上节回顾：
PvmvmdtFI
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????? ? 12
2
1
冲量
（下一页）
1、冲量是力的作用对时间的积累；
2、质点的动量定理：质点所受冲量 =其动量的增量；
3、质点所受平均冲力
4,一对作用力与反作用力的冲量的矢量和为零；
5、系统所受合外力的冲量 =系统动量的增量；
6、当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持
不变。 ——这就是动量守恒定律。
t
mvmvF xx
x ?
?? 12
注意,系统动量守恒的条件
2、近似条件是,内外 fF ??? ﹤﹤
0?? 外F?1、充分必要条件是：
3、部分条件是：系统所受外力的矢量和虽然不
===为零，但合外力在某个方向上的分矢量为零，
=== 则系统的总动量虽不守恒，但在该方向的
===分动量则是守恒的。
4、不能说成是：“系统所受冲量和为零。” 因
为 ===冲量和为零，仅能说明末动量与初动量相
等,===不能保证动量时时处处保持不变。
（下面学习 3-4动能定理）
一、功和功率
1、恒力的功 （常力沿直线做的功）
W=Fcos? S
M M
F F
?
S
位移无限小时,dW称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积
功的单位：焦耳，符号,J。 量纲,ML2T－ 2
3-4 功、动能定理
SFW ?? ??记作
或 △ W=Fcos?△ r
（ 下一页 ）
解析式：
2、变力的功 （变力沿曲线做的功）
把总位移分成许多小位移的叠加，
在每个小位移上可看作恒力的功：
iii rFW
?? ????
A
B
i?
iF
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??
则变力沿曲线从 A— B 作的总功：
i
n
i
i
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i
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B
A
B
A
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A x
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（下一页）
——线积分
3、合力的功
? ?? BA rdFW ?? ? ???????? BA n rdFFF ???? )( 21
??? ?????????? BA nBABA rdFrdFrdF ?????? 21
nWWW ??????? 21
结论,合力对物体所做的功等于其中各个分力分别
对该物体所做功的代数和。
注意,1、功是力的作用对空间的积累，是过程量，
与路径有关。
2、功是标量，但有正负。
3、合力的功为各分力的功的代数和。
（下一页）
物体同时受 的作用
nFFF
????
21,
4、功率：作功的快慢，即功对时间的变化率，用 P表示，
vFP
vF
dt
dr
FP
drFdW
dt
dW
P
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???
??
即
由，则有
??
?
c o sc o s
c o s
t
W
P
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?平均功率为：
间内的内所作的功，则在此时为给定时间若
在 [ SI ]中，功率的单位为瓦特（ Watt）,简称瓦，
符号为 W。 功率的量纲为 ML2T-3
（下一页）
5、一对作用力和反作用力的功
m1,m2 组成一个封闭系统
在 ?t时间内
（一般不为零）
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和
等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点
所移动的路径所做的功。只要这两个质点相对位移不
为零，这对力作功之和就不为零。 （ 下面作几个例题 ）
1111,,,rdfrm
???
2222,,,rdfrm
??? 2211 rdfrdfdW ???? ????
21 ff
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m1 m2
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2f
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21r
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例 1 作用在质点上的力为
在下列情况下 求 质点从 处运动到
处该力作的功：
1,质点的运动轨道为抛物线
2,质点的运动轨道为直线
X
Y
O
（ 下一页 ）
做功与路径有关
沿抛物线
沿直线
（ 下一页 ）X
Y
O
例 2,一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地
面，忽略空气阻力,求：（ 1） 陨石下落过程中，
万有引力的功是多少？ （ 2） 陨石落地的速度多
大？（下节再求）
解,取地心为原点，矢 径方向向上
a
bh
R
o
（ 下一页 ）
引力与矢径方向相反 。
例 3,质量为 2 kg 的质点在力 (SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。
求 前三秒内该力所作的功。
解,（一维运动可以用标量）
由：
（ 下面学习动能定理 ）
F 是 t 的函数,
要统一积分变量
二、动能和动能定理
1、质点的动能定理
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
定义：动能
单位,J 量纲,ML2T－ 2
（ 下一页 ）
AkBkABk EEWmvE ???
