上节回顾：
1,库仑定律 ----点电荷之间的相互作用规律
2,库仑力的叠加原理,即多个电荷同时作用力等于每个电荷
==================单独作用力之矢量和。
3,电场强度 —— 描述电场强弱的物理量
单位正电荷在电场中
某点所受到的电场力
（ 1）点电荷产生的电场强度
.,,,,,321 qqq（ 2）点电荷系 产生的电场中的场强
（ 3）任意带电体 (连续带电体 )电场中的场强
4,电场强度的计算 场强叠加原理
0q
FE
??
?
定义式
（下一页）
(1)无限长均匀带
电细棒的场强
5,几个常用的电场公式
yE 02 ??
??
(2)圆环在其中轴线上
任意点产生的场强
2
322
0 )(4 xR
qxE
?
?
??
(3)无限大均匀带电
平面产生的场强
02 ?
??E
（下一页）
内容回顾
1q
12r?
21F
?
12F
?
2q
122
12
21
12 ?rr
qqkF ??
2、电场强度的定义
0q
F
E
?
?
?3、电场强度的计算
（ 1）点电荷产生的电场强度
r
r
q
q
FE ?
4 200 ??
??
??
0?q
0?q
1,库仑定律
（下一页）
.,,,,,321 qqq（ 2）点电荷系 产生的电场中的场强计算
2r?
1r?
3r?
3q
2q
1q
p
1 E?
2 E?
3 E?
E?
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?
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i
i
i
i
n
i
i
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r
q
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1
2
0
1
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4
1
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??
（ 3）任意带电体电场中的场强计算
r
r
dqEdE ?
4
1
2
0
?? ?? ??
??
Ed?
dq r?
（下一页）
带电体在电场中所受的电场力
电场强度的定义
0q
F
E
?
?
?
1、点电荷所受的电场力
EqF ?? ??
0?q
F?
0?qF?
点电荷在电场中所受的力大小等
于 qE,方向取决与电量的正负
2、带电体所受的电场力 —— 迭加原理 F?d
dq
EqF ?? ?? dd
qEFF
VV
?? ??? dd ???
（下一页）
1,电场线、电（ E） 通量、高斯定理
2,利用高斯定理求静电场的分布
教学要求,
1,理解电（ E） 通量的概念,会计算均匀场及较简
单电场中简单曲面的电（ E） 通量 ;
2,理解高斯定理的物理意义,能用高斯定理分析较简
单的有关的问题 ;
3,能用高斯定理计算球对称分布的带电体产生的电场。
本讲内容：
本讲重点：电通量概念及高斯定理的应用。
（下一页）
§ 8-4 电场强度通量 高斯定理
1 电场线的 定义：
一,电场线（ E 线）
(1)方向, 电场线上各点的 切线方向 表
=======表示电场中 该点场强的方向。
1E
?
2E
?
3E
?
2,电场线示例（看 P17图 8-16）
场强就等于电场线的面密度 ?? dSdNE E
?dS
显然，电场线密集处场强大。
(2) 密度, 穿过垂直于该点场强方向的单
===位面积上的电场线的条数（ 电场线的
====面密度） 等于该点的 场强的大小 。
均匀电场的电场线是平行直线,
（下一页）
（下一页）
3,电场线的性质：
2） 电场线不会在无电荷的地方中断；
3） 电场线不会在无电荷的地方相交；
4） 静电场的电场线不会形成闭合曲线
（感应电场的电场线都是闭合曲线）。
E?
q? q?
1,电 （ E） 通量的定义
二,电 （ E） 通量
1）静电场的电场线起于正电荷，
===终止于负电 荷；电荷是电场线
===的“源”和“尾”
通过任一曲面的电场线
的条数称为通过这一曲
面的 电通量 。用 表示
e?
类比, 场强 E 相当于水流密度,电通量 相当于通
过某 一截面的水流量, e?
