质点运动学 (1)第一章
质点和刚体的
机械运动
第一
篇
物体在空间的位置随时间变化的运动称为
机械运动。
（下一页）
日心系
Z
X
Y
地心系
o
1-1 质点 运动的描述
为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物
体作为参考，被选作参考的物体称为 参照系 。
地面系
一、参考系 (坐标系 ) 质点
（下一页）
1、参考系
注意 参考系不一定是静止的。
（下一页）
参照系与坐标系的区别
对于同一种运动，由于参照系
选择的不同而有不同的描写。
运动描述
的相对性
坐标系 —— 为了定量地确定质点在空间的位置而
固定在参照系上的一个框架。
（直角坐标 系,球坐标 系,极坐标 系,
柱面坐标 系 等 )
参照系选定后，选用不同的坐标系对运动的描写
是相同的，不同坐标系的分量之间有互换关系。
对物体运动的描写决定于参照系而不是坐标系。
（下一页）
(还有 自然坐标系 )
（ 1） 物质世界的质量层次与数量级（以 kg为单位）
电子 质子 分子 病毒 蚂蚁
10-30 10-27 10-22 10-13~10-19 10-4
人体 火箭 金字塔 海水 月球
102 106 1010 1021 1023
地球 太阳 银河系 已知的宇宙
1025 1030 1041 1053
（下一页）
2、质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一个点
实际上不存在，只是一种理想的模型。
（ 2）物质世界的时间层次与数量级（以 s 为单位）
Z0 和 W+ 或 W- 粒子的寿命 10-25
不稳定粒子的寿命 10-25~10-6
可见光的辐射周期 10-15
常见声音的周期 10-4
市电的周期 10-2
钟摆的周期 100
一天的周期 105
一年的周期 107
人类文明史 1011
古人类至今 1014
恐龙灭绝至今 1015
地球的年龄 1017
宇宙的年龄 1018
质子的寿命 1039
（下一页）
（ 3）物质世界的长度层次与数量级（以 m 为单位）
夸克的半径 10-20
质子半径 10-15
原子半径 10-10
病毒的半径 10-7
可见光波长 10-6
昆虫 10-2
人体的高度 100
红杉树的高度 102
珠峰的高度 104
地球半径 107
太阳半径 109
地球轨道半径 1011
太阳系的半径 1013
银河系的半径 1021
星系团的半径 1023
超星系团半径 1024
可视宇宙的半径 1026
（下一页）
质点
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速度及加
速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动 )
物体本身线度和它活动范围相比小得很多 (此时物体
的变形及转动显得并不重要 )。
注意,物理的点与数学的点不同，它
=====具有相对的 意义。
（下一页）
如何将物体化为质点？
二、位置矢量 运动方程 位移
质点的空间位置可以用某时刻
t 它在坐标系中的坐标来表示。
在直角坐标系中
P点坐标 (x,y,z)
P点矢径 r?
位置矢量
(位矢 )
kzjyixr ???? ???
P点矢径 的方向,r?
P点矢径 的大小, r?
222 zyxrr ???? ?
r
x??c o s
r
y??c o s
r
z??c o s
单位：米
P(x,y,z)
x
y
z
轨道
O
X
Y
Z
i?
j?
k?
?
?
?
（下一页）
1、位置矢量 (位矢 )
r?
强调 质点的位矢既 具有 大小
又 具有 方向 。
位矢是矢量
2、运动方程
位矢 位矢随时间的某种函数关系
质点的运动学方程
直角坐标系中
ktzjtyitxtr ???? )()()()( ???
分量表示
)( txx ? )( tyy ? )( tzz ?
可以简化为一维、二维和三维运动方程。
rr ?? ? )(t
（下一页）
运动轨道,运动质点所经空间各点联成的曲线。
轨道方程,表示轨道曲线的方程式。
X Y
Z
O
)( txx ? )( tyy ? )(tzz ?
消去 t，得到轨道方程 f (x,y,z)=0
例,tAytAx ?? si n,c o s ??
222 Ayx ??? 圆
（下一页）
3、位移
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·At 1r?
Btt ?? 2r?
t? 时间内位置的变化
有向线段 rAB ???
12 rrr
??? ???
kzjyixr ???? 2222 ??? kzjyixr ???? 1111 ???
