电磁感应 电磁场
习题课
一、本章重要内容回顾
1、电磁感应
电磁感应定律
dt
d m
i
????
2、动生电动势 ? ??? ldBv
i
????
楞次定律 感应电流的方向总是反抗引
起感应电流的原因
3、感生电动势 Sd
t
BldE
sli
????
?
?
????? ??
涡?
（下一页）
4.自感
自感系数
IL
m??
自感电动势
dt
dIL
l ???
5.互感
互感系数
1
21
21 IM
??
2
12
12 IM
?? MMM ??
1221
互感电动势
dt
dIM 1
21 ??? dt
dIM 2
12 ???
（下一页）
自感磁能
2
2
1 LIW ?
自
互感磁能
21 IMIW ?互
磁能密度
BHHBw m 212121 2
2
??? ??
磁场能量
dvBW
vm ?
2
2
1??
7.位移电流
位移电流密度
dt
Ddj
d
??
?
位移电流
SdtDdtdI
S
e
d
?? ?
?
???? ?
（下一页）
6.磁场能量
8.麦克斯韦方程组
电磁场的普遍规律,它预言了电磁波的存在。
? ???S V dVSdD ??? SdtBldEl S ?
???
??????? ?
? ??S SdB 0?? SdtDjldH
l S
?????
???
?
?
??
?
?
?
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介质方程
ED r ?? ?? 0? HB r ?? ?? 0?
（下一页）
9.电磁波 (下册第十六章 第二节 )
平面电磁波
的波方程
?????? ?? vrtEE ?c os0
?????? ?? vrtHH ?c o s0
??
1?v
HE ?? ?
能量密度 ? ?22
2
1 HEw ?? ??
能流密度 HES ??? ?? （下一页）
波速
例 1 一单匝圆形线圈位于
xoy平面内,其中心位于原
点 O,半径为 a,电阻为 R,
平行于 Z 轴有一匀强磁场,
假设 R 极大。 求,当磁场依
照 B = B0 e -?t 的关系降为
零时,通过该线圈的电流和
电量,
B?
z
x
y
O
i?
i
a
二、典型例题
（下一页）
解, 电路中维持电流的条件
是必须有电动势,求感应电
流应首先求出感应电动势,
题中线圈不动亦不变形,
故线圈内只存在感应电动势,
B 变化时,伴有自感应现象,但题中假设 R
很大,自感应电流就极小,可以忽略,
B? z
x
y
O
i?
i
a
（下一页）
根据法拉第电磁感应定律,线圈中的感应电动势
dt
d m
i
???? ? ?
BS
dt
d?? ? ?t
eB
dt
dS ????
0
? ? teSB ?? ???? 0 teBa ??? ?? 02
电动势为正,说明它的方向与 B 构成右手螺旋关系,
根据欧姆定律,线圈中的感应电流为
ti e
R
Ba
R
i ???? ??? 0
2
感应电流的方向亦与 B 构成右手螺旋关系
（下一页）
在 0 ? t 时间内,通过线圈某一截面的电量为
dte
R
Ba
id tq
t tt
?? ??? 00 0
2
???
? ?te
R
Ba ?? ??? 102 ? ?? ?t
R mm ???? 0
1
mR ??
?? 1
当 B 降为零时,通过线圈截面的总电量为
RR
Baid tq m 0
0
0
2 ?
??? ?
? ?
可见,q 仅与磁通量的变化值 ??m有关,而
与变化过程无关,即与 B(t)无关,
（下一页）
例 2 在截面半径为 R 的圆柱
形空间充满磁感应强度为 B
的均匀磁场,B 的方向沿圆
柱形轴线,B 的大小随时间
按 dB/dt = k 的规律均匀增
加,有一长 L=2R 的金属棒
abc位于图示位置,求 金属棒
中的感生电动势,
??
????
????
?? ?
??
?
R
O
B
d
cba R R
?
（下一页）
解, 作辅助线 oa,oc构
== 成闭合回路 oabco 。
由于涡旋电场的电
力线是以 O为圆心的半径
不等的同心圆,E涡 的方
向沿圆周切线方向,从而
与半径垂直。
??
????
????
?? ?
??
?
R
B
d
O
cba R R
因此,oa,oc段上感生电动势为零,则
闭合回路的感生电动势就等于金属棒 ac 上
的感生电动势,
（下一页）
穿过 ?abc 的磁通量实际上只是 oabdo的面
积部分,所以
BS o a b d om ?? ? ?BSS o b d oo a b o ??
BR 2
124
3
???
?
???
?
