动量、冲量、
动量守恒定律
（下一页）
3-1、质点和质点系的动量定理
大小, mv 方向：速度的方向
单位,kgm/s 量纲,MLT－ 1
1、动量 （描述质点运动状态，矢量） vmP＝
方向：速度变化的方向
单位,Ns 量纲,MLT－ 1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量） I
（ 1） 常力的冲量 tFI ???
（下一张）
（ 2） 变力的冲量
11 tF ?
?
22 tF ?
? ii tF ?
?
nn tF ?
?
I
的方向不同 !注意：冲量 的方向和瞬时力I? F?
当力连续变化时
把作用时间分成 n 个
很小的时段 ?ti, 每个
时段的力可看作恒力
（下一页是分量式,）
nn tFtFtFI ???????
?????
2211 i
i
i tF ?? ?
?
tF ~x
冲量的几何意义,冲量
图线与坐标轴所围的面积。
在数值上等于xI
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
2
1
t
t zz
t
t yy
t
t xx
dtFI
dtFI
dtFI分量式：
（注意可取 + -号）
（下一页）
0 t
+
xF
1t 2t
F 为恒力时，可以得出 I＝ F?t
F 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。
这个结论称为动量定理。
3、质点的动量定理
12
12,
2
1
tt
vmvm
t
PFtFPdtFI t
t ?
??
?
???????
?
???????
冲量有两种求法：
（下一页）
zzz
yyy
xxx
mvmvI
mvmvI
mvmvI
12
12
12
??
??
??
注意,1、动量为状态量；
3、动量定理可写成分量式，即：
4、质点的动量定理的应用
（下一页）
（ 1）由动量的增量来求冲量；
（ 2）进而求平均冲力，
t
mvmvF xx
x ?
?? 12
t
FP XX
?
?? 1一定时，当 增大作用时间，缓冲
2、冲量为过程量,是力的作用对时间的积累 。
例 1,质量为 2.5g的乒乓球以 10
m/s 的速率飞来，被板推挡后，
又以 20 m/s 的速率飞出。设两
速度在垂直于板面的同一平面
内，且它们与板面法线的夹角
分别为 45o 和 30o,求：
（ 1） 乒乓球得到的冲量；
（ 2） 若撞击时间为 0.01s,求板
====施于球的平均冲力的大小
====和方向。
45o
30o
n
v2
v1
（下一页）
45o
30o
n
v2
v1
O x
y
取坐标系，将上式投影，有：
（下一页）
解法一,取挡板和球为研究对象，
由于作用时间很短，忽略重力影
响。设挡板对球的冲力为
则有：
F?
mv2
mv1
mv1
tFI ?? ??
12 vmvmdtFI
???? ??? ?
tFmvmvdtFI xxx ?????? ? )45c o s(30c o s 0102
tFmvmvdtFI yyy ????? ? 0102 45s in30s in
gmsmvsmvst 52,/20,/10,010 21 ???????
NsINsI yx 0 0 7 30,0 6 10 ????
NsIII yx 222 10146 ??????
解法二 应用余弦定理、正弦定理解三角形
（下一页）
?为 I 与 x 方向的夹角 '0 526,12000t a n ???? ??
x
y
I
I
NFFFNFNF yxyx 146,730,16 22 ????????
NsvvmvmvmtFI 20212222212 10146105c o s2 ????????? ??
N
t
IF 146 ??
?
?
??
0
2
1 0 5s ins in
tFmv ??
?
'0 5251,7 8 6 60s in ??? ??
'52645'5251 000 ???? ?
mv2
mv1
mv1
tFI ?? ??
?
