一,第 10,11章主要内容回顾
1.电流强度、电流密度
dt
dqI ?
n
dS
dIj ??
?
?
2.电动势
ldEldE k
l k
???? ???? ??
内
?
3.磁通量 ? ?? sm SdB ???
( 为非静电场强 )
kE
?
（下一页）
稳恒磁场习题课
4.磁场的计算
1)毕奥 ---萨伐尔定理
3
0
4 r
rlIdBd ?
??
??
?
?
2)电流产生磁场
?
??
3
0
4 r
rlIdB ?
??
?
? ?? BdB
??
?? iBB ??
微观叠加
场叠加
3)安培环路定理 ?? ?? il IldB 0???
4)运动电荷产生的磁场
3
0
4 r
rqB ??? ??
?
??
（下一页）
5.磁场方程
1)磁场高斯定理 ? ??S SdB 0?? (稳恒磁场无源 )
2)安培环路定理 ? ???
l iIldB 0?
?? (稳恒磁场有旋 )
6.载流线圈的磁矩 nN I SP
m ?
? ?
7.电磁相互作用
1)安培定律 BlIdfd ??? ??
2)磁场对载流导线的安培力 ? ?? l BlIdf ???
3)磁场对载流线圈的作用力矩 BPM m ??? ??
I
S
n?
（下一页）
4)磁场对运动电荷的洛仑兹力 BqF ??? ???
5)磁力作功 ?? 2
1
m
m m
IdA ?? ?
8.霍耳电压
b
IBRU
HH ?
)1( nqR H ?霍耳系数
（下一页）
1,直电流的磁场
a P
1?
2?
I
B?
)c o s( c o s4 210 ?????? aIB
?无限长载流直导线
a
IB
?
??
2
0
?半无限长载流直导线
a
IB
?
??
4
0
?直导线延长线上 0?B
本章一些重要的结论
（下一页）
2,圆电流轴线上某点的磁场
2322
2
0
2 )xR(
IRB
??
?
方向,右手螺旋法则
大小：
(1) 载流圆环圆心处的 圆心角 ?? 2?B?
R
IB
2
0??
(2) 载流圆弧 圆心角 ?
R
I
R
IB
?
??
?
??
422
00 ???
R
xI
P x
（下一页）
3,长直载流螺线管
?
?
??
外
内
0
0 nIB ?
5,环形载流螺线管
??
?
?
?
?
外
内
0
2
0
r
NI
B ?
?
2121 RRRR ???、
nIB 0??
12 R
Nn
?
?
4,无限大载流导体薄板
20 nIB ??
板上下两侧为均匀磁场
.,.,,..,.
d
ab
c
（下一页）
电场、磁场中典型结论的比较
r
IB
?
?
2
0?
rE 02??
??
2
0
2 R
IrB
?
??
2
02 R
rE
??
??
0?E 0?B
外
内
内
外
rE 02 ??
??
r
IB
?
?
2
0?
rE 02 ??
??
r
IB
?
?
2
0?
长
直
圆
柱
面
电荷均匀分布 电流均匀分布
长
直
圆
柱
体
长直线
（下一页）
0?? ? ldE ??
静电场 磁 场
???? ?
i i
IldB 0??
0??? sdB ???? ?? i
s
qsdE
0
1
?
??
比较?
磁场没有保守性，它是
非保守场，或无势场
电场有保守性，它是
保守场，或有势场
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
磁力线闭合、
无自由磁荷
磁场是无源场
（下一页）
磁偶极子电偶极子
n?
I
S
3
0
2 r
pB m??
?
??
nISp m ?? ?
3
02
1
r
pE e??
???
lqP ?? ?
3
0
4 r
pB m??
?
???
类
比
在轴延长线上某点
? ?
qq? l?
（下一页）
解, 在 abcd内任取一面积元 dS = l1dx,
在此面积元内磁感应强度可看作常量,
x
IB
?
?
