静电场习题课
★ 基本概念,E? V
★ 基本定理：
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iqsdE
0
1
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★ 基本计算,E? V
高斯定理 —静
电场是有源场
环路定理 —静电
场是无旋场，是
保守场
（下一页）
静电场的场量 点电荷 电场叠加性 E? u 关系
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FE
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P
P ldEV
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本章内容要点：
xVE x ????
yVE y ????
zVE z ????
（下一页）
场强的计算
叠加法
高斯定理法
梯度法
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点电荷系
的场强,? ??? i
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带电体的
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r
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对线电荷,dldq ??
（下一页）
电势的计算
叠加法
定义法
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P
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VV
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点电荷系
的电势：
带电体的
电势：
（下一页）
①无限大均匀带电平面
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几种特殊带电体的电场分布
0??
E?
0??
E?
（下一页）
②无限长均匀带电直线
r
E
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④无限长均匀带电圆柱体：
③ 无限长均匀带电圆柱面：
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（下一页）
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R
R
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a
b
a
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⑤均匀带电球面
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q
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O R
q
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（下一页）
X
R
x
P
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O
⑥均匀带电圆环轴线上一点
2
322
04 )Rx(
qxE
?
?
??
⑦均匀带电圆平面轴线上一点
)
Rx
x(E
22
0
1
2 ?
??
?
?
O X
R
x
P
q
方向沿 X轴，由 q的正负决定。
方向沿 X轴，由 σ的正负决定。
（下一页）
叠加法求场强
2
04 r
q
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0 Rr ?
Rr ?
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2
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2
2
0
1
2 444''',r
QQ
r
Q
r
QERr
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?????
R1 Q1
R2
Q2
（下一页）
两同心均匀带电球面
计算电势,要分段积分
'E?
''E?
'''E?
R1 Q1
R2
Q2计算电势,要分段积分。即
r
QQldEVRr
r
0
21
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''E?
'''E?
3V
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20
21
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11
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2
2
R
Q
r
Q
R
QQ
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Q
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R
R
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1
20
21
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1
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444
11
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0
''''''
2
2
1
1
R
Q
R
Q
R
QQ
RR
Q
ldEldEldEVRr
R
R
R
R
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（下一页）也符合电势的叠加原理。
02 ?
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A B C21 EEE ??
0
21
21 2,?
?? ???? EEEA
A
0
21
21 2,?
?? ???? EEEB
B
0
21
21 2,?
?? ???? EEEC
C
若 ?1=－ ?2 = ?
则 EA = EC = 0
0?
??
BE
（下一页）
两平行无限大均匀带电平面
oE
?
补偿法求场强
o
R
d
解,对于完整的均匀带电圆环有
0??oE
1.带电圆弧
C.q 910123 ???cmd 2?
求, oE?
cmR 50?已知,
据场强叠加原理,0
1/ ??? ooo EEE
???
:'oE? 缺口处电荷在圆心产生的电场强度。
oE1
?
oo EE 1
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2
04 R
qE
o ??
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R
qdd
dR
qq
?????? 22
（下一页）
)
Rx
x(E
2202 12 ??? ?
?
22021 2 Rx
xEEE
???? ?
?
2,无限大均匀带电平面挖去一圆孔（ P53 T8-16）
已知, 0?? R
求,轴线上一点 P 的场强
? 原电荷
0
1 2?
??EP 点
P 点
圆孔
??
??
（下一页）
P
O
R X
?
1E
?
2E
?
O O’
a?
P53 T8-17,在电荷体密度为 ρ 均匀带电球
体中，存在一个球形空腔，若将带电体球
心 O 指向球形空腔球心 O’ 的矢量用 a 表示
（如下图）。试证明球形空腔中任一点的
电场强度为
aE ?
?
03?
??
分析,本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不
是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但
可用补偿法求解。 挖去球形空腔带电球体在电学上等效于一个
完整的、电荷体密度为 ρ 的均匀带电球体和一个电荷体密度为
– ρ, 球心在 O’ 的带电小球体（半径等于空腔球体的半径）。
大小球体在空腔内 P 点产生的电场强度分别为 E1, E2, 则 P
点的电场强度为 E = E1 + E2 。
证,带电球体内部一点的场强为,
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03?
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（证明见下页）
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3
4
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所以，
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0
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根据矢量关系
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O O’
a?
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2r?
得
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03?
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（结束）