回顾：
位矢 kzjyixerr ????? ????
0
运动方程 ktzjtyitxtr ???? )()()()( ???
位移
kzzjyyixx
rrr
???
???
)()()( 121212
12
??????
???
平均速度
k
t
zj
t
yi
t
x
t
rv ?????
?
??
?
??
?
??
?
??
速度 k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rdv ????? ????
（下一页）
平均速率,
t
r
t
sv
?
??
?
?? ?不改变方向的直线
运动才相等
速率 v
dt
rd
dt
dsv ?? ???
dtvrd
dt
rdv ???? ?? 可得而由,
?? ?
tr
r
dtvrd
00
??
?
?
积分
.
,,
0
0
0
0
0
0
dtvzz
dtvyydtvxx
t
z
t
y
t
x
?
??
??
????
移项可得：
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
?
?
?
时的初位置若再知道 0?t
积分可得运动方程
（下一页）
若用不定积分，则：
)(
)(
)(
)0(0
)(
tzz
tyy
txx
cxt
ctfdtvx
x
xx
?
?
?
?
??? ?
同理可求出
求出了运动方程
的值，这样即的值，可得时代入
（下一页）
加速度? k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dv
dt
vda zyx ????? ????
四、加速度 单位：米 /秒 2
描述 速度变化 的快慢 (包括 大小 和 方向 的变化 )
Δ v
v1
v2
y
x
z
B
A
o
v1
v2
· ·At 1v
?
Btt ?? 2v?
?t 时间内的平均加速度
t
v
tt
vva
?
? ???? ?
?
??
12
12
v?? ?t 时间内速度的增量
（下一页）
t 时刻的瞬时加速度 (简称加速度 )
dt
vd
t
va
t
???
??
? ?
?
? 0
l i m 2
2
dt
rda ?? ?dtrdv ?? ?
质点在某时刻的加速度等于该时刻质点速度矢量对
时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数。
直角坐标系中
kajaia
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
zyx
zyx
???
?????
???
????
加速度大小,222
zyx aaaaa ????
?
（下一页）
加速度方向,合外力的方向，不一定与速度方向相同 。
见课本 P9 例 3
P9 例 3 有一球体在某一液体中竖直下落,球体的初速为
vo =(10m.s-1)j,它在液体中的加速度为 a =(-1.0s-1)v j,
问,(1) 经多少时间后可以认为小球已停止运动，
(2)此球体在停止前经历的路程有多长?
解 由题意知,球体作变加速运动，加速度的方向与
= 球体的速度方向相反。 (不是匀变速运动 )
由加速度的定义,有 v
dt
dva ???
?? ??? tvv dtvdv
o 0又由速度
的定义,有 t
o evdt
dyv ??? dtevdy to toyo ?? ??得
有 t
o evv ??
(1)
有 )](1[10 mey t??? (2)
（下一页）从 P10 表中可看出 t=9.2s,y ≈10m
注
意
矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向
代数运算遵循平行四边形法则
r??
avr ???,,某一时刻的瞬时量，
过程量
瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同
不同坐标系中，具体表达形式不同
（下一页叠加性）
不同时刻的量不同。
加速度 a?位矢 r? 位移 r?? 速度 v?
叠加性：
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx ???,,
)(),(),( 121212 zzzyyyxxx ?????? ???
)(txx ? )(tyy ? )(tzz ?
2
2
2
2
2
2
,,dt zdadt ydadt xda zyx ???
任一曲线运动都可以分解成沿 x,y, z 三个各自
独立的直线运动的叠加 运动的独立性原理
(运动的叠加原理 )
a?
r? v? 描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
（下一页）
运动叠加举例：
1、抛物线运动（抛体）
平抛：水平方向，匀速运动；
======竖直方向，自由落体运动。
斜上抛：水平方向，匀速运动；
=======竖直方向，竖直上抛运动。
=====（见课本 P12～ 14，二 斜抛运动）
斜下抛：水平方向，匀速运动；
=======竖直方向，竖直下抛运动。
2、圆运动：垂直方向两个谐振动的叠加。
（下一页）
3、螺旋线运动,
平面两维的圆运动，与第三维的匀速直线
运动的叠加，如：
tvz
tAy
tAx
z
?
?
?
?