2
0?方向垂直于纸面向里
00c o sB d S?
? ?? 22 10 laam xdxIl??? a laIl 210 ln2 ?? ??
dxlxI 102???SdBd m ?? ???
二,典型例题
例 1(T11-10),一无限长直导线通有电流 I,求 通过矩
形线框 abcd(与直导线共面 )的磁通量,
d
a b
c
I
x
dx
2l
a 1l
（下一页）
例 2.真空中一无限长载流
直导线 LL?在 A点处折成
直角,在 LAL?平面内,求 R、
S两点处的磁感应强度的
大小,
R
S
AL
L?
a
a
a
a
解,对于 R点,LA的两端相对于
R点所对应的
01 ??
4
3
2
?? ?
（下一页）
R
S
AL
L?
a
a
a
a
所以 LA在 R点的磁感应强度 B1
的大小为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
4
3c o s0c o s
4
0
1
?
?
?
a
IB
???
?
???
?
??
2
21
4
0
a
I
?
?
AL?两端相对于 R点所对应的
41 ?? ? ?? ?2
方向：
（下一页）
AL?在 R点的磁感应强度大小为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?? ??
?
?
c o s
4
c o s
4
0
2 a
I
B
??
?
?
??
?
?
??
2
2
1
4
0
a
I
?
?
故 R点的磁感应强度大小为
21 BBB R ?? ? ?224
0 ??
a
I
?
?
R
S
AL
L?
a
a
a
a
方向：
方向：
（下一页）
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
4
3c o s0c o s
4
0
1
?
?
?
a
IB
??
?
?
??
?
?
??
2
21
4
0
a
I
?
?
对于 S点, LA在 S点产生的磁感应强度
LA 两端相对于 S点所对应的
01 ??
4
3
2
?? ? R
S
AL
L?
a
a
a
a
方向：
（下一页）
??
?
?
??
?
?
??
2
2
1
4
0
a
I
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
??
?
?? ??
?
? c o s
4
3c o s
4
0
2 a
IB
AL?两端相对于 S点所对应的
4
3
1
?? ? ?? ?
2
AL?在 S点产生的磁感应强度
S点磁感应强度
21 BBB s ?? a
I
?
?
4
2 0?
R
S
AL
L?
a
a
a
a
（下一页）
方向：
方向：
T11-3.两根导线沿半径方向引到铁环上 A,B两点,
并在很远处与电源相连,求 环心 O 的磁感应强度,
解, O点的磁感应强度为
=== 1,2,3,4,5段
===载流导线在 O点产生
===的磁感应强度的矢
===量和：
543210 BBBBBB
?????? ?????
?
?
O
R
1
2
3
5
A
B
I
I
1I
2I
1l
2l
4
（下一页）
O点在 3和 4的延长线上,
5离 O点可看作无限远,故,
03 ?B 04 ?B 05 ?B
设,1圆弧弧长 l1,
====2圆弧弧长 l2,
====圆的周长为 l
R
I
l
lB
2
101
1
??
R
I
l
lB
2
202
2
??
故
210 BBB ?? ? ?2211
0
2 lIlIRl ?
??
?
?
O
R
1
2
3
5
A
B
I
I
1I
2I
1l
2l
4
（下一页）
设 ?为导线电阻率,S为截面积
?
?
??
?
? ???
?
??
S
lI
S
lIS
Rl
2
2
1
1
0
2
? ?22110
2 RIRIRl
S ?
?
??
R1,R2分别为 1导线和 2导线的电阻,
显然 I1R1 = I2R2 = VAB,因此 B0 = 0
? ?221102 lIlIRl ???0B
（下一页）
例 4(似 T11-18),一根外半径为 R1的
无限长圆柱形导体管,管内空心部
分的半径为 R2,空心部分的轴与圆
柱的轴相平行但不重合,两轴间距
离为 a(a>R2),现有电流 I沿导体管
流动,电流均匀分布在管的横截面
上,方向与管轴平行,
O
1R
2R
O?
a I
1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小,
2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小,
求,
（下一页）
解,由于空心部分的存在,磁场的柱
=== 对称性被破坏,因而此题解法需
=== 用补偿法,(应保持原有的电流密
=== 度不变,)
以电流 I' 填满空心部分 2
22
2
2
1
R
RR
II ?