E
?dS
?? dSdNE
（下一页）
2,电 （ E） 通量的计算
(1)均匀电场中电通量的计算
S 的投影面积
曲
面
S
电场线
???? SEe
即：场强与曲面在垂直于电场线
方向的投影面积之乘积
（ 2） 非均匀电场中电通量的计算
难点：曲面上
各点的场强大
小与方向均是
变化的。
对策：将曲面
分割成若干小
面元，先求每
一面元的电通
量，再利用积
分求得整个曲
面的电通量。
（下一页）
① 小面元上的电通量计算
要点：小面元可视为小平面，
其上的场强可视为均匀场。
E?
n?
dS
?
?dS
?
dS
?dS
面元在垂直于场强方向
的投影是,
?dS
∴ 通过它的电通量等于面元 的电通量,
又 ∵
?c o s)c o s ( dSnEdSdS ?? ?? ??
?co sE d SE d Sd e ???? ?
定义,矢量面元,ndSSd ?? ??
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此通过面元的电通量可表示为：
SdEd e ?? ???
Sd?
（下一页）
小面元上的电通量的正与负
?c o sEd SSdEd e ???? ??
E?n?
0?? ed
2
?? ?
E?
n?
0?? ed
2
?? ?
E?
n?
0?? ed
2
?? ?
②通过任一曲面 S 的电通量：
???? ?????
SS
ee SdEd
??
（下一页）
③通过任一闭合曲面 S的电通量：
?? ??? Se SdE ??
闭合曲面法线方向的规定,
外法线方向 (自内向外 ) 为正。
n?
注意：电通量是一个代数量，可正可负；
取决于对曲面法线正方向的规定。
对于上面的规定，电力线穿出闭合曲面电通量为正；
==============电力线穿入闭合曲面电通量为负。
（下一页）
电通量的计算示例,计算通过以点电荷 q 为球心，
以 r 为半径的闭合球面的电通量。
24 rESEe ??????
2
04 r
qE
??
??
2
0
2
4
4
r
qrSE
e ??? ??????
E
S
r
解,先按“水流量”的类比来计算。由于球面上各点
的 ===,水流密度” E 大小相等，方向均与曲面垂直
,====故通过球面的“水流量” 为：
0?
q?
（下一页）
再按电通量的定义来计算：
?c o sE d SSdEe ??? ???? ??
E
S
r
Sd?
0
2
2
0
4
4 ?
?
??
qr
r
qdSE
e ????? ?
两种方法求得的结果相同。
讨论,1）在此情况下，通过球面的
==电通量与球面的半径无关；
2）通过球面的电通量的正负由球面内的电
==荷的正负决定；正电荷是电场线的“源”
,==负电荷是电场线的“尾闾”。
按照面元矢量的定义，如图所示任取面元矢量,
由于 与 E方向相同，故夹角为零。而在球面上 E为
常数，可提到积分号外。因此有,Sd
?
Sd?
（下一页）
3） 从闭合曲面内 穿出 的一条电场线产生 正 一单位的
== 电通量 ; 从外面 穿入 闭合曲面的一条电场线产
== 生 负 一单位的电通量。
问题,通过静电场中 任意 闭合曲面的电通
量应如何计算？有什么意义？
下一页看 …
三、静电场的高斯定理
e?
0?
静电场中任何一闭合曲面 S 的电通量,等于
该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。
??? ???
（闭合曲面内）
iSe qSdEΦ
0
1
?
??数学表达式：
证明：可用库仑定律和叠加原理分步证明之。
1,通过 以点电荷 q为球心的任意闭
合球面的电通量均为 ;
0?q
2,通过包围点电荷 q在内的任意闭
合曲面的电通量均为 ;
0?q
E
S
r
Sd?
（下一页）
由 电场线的连续性 可知，
一根电场线穿入必穿出，产生
的电通量恰好抵消。 所以当
闭合曲面内无电荷时，电通量
必为零。
3,闭合曲面外的点电荷对闭合曲面
电通量的贡献等于零。
4,多个点电荷的电通量等于它们
单独存在时的电通量的代数和。
E?
q
'dS
''dS
eneee ??????????? 21 iq
2q
1q
（下一页）
E?1) 高斯定理中的场强 是由 全部电荷 产生的 ;
2) 闭合曲面的 电通量只决定于它所包含的 电荷 。
）内
（闭合曲面内）
qqSdEΦ i
Se
???? ??? (1
0?