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dt
d m
i
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dt
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3
3
4
1 2 ?
?
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??
?
? ???
3
3
4
2 ?Rk
负号表示 ?i 的方向与 B 构成左旋关系,
即感生电动势的指向为 a?b ?c.
（下一页）
例 3 一长直导线载有交变电流
I=I0sin?t,旁边有一 矩形线圈
ABCD(与长直导线共面 ),长为
l1,宽 l2,长边与长直导线平行,
AD边与导线相距为 a,线圈共
N 匝,全线圈以速度 v 垂直于长
直导线方向向右运动。 求 此时
线圈中的感应电动势大小,
A B
CD
I
2l
1la
v?
（下一页）
解, 由于电流改变的同时,
===线圈也在向右运动,
故线圈中既有感生电动
势,又有动生电动势,
在 ABCD内取一 dS=l1dx 的面
元,传过该面元的磁通量为
SdBd m ?? ???
A B
CD
I
2l
1la
v?
?? ????? SdBd mm ??
x
dx
（下一页）
故
dt
d m
i
????
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Il
dt
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a
lal 11
2
ln
2 2
10210
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x
I
1
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?
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2
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a
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2
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2
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? ???
（下一页）
θ
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
例 4 OM,ON 及 MN 为金属导线,MN 以速度 v 运动，
= 并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：
导体 MN 在 时，0t = 0x =
x
y
0
×
×
×
×
××××××
M
N
v?
B?
tkxB ?? c o s
求,)( t???
（下一页）
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
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×
×
×
×
×
×
×
×
×
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t d xxk t g ??? c o s)( 2
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3
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x
y
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3
1 2333
动生感生
)s i nc o s3(31 32 txtdtdxxk t gdtd ??????????
（下一页）
解：
动生感生
ttvk t gttvk t g ???????? c o ss i n
3
1 2333
ttvk t gB l v ????? c o s23动
ttvk t g
t
????
?
????? s i n
3
1 33
感
（下一页）
例 5 (1)质量为 M,长度为 L
==的金属棒 ab 从静止开始
==沿倾斜的绝缘框架下滑,
==设磁场 B 竖直向上,
==求 棒内的动生电动势与时
==间的函数关系,摩擦可忽
==略不计。
(2)如果金属棒是沿光滑的金属框架下滑,=
结果有何不同 。 ( 设回路的电阻为 R )
A
D
B
C
B?
? gm
?
a
b
v?
l
（下一页）
解, (1) 当 ab 沿斜面下滑时,
=====沿斜面方向加速度
A
D
B
C
B?
? gm
?
a
b
v?
l
?s inga ? ? tgv ?? ?s in
? ??? ldBv ???? lvB ?? ?c o s
tB g l ?? ?? c o ss in
(2)当 ab 沿光滑金属框架下滑时,ab 中有
==感应电流流过,根据楞次定律,ab 中感
= 应电流的方向由 b?a,
（下一页）
沿斜面方向的运动方程为
dt
dvMI B lMg ?? ?? c o ss in
Rv B lI ?c o s??
dt
dvMv
R
lBMg ??? ?? 222 c o ss in
由 t = 0,v = 0，可求出 v与 t的关系。
代入 ?
??? ldBv ????
可得 ?? c o sv B l?
计算可得
??
?
??
? ?? ?? MRtlBe
Bl
M g R ??
?
222 c o s
1
s in
（下一页）
例 6 一电子在电子感应加速器中沿半径为 1m
的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能
增加 700ev 时,计算 轨道内磁通量的变化率。
解,电子每转一周，电场力做功等于动能增量
则 eVldEe
l 700???
??
VldEl 700??? ??
而 V
dt
dldE m
l
700??????
??
（下一页）
例 7 两根足够长的平行直导线横
截面的半径都是 a = 1 mm,中心
相距为 d = 20mm,载有大小相等
方向相反的电流 I =20A,设两导
线内部磁通量可忽略不计。
（ 1）计算 每单位长度的自感系数；
（ 2） 若将直导线分至相距 40mm,
====求 磁场对单位长度直导线所
======做的功；
（下一页）
（ 3） 位移后，单位长度的磁能改变了多少？
=====是增加还是减少？
x
d
II
o
1m? 2m?
x dx
l
md?
x
d
II
o
1m? 2m?
解, (1)设通过两直导
线间长为 l 的面积
的磁通量为 ?m,取
如图所示的坐标系,
面元 dS = ldx,则
?? ??? dSBdSBm 21
ldx
x
Iad
a?
?
?
?
?
2
0
? ?ld xxd
Iad
a?
?
?
?
?