???
??
然后再用 -I‘ 填一次,以抵 消第一次填补的影响,
因而整个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个
半径为 R2 的反向圆柱电流 -I’ 产生的磁场的叠加,
O
1R
2R
O?
aI
?
（下一页）
大圆柱电流在轴线 O上产生的
磁场为零 小圆柱电流在轴线 O上
产生的磁感应强度为
a
I
?
?
2
0 ?
即
? ?2221
2
20
0 2 RRa
IR
B
?
?
?
?
2)空心部分轴线上磁感应强度 B0'
小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零
大圆柱电流在 O'出产生的磁感应强度为 ? ?
2
1
0
2 R
aII
?
? ??
即
? ?2221
0
0 2 RR
Ia
B
?
??
?
?
1)圆柱轴线上的磁感应强度 B0
O
1R
2R
O?
aI
?
（下一页）
例 5 (T11-13),一根很长的同轴电
缆,由一导体圆柱 (半径为 a )和
一同轴的导体管 (内、外半径分
别为 b, c )构成,使用时,电流 I
从一导体流出去,从另一导体流
回, 设电流都是均匀地分布在导
体横截面上 。
a bc
求,空间各点处磁感应强度大小
的分布。
（下一页）
a bc
解, 根据 安培环路定理
? ????l i IldB 0??
2
2 ra
II ??
??
2
2
02
a
IrrB ????
2
0
2 a
IrB
?
???
1） r < a
IrB 02 ????
r
IB
?
??
2
0
?
2) a < r < b
r
? ?? II
22
22
0
2 bc
rc
r
IB
?
?
?
??
3)b < r < c
4) r > c ? ??? 0III 0?B
? ?22 br ??? ?22 bc I??
22
22
bc
rcI
?
??
（下一页）
例 6 发电厂的汇流条是两条
L=3.0m的平行铜棒, 它们相距
a=0.5m,接通电路时,棒中电
流是 I = 10000A,问 此时汇流
棒之间的相互作用力多大,
dx
1 2
o
X
a
电流元 Idx 所受安培力为
解, 取如图坐标, 在汇流棒 2上 任取一电流元 Idx,
其中 B 为 1 在 dx 处产生的磁感应强度
I d l Bdf ? 方向向左
?
fd?
（下一页）
? ?210 c o sc o s
4
???
?
??
a
IB
其中
? ?22
2
2
2c o s
xLa
xL
??
?
???
? ?22
1
2
2c o s
xLa
xL
??
?
??
? ? ? ?
dx
xLa
xL
xLa
xL
a
I
df
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
4
1 2
o
X
dxa
2?
1?
（下一页）
所有 df方向相同 (向左 ) 故
? ? ? ?
dx
xLa
xL
xLa
xL
a
I
dff
L
L?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
???
?
2
2 2222
2
0
2
2
2
2
4
积分,以 L=3m,I=10000A,a = 0.5m代入,得
f = 102N
讨论,若磁场感应强度按
a
IB
?
?
2
0? 计算 f =?
试比较两者的误差
（下一页）
例 7,一塑料薄圆盘,半径为
R,电荷 q 均匀分布于表面,
圆盘绕通过盘心垂直面的轴
匀速转动,角速度 ?
求：
2)圆盘的磁矩 ;
3)若此圆盘处在水平向右的匀强磁场 B
中,求该圆盘所受的磁力矩。 。
1)圆盘中心处的磁感应强度 ;
?
R
oq
（下一页）
?
