一、刚体的运动
刚体,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的
======形状和体积的改变的物体的理想模型。
（用质心运动讨论）
4-1 刚体的定轴转动的角量描述
刚体在运动中，其上任意两点的连线
始终保持平行。
（下一页）
A??
B??A?
B?
A
B
1、平动：
2、转动：对点、对轴（只讨论 定轴转动 ）
一般刚体的运动是既有
平动又有转动：质心的
平动加绕质心的转动
各质元均作圆周运动，其圆
心都在一条固定不动的直线
（转轴）上。各质元的线量
一般不同（因为半径不同）
但 角量（角位移、角速度、
角加速度）都相同。
定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
?A
?
转轴
o
（下一页 )）
? A
?
二、定轴转动的角量描述
转动平面 转轴
参考
方向
P
X
Q
P ??
??
X
X
各质元的 线量（速度、加速度） 一般不同，
但 角量（角位移、角速度、角加速度） 都相同
∴ 描述刚体整体的运动用角量最方便。
（下一页）
刚体运动学中所用的角量关系如下：
dt
d ?? ?
2
2
dt
d
dt
d ??? ??
角 量 方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv ??? ?? ?
??
v?
r?
dt
d ?? ?? ? 加速转动 ??
?? 方向一致
减速转动 ?? ?? 方向相反
（下一页）
线速度与角速度的关系：
角速度
角加速度
在刚体作 匀变速转动（ 角加速度是 常量 ） 时，
相应公式,
2
00 2
1 tt ???? ???
t??? ?? 0
)(2 0202 ????? ???
2
0 ??? ??
（下一页）
非匀变速转动 时,（例如 T1-18）
??? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? 求导
积分
求导
积分
类似于
匀变速直线运动，
但是
切记！
线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
r
v
ra
ra
rv
n
t
2
2
??
?
?
?
?
?
三、角量与线量的关系
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都
相同；各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成
正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远
处，其切向加速度和法向加速度也越大。 。
（下面作一下 课本 P149,T4-2）
P112例 1, P113例 2,请同学们课下自己看看。
求,⑴ t =6 · 0 s时的转速 ；
⑵ 角加速随时间变化的规律；
⑶ 启动后 6 · 0 s 内转过的圈数。
解,⑴ 根据题意转速随时间的变化关系，
将 t =6 · 0 s 代入，即得：
)(68950)1( 100 ?
?
??????? sr a de
t
??? ?
（下一页）
课本 P149,T4-2, 某种电动机启动后转速随时间变化
),1(0 ???
t
e
?
??
s02 ???
10 09 ???? sr a d?式中的关系为：
⑶ t =6 · 0 s 时转过的角度为
dtedt tss )1(6
0 0
6
0
???? ????? ??
ra d936 ??
则 t =6 · 0 s 时电动机转过的圈数
圈8752 ???? ??N
下面学习“转动定律”
)]20()05026[(9][ 600 ???????? ? s
t
et ???
⑵ 角加速度随时间变化的规律为：
)(54 20 ??? ????? sr a dee
dt
d tt
??
?
???
4-2 刚体定轴转动的转动定律
一、力对转轴的力矩
Z
2f
?
r? P
O
转动平面
1f
?
f?
Z
f?r?
Pd
O
zM
?
转动平面
?
方向：右手螺旋法则 （下一页）
=力×力臂
frM z ??? ??力矩
?s i nfrM z ?大小：
(1) 力 f 在转动平面内 (2) 力 f 在转动平面外
取其在转动平面内的分力
产生力矩。
2f
?
课本 P116例 1 有一大型水坝高 110m,长 1000m,水深
100m,水面与大坝表面垂直。 求 水作用在大坝上的力
以及这个力对通过大坝基点 Q且与 x 轴平行的轴的力矩。
分析,这是由压强求压力，但是压强是随着水深变化
的量，不能用“压强×表面积”来计算；然而在水深
相同 y 处，压强 P相等，可在此处取一高为 dy,长为坝
长 L的表面积 dA=Ldy, 其上压强为 P=P0+?g（ h-y），
可认为是个不变量，则此面积元上的水压力 dF =PdA。
又由于水作用在坝面上的力方向均相同，所以垂直作
用在大坝表面上的合力，由水底到水面积分可求得。
同样，求力矩也要在水深为 y处，先求出 dF的力矩
dM=ydF,再积分求得合力矩。
解：
（下一页）
2
2
1
000 0 )( g L hLhPL d yyhgL d yPF
hh ?? ????? ??