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2
0
?
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??
?
? ????
a
ad
a
adIl lnln
2
0
?
?
a
adIl ?? ln0
?
?
（下一页）
由自感系数的定义可得
a
adlIL
m
???? ln0
?
?
单位长度的自感系数为
a
adlLL ??? ln0
0 ?
?
代入已知数据得
HHL ?
?
? 2.1102.1
1
120ln104 67
0 ???
??? ??
（下一页）
B
F
I I
o x
(2)设想左边直导线不动，
将右边直导线拉开, 移动过
程中会受到磁场力 F 的作
用。由右手螺旋法则可知,
F 沿 x 轴正方向,
x
IIlI lBF
?
?
2
0??
取 l =1m,则磁场对单位长度载流直导线所
作功为
（下一页）
(3)当两直导线相距 40mm时,每单位长度的
==自感系数为
d
adL ???? ln0
0 ?
? 39ln104 7??? H6105.1 ???
根据自感磁能公式 2
2
1 LIW
m ?
?? F d xW ?? 4.0 2.0
2
0
2
dx
x
I
?
?
2ln
2
2
0
?
? I? J5106.5 ???
（下一页）
所以,单位长度的磁能改变为
? ? 20000
2
1 ILLWWW
mmm ???????
? ? 26 20102.15.121 ???? ?J6100.6 ???
可见,位移时单位长度内的磁能是增加的,
在 d=20mm和 40mm时,单位长度的磁能分别为
2
00 2
1 ILW
m ? 200
2
1 ILW
m ???
（下一页）
例 8 一圆形线圈 C1由 N1匝表面绝缘的细导线绕
成，原面积为 S，将此线圈放在另一半径为 R的
圆形大线圈 C2的中心（ C2 比 C1的尺寸大的多）
两者同轴，大线圈由 N2匝表面绝缘的导线绕成。
1）求 这两线圈的互感 M.
2） 当大线圈中的电流变化率为 dI/dt时，
==求 小线圈 C1中的感应电动势 ?.
（下一页）
解,(1)设 C2通有电流 I.由于 C2比 C1大的多，
=====--C2在 C1处产生的磁场可看作均匀磁场,
R
INB
202
??
穿过 C1的磁通量为
R
ISNN
m 2
021 ???
R
SNN
IM m 2021
????
(2)小线圈中的感应电动势 为
dt
dIM??
dt
dI
R
ISNN
2
021 ??
互感为
（下一页）
例 9 一根无限长圆柱形载流导线,半径为 R,
试求 该导线 l长度所储存的磁场能量及自感系数,
解, 根据安培环路定理
Rr ?
2
0
2 R
IrB
?
??
42
222
0
00
2
42
1
2 R
rIBw
m ?
?
??
??
在导线内取一体积元 dV = 2?rldr,该体积
元储存的能量为
（下一页）
r ld r
R
rIdVwdW
mm ??
? 2
4 42
22
0?? drr
R
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4
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自己复习小结, 电磁学,
（下页作业）
作 业
P243 T13-19,
P245 T13-29。
Bye bye!
习题课
一、本章重要内容回顾
1、电磁感应
电磁感应定律
dt
d m
i
????
2、动生电动势 ? ??? ldBv
i
????
楞次定律 感应电流的方向总是反抗引
起感应电流的原因
3、感生电动势 Sd
t
BldE
sli
????
?
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涡?
（下一页）
4.自感
自感系数
IL
m??
自感电动势
dt
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l ???
5.互感
互感系数
1
21
21 IM
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2
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1221
互感电动势
dt
dIM 1
21 ??? dt
dIM 2
12 ???
（下一页）
自感磁能
2
2
1 LIW ?
自
互感磁能
21 IMIW ?互
磁能密度
BHHBw m 212121 2
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磁场能量
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7.位移电流
位移电流密度
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位移电流
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S
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（下一页）
6.磁场能量
8.麦克斯韦方程组
电磁场的普遍规律,它预言了电磁波的存在。
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（下一页）
9.电磁波 (下册第十六章 第二节 )
平面电磁波
的波方程
?????? ?? vrtEE ?c os0
?????? ?? vrtHH ?c o s0
??
1?v
HE ?? ?