R
o
其方向与半径垂直,所以旋转的细环在盘心 O的
磁感应强度为
解, (1)求圆盘中心的磁感应强度
可用两种方法求解,
方法 1,根据运动电荷的磁场公式
3
0
4 r
rqB ?? ??
?
?? 求解
r d rdq ??? 2 ?=q/ ?R
2
r dr
??? r
在圆盘上任取一半径为 r,宽为 dr 的细环,
所取细环上的电荷 运动速度相同,均为
（下一页）
2
0
4 r
d q rdB ?
?
?? r d r
r
??
?
??? 2
4
0
dr20???? (方向垂直盘面向外 )
由于各细环在 O处的磁感应强度方向相同,所以
??
????? R drdBB
0
0
22
0 R????
R
q
?
???
2
0
(方向垂直盘面向外 )
?R
r dr
o
3
0
4 r
rqB ?? ??
?
??由
（下一页）
其中在 O处的磁感应强度
r
dIdB
2
0??
r
dq
?
??
4
0? dr
2
0????
(方向垂直盘面向外 )
积分结果与 方法 1相同,
方法 2,用圆电流公式计算,圆盘旋转时相当于
====不同半径的圆电流的集合,如上所取细环对
====应的电流
dqdI
?
?
2
? ?R
r dr
o
（下一页）
3)根据任意闭合回路在外磁场 B中所受的磁力矩计
BpM m ?? ?? BqR 241 ??
方向向上
2)根据线圈磁矩的定义,与细环电流对应的磁矩应为
SdIdp m ? dqr ??? 22? drr 3? ? ??
由于各细环的磁矩方向相同,因此总磁矩为
?? mm dpp ?? R drr0 3? ? ? 441 R? ? ?? 241 qR??
(方向垂直盘面向外 )
算公式 (11-22)得
（下一页）
一长直导线通有电流
I1=20A,其旁有一载流直
导线 ab,两线共面。 ab长
为 L=9.0?10-2m,通以电流
I2=10A,线段 ab垂直于长
直导线,a端到长直导线的
距离为 d = 1 ?10-2 m 。 。
1I
2I ba
O
01.0
求,1)导线 ab所受的力
2)导线 ab所受作用力对 O点的力矩,
例 8、
（下一页）
1)设在导线 ab上距长直导
线为 l 处取电流元 I2dl,该
处磁感应强度仅由 I1 所产
生,其大小为
l
IB
?
?
2
10?
(方向垂直纸面向里 )
则 I2dl 所受磁力的大小为
02 90s indlBIdF ? dl
l
II
?
?
2
210? 方向垂直 ab 向上
1I
2I
l
Fd?
ba
O
01.0
解,
则 ab 所受磁力的大小为 ?? ?? 1.0
01.0
210
2 l
dlIIdFF b
a ?
?
N57 102.930.21020102 ?? ???????
方向垂直 ab 向上 （下一页）
2) 如上所取电流元 I2dl 所受磁力对 O点的
==力矩大小为
dlIIld FdM
?
?
2
210??
方向垂直纸面向外
由于各电流元所受磁力对 O点的力矩方向相同,
所以整个导线 ab所受磁力对 O点的力矩大小为
?? dMM ?? 1.0 01.02102 dlII?? 09.02 210 ?? ?? II
mN ???????? ?? 67 106.309.01020102
方向垂直纸面向外,
（下一页）
习题 11-7 已知,R N I
求,球心处磁感应强度
?
dl
3
2
0
2 R
dIrdB ??
2R
N I dldI
?
?
?Rddl ?
?s i nRr ?
R
NI
R
dNI
B
4
s i n
0
2
0
2
0
?
?
????
?
? ?
方向水平向右
（下一页）
习题 11-6 已知,R I
求,轴心处磁感应强度
R
dIdB
?
?
2
0?
?Rddl ?
考虑对称性 0?
yB
?? ?? ?? s i nc o s dBdBB x
dl
X
Y
O
dB
? ?
R
Id
R
IRB
x 2
0
0 22
0
2
s i n
?