单位：米
kzjyix
kzzjyyixxr
???
????
???
?
???
?????? )()()( 121212
? t 时间内的 位移
（下一页）
注
意
? r 与 的区别r??
rr ?? ??
r2
r1
o
Δ r
Δ r
a ) 为位置矢量的改变量r??
12 rrr
??? ???
12 rrr
?? ???
r?b ) 为位置大小的改变量，是标量
显然，矢量差的模 ≥ 其模的差
（下一页）
位移 是矢量，有大小和方向r??
只有位矢方向不变时，才能取等号。
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·
?s 与 的区别r??
?s 为路程 (轨道长度 )，是标量
0?? tb, dsrd ??
元位移的大小 元路程?
a,直线单向运动时,rrs ????? ?
一般 rs ????
两种情况取等号：
（下一页）
三、速度
1,平均速度
r2r1
Δ r
B
A
o
Δ S·
·
?t 时间内，完成位移 r??
描述质点位置变化的快慢
t
rv
?
? ?? ?平均速度
矢量
? ?
?
?
r??
A
B
1B
2B
ABv?
Av
?
t
rv
?
? ?? ?大小
方向 与 同向r??
平均速度的大小和方向与所取时间间隔有关，
表述时必须指明是哪一段时间间隔内的平均速度。
单位：米 /秒
（下一页）
dt
rd
t
rv
t
???
??
? ?
?
? 0
lim
2,瞬时速度 (简称速度 )
? ?
r??
A
B
ABv?
Av
?
速度等于位置矢量对时间的一阶导数
速度方向 0?t? 时,的极限方向r??
即 A点的切线并指向质点运动方向
直角坐标系中
kvjviv
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
v
zyx
???
?????
???
????
速度大小 222
zyx vvvvv ????
?
（下一页）
我们知道，质点作匀速直线运动时,质点的位移
vtxxx ???? 0
其运动方程为
0xvtx ??
如果质点作变速直线运动时,质点的位移该如何计算呢？
由
dt
dxv ? 得 v dtdx ?
只要知道初始位置,即 时,的值,
即可用积分求得位移或运动方程。 0x0?t
????? t v d txtxx 00)(
00)( xv d ttx
t ?? ?
（下一页）
t
sv
?
??
质点运动路程 ?s与时间 ?t的比
值称为 ?t时间内的平均速率
dt
ds
t
sv
t
??
? ?
?
? 0
lim
质点运动的路程对
时间的一阶导数(瞬时 )速率
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 )( rs ??? ?vv ??
单向直线运动情况 )( rs ??? ?vv ??
vdtrddtdsv ?? ???
3,平均速率和瞬时速率 单位：米 /秒
平均速率
dsrd ??
瞬时速率等于瞬时速度的大小
（下一页）
P7 例 1 设质点的运动方程为 jtyitxtr ??? )()()( ?? 其中
,2)1()( 1 mtsmtx ??? ?,2)41()( 22 mtsmty ??? ?
(1) 求 t =3 s 时的速度； (2) 作出 质点的运动轨迹图
解 (1)由题意可得速度分量分别为,1??
dt
dxv
x,2
1 tv
y ?
故 t =3 s 时的速度分量分别为 ),(1 1??? smv x ).(51 1???? smv y
∴ t =3 s 时质点的速度为 )(511 1????? smjiv ???
(2)由已知运动方程,2?? tx,241 2 ?? ty
消去 t 可得轨迹方程 2)2(
4
1
4
1 22 ????? xxxy
3,?? yox
xoy,? 无解,故轨迹与 x 轴不相交, （下一页）
由于 A ＞ O,∴ 是开口向上的抛物线,
顶点 x = 2,y = 2,
?
?
?
?
?
?
?
??
4
03
x
xy 时
2?
2
24?
4
4O 6
6
)(mx
)(my
（下一页）
P7 例 2 如图所示,A, B 两物体由一长
为 l 的刚性细棒相连,A, B 两物体可
在光滑轨道上滑行。如物体 A 以恒定
的速率 v 向左滑行。当 α = 600 时，物
体 B 的速度为多少？
x
y
o
A
B
v
l?解,按如图所选的坐标系
物体 A 的速度为
)1(ividtdxvv xA ???? ????
