1
?E.薛定谔
?量子力学的
广泛发展
1933诺贝尔物理学奖
2
用指数形式表示：
19-8 波函数 薛定谔方程
)(2c o s
)(2c o s),(
txA
xtAtxy
???
???
??
??
)(2),( ??? xtiAetxy ???
单色平面简谐波波动方程为：
一、波函数
（下一页）
3
一个沿 x轴正向运动，能量为 E，动量为 P的自由粒子对
应于沿 x轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：
)2c o s (),( xtAtx ???? ??
利用尤拉公式,ixexix ??? s inc o s
其中,1??i 为虚数单位。可将波函数写成复数形式：
)](
i
e xp [
)]e xp [ i (
)]
2
e xp [ - i (
EtpxA
tkxA
xtA)t,x(
??
???
?
?
????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
E,
k
p
h
,k
2
2
物质波用什么样的波函数描述？
（下一页）
4
沿 x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，
其波函数为：
)(2
0),(
????? xtietx ???
hEph ?? ??
)pxEt(i
0 e)t,x(
??
? ???
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用
波函数来描写。
（下一页）
5
其中波函数模的平方为：
??? ??? 2
)rpEt(i
0
)rpEt(i
0 ee
??
?
??
? ?????? ?? ??
2
0??
)rpEt(i
0 e)t,r(
??
?? ???? ??
波函数可写为：
考虑到自由粒子沿 方向传播的 三维情况,r?
（下一页）
6
? M.玻恩
?对量子力学的
基础研究，特
别是量子力学
中波函数的统
计解释
1954诺贝尔物理学奖
（下一页）
7
二、玻恩的统计解释
1926年，德国物理学家玻恩（ Born,1882--1972)
提出了德布罗意波的统计解释,认为波函数体现了发
现粒子的概率（几率）,这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
在某处发现一个实物粒子 的几率同德布罗意波
的波函数平方 成正比。2?
如果 是复数，就用 代替*?? 。2??
体积 中发现一个粒子的几率为：?d
???? dd *?
（下一页）
8
由此, 代表单位体积内发现一个粒子的
几率，因而称 几率密度 。
*??
这就是德布罗意波函数的
物理意义。
玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。
经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间
分布做周期性的变化，是可测量的。
玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测
量的,一般是 。它的含义是几率。2?
（下一页）
9
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故
和 描述的相对几率分布是完全相同的。
?
?c
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量
将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。
（下一页）
10
d x d y d zd ??粒子在体积元 内出现的几率为：
d x d y d z)z,y,x(d 22 ??? ?
d x d y d z)z,y,x()z,y,x( ?? ???
的几率，即 几率密度 为：
粒子在 t 时刻，在 处单位体积出现(x,y,z)
??? ??? 2
这就是玻恩对波函数的统计解释。
（下一页）
11
波函数必须满足的条件（称为 标准条件 ）：
1,单值 2,有限 3,连续
在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：
称上式为波函数的 归一化条件。
??? ? 1d x d y d z2?
（下一页）
12
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
(2)入射弱电子流
? 概率波的干涉结果
波函数统计诠释涉及对世界本质的认
识争论至今未息。
哥本哈根学派 爱因斯坦 狄拉克（ 1972）
（下一页）
13
设归一化因子为 C，则归一化的波函数为
?(x)= C exp(-?2x2/2)
计算积分得 ?Ｃ ?２ ＝ ?／ ?１／２
Ｃ＝（ ?／ ?１／２ ） １／２ ｅ ｉ ?
取 ?＝ 0，则归一化的波函数为
?(x)=（ ?／ ?１／２ ） １／２ exp(-?2x2/2)
例题 3,将波函数 归一化
（下一页）
14
这就是 一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。
三、薛定谔方程
从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。
)pxEt(i
0 e)t,x(
??? ???
?? 2
2
2
2 p
x ????
? ?? Ei
t ????
?
因为 代入上两式得到,m2pE 2?
tixm2 2
22
?
??
?
??? ?? ??
一维自由粒子的波函数为：
（下一页）
15
tiUxm2 2
22
?
???
?
??? ??? ??