??
?
??? ?? ?
（结束）
dl
R
IdI
?
?
1.电流强度、电流密度
dt
dqI ?
n
dS
dIj ??
?
?
2.电动势
ldEldE k
l k
???? ???? ??
内
?
3.磁通量 ? ?? sm SdB ???
( 为非静电场强 )
kE
?
（下一页）
稳恒磁场习题课
4.磁场的计算
1)毕奥 ---萨伐尔定理
3
0
4 r
rlIdBd ?
??
??
?
?
2)电流产生磁场
?
??
3
0
4 r
rlIdB ?
??
?
? ?? BdB
??
?? iBB ??
微观叠加
场叠加
3)安培环路定理 ?? ?? il IldB 0???
4)运动电荷产生的磁场
3
0
4 r
rqB ??? ??
?
??
（下一页）
5.磁场方程
1)磁场高斯定理 ? ??S SdB 0?? (稳恒磁场无源 )
2)安培环路定理 ? ???
l iIldB 0?
?? (稳恒磁场有旋 )
6.载流线圈的磁矩 nN I SP
m ?
? ?
7.电磁相互作用
1)安培定律 BlIdfd ??? ??
2)磁场对载流导线的安培力 ? ?? l BlIdf ???
3)磁场对载流线圈的作用力矩 BPM m ??? ??
I
S
n?
（下一页）
4)磁场对运动电荷的洛仑兹力 BqF ??? ???
5)磁力作功 ?? 2
1
m
m m
IdA ?? ?
8.霍耳电压
b
IBRU
HH ?
)1( nqR H ?霍耳系数
（下一页）
1,直电流的磁场
a P
1?
2?
I
B?
)c o s( c o s4 210 ?????? aIB
?无限长载流直导线
a
IB
?
??
2
0
?半无限长载流直导线
a
IB
?
??
4
0
?直导线延长线上 0?B
本章一些重要的结论
（下一页）
2,圆电流轴线上某点的磁场
2322
2
0
2 )xR(
IRB
??
?
方向,右手螺旋法则
大小：
(1) 载流圆环圆心处的 圆心角 ?? 2?B?
R
IB
2
0??
(2) 载流圆弧 圆心角 ?
R
I
R
IB
?
??
?
??
422
00 ???
R
xI
P x
（下一页）
3,长直载流螺线管
?
?
??
外
内
0
0 nIB ?
5,环形载流螺线管
??
?
?
?
?
外
内
0
2
0
r
NI
B ?
?
2121 RRRR ???、
nIB 0??
12 R
Nn
?
?
4,无限大载流导体薄板
20 nIB ??
板上下两侧为均匀磁场
.,.,,..,.
d
ab
c
（下一页）
电场、磁场中典型结论的比较
r
IB
?
?
2
0?
rE 02??
??
2
0
2 R
IrB
?
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2
02 R
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内
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2
0?
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IB
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2
0?
长
直
圆
柱
面
电荷均匀分布 电流均匀分布
长
直
圆
柱
体
长直线
（下一页）
0?? ? ldE ??
静电场 磁 场
???? ?
i i
IldB 0??
0??? sdB ???? ?? i
s
qsdE
0
1
?
??
比较?
磁场没有保守性，它是
非保守场，或无势场
电场有保守性，它是
保守场，或有势场
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
磁力线闭合、
无自由磁荷
磁场是无源场
（下一页）
磁偶极子电偶极子
n?
I
S
3
0
2 r
pB m??
?
??
nISp m ?? ?
3
02
1
r
pE e??
???
lqP ?? ?
3
0
4 r
pB m??
?
???
类
比
在轴延长线上某点
? ?
qq? l?
（下一页）
解, 在 abcd内任取一面积元 dS = l1dx,
在此面积元内磁感应强度可看作常量,
x
IB
?
?
2
0?方向垂直于纸面向里
00c o sB d S?