合力矩为
32
0
0
0
6
1
2
1
)(
gLhLhP
y dyyhgL y dyP
y dFdMM
h
?
?
??
???
??
??
? ?
问题,如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施
可减少水坝所受的力矩？
——水深不可改变，即水压力的大小改变不了；但正
压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度
缓一些，水压力对大坝基点 Q 的力矩即可减少。
（下一页）
对 ?mi 用牛顿第二定律：
切向分量式为：
Fisin?i+fisin?i= ?miait
二、转动定律
iiii amfF
??? ???
z
O ri
?mi
fi
?i
Fi
?i
两边乘以 riait=ri?
???? 2si nsi n iiiiiiii rmrfrF ??
（下一页）
在刚体上任取一质 量元 △ mi,
受到外力 Fi,内力 fi 。
外力矩 内力矩
对所有质元的同样的式子求和：
一对内力的力矩之和为零，所以有
令 J＝ ∑?mi ri2, 称 为刚体对于定转轴的 转动惯量
用 M 表示 合外力矩 则有 M＝ J ?
只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关
??? JM ?
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩
等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
刚体定轴转动的转动定律
∑Fi ri sin?i+ ∑ fi ri sin?i= (∑ ?mi ri2 )?
∑ Fi ri sin?i = （ ∑?mi ri2） ?
（下一页）
M＝ J? 与 amF＝ 地位相当
m:反映质点的平动惯性,J,反映刚体的转动惯性
三、转动惯量 J
与转动惯量有关的因素：
?刚体的质量
?转轴的位置
?刚体的形状
（下一页）
力矩 M 是使刚体转动状态发生改变而产生角
加速度的原因。力 F 是使物体平动状态发生改变而
产生加速度的原因。
2
1
i
n
i
i rmJ ?
?
??转动惯量
·
··
·
Z
O
a m
a
ma
a
m
m
● 一可忽略质量的轻质平面
正方形框架，边长为 a, 其
四个顶点上分别有一个质量
为 m 的质点,求 此质点系
绕垂直于正方形平面且过其
中心的轴 OZ的转动惯量。
Z’
Z”
22 2)
2
2(4 maamJ
Z ??
● 若转轴平移至正
方形的一个顶点 222 4)2(2' maammaJ Z ???
● 若转轴平移
至正方形的一
边中点
?"ZJ 2222 3]})
2([)2({2 ma
aamam ???
（下一页）
例如：
若质量连续分布 ?? dmrJ 2
在（ SI） 中,J 的单位,kgm2
dldm ??质量为线分布
dsdm ??质量为面分布
dVdm ??
质量为体分布
其中 ?,?,?
分别为质量的
线密度、面密
度和体密度。
线分布 体分布
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与
这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
面分布
（下一页 ）
解,
222 mRdmRdmRJ ??? ??
J 是可加的，所以若为薄圆
筒（不计厚度）结果相同。
RO
dm
注
意
只有对于几何形状规则、质量连续分布的刚体，
才能较简便地用积分计算出刚体的转动惯量
（下一页）
1,求 质量为 m,半径为 R 的均匀细圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
在圆环上任取质量元 dm
2,求 质量为 m,半径为 R,厚为 l的均匀圆盘 的
===转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解,任取半径为 r 宽为 dr 的同心 细 圆环,
lr d rdm ??? ?? 2
drlrdmrdJ 32 2 ?? ???
Z
O
R
lRdrlrdJJ R 4
0
3
2
12 ???? ???? ??
2
2 2
1 mRJ
lR
m ???
???
（下一页）
可见，转动惯量与其厚度 l 无关。所以，实心圆柱对
其轴的转动惯量也是 。2
2
1 mRJ ?
3,求 长为 L,质量为 m的均匀细棒对图中不同
轴的转动惯量。
A B
L X
A B
L/2 L/2
C
X
解,取如图坐标,dm=?dx
（下一页）
2
0
2
3
1 mLdxxJ L
A ?? ? ?
