19-8 三,一维势阱 势垒
（一）、一维无限深 势阱中的粒子
质量为 m的粒子只能在 0<x<a 的区域内自由运动，
势能函数为：
?
?
?
???
??
?
)0(
)0(0
)(
axx
ax
xV
或
88
x = 0 x = a
V
(x
)
定态薛定谔方程为：
)ax0(Edxdm2 2
22
???? ???
当 x < 0和 x > a 时,0)x( ?? （下一页）
求解定态薛定谔方程
)ax0(0)x(mE2dx )x(d 22
2
???? ?? ?
)ax0(Edxdm2 2
22
???? ???
令 22 ?mEk ?
代入薛定谔方程得,0)x(kdx )x(d 22
2
?? ??
此方程的通解为,kxc o sBkxsi nA)x( ???
由于 阱壁 无限高，所以 0)0( ?? 0)a( ??
)1(0)0c o s(B)0si n (A ??
)2(0)ac o s(B)asi n (A ?? （下一页）
由式（ 1）得 B = 0 波函数为：
)1(0)0c o s(B)0si n (A ??
)2(0)ac o s(B)asi n (A ??
kxsi nA)x( ??
由式（ 2）得 0kasi nA ?于是
)3,2,1n(ank,nka ?????? ??
anmEk ??? 22 ?即,
由此得到粒子的能量
nE
????? 3,2,1n,n)
ma2
(E 22
22
n
??
（下一页）
????? 3,2,1n,n)
ma2
(E 22
22
n
??
nE 称为本问题中能量 E 的 本征值,
势阱中的粒子其能量是 量子化 。
当 n = 1,粒子具有最低能量 1E
2
22
1 ma2E
???
12n EnE ??
n叫作 量子数（主量子数）
称为 基态能级
2
2
ma8
h?
（下一页）
1EE,1n ??o a x
E
势
阱
中
粒
子
能
级
图
2EE,2n ??
3EE,3n ??
4EE,4n ??
（下一页）
与 En 相对应的本征函数，即本问题的解为：
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
最后得到薛定谔方程的解为：
)ax0()xansi n (A)x(n ??? ??
dx)xan(si nAdx)x( a0 222n ?? ??? ?? ?? 12aA 2 ??
a2A ?得到
)ax0()xans i n (a2)x(n ??? ?? （下一页）
2
2
1 ma8
hE ? )x
as i n (a
2)x(
1
?? ?
2
2
2 ma8
h4E ? )x
a
2s i n (
a
2)x(
2
?? ?
2
2
3 ma8
h9E ? )x
a
3s i n (
a
2)x(
3
?? ?
)xa4si n (a2)x(4 ?? ?2
2
4 ma8
h16E ?
（下一页）
一
维
无
限
深
势
阱
中
=1
=2
=3
=4
x
粒
子
的
波
函
数
0
n
n
n
n
a
)x(?
x0 a
2)x(?
（下一页）
例题,在阱宽为 a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为
多次测量其能量。问
?每次可能测到的值和相应概率？
?能量的平均值？
解,已知无限深势阱中粒子的
（下一页）
则
?多次测量能量 (可能测到的值 )
?能量的平均值
概率各 1/2
（下一页）
势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若,粒子的
动能为正,它只能在 I 区中运动。
即粒子运动到势垒左边缘就被
反射回去，不能穿过势垒。
0V
O
IIII II
在量子力学中,无论粒子能量是大于还是
小于 都有一定的几率穿过势垒，也有
一定的几率被反射。
我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。
（下一页）
势垒的势场分布写为：
在三个区间内波函数应遵从的
薛定谔方程分别为,O
IIII II
定态薛定谔方程
的解又如何呢？
（下一页）
令：
定态解的含时部分：
三个区间的薛定谔方程化为：
（下一页）
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波
反射波；粒子从 I区经过 II区穿过势垒到 III 区，
在 III区只有透射波。粒子在 处的几率要大
于在 处出现的几率。
其解为：
根据边界条件, 时、空异号为右行波
（下一页）
求出解的形式画于图中。
定义粒子穿过势垒的贯穿系数,
I II III
隧道效应
当,势垒的宽度 a＞ 约 50nm 以上时，
贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在
实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
（下一页）
?隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于
表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，
而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 1nm。
只要将原子线度的极细探针
以及被研究物质的表面作为
两个电极，当样品与针尖的
距离非常接近时，它们的表
面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖
之间加一微小电
压 Ub电子就会穿
过电极间的势垒
形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电
流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样
品表面的起伏。
Scanning tunneling microscopy
（下一页）
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖
高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；
使人类第一次能够实时地观
测到单个原子在物质表面上的排
列状态以及与表面电子行为有关
的性质。在表面科学、材料科学
和生命科学等领域中有着重大的
意义和广阔的应用前景。
空气隙
STM工作示意图
样品
探针
利用 STM可以分辨表面上
原子的台阶、平台和原子
阵列。可以直接绘出表面
的三维图象
（下一页）
48个 Fe 原子形成
,量子围栏,, 围
栏中的电子形成驻
波,
隧道电流 I与样品和
针尖间距离 S的关系
（下一页）
利用光学中的受抑全反射理论，研制
成功光子扫描隧道显微镜（ PSTM)。
1989年提出成象技术。
它可用于不导电样品的观察。
STM样品 必须具有一定程度的导电性；
在恒流工作模式下有时对表面某些沟
槽不能准确探测。任何一种技术都有
其局限性。
（结束）
（一）、一维无限深 势阱中的粒子
质量为 m的粒子只能在 0<x<a 的区域内自由运动，
势能函数为：
?
