I
P.
§ 11-2 毕奥 ---萨伐尔定律及其应用
一、毕奥 -萨伐尔定律 -----电流元产生磁场的规律
电流元 lId?
2
0 s i n
4 r
I d ldB ?
?
??
)Am(T104 170 ?? ??????
?
r?
Bd?
3
0
4 r
rlId
Bd
??? ?
?
?
?
lId?
磁感的
大小,
磁感的方向,
综 合 以 上
两点有：
由 I d l 转向 r 的右手螺旋方向 。
—— 真空磁导率
（下一页）
?
?? rr
r
r
0
??
几点讨论,
1） dB 与 Idl 成正比, 与距离 r
=== 的平方成反比；
2） dB与 r 和 Idl 的夹角的有关：
α
lId?
r? p
p1
p2
pBd
?
在与电流元垂直的方向上, 磁场最强；
在与电流元重合的方向上, 磁场为零；
2
0 s i n
4 r
I d ldB ?
?
??
垂直于电流元和矢径构成的平面 。
（下一页）
1,关于 dB 的大小
2,关于 dB 的方向：
二,毕奥 ---萨伐尔定律的应用
计算各种电流分布产生的磁场的磁感强度
α
lId?
r?
p
pBd
?
基本步骤：
?? ?
????
LL r
rlIdBdB
3
0
4
???? （下一页）
1） 任取电流元 Idl,求出其在
==场点 P 产生的磁感 dB的
==大小与方向；
2） 分析 dB方向是否变化,
==若不变,直接积分 ;
===若变化,则要将 dB适当 =
的分解,对各分量分别积分,
然后再合成起来,
XO
Y
a P
1?
I 2?
例 1,直电流的磁场
?建立坐标系 OXY
?任取电流元 lId?
2
0
4 r
s i nI d ldB ?
?
??
?写出分量式 ?? ??
2
0
4 r
s i nI d ldBB ?
?
?
大小,
方向,
rlId ?? ? ?
已知,真空中,aI,、,21 ??
求 p点的磁感强度,
（下一页）
dl
l
?
r?
Bd?
各电流元的 dB 的方向都相同。
? 统一积分变量
a
dl
P
?
l 1?
2?
r
Bd?
I
O X
Y
?? c t gπc t g aal ???? )(
?? dc s cadl 2?
?s i nar ?
?? ?????? 22
2
0
4 s i n
ads i nI
a
s i n
?? 204 r dls i nIB ???
?? 21 si n4 0?? ???? dIa
)co s( c o s4 210 ???? ?? aIB )c o s( c o s
4 21
0 ??
?
? ??
a
I
（下一页）
)co s( c o s4 210 ???? ?? aIB
a P
1?
2?
I
B?
?无限长载流直导线
讨
论
（下一页）
?无限长载流直导线
01 ?? ?? ?2 aIB ??2 0?
)co s( c o s4 210 ???? ?? aIB
a P
I
B?
讨
论 ?半无限长载流直导线
（下一页）
?无限长载流直导线
01 ?? ?? ?2 aIB ??2 0?
?半无限长载流直导线
讨
论
)co s( c o s4 210 ???? ?? aIB
a P
1?
I
B?
21 ?? ? ?? ?2 aIB ??4 0?
?直导线延长线上
（下一页）
?无限长载流直导线
01 ?? ?? ?2 aIB ??2 0?
?半无限长载流直导线
21 ?? ? ?? ?2 aIB ??4 0?
?直导线延长线上
)co s( c o s4 210 ???? ?? aIB
讨
论
I
B?
0
0)c o s( c o s
4 21
0 ??? ??
?
?
a
IB
00 21 ??? ??a
（下一页）
?无限长载流直导线
01 ?? ?? ?2 aIB ??2 0?
?半无限长载流直导线
21 ?? ? ?? ?2 aIB ??4 0?
?直导线延长线上
2
0
4 r
s i nI d ldB ?
?
??
0?? 0?dB 0?B
)co s( c o s4 210 ???? ?? aIB
讨
论
I
B?
（下一页）
= 0
O
?p
R
I ?Bd? Bd?