22
12
12
2
mLdxxJ
L
LC
?? ?
?
?
4,求 半径为 R, 质量为 m 的球体绕其直径为轴的
转动惯量 J 。
O R
r
Z
m
解,在球体上沿垂直于转轴 OZ 取一半径
====为 r, 高为 dz 的小球台，其质量为：
dzrdm 2???
其绕 OZ 轴的转动惯量为：
dzrdmrdJ 42 2121 ????
dzzR 222 )(21 ?? ?? dzzzRR )2(21 4224 ??? ??
R
R
R
R
zzRzRdJJ ?
?
???? ? ]5132[21 5324??积分：
2
5
2 mR? （下一页）（见 P121 表 4-2）
四、平行轴定理
前例 3中 JC 表示相对通过质心的轴的转动惯量，
=======JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。
=======两轴平行，相距 L/2。 可见：
222
2
3
1
4
1
12
1
2
mLmLmLLmJJ CA ????
?
??
?
?＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相
距为 d,刚体对其转动惯量为 J, 则有,J＝ JC＋ md2。
（下一页）
这个结论称为 平行轴定理 。
例,右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量如
何计算？ (棒长为 L,圆半径为 R）
2
1 3
1 LmJ
LL ?
2
5
2 RmJ
oo ?
2002002 )( RLmJdmJJ L ?????
222 )(
5
2
3
1 RLmRmLmJ
ooL ?????
（下一页）
解,棒 mL饶其端点的转动惯量
Lm
Om
Z
球饶 Z 轴的
转动惯量
球绕其质心轴的转动惯量
五、刚体定轴转动的转动定律的应用
例１,一个质量为 Ｍ,半径为 Ｒ 的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳
的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质
量为 ｍ 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，
求 物体 ｍ 由静止下落高度 ｈ 时的速度和
此时滑轮的角速度。
解：
?RamaTmgm ???,对
2
2
1 MRJJTRMM ＝＝＝：对 ??
（下一页）
（滑轮的惯性不能忽略）
mg
M R
gM
m
ma
2?
?解方程得：
Mm
m g h
RR
v
??? 2
41?,
2
42
Mm
m g hahv
?
??
例 2,一个飞轮的质量为 69kg,半径为 0.25m,正在以每
分 1000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在 5.0秒内
使它均匀减速而最后停下来。
求 闸瓦对轮子的压力 N 为多大？
（假设飞轮的质量都集中在
轮缘上） μ=0.50,
F
?0
（下一页）
解,飞轮匀减速制动时有角加速度
t
0??? ??
20
0
r a d / s9.20
0
s5 0
r a d / s7.10460/2 0 0 0m i n/r1 0 0 0
??
?
????
???
t
t
?
??
??
外力矩是摩擦阻力矩，
角加速度为负值。
??? 2mRJNRRfM r ?????＝
?? 2mRNR ??
N78 4??? ? ?mRN
??0
Nf
r
（下一页）
例 3,一根长为 L,质量为 m的均匀细直棒，其一端
有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
动。最初棒静止在水平位置,求 它由此下摆 ?角时的
角加速度和角速度。
解,棒下摆为加速过程，
外力矩为重力对 O的力矩。
棒上取质元 dm,当棒处在下
摆 ?角时, 重力矩为：
?? ? x d mgg x d mM ＝
（下一页）
? XO
dmg
dm
x L
l
?c o s
2
Lmg??? L dllg
0
c o s??
重力对整个棒的合力矩与全部
重力集中作用在质心所产生的
力矩一样。必须是匀质细直棒 。
Cm g xM ??
Cmxx d m ＝据质心定义 ?
mg
C
?
dmg
XO
dm
xc
（下一页）
?co s21 Lx c ? ?co s21 m g LM ?
L
g
mL
m g L
J
M
2
c o s3c o s
2
3
1
2
1 ??
? ???
???????? ddJdtdddJdtdJJM ????
??? dJMd ?
（下一页）
代入把 ?c o s
2
1 m g LM ?
L
g
J
m g L ??? s in3s in ???
???? dJdm g L ?c o s
2
1
则
?? ?
??
????