能量密度 ? ?22
2
1 HEw ?? ??
能流密度 HES ??? ?? （下一页）
波速
例 1 一单匝圆形线圈位于
xoy平面内,其中心位于原
点 O,半径为 a,电阻为 R,
平行于 Z 轴有一匀强磁场,
假设 R 极大。 求,当磁场依
照 B = B0 e -?t 的关系降为
零时,通过该线圈的电流和
电量,
B?
z
x
y
O
i?
i
a
二、典型例题
（下一页）
解, 电路中维持电流的条件
是必须有电动势,求感应电
流应首先求出感应电动势,
题中线圈不动亦不变形,
故线圈内只存在感应电动势,
B 变化时,伴有自感应现象,但题中假设 R
很大,自感应电流就极小,可以忽略,
B? z
x
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O
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（下一页）
根据法拉第电磁感应定律,线圈中的感应电动势
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电动势为正,说明它的方向与 B 构成右手螺旋关系,
根据欧姆定律,线圈中的感应电流为
ti e
R
Ba
R
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2
感应电流的方向亦与 B 构成右手螺旋关系
（下一页）
在 0 ? t 时间内,通过线圈某一截面的电量为
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R
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???
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当 B 降为零时,通过线圈截面的总电量为
RR
Baid tq m 0
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0
2 ?
??? ?
? ?
可见,q 仅与磁通量的变化值 ??m有关,而
与变化过程无关,即与 B(t)无关,
（下一页）
例 2 在截面半径为 R 的圆柱
形空间充满磁感应强度为 B
的均匀磁场,B 的方向沿圆
柱形轴线,B 的大小随时间
按 dB/dt = k 的规律均匀增
加,有一长 L=2R 的金属棒
abc位于图示位置,求 金属棒
中的感生电动势,
??
????
????
?? ?
??
?
R
O
B
d
cba R R
?
（下一页）
解, 作辅助线 oa,oc构
== 成闭合回路 oabco 。
由于涡旋电场的电
力线是以 O为圆心的半径
不等的同心圆,E涡 的方
向沿圆周切线方向,从而
与半径垂直。
??
????
????
?? ?
??
?
R
B
d
O
cba R R
因此,oa,oc段上感生电动势为零,则
闭合回路的感生电动势就等于金属棒 ac 上
的感生电动势,
（下一页）
穿过 ?abc 的磁通量实际上只是 oabdo的面
积部分,所以
BS o a b d om ?? ? ?BSS o b d oo a b o ??
BR 2
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3
???
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负号表示 ?i 的方向与 B 构成左旋关系,
即感生电动势的指向为 a?b ?c.
（下一页）
例 3 一长直导线载有交变电流
I=I0sin?t,旁边有一 矩形线圈
ABCD(与长直导线共面 ),长为
l1,宽 l2,长边与长直导线平行,
AD边与导线相距为 a,线圈共
N 匝,全线圈以速度 v 垂直于长
直导线方向向右运动。 求 此时
线圈中的感应电动势大小,
A B
CD
I
2l
1la
v?
（下一页）
解, 由于电流改变的同时,
===线圈也在向右运动,
故线圈中既有感生电动
势,又有动生电动势,
在 ABCD内取一 dS=l1dx 的面
元,传过该面元的磁通量为
SdBd m ?? ???
A B
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（下一页）
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×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
例 4 OM,ON 及 MN 为金属导线,MN 以速度 v 运动，
= 并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：
导体 MN 在 时，0t = 0x =
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动生感生
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（下一页）
解：
动生感生
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3
1 2333
ttvk t gB l v ????? c o s23动
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1 33
感
（下一页）
例 5 (1)质量为 M,长度为 L
==的金属棒 ab 从静止开始
==沿倾斜的绝缘框架下滑,
==设磁场 B 竖直向上,
==求 棒内的动生电动势与时
==间的函数关系,摩擦可忽
==略不计。
(2)如果金属棒是沿光滑的金属框架下滑,=
结果有何不同 。 ( 设回路的电阻为 R )
A
D
B
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B?
? gm
?
a
b
v?
l
（下一页）
解, (1) 当 ab 沿斜面下滑时,
=====沿斜面方向加速度
A
D
B
C
B?
? gm
?
a
b
v?
l
?s inga ? ? tgv ?? ?s in
? ??? ldBv ???? lvB ?? ?c o s
tB g l ?? ?? c o ss in
(2)当 ab 沿光滑金属框架下滑时,ab 中有
==感应电流流过,根据楞次定律,ab 中感
= 应电流的方向由 b?a,
（下一页）
沿斜面方向的运动方程为
dt
dvMI B lMg ?? ?? c o ss in
Rv B lI ?c o s??
dt
dvMv
R
lBMg ??? ?? 222 c o ss in
由 t = 0,v = 0，可求出 v与 t的关系。
代入 ?
??? ldBv ????
可得 ?? c o sv B l?
计算可得
??
?
??