? ?? 22 10 laam xdxIl??? a laIl 210 ln2 ?? ??
dxlxI 102???SdBd m ?? ???
二,典型例题
例 1(T11-10),一无限长直导线通有电流 I,求 通过矩
形线框 abcd(与直导线共面 )的磁通量,
d
a b
c
I
x
dx
2l
a 1l
（下一页）
例 2.真空中一无限长载流
直导线 LL?在 A点处折成
直角,在 LAL?平面内,求 R、
S两点处的磁感应强度的
大小,
R
S
AL
L?
a
a
a
a
解,对于 R点,LA的两端相对于
R点所对应的
01 ??
4
3
2
?? ?
（下一页）
R
S
AL
L?
a
a
a
a
所以 LA在 R点的磁感应强度 B1
的大小为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
4
3c o s0c o s
4
0
1
?
?
?
a
IB
???
?
???
?
??
2
21
4
0
a
I
?
?
AL?两端相对于 R点所对应的
41 ?? ? ?? ?2
方向：
（下一页）
AL?在 R点的磁感应强度大小为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?? ??
?
?
c o s
4
c o s
4
0
2 a
I
B
??
?
?
??
?
?
??
2
2
1
4
0
a
I
?
?
故 R点的磁感应强度大小为
21 BBB R ?? ? ?224
0 ??
a
I
?
?
R
S
AL
L?
a
a
a
a
方向：
方向：
（下一页）
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
4
3c o s0c o s
4
0
1
?
?
?
a
IB
??
?
?
??
?
?
??
2
21
4
0
a
I
?
?
对于 S点, LA在 S点产生的磁感应强度
LA 两端相对于 S点所对应的
01 ??
4
3
2
?? ? R
S
AL
L?
a
a
a
a
方向：
（下一页）
??
?
?
??
?
?
??
2
2
1
4
0
a
I
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
??
?
?? ??
?
? c o s
4
3c o s
4
0
2 a
IB
AL?两端相对于 S点所对应的
4
3
1
?? ? ?? ?
2
AL?在 S点产生的磁感应强度
S点磁感应强度
21 BBB s ?? a
I
?
?
4
2 0?
R
S
AL
L?
a
a
a
a
（下一页）
方向：
方向：
T11-3.两根导线沿半径方向引到铁环上 A,B两点,
并在很远处与电源相连,求 环心 O 的磁感应强度,
解, O点的磁感应强度为
=== 1,2,3,4,5段
===载流导线在 O点产生
===的磁感应强度的矢
===量和：
543210 BBBBBB
?????? ?????
?
?
O
R
1
2
3
5
A
B
I
I
1I
2I
1l
2l
4
（下一页）
O点在 3和 4的延长线上,
5离 O点可看作无限远,故,
03 ?B 04 ?B 05 ?B
设,1圆弧弧长 l1,
====2圆弧弧长 l2,
====圆的周长为 l
R
I
l
lB
2
101
1
??
R
I
l
lB
2
202
2
??
故
210 BBB ?? ? ?2211
0
2 lIlIRl ?
??
?
?
O
R
1
2
3
5
A
B
I
I
1I
2I
1l
2l
4
（下一页）
设 ?为导线电阻率,S为截面积
?
?
??
?
? ???
?
??
S
lI
S
lIS
Rl
2
2
1
1
0
2
? ?22110
2 RIRIRl
S ?
?
??
R1,R2分别为 1导线和 2导线的电阻,
显然 I1R1 = I2R2 = VAB,因此 B0 = 0
? ?221102 lIlIRl ???0B
（下一页）
例 4(似 T11-18),一根外半径为 R1的
无限长圆柱形导体管,管内空心部
分的半径为 R2,空心部分的轴与圆
柱的轴相平行但不重合,两轴间距
离为 a(a>R2),现有电流 I沿导体管
流动,电流均匀分布在管的横截面
上,方向与管轴平行,
O
1R
2R
O?
a I
1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小,
2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小,
求,
（下一页）
解,由于空心部分的存在,磁场的柱
=== 对称性被破坏,因而此题解法需
=== 用补偿法,(应保持原有的电流密
=== 度不变,)
以电流 I' 填满空心部分 2
22
2
2
1
R
RR
II ?