例 2（课本 P103,T3-9） 一质
量均匀分布的柔软细绳铅直地
悬挂着，绳的下端刚好触到水
平桌面上，如果把绳的上端放
开，绳将落在桌面上。试证明：
在绳下落的过程中，任意时刻
作用于桌面的压力，等于已落
到桌面上的绳重力的三倍。
o
x
（下一页）
证明,取如图坐标，设 t 时刻已有 x
长的柔绳落至桌面，随后的 dt时间
内将有质量为 ?dx（ Mdx/L)的柔绳
以 dx/dt的速率碰到桌面而停止，它
的动量变化率为：
一维运动可用 标量
（下一页）
o
x
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
柔绳对桌面的冲力 F＝ － F’即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L
所以 F总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
下面学习质点系的动量定理
22 v
L
MvF ?? ?
而 LM g xFgxv /222 ???
2' v
dt
dt
dx
dx
dt
dP
F ?
?
??
??
??
3-2、质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系的动量定理 质点系（内力 f,外力 F ）
? 两个质点（ m1,m2 ） 的系统
（下一页 ）
dt
PdfFFfm 1
111,:
?????
??
dt
PdfFFfm 2
222 ',':
?????
??
dt
Pd
dt
PdFFff 21
21'
??????
? ??????
dt
Pd
dt
PdfFfF 21
21 '
??????
?????两式相加
? n个质点的系统
由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。
所以：
由此可得“质点系的动量定理”：
积分形式
微分形式
（下一页）
以 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：
?? ?
i
i
i
i Pdt
dF ??
dt
PdF
??
?
PddtF ?? ?
PPddtF P
P
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
二、动量守恒定律
一个质点系所受的合外力为零时，这一
质点系的总动量就保持不变。
——这就是动量守恒定律，其条件是：
系统所受合外力为零；
0?? 外F?
（下一页）
常矢量）(,0,0 CP
dt
PdF ??
??
???
CvmP i
i
i
i
i
???
?? ??
即
注意：
1、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应
===是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的
===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程
===中，往往可忽略外力（ 外力与内力相比小很
多） —======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方
===向为零。） ——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿
===定律更普遍的最基本的定律
（下一页）
例 3 P102 T3-3质量为 m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为 u，
圆半径为 R,圆锥母线与轴线之间的夹角为 α,计算拉力在一周
内的冲量。
Ir =0, ∴ IT=-IP=mg2?R/u k
（下一页是解 2,）
解 1 一周内重力 P 的冲量为
IP = ∮ Pdt = -mg ?tk= -mg2?R/u k
Ir =∮ Frdt=0 。 而重力是恒力，只需知道
它运动一周的时间就能算出其冲量，则拉
力的冲量 IT =Ir – IP
分析,冲量 I=∫Fdt 是一矢量式，当质点在作圆周运动时，拉力
FT的方向是时刻改变的，因此，直接由拉力来求冲量是困难的；
但是，若采用转换的方法，先分别求出合力 Fr 和重力 P 的冲量，
再利用矢量合成的平行四边形法则，即可求得拉力的冲量。虽
然合力 Fr仍是一变力，但它在任意 dt 时间内的冲量 dIr 均指向
圆心。当计算一周内的冲量时，由于各 dIr 的对称性，
Fr
P
T
● m
?
R
解 2 根据动量定理，一周内合力的冲量为
Ir = IT + IP =mu –mu =0
则 IT = - IP = mg 2?R/u k
注意,一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内
质点的动量时时处处守恒，只是终点又恢复
到起点的动量，这不叫动量守恒；所以，动
量守恒的条件，不能说是“系统所收合外力
的冲量为零”。
（下一页）
例 3（课本 P102,T3-6） 一炮弹发射后在其运行轨道
上的最高点 h＝ 19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其
中一块在爆炸后 1 秒钟落到爆炸点正下方的地面上，
设此处与发射点的距离 S1＝ 100米,问另一块落地点与
发射点的距离是多少？（空气阻力不计,g=9.8m/s2)
解,已知第一块方向竖直向下
2
1 '2
1' gttvh ???
st 1' ? 为第一块落地时间
smvv y /71411 ?????
（下一页）
v2y
h
x
v1
h
S1
爆炸中（忽略重力）系统动量守恒
smvst
gtvvghtvS
tv
x
yyx
y
/502
2
,0
0
2
01
???
???
?