??
5,静电场中任意闭合曲面
==的电通量,等于该闭曲
==面内包围的电荷的代数
==和除以 ; 与闭合曲
==面外的电荷无关, 0?
outq2
iq
2q
1q
outq1
outq3
内q
外q
两
点
说
明
（下一页）
〖 附 〗 ?对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律
======等价。
高斯定理的用途：
?当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求
出该电荷系统的电场的分布。比其他方法简便。
?当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域
的电荷、电位分布。
?对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，
=而高斯定理仍然有效。
（下一页）
四、高斯定理的应用 — 计算电场强度分布
?? ? ???
曲面内
iqE d SSdE
0
1
c o s
?
?
??
?? ?
曲面内
iqdSE
0
1c o s
?
?
注意：这样
求得的是高
斯面处的场
强！
当 场源电荷分布具有某种对称性时,选取一个
适当的曲面 — 高斯面,使该曲面上的场强大小处处
相等，则面积分 中的 E为常量，故有：
?
S
E dsc o s ?
0/c o s
1 ?
? ??
??
曲面内
iqdSE
（下一页）
例一,用高斯定理求点电荷的场强分布
0
24c o s
?
?? qrEdSEdSESdE
S SSe
???????? ?? ????
??
2
04 r
qE
??
??
再考虑到场强的方向，则有：
点电荷的场具有以点电荷为中心的球对称性，即
在以点电荷为球心的任意球面上，场强的大小相等，
方向应沿半径方向指向外。故选以点电荷为球心,任
一长度 r 为半径的球面为高斯面。则有：
02
0
?
4
r
r
qE
??
??
?
（下一页）
例二、试求均匀带电的球面内外的场强分布。
设球面半径为 R,所带总电量为 Q。
解：
它具有与场源同心的球面对称性。故选同心球面为高
斯面。场强的方向沿径向，且在球面上场强处处相等。
当 时高斯面 1内电荷为 Q,所以Rr ?
，
0
24
?
? QrEdSESdE
S Se
?????? ?? ??
??
Rrr
r
QE ??? ?
4 20??
?
RrE ??? 0?当 时高斯面 2内电荷为 0Rr ?
E?
Q
均匀带电球壳
R
场源的对称性决定着场强分布的对称性。
首先考虑球面外任意点 P 的场强。
高斯面 1
r
p
再考虑球面内任意点 P 的场强。
高斯面 2
p
（下一页）
结果表明：
均匀带电球壳外的场强分
布正象球面上的电荷都集
中在球心时所形成的点电
荷在该区的场强分布一样。
在球面内场强均为零。可
用右面的图表示。
E?
Q R
r0; ?
4 20
Rrr
r
QE ?? 当
??
?; 0 RrE ?? 当?
均匀带电的球面
内外的场强分布
（下一页）
例三、求均匀带电的球体内外的场强分布。设球体
===== 半径为 R,所带总带电为 Q
rRQrE ?4 3
0??
?? ?
i n s i d eS
s
QrEdSESdE?? ?? ????
0
2 14c o s
?
??
??
r
r
QE ?
4 20??
??
?
解,场源分布的具有球面对称性。其产生的电场分布
=== 也同样具有球面对称性。故选取与带电球体同心
=== 的球面为高斯面。
333
3 /3
4
)3/4(,RQrrR
QQRr
in ??? ??当
204 rQE i n s i d e ????
QQRr in ??,当
（下一页）
该电场分布具有柱面对称性。即
在以带电直线为轴线的任一柱面
上，场强的大小相等，方向均沿
半径方向。
以带电直导线为轴，作一个通过 P点，
高为 的圆筒形封闭面为高斯面 S，l
例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。
===== 设电荷线密度为 ?
?
l
topS
sideS bottomS
r
P
通过 S面的电通量为圆柱侧面
和上下底面三部分的通量。
（下一页）
因上、下底面的场强方向与面平行，
其电通量为零。即式中后两项为零。
? ?
i n s i d e
i lq ?