2
21
质点的动能定理
2、质点系的动能定理
质点,m1 m2 内力：
初速度：
外力：
末速度：
两式相加得：
（下一页）
即,外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和
等于质点系 总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能，
但不能改变系统的总动量。
记作,W外 ＋ W内 ＝ EKB - EKA 质点系动能定理
(下一页 ）
说明,1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定
=========的动能。
2、功是过程量，它与能量的改变有联系。
3,?EK为动能的增量，增量可正可负，
=========视功的正负而变。
4、动能是质点因运动而具有的做功本领。
5、动能与动量的异同：
相同点 ● 二者都是描述质点或质点系的状态 --
------------的物理量,都是状态量；
===== ● 二者都与质点或质点系的质量和速 -
------------度有关。
（ 下一页 ）
不同点,首先二者定义不同、量纲不同。另外，
● 动量是矢量，它与速度的大小和方向都有关，
动能是标量，它与速度的大小有关，而与速度的方 --
---------------------向无关。
● 动量的增量 = 外力的冲量，与内力的冲量无关；
动能的增量 = 外力和内力作的总功，与内力有关。
● 动量有守恒定律，动能没有守恒定律，这是因为
==还要考虑势能。
（ 下面学习势能 ）
速度的大小改变，动量和动能都会改变（当然改
变的程度不同）；而速度的大小不变、只是方向
改变，那么，动能不会改变，而动量会发生改变。
∴
1、保守力,某些力对质点做功的大小只与
质点的始末位置有关，而与路径
无关。这种力称为保守力。
3-5,保守力作功 势能
典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、静电力。
与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力,摩擦力
（下一页）
几种保守力（重力、引力、弹力）和相应的势能
⑴ 重力的功
m 在重力作用下由 a 运动到 b,取地面为坐标原点,
不管是沿 acb,还是沿 adb,
结果都一样，即重力作功与路
径无关；可见，重力是保守力。
c
X
Y
Z
O
a
b
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·
d
（ 下一页 ）
?? ??????? babaG kdzjdyidxkmgrdgmW )()( ??????
)( abz
z
m g zm g zm g d zb
a
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)( m g zW G ???
⑵ 万有引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时,以
M 所在处为原点,M 指向 m 的方向为矢径的正方
向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。
可见，万有引力是保守力。
ldrrMmGldfW b
a
r
r
b
af
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a
r
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ba r
MmG
r
MmG ????
r d rldrldr ??? ?c o s???
确定两个质点，则 M,m 不变，
功 Wf仅是位矢大小 r 的函数，
而与路径无关。
（下一页）
M
mr
a
b
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drbr
ar
ld?
F?
?
⑶ 弹力的功
可见，弹性力是保守力。
? ??
弹性力和弹性力作功，都是沿 X轴，而 X轴可以绕其
原点 旋转，弹力和弹力作功，只决定于振子在 X轴上
的坐标，而与路径无关。
rdFrdFrdF
B D AA D BA C B
?????? ?????? ???
保保保由于
0??????? ?? ? rdFrdFrdF
B D A
l
A C B
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保保保
（下一页）
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2
1
2
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ab
x
xs
kxkxk x d xW b
a
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所以说
“保守力
作功一周
为零” 就
是保守力
作功的特
点。
0??? ? rdFW l ?? 保即
rdFrdFrdF
B D AA D BA C B
?????? ?????? ???
保保保由于
0??????? ?? ? rdFrdFrdF
B D A
l
A C B
??????
保保保
就是说：保守力作的功，与路径无关,是位置
的单值函数；那么，我们就可以引入仅是位置的单
值函数的能量，叫作势能，也叫作位能。
( 下面是势能 )
A
B
D
C
此即保守力作功的特点
2、势能 EP
)()( abbaG m g zm g zW ????
)2121( 2122 kxkxW s ???
)]()[( 00
ab
f r
MmG
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P
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b
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）（
保保
??
（下一页）
重力势能以地面为零势能点,m g hE
P ?重
引力势能以无穷远为零势能点。
r
MmGE
P ??引
弹性势能以弹簧原长为零势能点。 2
2
1 kxE
P ?弹
重力是万有引力的特例，重力
的功等于重力势能增量的负值。
注意,零势能点可以任意取，
======前述是一般取法。
重力势能以地面
为零势能点,m g hE P ?重
弹性势能以弹簧
原长为零势能点。 2
2
1 kxE
P ?弹
弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
h
pE
m ghE p ?
o
X
2
2
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势能曲线
（下一页）
地球半径为 R, 在地球表面高为 h 处的势能为：
1)1( ????
??? R
h
R
MmG
hR
MmGE
p
当 h << R 时
由万有引力势能
r
MmGE
p ??
导出重力势能：★
（下一页）
引力势能以无穷
远为零势能点。 rMmGE P ??引
万有引力的功等于
引力势能增量的负值。
r
MmGE
P ??
r
o
PE
在研究航天器（例如飞船、卫星）、天体的运
动时，要应用万有引力势能的形式，而不能应用重
力势能的形式。
所以,重力势能 mgh 是万有引力势能
在地壳表面的近似。 rR
MmG
??
（下一页）
R
h
R
h ??? ? 1)1( 1 若取地表为零势点
R
MmGE
p ??0
m g h
R
h
R
MmGEEE
ppph ???? 02R
MGg ?