）（，
到最高点用时为炮弹在最高点，
v2y
h
x
v1
h
S1
0
2
1
2
1
2
1
12
2
??
?
yy
xx
mvmv
mvmv
（下一页） mv1/2
mv2/2
mvx
smvv xx /10022 ???
smvv yy /71412 ????
第二块作斜抛运动
mv1/2
mv2/2
mvx
（下一页）
可得第二块碎片落地点的水平位置：
mx 5 0 02 ?
2
2222
2212
2
1
gttvhy
tvSx
y
x
???
??
落地时，
st
sty
2
4,0
'
2
22
??
??? （舍去）
P102 T3-5 如图所示,在水平地面上，有一横截面 S
= 0,20m2 的直角弯管,管中有流速为 v =3,0m.s-1 的
水通过,求弯管所受力的大小和方向,v
v
A
B
S
分析, 对于弯管部分 AB段内的水而
言,由于流速一定,在时间△ t 内,
从其一端流入的水量等于从另一端
流出的水量, 因此，对这部分水来
说,在时间△ t 内动量的增量
也就是流入与流出水的动量的增量 ; )( AB vvmP ??? ????
此动量的变化是管壁在时间△ t 内对其作用
冲量 的结果, 依据动量定理可求得该段水受到
管壁的冲力 ； 由牛顿第三定律,自然就得到
水流对管壁的作用力,
I?
F?
FF ?? ??' （下一页）
依据动量定理,PI ?? ??
得到管壁对这部分
水的平均冲力 )( AB vvSvtIF ??
??
???? ?
从而可得水流对管壁作用力的 大小 为
N
SvFF
3
22
1052
)03(200141612'
???
???????????? ?
作用力的方向则沿直角平分线指向管外侧,
（下一页作业）
解, 在时间△ t 内,从管一端流入 ( 或流出）水的质量为
tvSm ??? ?
弯管部分 AB段内的水的动量的增量 则为
)()( ABAB vvtvSvvmP ????? ??????? ?
作 业
P102
T3--- 2,8,12
Bye Bye!
动量守恒定律
（下一页）
3-1、质点和质点系的动量定理
大小, mv 方向：速度的方向
单位,kgm/s 量纲,MLT－ 1
1、动量 （描述质点运动状态，矢量） vmP＝
方向：速度变化的方向
单位,Ns 量纲,MLT－ 1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量） I
（ 1） 常力的冲量 tFI ???
（下一张）
（ 2） 变力的冲量
11 tF ?
?
22 tF ?
? ii tF ?
?
nn tF ?
?
I
的方向不同 !注意：冲量 的方向和瞬时力I? F?
当力连续变化时
把作用时间分成 n 个
很小的时段 ?ti, 每个
时段的力可看作恒力
（下一页是分量式,）
nn tFtFtFI ???????
?????
2211 i
i
i tF ?? ?
?
tF ~x
冲量的几何意义,冲量
图线与坐标轴所围的面积。
在数值上等于xI
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
2
1
t
t zz
t
t yy
t
t xx
dtFI
dtFI
dtFI分量式：
（注意可取 + -号）
（下一页）
0 t
+
xF
1t 2t
F 为恒力时，可以得出 I＝ F?t
F 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。
这个结论称为动量定理。
3、质点的动量定理
12
12,
2
1
tt
vmvm
t
PFtFPdtFI t
t ?
??
?
???????
?
???????
冲量有两种求法：
（下一页）
zzz
yyy
xxx
mvmvI
mvmvI
mvmvI
12
12
12
??
??
??
注意,1、动量为状态量；
3、动量定理可写成分量式，即：
4、质点的动量定理的应用
（下一页）
（ 1）由动量的增量来求冲量；
（ 2）进而求平均冲力，
t
mvmvF xx
x ?
?? 12
t
FP XX
?