此闭合面包含的电荷总量
lrlEdSESdE
f a c e
s i d e
f a c e
s i d ee ???
0
12 ???????? ???? ??
?? ?? ????? S f a c es i d ee SdESdE ????
???? ???? b o t t o mt o p SdESdE ????
r
E
02 ??
??
其方向沿场点到带电直线的垂线
方向，由电荷的正负决定。
E?
l
S
e?
O r
p
（下一页）
由于电荷分布是平面
对称的，所以 场强 分布也
是平面对称的，即离平面
等远处的场强大小都相等、
方向都垂直于带电平面。
电场线如图所示。
例五,求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷
密度为
e?
解, 对称性分析
）内
（闭合曲面内）
qqSdEΦ i
Se
???? ??? (1
0?
??
（下一页）
选一其轴垂直于带电平面的 圆筒式
封闭面作为高斯面 S,带电平面平
分此圆筒，场点 p位于它的一个底
面上。由于圆筒侧面上各点的场强
方向垂直于侧面的法线方向，所以
电通量为零；又两个底面上场强相
等、电通量相等，均为穿出。
SESdESdESdE
f a c e
r i g h tS
f a c e
l e f te ????????? ???? ?? 2
??????
0
2 ?? SSE e ????
o
p
e?
E?
S?
）内
（闭合曲面内）
qqSdE i
Se
????? ??? (1
0?
??
?
（下一页）
02 ?
? eE ??
场强方向指离平面 ;0?
e?
场强方向指向平面。0?
e?
例六,求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。
设面电荷密度分别为 和?? ??
1 ?? ??2
解,该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用
高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯
定律求出,然后再用叠加原理 求两个带电平面产生
的总场强。 需 注意方向 。
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
（下一页）
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
A BC
（下一页）
002
2
?
?
?
? ?????
?? EEE C
A BC
?? ??
由图可知，在 A区和 B区场强均为零。
C 区场强的方向从带正电的平板指向
带负电的平板。 场强大小为一个带电
平板产生的场强的两倍。
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
A BC
（下一页）
??
?
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?
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r
Rr
E
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0
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02 ?
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均匀带电球面
无限长均匀带电直线
无限大均匀带电平面
典型结论
??
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q
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E
2
04
0
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无限长均匀带电圆柱面
r
E
02 ??
?
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（下一页）
作 业
P53
T8-18,19,20
Bye bye!
1,库仑定律 ----点电荷之间的相互作用规律
2,库仑力的叠加原理,即多个电荷同时作用力等于每个电荷
==================单独作用力之矢量和。
3,电场强度 —— 描述电场强弱的物理量
单位正电荷在电场中
某点所受到的电场力
（ 1）点电荷产生的电场强度
.,,,,,321 qqq（ 2）点电荷系 产生的电场中的场强
（ 3）任意带电体 (连续带电体 )电场中的场强
4,电场强度的计算 场强叠加原理
0q
FE
??
?
定义式
（下一页）
(1)无限长均匀带
电细棒的场强
5,几个常用的电场公式
yE 02 ??
??
(2)圆环在其中轴线上
任意点产生的场强
2
322
0 )(4 xR
qxE
?
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(3)无限大均匀带电
平面产生的场强
02 ?
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（下一页）
内容回顾
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21F
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2、电场强度的定义
0q
F
E
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?3、电场强度的计算
（ 1）点电荷产生的电场强度
r
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q
q
FE ?
4 200 ??
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1,库仑定律
（下一页）
.,,,,,321 qqq（ 2）点电荷系 产生的电场中的场强计算
2r?
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（ 3）任意带电体电场中的场强计算
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（下一页）
带电体在电场中所受的电场力
电场强度的定义
0q
F
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?
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1、点电荷所受的电场力
EqF ?? ??
0?q
F?
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点电荷在电场中所受的力大小等
于 qE,方向取决与电量的正负
2、带电体所受的电场力 —— 迭加原理 F?d
dq
EqF ?? ?? dd
qEFF
VV
?? ??? dd ???