00
c o s
2
1 dJdm g L积分
2
2
1s i n
2
1 ?? Jm g L ?
得
m2
m1
aa
M R
如图,一细而轻的绳索跨过一定滑轮，
绳的两端分别悬有质量为 m1 和 m2的
物体，且 m1 ＞ m2 。 设定滑轮是一质
量为 M, 半径为 R的圆盘 。绳的质量
略去不计,且绳与滑轮无相对滑动 。
试求 物体的加速度和绳的张力 。如果
略去滑轮的运动，将会得到什么结果？
解,分别作出滑轮 M,物体 m1和 m2的受
力图。m1g
T1
m2g
T2
T1 T2
应用牛顿第二定律
对 M,（ T1–T2） R=J ? ⑶ 应用转动定律
（下一页）221 MRJ ?式中
对 m1, m1g –T1=m1a ⑴
对 m2, T2–m2g = m2a ⑵
N
P
（ N,P是对平衡力）
故 m1和 m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。
由于绳索质量不计，且长度不变，
且由角量与线量的关系，有,a =R? ⑷
解联立方程组⑴、⑵、⑶和⑷,可得：
g
Mmm
mma
2
1
21
21
??
??
gm
Mmm
MmT
1
2
1
21
2
1
2
1
2
??
??
gm
Mmm
MmT
2
2
1
21
2
1
1
2
2
??
??
如果略去滑轮的运动,即 T1=T2=T,J=0, 有：
g
mm
mma
21
21
?
?? g
mm
mmTTT
21
21
21
2
?
???
（下一页）
本次课重要概念：
1、掌握角量与线量的关系。
2、力矩、理解其意义并会计算；
3、转动惯量，要求理解它的物理意义；
不要求死记硬背其计算及其公式，常用
了也就记住了。若考试时需要，可把公
式提供给你。
4、转动定律，要求象对待牛顿定律那样对
待之。 （下一页思考、作业）
作业：
P150,T4---5, 7,13
Bye Bye!
力矩与力的关系及区别；
合外力为零，合外力矩是否一定也为零；
反之，合外力不为零，合外力矩是否也
一定不为零？
思考：
刚体,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的
======形状和体积的改变的物体的理想模型。
（用质心运动讨论）
4-1 刚体的定轴转动的角量描述
刚体在运动中，其上任意两点的连线
始终保持平行。
（下一页）
A??
B??A?
B?
A
B
1、平动：
2、转动：对点、对轴（只讨论 定轴转动 ）
一般刚体的运动是既有
平动又有转动：质心的
平动加绕质心的转动
各质元均作圆周运动，其圆
心都在一条固定不动的直线
（转轴）上。各质元的线量
一般不同（因为半径不同）
但 角量（角位移、角速度、
角加速度）都相同。
定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
?A
?
转轴
o
（下一页 )）
? A
?
二、定轴转动的角量描述
转动平面 转轴
参考
方向
P
X
Q
P ??
??
X
X
各质元的 线量（速度、加速度） 一般不同，
但 角量（角位移、角速度、角加速度） 都相同
∴ 描述刚体整体的运动用角量最方便。
（下一页）
刚体运动学中所用的角量关系如下：
dt
d ?? ?
2
2
dt
d
dt
d ??? ??
角 量 方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv ??? ?? ?
??
v?
r?
dt
d ?? ?? ? 加速转动 ??
?? 方向一致
减速转动 ?? ?? 方向相反
（下一页）
线速度与角速度的关系：
角速度
角加速度
在刚体作 匀变速转动（ 角加速度是 常量 ） 时，
相应公式,
2
00 2
1 tt ???? ???
t??? ?? 0
)(2 0202 ????? ???
2
0 ??? ??
（下一页）
非匀变速转动 时,（例如 T1-18）
??? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? 求导
积分
求导
积分
类似于
匀变速直线运动，
但是
切记！
线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
r
v
ra
ra
rv
n
t
2
2
??
?
?
?
?
?
三、角量与线量的关系
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都
相同；各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成
正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远
处，其切向加速度和法向加速度也越大。 。
（下面作一下 课本 P149,T4-2）
P112例 1, P113例 2,请同学们课下自己看看。
求,⑴ t =6 · 0 s时的转速 ；
⑵ 角加速随时间变化的规律；
⑶ 启动后 6 · 0 s 内转过的圈数。
解,⑴ 根据题意转速随时间的变化关系，
将 t =6 · 0 s 代入，即得：
)(68950)1( 100 ?