?
xBd?
0r?
X
Y例 2,圆电流的磁场
lId?
已知, R,I
求 轴线上 P点的 B?
?建立坐标系 OXY
?任取电流元 lId?
?分析对称性、写出分量式
2
0
4 r
I d ldB
?
??B的大小：
方向：
0rlId ?
? ?
0?? ?? ? BdB ?? ?? ?? 2
0
4 r
s i nI d ldBB
xx
?
?
?
（下一页）
各电流元的 dB 的方向都不相同。
?统一积分变量
?? ?? 204 rs i nI d ldBB xx ???
rRs i n ??
?? dlrIR304 ?? RrIR ??? 24 30 ??
2322
2
0
2 )xR(
IR
?
? ?
结论
2322
2
0
2 )xR(
IRB
??
?
方向,右手螺旋法则
大小：
（下一页）
x
O
?p
R
I
X
Y
lId?
?Bd
? Bd?
?
xBd?
0r?
O R X
I
B?
讨
论
2322
2
0
2 )xR(
IRB
??
?
方向,右手螺旋法则
大小：
I
)1( ??? BRx
2322
2
0
)(2 xR
IRB
?
? ?
3
2
0
2 x
IR??
定义,平面载流线圈的磁矩
nN ISPm m ??? ??
n?
I
S
则
3
0
2 x
mB
?
?? ??
（下一页）
2.） 圆心处：
R
IB
2
0???
? 载流圆环：
0?x
?? 2?圆心角
2322
2
0
)(2 xR
IRB
?
??
I
B?
?
（下一页）
2
0 s in
4 r
I d ldBB
xx
?
?
??? ??
?? ??
??
?
?
?
?
?
2
3
0
2
3
0
44
Rd
R
IRdl
R
IR
R
???
?
?
?
?
2
0
4
d
R
I
R
IB
2
0??
=900
= R2
? 载流圆弧：
?
B?
I?
R
I
R
IB
?
??
?
??
422
00 ???
练
习 B?如右图，求圆心 O点的 ?OI R
?圆心角
R
IB
o 4
0??
?oB?
I
I
O
R
R I
I
O R
I
R
I
R
IB
o 84
00 ?
?
? ??
R
I
R
IB
o 42
00 ?
?
? ??
（下一页）
?oB?
?oB?
概念 定律 方法 结论
电场 磁场
2
00
4 r
rlIdBd ??? ??
?
?
02
04
rrqE ?
?
???
点电
荷,
电流
元,
aE 02??
??
a
IB
?
?
2
0?带电直线, 长直电流,
2322
2
0
)(2 Rx
IRB
??
?
2
322
0 )(4 Rx
xqE
?
?
??
带电
圆环,
圆环
电流,
（下一页）
磁偶极子
n?
I
S
mPnISm
??? ??
电偶极子
lqPe ?? ?
? ?y
qq?
类
比
3
0
2 r
mB
?
?? ??
3
02
1
r
pE ??
???
延长线
上：
3
0
4 r
mB
?
??? ??中垂面 上：
（下一页）
例 3 两平行载流直导线
cmr 202 ? cmrr 1031 ??
AII 2021 ??cml 25?
? 过图中矩形的磁通量
AB
?求 ? 两线中点
cmd 40?
l
3r1r 2r
1I
2I
d
A?
AB
?
解,? 1I 2I,在 A点的磁场
22
10
21 d
IBB
?
???
T5100.2 ???
TBBB A 521 100.4 ?????
方向 ?
（下一页）
方向 ?
? 如图取微元
B l d rSdBd m ??? ???
)(22
2010
rd
I
r
IB
??? ?
?
?
?
ld r
rd
I
r
Irr
r?
?
?
?? 21
1
]
)(22
[ 2010
?
?
?
?
21
120
1
2110 ln
2
ln
2 rrd
rdlI
r
rrlI
??
????
?
?
?
?
Wb61026.2 ???
方向 ?
（下页作业 ）
r dr
cmd 40?
l
3r1r 2r
1I
2I
d
A?
AB
?
Φm= ∫d Φm
作 业
P176 T11-2,4
Bye bye!