrR
R
q
r
q
Rr
R
q
R
q
V
,0
,
44
,
44
00
00
?
AR
BR
q?q?
（下一页）
方法二 叠加法
O R r
V
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
Rr
r
q
Rr
R
q
V
,
4
,
4
0
0
O
RA r
V
RB
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
A
A
A
A
Rr
r
q
Rr
R
q
V
,
4
,
4
0
0
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
B
B
B
B
Rr
r
q
Rr
R
q
V
,
4
,
4
0
0
（下一页）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
??
?
B
BA
B
A
BA
Rr
RrR
R
q
r
q
Rr
R
q
R
q
V
,0
,
44
,
44
00
00BA VVV ??O
R
A
r
V
R
B
（下一页）
?
AR
BR
q?q?
讨论,等量异号的同心带电球面的电势差
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
??
?
B
BA
B
A
BA
Rr
RrR
R
q
r
q
Rr
R
q
R
q
V
,0
,
44
,
44
00
00
BA RRAB VVV ?? 0,44
00
???
BA R
BA
R VR
q
R
qV
????
BA
AB R
q
R
qV
00 44 ??
?????
（下一页）
①求单位正电荷沿 odc 移至 c, 电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O点 电场力所作的功?
如图已知 q? q? R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
qVVA
cooc ??
??
??????
R
q
06??
?
0??? ?? oO VVA
???? bbaab VVqA )(
（下一页作业）
点电荷在静电场中的某一点所具有的电势能等于将该电荷从
该点移到无限远电场力所作的功 。 。
作 业
P55
T8 - 26,27
Bye bye!