?
??????? sr a de
t
??? ?
（下一页）
课本 P149,T4-2, 某种电动机启动后转速随时间变化
),1(0 ???
t
e
?
??
s02 ???
10 09 ???? sr a d?式中的关系为：
⑶ t =6 · 0 s 时转过的角度为
dtedt tss )1(6
0 0
6
0
???? ????? ??
ra d936 ??
则 t =6 · 0 s 时电动机转过的圈数
圈8752 ???? ??N
下面学习“转动定律”
)]20()05026[(9][ 600 ???????? ? s
t
et ???
⑵ 角加速度随时间变化的规律为：
)(54 20 ??? ????? sr a dee
dt
d tt
??
?
???
4-2 刚体定轴转动的转动定律
一、力对转轴的力矩
Z
2f
?
r? P
O
转动平面
1f
?
f?
Z
f?r?
Pd
O
zM
?
转动平面
?
方向：右手螺旋法则 （下一页）
=力×力臂
frM z ??? ??力矩
?s i nfrM z ?大小：
(1) 力 f 在转动平面内 (2) 力 f 在转动平面外
取其在转动平面内的分力
产生力矩。
2f
?
课本 P116例 1 有一大型水坝高 110m,长 1000m,水深
100m,水面与大坝表面垂直。 求 水作用在大坝上的力
以及这个力对通过大坝基点 Q且与 x 轴平行的轴的力矩。
分析,这是由压强求压力，但是压强是随着水深变化
的量，不能用“压强×表面积”来计算；然而在水深
相同 y 处，压强 P相等，可在此处取一高为 dy,长为坝
长 L的表面积 dA=Ldy, 其上压强为 P=P0+?g（ h-y），
可认为是个不变量，则此面积元上的水压力 dF =PdA。
又由于水作用在坝面上的力方向均相同，所以垂直作
用在大坝表面上的合力，由水底到水面积分可求得。
同样，求力矩也要在水深为 y处，先求出 dF的力矩
dM=ydF,再积分求得合力矩。
解：
（下一页）
2
2
1
000 0 )( g L hLhPL d yyhgL d yPF
hh ?? ????? ??
合力矩为
32
0
0
0
6
1
2
1
)(
gLhLhP
y dyyhgL y dyP
y dFdMM
h
?
?
??
???
??
??
? ?
问题,如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施
可减少水坝所受的力矩？
——水深不可改变，即水压力的大小改变不了；但正
压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度
缓一些，水压力对大坝基点 Q 的力矩即可减少。
（下一页）
对 ?mi 用牛顿第二定律：
切向分量式为：
Fisin?i+fisin?i= ?miait
二、转动定律
iiii amfF
??? ???
z
O ri
?mi
fi
?i
Fi
?i
两边乘以 riait=ri?
???? 2si nsi n iiiiiiii rmrfrF ??
（下一页）
在刚体上任取一质 量元 △ mi,
受到外力 Fi,内力 fi 。
外力矩 内力矩
对所有质元的同样的式子求和：
一对内力的力矩之和为零，所以有
令 J＝ ∑?mi ri2, 称 为刚体对于定转轴的 转动惯量
用 M 表示 合外力矩 则有 M＝ J ?
只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关
??? JM ?
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩
等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
刚体定轴转动的转动定律
∑Fi ri sin?i+ ∑ fi ri sin?i= (∑ ?mi ri2 )?
∑ Fi ri sin?i = （ ∑?mi ri2） ?
（下一页）
M＝ J? 与 amF＝ 地位相当
m:反映质点的平动惯性,J,反映刚体的转动惯性
三、转动惯量 J
与转动惯量有关的因素：
?刚体的质量
?转轴的位置
?刚体的形状
（下一页）
力矩 M 是使刚体转动状态发生改变而产生角
加速度的原因。力 F 是使物体平动状态发生改变而
产生加速度的原因。
2
1
i
n
i
i rmJ ?
?