? ?? ?? MRtlBe
Bl
M g R ??
?
222 c o s
1
s in
（下一页）
例 6 一电子在电子感应加速器中沿半径为 1m
的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能
增加 700ev 时,计算 轨道内磁通量的变化率。
解,电子每转一周，电场力做功等于动能增量
则 eVldEe
l 700???
??
VldEl 700??? ??
而 V
dt
dldE m
l
700??????
??
（下一页）
例 7 两根足够长的平行直导线横
截面的半径都是 a = 1 mm,中心
相距为 d = 20mm,载有大小相等
方向相反的电流 I =20A,设两导
线内部磁通量可忽略不计。
（ 1）计算 每单位长度的自感系数；
（ 2） 若将直导线分至相距 40mm,
====求 磁场对单位长度直导线所
======做的功；
（下一页）
（ 3） 位移后，单位长度的磁能改变了多少？
=====是增加还是减少？
x
d
II
o
1m? 2m?
x dx
l
md?
x
d
II
o
1m? 2m?
解, (1)设通过两直导
线间长为 l 的面积
的磁通量为 ?m,取
如图所示的坐标系,
面元 dS = ldx,则
?? ??? dSBdSBm 21
ldx
x
Iad
a?
?
?
?
?
2
0
? ?ld xxd
Iad
a?
?
?
?
?
?
2
0
?
?
??
?
? ????
a
ad
a
adIl lnln
2
0
?
?
a
adIl ?? ln0
?
?
（下一页）
由自感系数的定义可得
a
adlIL
m
???? ln0
?
?
单位长度的自感系数为
a
adlLL ??? ln0
0 ?
?
代入已知数据得
HHL ?
?
? 2.1102.1
1
120ln104 67
0 ???
??? ??
（下一页）
B
F
I I
o x
(2)设想左边直导线不动，
将右边直导线拉开, 移动过
程中会受到磁场力 F 的作
用。由右手螺旋法则可知,
F 沿 x 轴正方向,
x
IIlI lBF
?
?
2
0??
取 l =1m,则磁场对单位长度载流直导线所
作功为
（下一页）
(3)当两直导线相距 40mm时,每单位长度的
==自感系数为
d
adL ???? ln0
0 ?
? 39ln104 7??? H6105.1 ???
根据自感磁能公式 2
2
1 LIW
m ?
?? F d xW ?? 4.0 2.0
2
0
2
dx
x
I
?
?
2ln
2
2
0
?
? I? J5106.5 ???
（下一页）
所以,单位长度的磁能改变为
? ? 20000
2
1 ILLWWW
mmm ???????
? ? 26 20102.15.121 ???? ?J6100.6 ???
可见,位移时单位长度内的磁能是增加的,
在 d=20mm和 40mm时,单位长度的磁能分别为
2
00 2
1 ILW
m ? 200
2
1 ILW
m ???
（下一页）
例 8 一圆形线圈 C1由 N1匝表面绝缘的细导线绕
成，原面积为 S，将此线圈放在另一半径为 R的
圆形大线圈 C2的中心（ C2 比 C1的尺寸大的多）
两者同轴，大线圈由 N2匝表面绝缘的导线绕成。
1）求 这两线圈的互感 M.
2） 当大线圈中的电流变化率为 dI/dt时，
==求 小线圈 C1中的感应电动势 ?.
（下一页）
解,(1)设 C2通有电流 I.由于 C2比 C1大的多，
=====--C2在 C1处产生的磁场可看作均匀磁场,
R
INB
202
??
穿过 C1的磁通量为
R
ISNN
m 2
021 ???
R
SNN
IM m 2021
????
(2)小线圈中的感应电动势 为
dt
dIM??
dt
dI
R
ISNN
2
021 ??
互感为
（下一页）
例 9 一根无限长圆柱形载流导线,半径为 R,
试求 该导线 l长度所储存的磁场能量及自感系数,
解, 根据安培环路定理
Rr ?
2
0
2 R
IrB
?
??
42
222
0
00
2
42
1
2 R
rIBw
m ?
?
??
??
在导线内取一体积元 dV = 2?rldr,该体积
元储存的能量为
（下一页）
r ld r
R
rIdVwdW
mm ??
? 2
4 42
22
0?? drr
R
lI 3
4
2
0
4?
??
drr
R
lIW R
m ?? 0
3
4
2
0
4 ?
?
?
?
16
2
0 lI? 20
82
1 Il
?
??
可见
?
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8
0lL ?
自己复习小结, 电磁学,
（下页作业）
作 业
P243 T13-19,
P245 T13-29。
Bye bye!