?
s in
c os
（下一页）
特别
指出
讨论问题一定要选取坐标系
注意矢量的书写
dtvddsrd,,,?? tvsr ???,,,??与 的物理含义
运动学问题类型：
已知运动方程，求质点的速度和加速度
已知质点的速度 (或加速度 )和初始条件，
求质点运动方程及其它未知量
求导数
运用积分方法
avr
??? ?? ??
?? ??
?? ??
?? ??
求导
积分
求导
积分
（下一页）
例 5.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0，
====以后加速度均匀增加，每经过 τ 秒增加 a0,
求,经过 t秒后质点的速度和运动的距离。
a d tdvdtdvataaa ????? ? 00 ?
(直线运动中可用标量代替矢量）
解,据题意知，加速度和时间的关系为：
? ? ?????? 120000 2)( ctatadttaaadtv ??
20
01 2 000 t
atavcvt
?
?????? 时?
（下一页）
62
000
3020
2
t
a
t
a
x
cxt
?
??
????
则
时?
v dtdx
dt
dxv ???,?
2
302020
0 62)2( ct
atadttatav d tx ??????? ??
??
（下一页）
（下一页）
实际上可以
用求面积的方法。
mx 2 2 1)21(2 2)15.2( ???????
?? v d tx
解：
例 6.一质点沿 x 轴作直线运动，其 v-t曲线如图所示，
====如 t = 0 时，质点位于坐标原点,求,t= 4.5秒
====时，质点在 x 轴上的位置，及质点在这段时间
====内通过的路程。
t(s)
v(m/s)
-1
2
1 2 3 4? ? ? ?
2.5 4.501
A
OA段为匀加速运动；
B
AB段为匀速运动；
C
BC段为匀减速运动，直
至静止，然后改变方向；
D
CD段为反向
匀加速运动；t(s)
v(m/s)
-1
2
1 2 3 4? ? ? ?
2.5 4.501
E
DE段为匀速运动；
F
EF段为匀减速运动，直至静止。
∴ 质点在这段时间内通过的路程 应该为
mx 5
2
1)21(
2
2)15.2( ???????
（下一页）
（下一页）
见 P27,T1-6 一质点自原点开始沿抛物线 2y=x2运动，
它在 Ox轴上的分速度为一恒量，其值为 vx=4.0m.s-1,
求 质点位于 x=2.0m处的速度和加速度。
解,已知 vx为常量,∴ ax=0,
代入轨道方程 2y=(4t)2=16t2,∴ y = 8t2,则
在 x = 2.0m处，由 x=4t 得 t=x/4=0.5s,此时 vy=8m.s-1
)(16
)(84
2
1
?
?
??
?????
smja
smjijvivv yx
??
?????
dtvdx
dt
dxv
xx ???
00
0 xx
t
x vtvdtvx ???? ?
积分,ttvx
x 4??
即
16,16 ??? yy atdtdyv
∴ 质点位于 x=2.0m
处的速度和加速度
描述质点运动需要四个矢量：
avrr ????,加速度、速度、位移位矢 ?
运动学的两类问题是：
)()()( tatvtr
???
?? ??
?? ??
?? ??
?? ??
积分
求导
积分
求导
只要知道了质点的运动方程，它的速度和
加速度也就知道了。关键是要找出运动方程。
知道了加速度求速度，知道了速度求运动
方程，还要知道初始速度和初始位矢，才能积
分求出定解。
（下面讲新课）
★ 切向加速度和法向加速度
自然坐标系,在轨道曲线上任取一点为坐标原点，
以“弯曲轨道”作为坐标轴。
O
s
s?
n
?
?
n
P Q
?
自
然
坐
标
系
P处的坐标即为轨道的长度 s (自然坐标 )
运动方程 )( tss ?
方向描述 作相互垂直的单位矢量 n???
n?
?? 切向单位矢量
法向单位矢量 指向轨道的凹侧
方向都
变化te
?
ne
?
（下一页）
C
?
??
n?
1v?
A
2v?
B
曲
线
运
动
1v?A 2v?B
t? 速度增量
12 vvv ??? ???
12 vvDE
?? ??1vOD ??取
由于 速度大小不同 而引起的速度变化
??v
?DE
由于 速度方向改变 而引起的速度变化
nv
??FD
??v?
nv??O
1v?
2v?
v??