式中“－”号表示
A 沿 x 轴负向运动。
物体 B 的速度为 )2(j
dt
dyvv
yB
??? ??
由于 222 lyx ?? 求导得 o
dt
dyy
dt
dxx ?? 22
可得,
dt
dx
y
x
dt
dy ?? 由式（ 2）得 j
dt
dx
y
xv
B
?? ??
（下一页）
因为,v
dt
dx ??
y
xtg ??
所以 jv tgv
B
?? ??
vB 的方向沿 y 轴正向，因此物体 B 的速度值为
?v tgv B ?
当 α = 600 时，物体 B 的速度为
vv B 731 ??
（下一页）
例题 3.一质点沿 x 轴作直线运动，其位置 坐标 与时间
的关系为 x =10+8t-4t2 [SI],求：
（ 1） 质点在第一秒、第二秒内的平均速度。
（ 2） 质点在 t=0,1,2秒时的速度。
解,（ 1） 24810 ttxt ???时刻
2)(4)(810)( ttttxxtt ???? ??????? 时刻
2)(488 ttttxt ????? ???? 内位移为
tttxv tt ??? 488
21
?????
轴正向相反方向与 xsmv )(4488 21 ??????
轴正向相同方向与 xsmv )(4408 10 ?????
（下一页）
（下一页）
轴正向相反与 xsmv 82 ??
轴正向相同与 xsmv 80 ?
此时转向 0 1 ?v
代入 t = 0,1,2 得：
注意,有时平均速度可以由
2
12
12
vv
v
?
?
求得
但必须是匀变速才行 ；非匀变速不能用此法求。
t
dt
dxv
t 88 ???
( 2 )
)/(42v 2 2 smjit ??? ??? 秒
解：
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的
大小和方向。
][)2(2 2 SIjtitr ??? ???例 4.设质点做 二维运动,
方向：
轴的夹角与为 xv 2
6263
2
4
a r c t a n
?
?
?
? ???
?
?
smv /47.442 222 ???大小：
)/(2v 0 0 smit ?? ?? 秒
jtidt rdv ??
??
22 ???
（下一页）
作 业
P24 问题（思考题）全部
P25 T1--1,3,5。
Bye Bye!
质点和刚体的
机械运动
第一
篇
物体在空间的位置随时间变化的运动称为
机械运动。
（下一页）
日心系
Z
X
Y
地心系
o
1-1 质点 运动的描述
为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物
体作为参考，被选作参考的物体称为 参照系 。
地面系
一、参考系 (坐标系 ) 质点
（下一页）
1、参考系
注意 参考系不一定是静止的。
（下一页）
参照系与坐标系的区别
对于同一种运动，由于参照系
选择的不同而有不同的描写。
运动描述
的相对性
坐标系 —— 为了定量地确定质点在空间的位置而
固定在参照系上的一个框架。
（直角坐标 系,球坐标 系,极坐标 系,
柱面坐标 系 等 )
参照系选定后，选用不同的坐标系对运动的描写
是相同的，不同坐标系的分量之间有互换关系。
对物体运动的描写决定于参照系而不是坐标系。
（下一页）
(还有 自然坐标系 )
（ 1） 物质世界的质量层次与数量级（以 kg为单位）
电子 质子 分子 病毒 蚂蚁
10-30 10-27 10-22 10-13~10-19 10-4
人体 火箭 金字塔 海水 月球
102 106 1010 1021 1023
地球 太阳 银河系 已知的宇宙
1025 1030 1041 1053
（下一页）
2、质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一个点
实际上不存在，只是一种理想的模型。
（ 2）物质世界的时间层次与数量级（以 s 为单位）
Z0 和 W+ 或 W- 粒子的寿命 10-25
不稳定粒子的寿命 10-25~10-6
可见光的辐射周期 10-15
常见声音的周期 10-4
市电的周期 10-2
钟摆的周期 100
一天的周期 105
一年的周期 107
人类文明史 1011
古人类至今 1014
恐龙灭绝至今 1015
地球的年龄 1017
宇宙的年龄 1018
质子的寿命 1039
（下一页）
（ 3）物质世界的长度层次与数量级（以 m 为单位）
夸克的半径 10-20
质子半径 10-15
原子半径 10-10
病毒的半径 10-7
可见光波长 10-6
昆虫 10-2
人体的高度 100
红杉树的高度 102
珠峰的高度 104
地球半径 107
太阳半径 109
地球轨道半径 1011
太阳系的半径 1013
银河系的半径 1021
星系团的半径 1023
超星系团半径 1024
可视宇宙的半径 1026
（下一页）
质点
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速度及加
速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动 )
物体本身线度和它活动范围相比小得很多 (此时物体
的变形及转动显得并不重要 )。
注意,物理的点与数学的点不同，它
=====具有相对的 意义。
（下一页）
如何将物体化为质点？
二、位置矢量 运动方程 位移
质点的空间位置可以用某时刻
t 它在坐标系中的坐标来表示。
在直角坐标系中
P点坐标 (x,y,z)
P点矢径 r?