（下一页）
1,电场线、电（ E） 通量、高斯定理
2,利用高斯定理求静电场的分布
教学要求,
1,理解电（ E） 通量的概念,会计算均匀场及较简
单电场中简单曲面的电（ E） 通量 ;
2,理解高斯定理的物理意义,能用高斯定理分析较简
单的有关的问题 ;
3,能用高斯定理计算球对称分布的带电体产生的电场。
本讲内容：
本讲重点：电通量概念及高斯定理的应用。
（下一页）
§ 8-4 电场强度通量 高斯定理
1 电场线的 定义：
一,电场线（ E 线）
(1)方向, 电场线上各点的 切线方向 表
=======表示电场中 该点场强的方向。
1E
?
2E
?
3E
?
2,电场线示例（看 P17图 8-16）
场强就等于电场线的面密度 ?? dSdNE E
?dS
显然，电场线密集处场强大。
(2) 密度, 穿过垂直于该点场强方向的单
===位面积上的电场线的条数（ 电场线的
====面密度） 等于该点的 场强的大小 。
均匀电场的电场线是平行直线,
（下一页）
（下一页）
3,电场线的性质：
2） 电场线不会在无电荷的地方中断；
3） 电场线不会在无电荷的地方相交；
4） 静电场的电场线不会形成闭合曲线
（感应电场的电场线都是闭合曲线）。
E?
q? q?
1,电 （ E） 通量的定义
二,电 （ E） 通量
1）静电场的电场线起于正电荷，
===终止于负电 荷；电荷是电场线
===的“源”和“尾”
通过任一曲面的电场线
的条数称为通过这一曲
面的 电通量 。用 表示
e?
类比, 场强 E 相当于水流密度,电通量 相当于通
过某 一截面的水流量, e?
E
?dS
?? dSdNE
（下一页）
2,电 （ E） 通量的计算
(1)均匀电场中电通量的计算
S 的投影面积
曲
面
S
电场线
???? SEe
即：场强与曲面在垂直于电场线
方向的投影面积之乘积
（ 2） 非均匀电场中电通量的计算
难点：曲面上
各点的场强大
小与方向均是
变化的。
对策：将曲面
分割成若干小
面元，先求每
一面元的电通
量，再利用积
分求得整个曲
面的电通量。
（下一页）
① 小面元上的电通量计算
要点：小面元可视为小平面，
其上的场强可视为均匀场。
E?
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?dS
面元在垂直于场强方向
的投影是,
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∴ 通过它的电通量等于面元 的电通量,
又 ∵
?c o s)c o s ( dSnEdSdS ?? ?? ??
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定义,矢量面元,ndSSd ?? ??
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此通过面元的电通量可表示为：
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Sd?
（下一页）
小面元上的电通量的正与负
?c o sEd SSdEd e ???? ??
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②通过任一曲面 S 的电通量：
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（下一页）
③通过任一闭合曲面 S的电通量：
?? ??? Se SdE ??
闭合曲面法线方向的规定,
外法线方向 (自内向外 ) 为正。
n?
注意：电通量是一个代数量，可正可负；
取决于对曲面法线正方向的规定。
对于上面的规定，电力线穿出闭合曲面电通量为正；
==============电力线穿入闭合曲面电通量为负。
（下一页）
电通量的计算示例,计算通过以点电荷 q 为球心，
以 r 为半径的闭合球面的电通量。
24 rESEe ??????
2
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解,先按“水流量”的类比来计算。由于球面上各点
的 ===,水流密度” E 大小相等，方向均与曲面垂直
,====故通过球面的“水流量” 为：
0?
q?
（下一页）
再按电通量的定义来计算：
?c o sE d SSdEe ??? ???? ??
E
S
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两种方法求得的结果相同。
讨论,1）在此情况下，通过球面的
==电通量与球面的半径无关；
2）通过球面的电通量的正负由球面内的电
==荷的正负决定；正电荷是电场线的“源”
,==负电荷是电场线的“尾闾”。
按照面元矢量的定义，如图所示任取面元矢量,
由于 与 E方向相同，故夹角为零。而在球面上 E为
常数，可提到积分号外。因此有,Sd
?