??转动惯量
·
··
·
Z
O
a m
a
ma
a
m
m
● 一可忽略质量的轻质平面
正方形框架，边长为 a, 其
四个顶点上分别有一个质量
为 m 的质点,求 此质点系
绕垂直于正方形平面且过其
中心的轴 OZ的转动惯量。
Z’
Z”
22 2)
2
2(4 maamJ
Z ??
● 若转轴平移至正
方形的一个顶点 222 4)2(2' maammaJ Z ???
● 若转轴平移
至正方形的一
边中点
?"ZJ 2222 3]})
2([)2({2 ma
aamam ???
（下一页）
例如：
若质量连续分布 ?? dmrJ 2
在（ SI） 中,J 的单位,kgm2
dldm ??质量为线分布
dsdm ??质量为面分布
dVdm ??
质量为体分布
其中 ?,?,?
分别为质量的
线密度、面密
度和体密度。
线分布 体分布
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与
这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
面分布
（下一页 ）
解,
222 mRdmRdmRJ ??? ??
J 是可加的，所以若为薄圆
筒（不计厚度）结果相同。
RO
dm
注
意
只有对于几何形状规则、质量连续分布的刚体，
才能较简便地用积分计算出刚体的转动惯量
（下一页）
1,求 质量为 m,半径为 R 的均匀细圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
在圆环上任取质量元 dm
2,求 质量为 m,半径为 R,厚为 l的均匀圆盘 的
===转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解,任取半径为 r 宽为 dr 的同心 细 圆环,
lr d rdm ??? ?? 2
drlrdmrdJ 32 2 ?? ???
Z
O
R
lRdrlrdJJ R 4
0
3
2
12 ???? ???? ??
2
2 2
1 mRJ
lR
m ???
???
（下一页）
可见，转动惯量与其厚度 l 无关。所以，实心圆柱对
其轴的转动惯量也是 。2
2
1 mRJ ?
3,求 长为 L,质量为 m的均匀细棒对图中不同
轴的转动惯量。
A B
L X
A B
L/2 L/2
C
X
解,取如图坐标,dm=?dx
（下一页）
2
0
2
3
1 mLdxxJ L
A ?? ? ?
22
12
12
2
mLdxxJ
L
LC
?? ?
?
?
4,求 半径为 R, 质量为 m 的球体绕其直径为轴的
转动惯量 J 。
O R
r
Z
m
解,在球体上沿垂直于转轴 OZ 取一半径
====为 r, 高为 dz 的小球台，其质量为：
dzrdm 2???
其绕 OZ 轴的转动惯量为：
dzrdmrdJ 42 2121 ????
dzzR 222 )(21 ?? ?? dzzzRR )2(21 4224 ??? ??
R
R
R
R
zzRzRdJJ ?
?
???? ? ]5132[21 5324??积分：
2
5
2 mR? （下一页）（见 P121 表 4-2）
四、平行轴定理
前例 3中 JC 表示相对通过质心的轴的转动惯量，
=======JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。
=======两轴平行，相距 L/2。 可见：
222
2
3
1
4
1
12
1
2
mLmLmLLmJJ CA ????
?
??
?
?＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相
距为 d,刚体对其转动惯量为 J, 则有,J＝ JC＋ md2。
（下一页）
这个结论称为 平行轴定理 。
例,右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量如
何计算？ (棒长为 L,圆半径为 R）
2
1 3
1 LmJ
LL ?
2
5
2 RmJ
oo ?
2002002 )( RLmJdmJJ L ?????
222 )(
5
2
3
1 RLmRmLmJ
ooL ?????
（下一页）
解,棒 mL饶其端点的转动惯量
Lm
Om
Z
球饶 Z 轴的
转动惯量
球绕其质心轴的转动惯量
五、刚体定轴转动的转动定律的应用
例１,一个质量为 Ｍ,半径为 Ｒ 的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳
的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质
量为 ｍ 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，
求 物体 ｍ 由静止下落高度 ｈ 时的速度和
此时滑轮的角速度。
解：
?RamaTmgm ???,对
2
2
1 MRJJTRMM ＝＝＝：对 ??
（下一页）
（滑轮的惯性不能忽略）
mg
M R
gM
m
ma
2?