将 （ 1）, （ 2） 式引入上式的得：
有势力场中粒子的总能量为,),(
2
1 2 txUp
mE ??
??? )t,x(Upm2 1E 2 ??
和
这是 势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程
?? 2
2
2
2 p
x ????
? （ 1） ?? Ei
t ????
? （ 2）
（下一页）
16
t
i)t,x(U
xm2 2
22
?
???
?
??? ??? ??
对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：
ti)t,r(Um2
2
2
?
????? ??? ???
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
称 为 拉普拉斯算符,2?
（下一页）
17
ti)t,r(Um2
2
2
?
????? ??? ???
四、定态薛定谔方程
)t(f)r()r( ?? ?? ?
如势函数不是时间的函数，即 )r(UU ??
代入薛定谔方程得：
t
)t(f
)t(f
1i)r(U
m2
1 22
?
??
??
?
??
? ??? ??? ??
?
用分离变量法将波函数写为：
（下一页）
18
方程左边只是空间坐标的函数，
右边只是时间的函数，
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
令这一常数为 E 。则：
Et )t(f)t(f 1i ????
Eti
Ce)t(f ?
?
?积分可得,
t
)t(f
)t(f
1i)r(U
m2
1 22
?
??
??
?
??
? ??? ??? ??
?
（下一页）
19
令左边也等于 E 得到：
)r(E)r()r(U)r(
m2
2
2 ?????
??? ????
—— 这就是 定态薛定谔方程
Etiertr ??? ?? )(),( ??
t
)t(f
)t(f
1i)r(U
m2
1 22
?
??
??
?
??
? ??? ??? ??
?
定态, 能量取确定值的状态
定态波函数
22 )( r????? ??? ?与时间无关
（下一页）
20
例,能量、动量和坐标算符对沿 x方向传播自由
平面波波函数 的作用
定义能量算符,动量算符和坐标算符
（下一页）
21
利用对应关系得, 算符关系等式,
? 把, 算符关系等式, 作用在波函数上得到
三维情况：
（下一页）
22
哈密顿量：
粒子的总能量
若 称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
（下一页）
23
能量算符的本征值问题
本征值取分立值时的本征值问题
{E1,E2,…., En,….} — 能量本征值谱
是能量取 Ei时的本征态
— 本征函数系
n — 量子数
（下一页）
24
作 业
,练习册, 量子力学篇
P78选择题,1
P79填空题,10
计算题,2,10,11,
作在练习册上即可。
?E.薛定谔
?量子力学的
广泛发展
1933诺贝尔物理学奖
2
用指数形式表示：
19-8 波函数 薛定谔方程
)(2c o s
)(2c o s),(
txA
xtAtxy
???
???
??
??
)(2),( ??? xtiAetxy ???
单色平面简谐波波动方程为：
一、波函数
（下一页）
3
一个沿 x轴正向运动，能量为 E，动量为 P的自由粒子对
应于沿 x轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：
)2c o s (),( xtAtx ???? ??
利用尤拉公式,ixexix ??? s inc o s
其中,1??i 为虚数单位。可将波函数写成复数形式：
)](
i
e xp [
)]e xp [ i (
)]
2
e xp [ - i (
EtpxA
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xtA)t,x(
??
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?
?
?
?
?
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E,
k
p
h
,k
2
2
物质波用什么样的波函数描述？
（下一页）
4
沿 x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，
其波函数为：
)(2
0),(
????? xtietx ???
hEph ?? ??
)pxEt(i
0 e)t,x(
??
? ???
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用
波函数来描写。
（下一页）
5
其中波函数模的平方为：
??? ??? 2
)rpEt(i
0
)rpEt(i
0 ee
??
?
??
? ?????? ?? ??
2
0??
)rpEt(i
0 e)t,r(
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?? ???? ??
波函数可写为：
考虑到自由粒子沿 方向传播的 三维情况,r?
（下一页）
6
? M.玻恩
?对量子力学的
基础研究，特
别是量子力学
中波函数的统
计解释
1954诺贝尔物理学奖
（下一页）
7
二、玻恩的统计解释
1926年，德国物理学家玻恩（ Born,1882--1972)
提出了德布罗意波的统计解释,认为波函数体现了发
现粒子的概率（几率）,这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
在某处发现一个实物粒子 的几率同德布罗意波
的波函数平方 成正比。2?