F
E
??
D
???
（下一页）
t
v
t
v
t
va n
ttt ?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
000
limlimlim
???
???
nvvv
??? ???
? ??
0?t? 2,0 ??? ??? O F D
沿 A点的法线方向 (平行 )
??v
? 沿 A点的切线方向 (平行 )??
n?nv??
t
va
t ?
? ?
??
??
0
l i m
?
? tva n
tn ?
?
?
??
0
l i m
?
?
切向加速度
由于速度大小变化而
产生的，沿切线方向
法向加速度
由于速度方向变化而
产生的，沿法线方向
??v?
nv??O
1v?
2v?
v??
F
E
??
D
?
（下一页）
??????
?
?
??
????
dt
dv
t
v
t
va
tt
???
?? 00
limlim
ndtdvntvtva
t
n
tn
???? ?
?
??
?
?
??
???
?? 00
limlim
0?t? ??? ? ?? vv ?
切向加速度大小等于速度的大小 (或速率 )对
时间的导数，方向沿轨道的切线方向。
0?t? nvv n ?? ??? ?
ds
dv
dt
ds
ds
d
dt
d ??? ??
?? dds ?
nva n ??
?
2
?
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径，
方向沿轨道的法线指向。
??v?
nv??O
1v?
2v?
v??
F
E
??
D
?
（下一页）
n
v
dt
dv
aaa n ??
???
?
??
2
????
?a
?
na
?
a??
? ? ? ?
2
22
22
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
v
dt
dv
aaaa
n
?
na
atg ?? ?
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正
是加速度的法向分量改变了质点的运动方向。
（下一页）
?
?
2
v
a
dt
dv
a
n
?
?
dt
edve
dt
dv
dt
vdaevv t
tt
??????
????
?ded t ?1的大小为?
ne
?方向为
nnn
t evee
dt
d
dt
ed ????
?
?? ????
另一种推导法（课本 P16）：
nt e
v
e
dt
dv
a
???
?
2
???
1t
e?
2te
?
te
??
??
（下面例题）
1.由楼窗口以水平初速度 v0射出一发子弹，取枪
口为原点，沿 v0为 x轴，竖直向下为 y轴，并取发
射时 t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻 t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在 t时刻的速度，切向加速度和法向加速
度。
an a?
gy
xo v0
?
2
0 2
1 gtytvx ??解,(1)
2
0
2
2
1
v
gxy ?
例
题
（下一页）
(2) gtvvv
yx ??,0
与切向加速度垂直
222
0
2
tgv
tg
dt
dva
t
?
??
222
0
022
tgv
gvaga
tn
?
???
与速度同向
an a?
gy
xo v0
?
)(t a n
0
1
222
0
22
v
gt
tgvvvv
yx
?
?
????
?
总加速度总是竖直向下的重力加速度 g
切向加速度
法向
（下一页）
2.一质点在 oxy平面内作曲线运动，其加速度是时间的
函数。已知 ax=2,ay=36t2。 设质点 t＝ 0 r0=0,v0=0。
求,(1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程，
(3)此质点的切向加速度。
dttdvdtdv yx 236 2 ??
???? ?? tv ytv x dttdvdtdv yx 0 2000 36 2
12 2 3tvtv yx ??
jtitv 3122 ???
dtdvadtdva yyxx ??解,(1)
（下一页）
dt
dyv
dt
dxv
yx ??
jtitr
ty
tx 42
4
2
3
3
??
?
?
?
?
?
所以质点的运动方程为：
dttdyt d tdx 312 2 ??
???? ?? tytx dttdyt d tdx 0 3000 12 2
42 3 tytx ??
(2)上式中消去 t,得 y = 3x2 即为轨道方程。
===可知是 抛物线 。
（下一页）
4
4
62
5
361
2162
1444
8648
2
1
t
t
tt
tt
dt
dva
?
??
?
???
?
6222 1 4 44 ttvvv
yx ?????
下面开始学习,圆运动和角量,
312 2 tvtv yx ???(3)
1-3 圆周运动 角量
一、圆周运动中的切向加速度和法向加速度
曲率半径是恒量 n
R
v
dt
dva ??? 2?? ?
匀速圆周运动 cv ? n
R
va ?? 2? 向心加速度
二、圆周运动的角量描述
O X
R
??