?
?
???
??
?
)0(
)0(0
)(
axx
ax
xV
或
88
x = 0 x = a
V
(x
)
定态薛定谔方程为：
)ax0(Edxdm2 2
22
???? ???
当 x < 0和 x > a 时,0)x( ?? （下一页）
求解定态薛定谔方程
)ax0(0)x(mE2dx )x(d 22
2
???? ?? ?
)ax0(Edxdm2 2
22
???? ???
令 22 ?mEk ?
代入薛定谔方程得,0)x(kdx )x(d 22
2
?? ??
此方程的通解为,kxc o sBkxsi nA)x( ???
由于 阱壁 无限高，所以 0)0( ?? 0)a( ??
)1(0)0c o s(B)0si n (A ??
)2(0)ac o s(B)asi n (A ?? （下一页）
由式（ 1）得 B = 0 波函数为：
)1(0)0c o s(B)0si n (A ??
)2(0)ac o s(B)asi n (A ??
kxsi nA)x( ??
由式（ 2）得 0kasi nA ?于是
)3,2,1n(ank,nka ?????? ??
anmEk ??? 22 ?即,
由此得到粒子的能量
nE
????? 3,2,1n,n)
ma2
(E 22
22
n
??
（下一页）
????? 3,2,1n,n)
ma2
(E 22
22
n
??
nE 称为本问题中能量 E 的 本征值,
势阱中的粒子其能量是 量子化 。
当 n = 1,粒子具有最低能量 1E
2
22
1 ma2E
???
12n EnE ??
n叫作 量子数（主量子数）
称为 基态能级
2
2
ma8
h?
（下一页）
1EE,1n ??o a x
E
势
阱
中
粒
子
能
级
图
2EE,2n ??
3EE,3n ??
4EE,4n ??
（下一页）
与 En 相对应的本征函数，即本问题的解为：
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
最后得到薛定谔方程的解为：
)ax0()xansi n (A)x(n ??? ??
dx)xan(si nAdx)x( a0 222n ?? ??? ?? ?? 12aA 2 ??
a2A ?得到
)ax0()xans i n (a2)x(n ??? ?? （下一页）
2
2
1 ma8
hE ? )x
as i n (a
2)x(
1
?? ?
2
2
2 ma8
h4E ? )x
a
2s i n (
a
2)x(
2
?? ?
2
2
3 ma8
h9E ? )x
a
3s i n (
a
2)x(
3
?? ?
)xa4si n (a2)x(4 ?? ?2
2
4 ma8
h16E ?
（下一页）
一
维
无
限
深
势
阱
中
=1
=2
=3
=4
x
粒
子
的
波
函
数
0
n
n
n
n
a
)x(?
x0 a
2)x(?
（下一页）
例题,在阱宽为 a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为
多次测量其能量。问
?每次可能测到的值和相应概率？
?能量的平均值？
解,已知无限深势阱中粒子的
（下一页）
则
?多次测量能量 (可能测到的值 )
?能量的平均值
概率各 1/2
（下一页）
势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若,粒子的
动能为正,它只能在 I 区中运动。
即粒子运动到势垒左边缘就被
反射回去，不能穿过势垒。
0V
O
IIII II
在量子力学中,无论粒子能量是大于还是
小于 都有一定的几率穿过势垒，也有
一定的几率被反射。
我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。
（下一页）
势垒的势场分布写为：
在三个区间内波函数应遵从的
薛定谔方程分别为,O
IIII II
定态薛定谔方程
的解又如何呢？
（下一页）
令：
定态解的含时部分：
三个区间的薛定谔方程化为：
（下一页）
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波
反射波；粒子从 I区经过 II区穿过势垒到 III 区，
在 III区只有透射波。粒子在 处的几率要大
于在 处出现的几率。
其解为：
根据边界条件, 时、空异号为右行波
（下一页）
求出解的形式画于图中。
定义粒子穿过势垒的贯穿系数,
I II III
隧道效应
当,势垒的宽度 a＞ 约 50nm 以上时，
贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在
实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
（下一页）
?隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于
表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，
而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 1nm。
只要将原子线度的极细探针
以及被研究物质的表面作为
两个电极，当样品与针尖的
距离非常接近时，它们的表
面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖
之间加一微小电
压 Ub电子就会穿
过电极间的势垒
形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电
流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样
品表面的起伏。
Scanning tunneling microscopy
（下一页）
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖
高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；
使人类第一次能够实时地观
测到单个原子在物质表面上的排
列状态以及与表面电子行为有关
的性质。在表面科学、材料科学
和生命科学等领域中有着重大的
意义和广阔的应用前景。
空气隙
STM工作示意图
样品
探针
利用 STM可以分辨表面上
原子的台阶、平台和原子
阵列。可以直接绘出表面
的三维图象
（下一页）
48个 Fe 原子形成
,量子围栏,, 围
栏中的电子形成驻
波,
隧道电流 I与样品和
针尖间距离 S的关系
（下一页）
利用光学中的受抑全反射理论，研制
成功光子扫描隧道显微镜（ PSTM)。
1989年提出成象技术。
它可用于不导电样品的观察。
STM样品 必须具有一定程度的导电性；
在恒流工作模式下有时对表面某些沟
槽不能准确探测。任何一种技术都有
其局限性。
（结束）