Sd?
（下一页）
3） 从闭合曲面内 穿出 的一条电场线产生 正 一单位的
== 电通量 ; 从外面 穿入 闭合曲面的一条电场线产
== 生 负 一单位的电通量。
问题,通过静电场中 任意 闭合曲面的电通
量应如何计算？有什么意义？
下一页看 …
三、静电场的高斯定理
e?
0?
静电场中任何一闭合曲面 S 的电通量,等于
该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。
??? ???
（闭合曲面内）
iSe qSdEΦ
0
1
?
??数学表达式：
证明：可用库仑定律和叠加原理分步证明之。
1,通过 以点电荷 q为球心的任意闭
合球面的电通量均为 ;
0?q
2,通过包围点电荷 q在内的任意闭
合曲面的电通量均为 ;
0?q
E
S
r
Sd?
（下一页）
由 电场线的连续性 可知，
一根电场线穿入必穿出，产生
的电通量恰好抵消。 所以当
闭合曲面内无电荷时，电通量
必为零。
3,闭合曲面外的点电荷对闭合曲面
电通量的贡献等于零。
4,多个点电荷的电通量等于它们
单独存在时的电通量的代数和。
E?
q
'dS
''dS
eneee ??????????? 21 iq
2q
1q
（下一页）
E?1) 高斯定理中的场强 是由 全部电荷 产生的 ;
2) 闭合曲面的 电通量只决定于它所包含的 电荷 。
）内
（闭合曲面内）
qqSdEΦ i
Se
???? ??? (1
0?
??
5,静电场中任意闭合曲面
==的电通量,等于该闭曲
==面内包围的电荷的代数
==和除以 ; 与闭合曲
==面外的电荷无关, 0?
outq2
iq
2q
1q
outq1
outq3
内q
外q
两
点
说
明
（下一页）
〖 附 〗 ?对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律
======等价。
高斯定理的用途：
?当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求
出该电荷系统的电场的分布。比其他方法简便。
?当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域
的电荷、电位分布。
?对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，
=而高斯定理仍然有效。
（下一页）
四、高斯定理的应用 — 计算电场强度分布
?? ? ???
曲面内
iqE d SSdE
0
1
c o s
?
?
??
?? ?
曲面内
iqdSE
0
1c o s
?
?
注意：这样
求得的是高
斯面处的场
强！
当 场源电荷分布具有某种对称性时,选取一个
适当的曲面 — 高斯面,使该曲面上的场强大小处处
相等，则面积分 中的 E为常量，故有：
?
S
E dsc o s ?
0/c o s
1 ?
? ??
??
曲面内
iqdSE
（下一页）
例一,用高斯定理求点电荷的场强分布
0
24c o s
?
?? qrEdSEdSESdE
S SSe
???????? ?? ????
??
2
04 r
qE
??
??
再考虑到场强的方向，则有：
点电荷的场具有以点电荷为中心的球对称性，即
在以点电荷为球心的任意球面上，场强的大小相等，
方向应沿半径方向指向外。故选以点电荷为球心,任
一长度 r 为半径的球面为高斯面。则有：
02
0
?
4
r
r
qE
??
??
?
（下一页）
例二、试求均匀带电的球面内外的场强分布。
设球面半径为 R,所带总电量为 Q。
解：
它具有与场源同心的球面对称性。故选同心球面为高
斯面。场强的方向沿径向，且在球面上场强处处相等。
当 时高斯面 1内电荷为 Q,所以Rr ?
，
0
24
?
? QrEdSESdE
S Se
?????? ?? ??
??
Rrr
r
QE ??? ?
4 20??
?
RrE ??? 0?当 时高斯面 2内电荷为 0Rr ?
E?
Q
均匀带电球壳
R
场源的对称性决定着场强分布的对称性。
首先考虑球面外任意点 P 的场强。
高斯面 1
r
p
再考虑球面内任意点 P 的场强。
高斯面 2
p
（下一页）
结果表明：
均匀带电球壳外的场强分
布正象球面上的电荷都集
中在球心时所形成的点电
荷在该区的场强分布一样。
在球面内场强均为零。可
用右面的图表示。
E?