位置矢量
(位矢 )
kzjyixr ???? ???
P点矢径 的方向,r?
P点矢径 的大小, r?
222 zyxrr ???? ?
r
x??c o s
r
y??c o s
r
z??c o s
单位：米
P(x,y,z)
x
y
z
轨道
O
X
Y
Z
i?
j?
k?
?
?
?
（下一页）
1、位置矢量 (位矢 )
r?
强调 质点的位矢既 具有 大小
又 具有 方向 。
位矢是矢量
2、运动方程
位矢 位矢随时间的某种函数关系
质点的运动学方程
直角坐标系中
ktzjtyitxtr ???? )()()()( ???
分量表示
)( txx ? )( tyy ? )( tzz ?
可以简化为一维、二维和三维运动方程。
rr ?? ? )(t
（下一页）
运动轨道,运动质点所经空间各点联成的曲线。
轨道方程,表示轨道曲线的方程式。
X Y
Z
O
)( txx ? )( tyy ? )(tzz ?
消去 t，得到轨道方程 f (x,y,z)=0
例,tAytAx ?? si n,c o s ??
222 Ayx ??? 圆
（下一页）
3、位移
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·At 1r?
Btt ?? 2r?
t? 时间内位置的变化
有向线段 rAB ???
12 rrr
??? ???
kzjyixr ???? 2222 ??? kzjyixr ???? 1111 ???
单位：米
kzjyix
kzzjyyixxr
???
????
???
?
???
?????? )()()( 121212
? t 时间内的 位移
（下一页）
注
意
? r 与 的区别r??
rr ?? ??
r2
r1
o
Δ r
Δ r
a ) 为位置矢量的改变量r??
12 rrr
??? ???
12 rrr
?? ???
r?b ) 为位置大小的改变量，是标量
显然，矢量差的模 ≥ 其模的差
（下一页）
位移 是矢量，有大小和方向r??
只有位矢方向不变时，才能取等号。
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·
?s 与 的区别r??
?s 为路程 (轨道长度 )，是标量
0?? tb, dsrd ??
元位移的大小 元路程?
a,直线单向运动时,rrs ????? ?
一般 rs ????
两种情况取等号：
（下一页）
三、速度
1,平均速度
r2r1
Δ r
B
A
o
Δ S·
·
?t 时间内，完成位移 r??
描述质点位置变化的快慢
t
rv
?
? ?? ?平均速度
矢量
? ?
?
?
r??
A
B
1B
2B
ABv?
Av
?
t
rv
?
? ?? ?大小
方向 与 同向r??
平均速度的大小和方向与所取时间间隔有关，
表述时必须指明是哪一段时间间隔内的平均速度。
单位：米 /秒
（下一页）
dt
rd
t
rv
t
???
??
? ?
?
? 0
lim
2,瞬时速度 (简称速度 )
? ?
r??
A
B
ABv?
Av
?
速度等于位置矢量对时间的一阶导数
速度方向 0?t? 时,的极限方向r??
即 A点的切线并指向质点运动方向
直角坐标系中
kvjviv
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
v
zyx
???
?????
???
????
速度大小 222
zyx vvvvv ????
?
（下一页）
我们知道，质点作匀速直线运动时,质点的位移
vtxxx ???? 0
其运动方程为
0xvtx ??
如果质点作变速直线运动时,质点的位移该如何计算呢？
由
dt
dxv ? 得 v dtdx ?
只要知道初始位置,即 时,的值,
即可用积分求得位移或运动方程。 0x0?t
????? t v d txtxx 00)(
00)( xv d ttx
t ?? ?