1v?2v
?
s?
?
A
B
t ?A
tt ?? ??? ?B 角位移
沿 逆时针 转动，角位移取 正 值
沿 顺时针 转动，角位移取 负 值
角位置
（下一页）
定义 角速度
dt
d
tt
?
?
???
?
??
? 0
l i m 单位,rad/s
角速度等于角位置对时间的一阶导数
定义 角加速度
2
2
0
lim dtddtdt
t
??
?
???
?
???
?
单位,rad/s2
角加速度等于角速度对时间的一阶导数
或角位置对时间的二阶导数
dtd ?? ? ?? ? t dtd 00 ??? ??? t dt00 ???
t??? ?? 0
2
00 2
1 tt ???? ???
匀速圆周运动?
匀变速圆周运动 ? 是恒量?
? 是恒量 0??
)(2 002 ????? ???
（下一页）
课本上用 α,
易与 a 混淆。
线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
r
v
ra
ra
rv
n
t
2
2
??
?
?
?
?
?
注
意 1、质点作圆运动，其加速度不一定总指向
圆心；
2、与角加速度有关系的只是切向加速度；
其加速度不仅与角加速度有关，而且与
角速度有关。
（下一页）
回顾：
速度
kvjvivv zyx ???? ???
加速度 k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dva zyx ???? ???
kajaia zyx ??? ???
若速度 自然坐标系
tevv
?? ?
加速度
nt
t eve
dt
dv
dt
evda ????
?
2)(
???
nntt eaea
?? ??
dt
dva
t ?
dt
vd ?一般 ?
（下一页）
极坐标rerr ?? ? 22 yxr ??
dt
rdv ?? ?
分量）（只是速度的一个径向但
一般
dt
drvv ?? ?
矢径方向单位矢量:re?
drrd ?
一般?
化率位矢的大小随时间的变
其模的差矢量的差的模 一般?
一部分只是质点径向加速度的而 2
2
dt
rd
求加速度的大小。除非直线运动，不能用 2
2
dt
rd
dt
dsvvs ?? ?,是路程
（下面是作业）
作业：
P27 T1---7
P28 T1---18
Bye Bye!
位矢 kzjyixerr ????? ????
0
运动方程 ktzjtyitxtr ???? )()()()( ???
位移
kzzjyyixx
rrr
???
???
)()()( 121212
12
??????
???
平均速度
k
t
zj
t
yi
t
x
t
rv ?????
?
??
?
??
?
??
?
??
速度 k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rdv ????? ????
（下一页）
平均速率,
t
r
t
sv
?
??
?
?? ?不改变方向的直线
运动才相等
速率 v
dt
rd
dt
dsv ?? ???
dtvrd
dt
rdv ???? ?? 可得而由,
?? ?
tr
r
dtvrd
00
??
?
?
积分
.
,,
0
0
0
0
0
0
dtvzz
dtvyydtvxx
t
z
t
y
t
x
?
??
??
????
移项可得：
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
?
?
?
时的初位置若再知道 0?t
积分可得运动方程
（下一页）
若用不定积分，则：
)(
)(
)(
)0(0
)(
tzz
tyy
txx
cxt
ctfdtvx
x
xx
?
?
?
?
??? ?
同理可求出
求出了运动方程
的值，这样即的值，可得时代入
（下一页）
加速度? k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dv
dt
vda zyx ????? ????
四、加速度 单位：米 /秒 2
描述 速度变化 的快慢 (包括 大小 和 方向 的变化 )
Δ v
v1
v2
y
x
z
B
A
o
v1
v2
· ·At 1v
?
Btt ?? 2v?
?t 时间内的平均加速度
t
v
tt
vva
?
? ???? ?
?
??
12
12
v?? ?t 时间内速度的增量
（下一页）
t 时刻的瞬时加速度 (简称加速度 )
dt
vd
t
va
t
???
??
? ?
?
? 0
l i m 2
2
dt
rda ?? ?dtrdv ?? ?
质点在某时刻的加速度等于该时刻质点速度矢量对
时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数。
直角坐标系中
kajaia
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
zyx
zyx
???
?????
???
????
加速度大小,222
zyx aaaaa ????
?