???
??
然后再用 -I‘ 填一次,以抵 消第一次填补的影响,
因而整个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个
半径为 R2 的反向圆柱电流 -I’ 产生的磁场的叠加,
O
1R
2R
O?
aI
?
（下一页）
大圆柱电流在轴线 O上产生的
磁场为零 小圆柱电流在轴线 O上
产生的磁感应强度为
a
I
?
?
2
0 ?
即
? ?2221
2
20
0 2 RRa
IR
B
?
?
?
?
2)空心部分轴线上磁感应强度 B0'
小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零
大圆柱电流在 O'出产生的磁感应强度为 ? ?
2
1
0
2 R
aII
?
? ??
即
? ?2221
0
0 2 RR
Ia
B
?
??
?
?
1)圆柱轴线上的磁感应强度 B0
O
1R
2R
O?
aI
?
（下一页）
例 5 (T11-13),一根很长的同轴电
缆,由一导体圆柱 (半径为 a )和
一同轴的导体管 (内、外半径分
别为 b, c )构成,使用时,电流 I
从一导体流出去,从另一导体流
回, 设电流都是均匀地分布在导
体横截面上 。
a bc
求,空间各点处磁感应强度大小
的分布。
（下一页）
a bc
解, 根据 安培环路定理
? ????l i IldB 0??
2
2 ra
II ??
??
2
2
02
a
IrrB ????
2
0
2 a
IrB
?
???
1） r < a
IrB 02 ????
r
IB
?
??
2
0
?
2) a < r < b
r
? ?? II
22
22
0
2 bc
rc
r
IB
?
?
?
??
3)b < r < c
4) r > c ? ??? 0III 0?B
? ?22 br ??? ?22 bc I??
22
22
bc
rcI
?
??
（下一页）
例 6 发电厂的汇流条是两条
L=3.0m的平行铜棒, 它们相距
a=0.5m,接通电路时,棒中电
流是 I = 10000A,问 此时汇流
棒之间的相互作用力多大,
dx
1 2
o
X
a
电流元 Idx 所受安培力为
解, 取如图坐标, 在汇流棒 2上 任取一电流元 Idx,
其中 B 为 1 在 dx 处产生的磁感应强度
I d l Bdf ? 方向向左
?
fd?
（下一页）
? ?210 c o sc o s
4
???
?
??
a
IB
其中
? ?22
2
2
2c o s
xLa
xL
??
?
???
? ?22
1
2
2c o s
xLa
xL
??
?
??
? ? ? ?
dx
xLa
xL
xLa
xL
a
I
df
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
4
1 2
o
X
dxa
2?
1?
（下一页）
所有 df方向相同 (向左 ) 故
? ? ? ?
dx
xLa
xL
xLa
xL
a
I
dff
L
L?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
???
?
2
2 2222
2
0
2
2
2
2
4
积分,以 L=3m,I=10000A,a = 0.5m代入,得
f = 102N
讨论,若磁场感应强度按
a
IB
?
?
2
0? 计算 f =?
试比较两者的误差
（下一页）
例 7,一塑料薄圆盘,半径为
R,电荷 q 均匀分布于表面,
圆盘绕通过盘心垂直面的轴
匀速转动,角速度 ?
求：
2)圆盘的磁矩 ;
3)若此圆盘处在水平向右的匀强磁场 B
中,求该圆盘所受的磁力矩。 。
1)圆盘中心处的磁感应强度 ;
?
R
oq
（下一页）
?
R
o
其方向与半径垂直,所以旋转的细环在盘心 O的
磁感应强度为
解, (1)求圆盘中心的磁感应强度
可用两种方法求解,
方法 1,根据运动电荷的磁场公式
3
0
4 r
rqB ?? ??