?解方程得：
Mm
m g h
RR
v
??? 2
41?,
2
42
Mm
m g hahv
?
??
例 2,一个飞轮的质量为 69kg,半径为 0.25m,正在以每
分 1000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在 5.0秒内
使它均匀减速而最后停下来。
求 闸瓦对轮子的压力 N 为多大？
（假设飞轮的质量都集中在
轮缘上） μ=0.50,
F
?0
（下一页）
解,飞轮匀减速制动时有角加速度
t
0??? ??
20
0
r a d / s9.20
0
s5 0
r a d / s7.10460/2 0 0 0m i n/r1 0 0 0
??
?
????
???
t
t
?
??
??
外力矩是摩擦阻力矩，
角加速度为负值。
??? 2mRJNRRfM r ?????＝
?? 2mRNR ??
N78 4??? ? ?mRN
??0
Nf
r
（下一页）
例 3,一根长为 L,质量为 m的均匀细直棒，其一端
有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
动。最初棒静止在水平位置,求 它由此下摆 ?角时的
角加速度和角速度。
解,棒下摆为加速过程，
外力矩为重力对 O的力矩。
棒上取质元 dm,当棒处在下
摆 ?角时, 重力矩为：
?? ? x d mgg x d mM ＝
（下一页）
? XO
dmg
dm
x L
l
?c o s
2
Lmg??? L dllg
0
c o s??
重力对整个棒的合力矩与全部
重力集中作用在质心所产生的
力矩一样。必须是匀质细直棒 。
Cm g xM ??
Cmxx d m ＝据质心定义 ?
mg
C
?
dmg
XO
dm
xc
（下一页）
?co s21 Lx c ? ?co s21 m g LM ?
L
g
mL
m g L
J
M
2
c o s3c o s
2
3
1
2
1 ??
? ???
???????? ddJdtdddJdtdJJM ????
??? dJMd ?
（下一页）
代入把 ?c o s
2
1 m g LM ?
L
g
J
m g L ??? s in3s in ???
???? dJdm g L ?c o s
2
1
则
?? ?
??
????
00
c o s
2
1 dJdm g L积分
2
2
1s i n
2
1 ?? Jm g L ?
得
m2
m1
aa
M R
如图,一细而轻的绳索跨过一定滑轮，
绳的两端分别悬有质量为 m1 和 m2的
物体，且 m1 ＞ m2 。 设定滑轮是一质
量为 M, 半径为 R的圆盘 。绳的质量
略去不计,且绳与滑轮无相对滑动 。
试求 物体的加速度和绳的张力 。如果
略去滑轮的运动，将会得到什么结果？
解,分别作出滑轮 M,物体 m1和 m2的受
力图。m1g
T1
m2g
T2
T1 T2
应用牛顿第二定律
对 M,（ T1–T2） R=J ? ⑶ 应用转动定律
（下一页）221 MRJ ?式中
对 m1, m1g –T1=m1a ⑴
对 m2, T2–m2g = m2a ⑵
N
P
（ N,P是对平衡力）
故 m1和 m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。
由于绳索质量不计，且长度不变，
且由角量与线量的关系，有,a =R? ⑷
解联立方程组⑴、⑵、⑶和⑷,可得：
g
Mmm
mma
2
1
21
21
??
??
gm
Mmm
MmT
1
2
1
21
2
1
2
1
2
??
??
gm
Mmm
MmT
2
2
1
21
2
1
1
2
2
??
??
如果略去滑轮的运动,即 T1=T2=T,J=0, 有：
g
mm
mma
21
21
?
?? g
mm
mmTTT
21
21
21
2
?
???
（下一页）
本次课重要概念：
1、掌握角量与线量的关系。
2、力矩、理解其意义并会计算；
3、转动惯量，要求理解它的物理意义；
不要求死记硬背其计算及其公式，常用
了也就记住了。若考试时需要，可把公
式提供给你。
4、转动定律，要求象对待牛顿定律那样对
待之。 （下一页思考、作业）
作业：
P150,T4---5, 7,13
Bye Bye!
力矩与力的关系及区别；
合外力为零，合外力矩是否一定也为零；
反之，合外力不为零，合外力矩是否也
一定不为零？
思考：
