前讲复习
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"0"
"0" daaa lEqAW
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1,点电荷在电场中的电势能,
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"0"
dpp lEV ??
3,静电场中任意两点间的电势差,
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4,功、电势差、电势能之间的关系
babaab WWVVqA ???? )(aa qVW ?
（下一页）
2,静电场中任一 点的电势,
5,基本的电势分布
(1) 点电荷的电势
r
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p
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(2) 均匀带电球面的电势
r
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04
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（下一页）
§ 8 - 8 等势面 和电势梯度
(1)等势面定义,由电场中电势相等的点组成的曲面
+
(2)等势面的获得,
(3)等势面的例子
①利用电势的解析表达式,
...3,2,1,),,( ?? iVzyxV i
②利用实际测量的方法,
等势面类比于地形图中的等高线,
正点电荷电场
中的等势面
一,等势面
规定,场中任意两相邻等势面间的电势差相等
（下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
(4) 等势面的性质
①等势面与电力线处处正交 ;
a
b
V 0)( ???? baab VVqA
2
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ba VV ??
★ 令 q在面上有元位移 ld?
0c o s ???? dlqEldEqdA ???;0d)( ??????? ? dccddcdc lEAVVqWW ??
★ 沿电力线移动 q?
c d
E?
dc VV ??
移动 b★ a,b为等势面上任意两点 从 aq
②电力线指向电势降低的方向 ;
即,等势面与电力线处处正交,
E?
ld?
（下一页）
③ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方
场强小（证明待后）。
课堂练习：由等势面比较 a,b点的场强大小和
确定 a,b点的场强方向,
1V
2V
3V
a
b
03221 ???? VVVV已知 aE? b
E?
ba EE ?
由于 a点比 b点等势面
密度大,所以可知,
（下一页）
二、电势梯度 场强与电势的微分关系
+
等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
如何利用已知的电势分
布求场强的分布？
场强的方向指向电势降低的方向；
场强的大小应与场强随空间
坐标的变化率有关。
（下一页）
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VlE ddc o s ???
电势与场强的积分关系为：
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电势与场强的微分关系如何呢？
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V
dVV ?
lE
方向上的分量，用 表示,则有：在E? ld?
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考虑将 单位正电荷 从 a 沿任意方向
移到 b点，电场力所做的功
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（下一页）
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x
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y
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z
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???所以
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负号表示场强的方向与电势增加的方向相反。
利用场强与电势的微分关系，可以在已知电势分布
的情况下，通过偏微分来求得场强的分布。
E?
a b
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V
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（下一页）
电场强度沿某一方向的分量
沿 l 方向电势的变化率的负值
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z
Vj
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在场论中,算符 ▽ 表示标量函数
f ( x,y,z ) 的梯度 grad
k
z
j
y
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fj
y
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是坐标 x,y,z 的矢量函数。
∵ P44 ( 8-39 ) 式可写为,
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（下一页）
P45例 1．利用场强与电势梯度的关系,计算
均匀带电细圆环轴线上任一点的场强
22
04
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X
Y
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（下一页）
§ 8 - 9 静电场中的电偶极子
一、外电场对电偶极子的力矩和取向作用
●
●
q?
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0r
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?
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图 8-43 在均匀电场中电偶极子所受
的力矩 M = qr0Esinθ = pE sinθ
如图 电偶极子
在匀强电场 中，所
受合力为零。
0rqp
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但由于力 和 作用
线不在同一直线上，它
们构成力矩
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在力矩作用下，电偶极子
将在图示情况下作顺时针
转动。
当,电偶极子 处于稳定平衡位置；0,0 ?? M?
当,电偶极子 处于非稳定平衡位置；0,?? M??
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电
偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
●
●
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图 8-43 在均匀电场中电偶极子所受
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如图 电偶极子
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E?设 和 所在处的
电势分别为 V+和 V- 。q? q?
此电偶极子的电势能为
Wp = qV+－ qV-
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( 0
0
r
r
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= － qr0Ecosθ
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即
当 的方向与 一致时（ θ=0）,其电势能 Wp =－ qE,最低；p? E?
当 的方向与 垂直时（ θ=π/2）,其电势能 Wp = 0 ；p? E?
当 的方向与 相反时（ θ= π ）,其电势能 Wp = qE,最大。p? E?
能量越低，系统的状态越稳定。 （下一页）
P55 T8-33,已知水分子的电偶极矩 p = 6·17× 10-30 C · m。 这
个水分子在电场强度 E = 1·0× 105V · m-1的电场中所受力矩的
最大值为多少？
解,在均匀电场中，电偶极子所受力矩为,
故力矩的最大值为
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作 业
P55
T8-28,29
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1,点电荷在电场中的电势能,
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3,静电场中任意两点间的电势差,
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4,功、电势差、电势能之间的关系
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（下一页）
2,静电场中任一 点的电势,
5,基本的电势分布
(1) 点电荷的电势
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(2) 均匀带电球面的电势
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§ 8 - 8 等势面 和电势梯度
(1)等势面定义,由电场中电势相等的点组成的曲面
+
(2)等势面的获得,
(3)等势面的例子
①利用电势的解析表达式,
...3,2,1,),,( ?? iVzyxV i
②利用实际测量的方法,
等势面类比于地形图中的等高线,
正点电荷电场
中的等势面
一,等势面
规定,场中任意两相邻等势面间的电势差相等
（下一页）
电偶极子的等势面
+
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(4) 等势面的性质
①等势面与电力线处处正交 ;
a
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★ 令 q在面上有元位移 ld?
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②电力线指向电势降低的方向 ;
即,等势面与电力线处处正交,
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（下一页）
③ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方
场强小（证明待后）。
课堂练习：由等势面比较 a,b点的场强大小和
确定 a,b点的场强方向,
1V
2V
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a
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由于 a点比 b点等势面
密度大,所以可知,
（下一页）
二、电势梯度 场强与电势的微分关系
+
等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
如何利用已知的电势分
布求场强的分布？
场强的方向指向电势降低的方向；
场强的大小应与场强随空间
坐标的变化率有关。
（下一页）
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电势与场强的积分关系为：
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沿 l 方向电势的变化率的负值
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∵ P44 ( 8-39 ) 式可写为,
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均匀带电细圆环轴线上任一点的场强
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§ 8 - 9 静电场中的电偶极子
一、外电场对电偶极子的力矩和取向作用
●
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图 8-43 在均匀电场中电偶极子所受
的力矩 M = qr0Esinθ = pE sinθ
如图 电偶极子
在匀强电场 中，所
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在力矩作用下，电偶极子
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当,电偶极子 处于稳定平衡位置；0,0 ?? M?
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如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电
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二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
●
●
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图 8-43 在均匀电场中电偶极子所受
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即
当 的方向与 一致时（ θ=0）,其电势能 Wp =－ qE,最低；p? E?
当 的方向与 垂直时（ θ=π/2）,其电势能 Wp = 0 ；p? E?
当 的方向与 相反时（ θ= π ）,其电势能 Wp = qE,最大。p? E?
能量越低，系统的状态越稳定。 （下一页）
P55 T8-33,已知水分子的电偶极矩 p = 6·17× 10-30 C · m。 这
个水分子在电场强度 E = 1·0× 105V · m-1的电场中所受力矩的
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P55
T8-28,29