?
?? 求解
r d rdq ??? 2 ?=q/ ?R
2
r dr
??? r
在圆盘上任取一半径为 r,宽为 dr 的细环,
所取细环上的电荷 运动速度相同,均为
（下一页）
2
0
4 r
d q rdB ?
?
?? r d r
r
??
?
??? 2
4
0
dr20???? (方向垂直盘面向外 )
由于各细环在 O处的磁感应强度方向相同,所以
??
????? R drdBB
0
0
22
0 R????
R
q
?
???
2
0
(方向垂直盘面向外 )
?R
r dr
o
3
0
4 r
rqB ?? ??
?
??由
（下一页）
其中在 O处的磁感应强度
r
dIdB
2
0??
r
dq
?
??
4
0? dr
2
0????
(方向垂直盘面向外 )
积分结果与 方法 1相同,
方法 2,用圆电流公式计算,圆盘旋转时相当于
====不同半径的圆电流的集合,如上所取细环对
====应的电流
dqdI
?
?
2
? ?R
r dr
o
（下一页）
3)根据任意闭合回路在外磁场 B中所受的磁力矩计
BpM m ?? ?? BqR 241 ??
方向向上
2)根据线圈磁矩的定义,与细环电流对应的磁矩应为
SdIdp m ? dqr ??? 22? drr 3? ? ??
由于各细环的磁矩方向相同,因此总磁矩为
?? mm dpp ?? R drr0 3? ? ? 441 R? ? ?? 241 qR??
(方向垂直盘面向外 )
算公式 (11-22)得
（下一页）
一长直导线通有电流
I1=20A,其旁有一载流直
导线 ab,两线共面。 ab长
为 L=9.0?10-2m,通以电流
I2=10A,线段 ab垂直于长
直导线,a端到长直导线的
距离为 d = 1 ?10-2 m 。 。
1I
2I ba
O
01.0
求,1)导线 ab所受的力
2)导线 ab所受作用力对 O点的力矩,
例 8、
（下一页）
1)设在导线 ab上距长直导
线为 l 处取电流元 I2dl,该
处磁感应强度仅由 I1 所产
生,其大小为
l
IB
?
?
2
10?
(方向垂直纸面向里 )
则 I2dl 所受磁力的大小为
02 90s indlBIdF ? dl
l
II
?
?
2
210? 方向垂直 ab 向上
1I
2I
l
Fd?
ba
O
01.0
解,
则 ab 所受磁力的大小为 ?? ?? 1.0
01.0
210
2 l
dlIIdFF b
a ?
?
N57 102.930.21020102 ?? ???????
方向垂直 ab 向上 （下一页）
2) 如上所取电流元 I2dl 所受磁力对 O点的
==力矩大小为
dlIIld FdM
?
?
2
210??
方向垂直纸面向外
由于各电流元所受磁力对 O点的力矩方向相同,
所以整个导线 ab所受磁力对 O点的力矩大小为
?? dMM ?? 1.0 01.02102 dlII?? 09.02 210 ?? ?? II
mN ???????? ?? 67 106.309.01020102
方向垂直纸面向外,
（下一页）
习题 11-7 已知,R N I
求,球心处磁感应强度
?
dl
3
2
0
2 R
dIrdB ??
2R
N I dldI
?
?
?Rddl ?
?s i nRr ?
R
NI
R
dNI
B
4
s i n
0
2
0
2
0
?
?
????
?
? ?
方向水平向右
（下一页）
习题 11-6 已知,R I
求,轴心处磁感应强度
R
dIdB
?
?
2
0?
?Rddl ?
考虑对称性 0?
yB
?? ?? ?? s i nc o s dBdBB x
dl
X
Y
O
dB
? ?
R
Id
R
IRB
x 2
0
0 22
0
2
s i n
?
??
?
??? ?? ?
（结束）
dl
R
IdI
?
?