?? 1一定时，当 增大作用时间，缓冲
2、冲量为过程量,是力的作用对时间的积累 。
例 1,质量为 2.5g的乒乓球以 10
m/s 的速率飞来，被板推挡后，
又以 20 m/s 的速率飞出。设两
速度在垂直于板面的同一平面
内，且它们与板面法线的夹角
分别为 45o 和 30o,求：
（ 1） 乒乓球得到的冲量；
（ 2） 若撞击时间为 0.01s,求板
====施于球的平均冲力的大小
====和方向。
45o
30o
n
v2
v1
（下一页）
45o
30o
n
v2
v1
O x
y
取坐标系，将上式投影，有：
（下一页）
解法一,取挡板和球为研究对象，
由于作用时间很短，忽略重力影
响。设挡板对球的冲力为
则有：
F?
mv2
mv1
mv1
tFI ?? ??
12 vmvmdtFI
???? ??? ?
tFmvmvdtFI xxx ?????? ? )45c o s(30c o s 0102
tFmvmvdtFI yyy ????? ? 0102 45s in30s in
gmsmvsmvst 52,/20,/10,010 21 ???????
NsINsI yx 0 0 7 30,0 6 10 ????
NsIII yx 222 10146 ??????
解法二 应用余弦定理、正弦定理解三角形
（下一页）
?为 I 与 x 方向的夹角 '0 526,12000t a n ???? ??
x
y
I
I
NFFFNFNF yxyx 146,730,16 22 ????????
NsvvmvmvmtFI 20212222212 10146105c o s2 ????????? ??
N
t
IF 146 ??
?
?
??
0
2
1 0 5s ins in
tFmv ??
?
'0 5251,7 8 6 60s in ??? ??
'52645'5251 000 ???? ?
mv2
mv1
mv1
tFI ?? ??
?
例 2（课本 P103,T3-9） 一质
量均匀分布的柔软细绳铅直地
悬挂着，绳的下端刚好触到水
平桌面上，如果把绳的上端放
开，绳将落在桌面上。试证明：
在绳下落的过程中，任意时刻
作用于桌面的压力，等于已落
到桌面上的绳重力的三倍。
o
x
（下一页）
证明,取如图坐标，设 t 时刻已有 x
长的柔绳落至桌面，随后的 dt时间
内将有质量为 ?dx（ Mdx/L)的柔绳
以 dx/dt的速率碰到桌面而停止，它
的动量变化率为：
一维运动可用 标量
（下一页）
o
x
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
柔绳对桌面的冲力 F＝ － F’即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L
所以 F总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
下面学习质点系的动量定理
22 v
L
MvF ?? ?
而 LM g xFgxv /222 ???
2' v
dt
dt
dx
dx
dt
dP
F ?
?
??
??
??
3-2、质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系的动量定理 质点系（内力 f,外力 F ）
? 两个质点（ m1,m2 ） 的系统
（下一页 ）
dt
PdfFFfm 1
111,:
?????
??
dt
PdfFFfm 2
222 ',':
?????
??
dt
Pd
dt
PdFFff 21
21'
??????
? ??????
dt
Pd
dt
PdfFfF 21
21 '
??????
?????两式相加
? n个质点的系统
由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。
所以：
由此可得“质点系的动量定理”：
积分形式
微分形式
（下一页）
以 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：
?? ?
i
i
i
i Pdt
dF ??
dt
??
?
PddtF ?? ?
PPddtF P
P
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
二、动量守恒定律
一个质点系所受的合外力为零时，这一
质点系的总动量就保持不变。
——这就是动量守恒定律，其条件是：
系统所受合外力为零；
0?? 外F?
（下一页）
常矢量）(,0,0 CP
dt
PdF ??
??
???
CvmP i
i
i
i
i
???
?? ??