（下一页）
加速度方向,合外力的方向，不一定与速度方向相同 。
见课本 P9 例 3
P9 例 3 有一球体在某一液体中竖直下落,球体的初速为
vo =(10m.s-1)j,它在液体中的加速度为 a =(-1.0s-1)v j,
问,(1) 经多少时间后可以认为小球已停止运动，
(2)此球体在停止前经历的路程有多长?
解 由题意知,球体作变加速运动，加速度的方向与
= 球体的速度方向相反。 (不是匀变速运动 )
由加速度的定义,有 v
dt
dva ???
?? ??? tvv dtvdv
o 0又由速度
的定义,有 t
o evdt
dyv ??? dtevdy to toyo ?? ??得
有 t
o evv ??
(1)
有 )](1[10 mey t??? (2)
（下一页）从 P10 表中可看出 t=9.2s,y ≈10m
注
意
矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向
代数运算遵循平行四边形法则
r??
avr ???,,某一时刻的瞬时量，
过程量
瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同
不同坐标系中，具体表达形式不同
（下一页叠加性）
不同时刻的量不同。
加速度 a?位矢 r? 位移 r?? 速度 v?
叠加性：
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx ???,,
)(),(),( 121212 zzzyyyxxx ?????? ???
)(txx ? )(tyy ? )(tzz ?
2
2
2
2
2
2
,,dt zdadt ydadt xda zyx ???
任一曲线运动都可以分解成沿 x,y, z 三个各自
独立的直线运动的叠加 运动的独立性原理
(运动的叠加原理 )
a?
r? v? 描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
（下一页）
运动叠加举例：
1、抛物线运动（抛体）
平抛：水平方向，匀速运动；
======竖直方向，自由落体运动。
斜上抛：水平方向，匀速运动；
=======竖直方向，竖直上抛运动。
=====（见课本 P12～ 14，二 斜抛运动）
斜下抛：水平方向，匀速运动；
=======竖直方向，竖直下抛运动。
2、圆运动：垂直方向两个谐振动的叠加。
（下一页）
3、螺旋线运动,
平面两维的圆运动，与第三维的匀速直线
运动的叠加，如：
tvz
tAy
tAx
z
?
?
?
?
?
s in
c os
（下一页）
特别
指出
讨论问题一定要选取坐标系
注意矢量的书写
dtvddsrd,,,?? tvsr ???,,,??与 的物理含义
运动学问题类型：
已知运动方程，求质点的速度和加速度
已知质点的速度 (或加速度 )和初始条件，
求质点运动方程及其它未知量
求导数
运用积分方法
avr
??? ?? ??
?? ??
?? ??
?? ??
求导
积分
求导
积分
（下一页）
例 5.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0，
====以后加速度均匀增加，每经过 τ 秒增加 a0,
求,经过 t秒后质点的速度和运动的距离。
a d tdvdtdvataaa ????? ? 00 ?
(直线运动中可用标量代替矢量）
解,据题意知，加速度和时间的关系为：
? ? ?????? 120000 2)( ctatadttaaadtv ??
20
01 2 000 t
atavcvt
?
?????? 时?
（下一页）
62
000
3020
2
t
a
t
a
x
cxt
?
??
????
则
时?
v dtdx
dt
dxv ???,?
2
302020
0 62)2( ct
atadttatav d tx ??????? ??
??
（下一页）
（下一页）
实际上可以
用求面积的方法。
mx 2 2 1)21(2 2)15.2( ???????
?? v d tx
解：
例 6.一质点沿 x 轴作直线运动，其 v-t曲线如图所示，
====如 t = 0 时，质点位于坐标原点,求,t= 4.5秒
====时，质点在 x 轴上的位置，及质点在这段时间
====内通过的路程。
t(s)
v(m/s)
-1
2
1 2 3 4? ? ? ?
2.5 4.501
A
OA段为匀加速运动；
B
AB段为匀速运动；
C
BC段为匀减速运动，直
至静止，然后改变方向；
D
CD段为反向
匀加速运动；t(s)
v(m/s)
-1
2
1 2 3 4? ? ? ?
2.5 4.501
E
DE段为匀速运动；
F
EF段为匀减速运动，直至静止。
∴ 质点在这段时间内通过的路程 应该为
mx 5
2
1)21(
2
2)15.2( ???????