Q R
r0; ?
4 20
Rrr
r
QE ?? 当
??
?; 0 RrE ?? 当?
均匀带电的球面
内外的场强分布
（下一页）
例三、求均匀带电的球体内外的场强分布。设球体
===== 半径为 R,所带总带电为 Q
rRQrE ?4 3
0??
?? ?
i n s i d eS
s
QrEdSESdE?? ?? ????
0
2 14c o s
?
??
??
r
r
QE ?
4 20??
??
?
解,场源分布的具有球面对称性。其产生的电场分布
=== 也同样具有球面对称性。故选取与带电球体同心
=== 的球面为高斯面。
333
3 /3
4
)3/4(,RQrrR
QQRr
in ??? ??当
204 rQE i n s i d e ????
QQRr in ??,当
（下一页）
该电场分布具有柱面对称性。即
在以带电直线为轴线的任一柱面
上，场强的大小相等，方向均沿
半径方向。
以带电直导线为轴，作一个通过 P点，
高为 的圆筒形封闭面为高斯面 S，l
例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。
===== 设电荷线密度为 ?
?
l
topS
sideS bottomS
r
P
通过 S面的电通量为圆柱侧面
和上下底面三部分的通量。
（下一页）
因上、下底面的场强方向与面平行，
其电通量为零。即式中后两项为零。
? ?
i n s i d e
i lq ?
此闭合面包含的电荷总量
lrlEdSESdE
f a c e
s i d e
f a c e
s i d ee ???
0
12 ???????? ???? ??
?? ?? ????? S f a c es i d ee SdESdE ????
???? ???? b o t t o mt o p SdESdE ????
r
E
02 ??
??
其方向沿场点到带电直线的垂线
方向，由电荷的正负决定。
E?
l
S
e?
O r
p
（下一页）
由于电荷分布是平面
对称的，所以 场强 分布也
是平面对称的，即离平面
等远处的场强大小都相等、
方向都垂直于带电平面。
电场线如图所示。
例五,求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷
密度为
e?
解, 对称性分析
）内
（闭合曲面内）
qqSdEΦ i
Se
???? ??? (1
0?
??
（下一页）
选一其轴垂直于带电平面的 圆筒式
封闭面作为高斯面 S,带电平面平
分此圆筒，场点 p位于它的一个底
面上。由于圆筒侧面上各点的场强
方向垂直于侧面的法线方向，所以
电通量为零；又两个底面上场强相
等、电通量相等，均为穿出。
SESdESdESdE
f a c e
r i g h tS
f a c e
l e f te ????????? ???? ?? 2
??????
0
2 ?? SSE e ????
o
p
e?
E?
S?
）内
（闭合曲面内）
qqSdE i
Se
????? ??? (1
0?
??
?
（下一页）
02 ?
? eE ??
场强方向指离平面 ;0?
e?
场强方向指向平面。0?
e?
例六,求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。
设面电荷密度分别为 和?? ??
1 ?? ??2
解,该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用
高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯
定律求出,然后再用叠加原理 求两个带电平面产生
的总场强。 需 注意方向 。
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
（下一页）
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
A BC
（下一页）
002
2
?
?
?
? ?????
?? EEE C
A BC
?? ??
由图可知，在 A区和 B区场强均为零。
C 区场强的方向从带正电的平板指向
带负电的平板。 场强大小为一个带电
平板产生的场强的两倍。
??
02/ ?? 02/ ??
??
02/ ?? 02/ ??
A BC
（下一页）
??
?
?
?
?
?
? Rr
r
Rr
E
02
0
??
?
02 ?
?
?E
均匀带电球面
无限长均匀带电直线
无限大均匀带电平面
典型结论
??
?
?
?
?
?
? Rr
r
q
Rr
E
2
04
0
??
无限长均匀带电圆柱面
r
E
02 ??
?
?
（下一页）
作 业
P53
T8-18,19,20
Bye bye!