即
注意：
1、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应
===是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的
===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程
===中，往往可忽略外力（ 外力与内力相比小很
多） —======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方
===向为零。） ——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿
===定律更普遍的最基本的定律
（下一页）
例 3 P102 T3-3质量为 m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为 u，
圆半径为 R,圆锥母线与轴线之间的夹角为 α,计算拉力在一周
内的冲量。
Ir =0, ∴ IT=-IP=mg2?R/u k
（下一页是解 2,）
解 1 一周内重力 P 的冲量为
IP = ∮ Pdt = -mg ?tk= -mg2?R/u k
Ir =∮ Frdt=0 。 而重力是恒力，只需知道
它运动一周的时间就能算出其冲量，则拉
力的冲量 IT =Ir – IP
分析,冲量 I=∫Fdt 是一矢量式，当质点在作圆周运动时，拉力
FT的方向是时刻改变的，因此，直接由拉力来求冲量是困难的；
但是，若采用转换的方法，先分别求出合力 Fr 和重力 P 的冲量，
再利用矢量合成的平行四边形法则，即可求得拉力的冲量。虽
然合力 Fr仍是一变力，但它在任意 dt 时间内的冲量 dIr 均指向
圆心。当计算一周内的冲量时，由于各 dIr 的对称性，
Fr
P
T
● m
?
R
解 2 根据动量定理，一周内合力的冲量为
Ir = IT + IP =mu –mu =0
则 IT = - IP = mg 2?R/u k
注意,一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内
质点的动量时时处处守恒，只是终点又恢复
到起点的动量，这不叫动量守恒；所以，动
量守恒的条件，不能说是“系统所收合外力
的冲量为零”。
（下一页）
例 3（课本 P102,T3-6） 一炮弹发射后在其运行轨道
上的最高点 h＝ 19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其
中一块在爆炸后 1 秒钟落到爆炸点正下方的地面上，
设此处与发射点的距离 S1＝ 100米,问另一块落地点与
发射点的距离是多少？（空气阻力不计,g=9.8m/s2)
解,已知第一块方向竖直向下
2
1 '2
1' gttvh ???
st 1' ? 为第一块落地时间
smvv y /71411 ?????
（下一页）
v2y
h
x
v1
h
S1
爆炸中（忽略重力）系统动量守恒
smvst
gtvvghtvS
tv
x
yyx
y
/502
2
,0
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2
01
???
???
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）（，
到最高点用时为炮弹在最高点，
v2y
h
x
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1
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1
12
2
??
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yy
xx
mvmv
mvmv
（下一页） mv1/2
mv2/2
mvx
smvv xx /10022 ???
smvv yy /71412 ????
第二块作斜抛运动
mv1/2
mv2/2
mvx
（下一页）
可得第二块碎片落地点的水平位置：
mx 5 0 02 ?
2
2222
2212
2
1
gttvhy
tvSx
y
x
???
??
落地时，
st
sty
2
4,0
'
2
22
??
??? （舍去）
P102 T3-5 如图所示,在水平地面上，有一横截面 S
= 0,20m2 的直角弯管,管中有流速为 v =3,0m.s-1 的
水通过,求弯管所受力的大小和方向,v
v
A
B
S
分析, 对于弯管部分 AB段内的水而
言,由于流速一定,在时间△ t 内,
从其一端流入的水量等于从另一端
流出的水量, 因此，对这部分水来
说,在时间△ t 内动量的增量
也就是流入与流出水的动量的增量 ; )( AB vvmP ??? ????
此动量的变化是管壁在时间△ t 内对其作用
冲量 的结果, 依据动量定理可求得该段水受到
管壁的冲力 ； 由牛顿第三定律,自然就得到
水流对管壁的作用力,
I?
F?
FF ?? ??' （下一页）
依据动量定理,PI ?? ??
得到管壁对这部分
水的平均冲力 )( AB vvSvtIF ??
??
???? ?
从而可得水流对管壁作用力的 大小 为
N
SvFF
3
22
1052
)03(200141612'
???
???????????? ?
作用力的方向则沿直角平分线指向管外侧,
（下一页作业）
解, 在时间△ t 内,从管一端流入 ( 或流出）水的质量为
tvSm ??? ?
弯管部分 AB段内的水的动量的增量 则为
)()( ABAB vvtvSvvmP ????? ??????? ?
作 业
P102
T3--- 2,8,12
Bye Bye!