如果 是复数，就用 代替*?? 。2??
体积 中发现一个粒子的几率为：?d
???? dd *?
（下一页）
8
由此, 代表单位体积内发现一个粒子的
几率，因而称 几率密度 。
*??
这就是德布罗意波函数的
物理意义。
玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。
经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间
分布做周期性的变化，是可测量的。
玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测
量的,一般是 。它的含义是几率。2?
（下一页）
9
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故
和 描述的相对几率分布是完全相同的。
?
?c
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量
将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。
（下一页）
10
d x d y d zd ??粒子在体积元 内出现的几率为：
d x d y d z)z,y,x(d 22 ??? ?
d x d y d z)z,y,x()z,y,x( ?? ???
的几率，即 几率密度 为：
粒子在 t 时刻，在 处单位体积出现(x,y,z)
??? ??? 2
这就是玻恩对波函数的统计解释。
（下一页）
11
波函数必须满足的条件（称为 标准条件 ）：
1,单值 2,有限 3,连续
在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：
称上式为波函数的 归一化条件。
??? ? 1d x d y d z2?
（下一页）
12
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
(2)入射弱电子流
? 概率波的干涉结果
波函数统计诠释涉及对世界本质的认
识争论至今未息。
哥本哈根学派 爱因斯坦 狄拉克（ 1972）
（下一页）
13
设归一化因子为 C，则归一化的波函数为
?(x)= C exp(-?2x2/2)
计算积分得 ?Ｃ ?２ ＝ ?／ ?１／２
Ｃ＝（ ?／ ?１／２ ） １／２ ｅ ｉ ?
取 ?＝ 0，则归一化的波函数为
?(x)=（ ?／ ?１／２ ） １／２ exp(-?2x2/2)
例题 3,将波函数 归一化
（下一页）
14
这就是 一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。
三、薛定谔方程
从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。
)pxEt(i
0 e)t,x(
??? ???
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2
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因为 代入上两式得到,m2pE 2?
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?
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一维自由粒子的波函数为：
（下一页）
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22
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将 （ 1）, （ 2） 式引入上式的得：
有势力场中粒子的总能量为,),(
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??? )t,x(Upm2 1E 2 ??
和
这是 势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程
?? 2
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t
i)t,x(U
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对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：
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称 为 拉普拉斯算符,2?
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ti)t,r(Um2
2
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?
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四、定态薛定谔方程
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如势函数不是时间的函数，即 )r(UU ??
代入薛定谔方程得：
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1 22
?
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用分离变量法将波函数写为：
（下一页）
18
方程左边只是空间坐标的函数，
右边只是时间的函数，
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
令这一常数为 E 。则：
Et )t(f)t(f 1i ????
Eti
Ce)t(f ?
?
?积分可得,
t
)t(f
)t(f
1i)r(U
m2
1 22
?
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令左边也等于 E 得到：
)r(E)r()r(U)r(
m2
2
2 ?????
??? ????
—— 这就是 定态薛定谔方程
Etiertr ??? ?? )(),( ??
t
)t(f
)t(f
1i)r(U
m2
1 22
?
??
??
?
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? ??? ??? ??
?
定态, 能量取确定值的状态
定态波函数
22 )( r????? ??? ?与时间无关
（下一页）
20
例,能量、动量和坐标算符对沿 x方向传播自由
平面波波函数 的作用
定义能量算符,动量算符和坐标算符
（下一页）
21
利用对应关系得, 算符关系等式,
? 把, 算符关系等式, 作用在波函数上得到
三维情况：
（下一页）
22
哈密顿量：
粒子的总能量
若 称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
（下一页）
23
能量算符的本征值问题
本征值取分立值时的本征值问题
{E1,E2,…., En,….} — 能量本征值谱
是能量取 Ei时的本征态
— 本征函数系
n — 量子数
（下一页）
24
作 业
,练习册, 量子力学篇
P78选择题,1
P79填空题,10
计算题,2,10,11,
作在练习册上即可。