（下一页）
（下一页）
见 P27,T1-6 一质点自原点开始沿抛物线 2y=x2运动，
它在 Ox轴上的分速度为一恒量，其值为 vx=4.0m.s-1,
求 质点位于 x=2.0m处的速度和加速度。
解,已知 vx为常量,∴ ax=0,
代入轨道方程 2y=(4t)2=16t2,∴ y = 8t2,则
在 x = 2.0m处，由 x=4t 得 t=x/4=0.5s,此时 vy=8m.s-1
)(16
)(84
2
1
?
?
??
?????
smja
smjijvivv yx
??
?????
dtvdx
dt
dxv
xx ???
00
0 xx
t
x vtvdtvx ???? ?
积分,ttvx
x 4??
即
16,16 ??? yy atdtdyv
∴ 质点位于 x=2.0m
处的速度和加速度
描述质点运动需要四个矢量：
avrr ????,加速度、速度、位移位矢 ?
运动学的两类问题是：
)()()( tatvtr
???
?? ??
?? ??
?? ??
?? ??
积分
求导
积分
求导
只要知道了质点的运动方程，它的速度和
加速度也就知道了。关键是要找出运动方程。
知道了加速度求速度，知道了速度求运动
方程，还要知道初始速度和初始位矢，才能积
分求出定解。
（下面讲新课）
★ 切向加速度和法向加速度
自然坐标系,在轨道曲线上任取一点为坐标原点，
以“弯曲轨道”作为坐标轴。
O
s
s?
n
?
?
n
P Q
?
自
然
坐
标
系
P处的坐标即为轨道的长度 s (自然坐标 )
运动方程 )( tss ?
方向描述 作相互垂直的单位矢量 n???
n?
?? 切向单位矢量
法向单位矢量 指向轨道的凹侧
方向都
变化te
?
ne
?
（下一页）
C
?
??
n?
1v?
A
2v?
B
曲
线
运
动
1v?A 2v?B
t? 速度增量
12 vvv ??? ???
12 vvDE
?? ??1vOD ??取
由于 速度大小不同 而引起的速度变化
??v
?DE
由于 速度方向改变 而引起的速度变化
nv
??FD
??v?
nv??O
1v?
2v?
v??
F
E
??
D
???
（下一页）
t
v
t
v
t
va n
ttt ?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
000
limlimlim
???
???
nvvv
??? ???
? ??
0?t? 2,0 ??? ??? O F D
沿 A点的法线方向 (平行 )
??v
? 沿 A点的切线方向 (平行 )??
n?nv??
t
va
t ?
? ?
??
??
0
l i m
?
? tva n
tn ?
?
?
??
0
l i m
?
?
切向加速度
由于速度大小变化而
产生的，沿切线方向
法向加速度
由于速度方向变化而
产生的，沿法线方向
??v?
nv??O
1v?
2v?
v??
F
E
??
D
?
（下一页）
??????
?
?
??
????
dt
dv
t
v
t
va
tt
???
?? 00
limlim
ndtdvntvtva
t
n
tn
???? ?
?
??
?
?
??
???
?? 00
limlim
0?t? ??? ? ?? vv ?
切向加速度大小等于速度的大小 (或速率 )对
时间的导数，方向沿轨道的切线方向。
0?t? nvv n ?? ??? ?
ds
dv
dt
ds
ds
d
dt
d ??? ??
?? dds ?
nva n ??
?
2
?
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径，
方向沿轨道的法线指向。
??v?
nv??O
1v?
2v?
v??
F
E
??
D
?
（下一页）
n
v
dt
dv
aaa n ??
???
?
??
2
????
?a
?
na
?
a??
? ? ? ?
2
22
22
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
v
dt
dv
aaaa
n
?
na
atg ?? ?
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正
是加速度的法向分量改变了质点的运动方向。
（下一页）
?
?
2
v
a
dt
dv
a
n
?
?
dt
edve
dt
dv
dt
vdaevv t
tt
??????
????
?ded t ?1的大小为?
ne
?方向为
nnn
t evee
dt
d
dt
ed ????
?
?? ????
另一种推导法（课本 P16）：
nt e
v
e
dt
dv
a
???
?
2
???
1t
e?
2te
?
te
??
??