（下一页）
t
sv
?
??
质点运动路程 ?s与时间 ?t的比
值称为 ?t时间内的平均速率
dt
ds
t
sv
t
??
? ?
?
? 0
lim
质点运动的路程对
时间的一阶导数(瞬时 )速率
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 )( rs ??? ?vv ??
单向直线运动情况 )( rs ??? ?vv ??
vdtrddtdsv ?? ???
3,平均速率和瞬时速率 单位：米 /秒
平均速率
dsrd ??
瞬时速率等于瞬时速度的大小
（下一页）
P7 例 1 设质点的运动方程为 jtyitxtr ??? )()()( ?? 其中
,2)1()( 1 mtsmtx ??? ?,2)41()( 22 mtsmty ??? ?
(1) 求 t =3 s 时的速度； (2) 作出 质点的运动轨迹图
解 (1)由题意可得速度分量分别为,1??
dt
dxv
x,2
1 tv
y ?
故 t =3 s 时的速度分量分别为 ),(1 1??? smv x ).(51 1???? smv y
∴ t =3 s 时质点的速度为 )(511 1????? smjiv ???
(2)由已知运动方程,2?? tx,241 2 ?? ty
消去 t 可得轨迹方程 2)2(
4
1
4
1 22 ????? xxxy
3,?? yox
xoy,? 无解,故轨迹与 x 轴不相交, （下一页）
由于 A ＞ O,∴ 是开口向上的抛物线,
顶点 x = 2,y = 2,
?
?
?
?
?
?
?
??
4
03
x
xy 时
2?
2
24?
4
4O 6
6
)(mx
)(my
（下一页）
P7 例 2 如图所示,A, B 两物体由一长
为 l 的刚性细棒相连,A, B 两物体可
在光滑轨道上滑行。如物体 A 以恒定
的速率 v 向左滑行。当 α = 600 时，物
体 B 的速度为多少？
x
y
o
A
B
v
l?解,按如图所选的坐标系
物体 A 的速度为
)1(ividtdxvv xA ???? ????
式中“－”号表示
A 沿 x 轴负向运动。
物体 B 的速度为 )2(j
dt
dyvv
yB
??? ??
由于 222 lyx ?? 求导得 o
dt
dyy
dt
dxx ?? 22
可得,
dt
dx
y
x
dt
dy ?? 由式（ 2）得 j
dt
dx
y
xv
B
?? ??
（下一页）
因为,v
dt
dx ??
y
xtg ??
所以 jv tgv
B
?? ??
vB 的方向沿 y 轴正向，因此物体 B 的速度值为
?v tgv B ?
当 α = 600 时，物体 B 的速度为
vv B 731 ??
（下一页）
例题 3.一质点沿 x 轴作直线运动，其位置 坐标 与时间
的关系为 x =10+8t-4t2 [SI],求：
（ 1） 质点在第一秒、第二秒内的平均速度。
（ 2） 质点在 t=0,1,2秒时的速度。
解,（ 1） 24810 ttxt ???时刻
2)(4)(810)( ttttxxtt ???? ??????? 时刻
2)(488 ttttxt ????? ???? 内位移为
tttxv tt ??? 488
21
?????
轴正向相反方向与 xsmv )(4488 21 ??????
轴正向相同方向与 xsmv )(4408 10 ?????
（下一页）
（下一页）
轴正向相反与 xsmv 82 ??
轴正向相同与 xsmv 80 ?
此时转向 0 1 ?v
代入 t = 0,1,2 得：
注意,有时平均速度可以由
2
12
12
vv
v
?
?
求得
但必须是匀变速才行 ；非匀变速不能用此法求。
t
dt
dxv
t 88 ???
( 2 )
)/(42v 2 2 smjit ??? ??? 秒
解：
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的
大小和方向。
][)2(2 2 SIjtitr ??? ???例 4.设质点做 二维运动,
方向：
轴的夹角与为 xv 2
6263
2
4
a r c t a n
?
?
?
? ???
?
?
smv /47.442 222 ???大小：
)/(2v 0 0 smit ?? ?? 秒
jtidt rdv ??
??
22 ???
（下一页）
作 业
P24 问题（思考题）全部
P25 T1--1,3,5。
Bye Bye!