（下面例题）
1.由楼窗口以水平初速度 v0射出一发子弹，取枪
口为原点，沿 v0为 x轴，竖直向下为 y轴，并取发
射时 t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻 t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在 t时刻的速度，切向加速度和法向加速
度。
an a?
gy
xo v0
?
2
0 2
1 gtytvx ??解,(1)
2
0
2
2
1
v
gxy ?
例
题
（下一页）
(2) gtvvv
yx ??,0
与切向加速度垂直
222
0
2
tgv
tg
dt
dva
t
?
??
222
0
022
tgv
gvaga
tn
?
???
与速度同向
an a?
gy
xo v0
?
)(t a n
0
1
222
0
22
v
gt
tgvvvv
yx
?
?
????
?
总加速度总是竖直向下的重力加速度 g
切向加速度
法向
（下一页）
2.一质点在 oxy平面内作曲线运动，其加速度是时间的
函数。已知 ax=2,ay=36t2。 设质点 t＝ 0 r0=0,v0=0。
求,(1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程，
(3)此质点的切向加速度。
dttdvdtdv yx 236 2 ??
???? ?? tv ytv x dttdvdtdv yx 0 2000 36 2
12 2 3tvtv yx ??
jtitv 3122 ???
dtdvadtdva yyxx ??解,(1)
（下一页）
dt
dyv
dt
dxv
yx ??
jtitr
ty
tx 42
4
2
3
3
??
?
?
?
?
?
所以质点的运动方程为：
dttdyt d tdx 312 2 ??
???? ?? tytx dttdyt d tdx 0 3000 12 2
42 3 tytx ??
(2)上式中消去 t,得 y = 3x2 即为轨道方程。
===可知是 抛物线 。
（下一页）
4
4
62
5
361
2162
1444
8648
2
1
t
t
tt
tt
dt
dva
?
??
?
???
?
6222 1 4 44 ttvvv
yx ?????
下面开始学习,圆运动和角量,
312 2 tvtv yx ???(3)
1-3 圆周运动 角量
一、圆周运动中的切向加速度和法向加速度
曲率半径是恒量 n
R
v
dt
dva ??? 2?? ?
匀速圆周运动 cv ? n
R
va ?? 2? 向心加速度
二、圆周运动的角量描述
O X
R
??
1v?2v
?
s?
?
A
B
t ?A
tt ?? ??? ?B 角位移
沿 逆时针 转动，角位移取 正 值
沿 顺时针 转动，角位移取 负 值
角位置
（下一页）
定义 角速度
dt
d
tt
?
?
???
?
??
? 0
l i m 单位,rad/s
角速度等于角位置对时间的一阶导数
定义 角加速度
2
2
0
lim dtddtdt
t
??
?
???
?
???
?
单位,rad/s2
角加速度等于角速度对时间的一阶导数
或角位置对时间的二阶导数
dtd ?? ? ?? ? t dtd 00 ??? ??? t dt00 ???
t??? ?? 0
2
00 2
1 tt ???? ???
匀速圆周运动?
匀变速圆周运动 ? 是恒量?
? 是恒量 0??
)(2 002 ????? ???
（下一页）
课本上用 α,
易与 a 混淆。
线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
r
v
ra
ra
rv
n
t
2
2
??
?
?
?
?
?
注
意 1、质点作圆运动，其加速度不一定总指向
圆心；
2、与角加速度有关系的只是切向加速度；
其加速度不仅与角加速度有关，而且与
角速度有关。
（下一页）
回顾：
速度
kvjvivv zyx ???? ???
加速度 k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dva zyx ???? ???
kajaia zyx ??? ???
若速度 自然坐标系
tevv
?? ?
加速度
nt
t eve
dt
dv
dt
evda ????
?
2)(
???
nntt eaea
?? ??
dt
dva
t ?
dt
vd ?一般 ?
（下一页）
极坐标rerr ?? ? 22 yxr ??
dt
rdv ?? ?
分量）（只是速度的一个径向但
一般
dt
drvv ?? ?
矢径方向单位矢量:re?
drrd ?
一般?
化率位矢的大小随时间的变
其模的差矢量的差的模 一般?
一部分只是质点径向加速度的而 2
2
dt
rd
求加速度的大小。除非直线运动，不能用 2
2
dt
rd
dt
dsvvs ?? ?,是路程
（下面是作业）
作业：
P27 T1---7
P28 T1---18
Bye Bye!