小结：
1、只要有保守力，就可引入相应的势能。
2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点
的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所
在点移动到零势能点时保守力所做的功。
3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。
两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对
位置的单值函数。势能是状态量。
（ 下一页 ）
4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的
5、对系统而言，保守力属于内力，所以，也叫做
保守内力。
6、保守内力的功，总是等于相应势能增量的负值。
W保内 =–?EP 因为内力作功是要消耗系统内的
能量的。即保守内力作正功，系统势能减少；保
守内力作负功（外力对系统作正功），系统势能
增加。
（ 下面作例题 ）
课本 P105,3-23,用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板
对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次
敲击，能把钉子钉入木板 1cm。 第二次敲击时，保持第
一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？
由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速
度也相同，所具有的初动能也相同；由 动能定理
钉入过程是阻力作功 = 钉子动能的增量，两次动
能增量相同,∴ 两次阻力作功相同 。
解,以钉入方向为 X轴，板面为原点。阻力与深度成
正比，则有 f = -kx（ k 为阻力系数）；令第一次钉入为
x1=1cm, 第二次钉入为 x2 。 由两次作功相等，可得：
?? ??? 2110 xxx k x d xk x d x 2122 2 xx ? 12 2 xx ?取
cmxxx 41012 ?????? 第二次钉入 （下一页）
分析：
例题,在光滑水平桌面上，有一弹簧振子系统，劲度
系数 k =20,0N/m，把振子从平衡位置拉长为 x1=4cm，
问 在弹性限度之内，再拉长 4cm, 外力需作多少功？
解法一,W 外 = － W弹 ＝－ ∫－ kxdx =∫kxdx
）（
）（
外
J
kxkxk x dxW
x
x
2
22
2
1
2
2
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2
1
2
1
2
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1
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解法二,W外 =△ EP= )(1084
2
1
2
1 22
1
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（下一页作业）
作 业
课本 P104
T 3---15,20
Bye Bye!
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2
1
冲量
（下一页）
1、冲量是力的作用对时间的积累；
2、质点的动量定理：质点所受冲量 =其动量的增量；
3、质点所受平均冲力
4,一对作用力与反作用力的冲量的矢量和为零；
5、系统所受合外力的冲量 =系统动量的增量；
6、当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持
不变。 ——这就是动量守恒定律。
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注意,系统动量守恒的条件
2、近似条件是,内外 fF ??? ﹤﹤
0?? 外F?1、充分必要条件是：
3、部分条件是：系统所受外力的矢量和虽然不
===为零，但合外力在某个方向上的分矢量为零，
=== 则系统的总动量虽不守恒，但在该方向的
===分动量则是守恒的。
4、不能说成是：“系统所受冲量和为零。” 因
为 ===冲量和为零，仅能说明末动量与初动量相
等,===不能保证动量时时处处保持不变。
（下面学习 3-4动能定理）
一、功和功率
1、恒力的功 （常力沿直线做的功）
W=Fcos? S
M M
F F
?
S
位移无限小时,dW称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积
功的单位：焦耳，符号,J。 量纲,ML2T－ 2
3-4 功、动能定理
SFW ?? ??记作
或 △ W=Fcos?△ r
（ 下一页 ）
解析式：
2、变力的功 （变力沿曲线做的功）
把总位移分成许多小位移的叠加，
在每个小位移上可看作恒力的功：
iii rFW
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A
B
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则变力沿曲线从 A— B 作的总功：
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n
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变力的功 ?l dsF ?c o s
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（下一页）
——线积分
3、合力的功
? ?? BA rdFW ?? ? ???????? BA n rdFFF ???? )( 21
??? ?????????? BA nBABA rdFrdFrdF ?????? 21
nWWW ??????? 21
结论,合力对物体所做的功等于其中各个分力分别
对该物体所做功的代数和。
注意,1、功是力的作用对空间的积累，是过程量，
与路径有关。
2、功是标量，但有正负。
3、合力的功为各分力的功的代数和。
（下一页）
物体同时受 的作用
nFFF
????
21,
4、功率：作功的快慢，即功对时间的变化率，用 P表示，
vFP
vF
dt
dr
FP
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P
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即
由，则有
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?平均功率为：
间内的内所作的功，则在此时为给定时间若
在 [ SI ]中，功率的单位为瓦特（ Watt）,简称瓦，
符号为 W。 功率的量纲为 ML2T-3
（下一页）
5、一对作用力和反作用力的功
m1,m2 组成一个封闭系统
在 ?t时间内
（一般不为零）
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和
等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点
所移动的路径所做的功。只要这两个质点相对位移不
为零，这对力作功之和就不为零。 （ 下面作几个例题 ）
1111,,,rdfrm
???
2222,,,rdfrm
??? 2211 rdfrdfdW ???? ????
21 ff
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o
m1 m2
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例 1 作用在质点上的力为
在下列情况下 求 质点从 处运动到
处该力作的功：
1,质点的运动轨道为抛物线
2,质点的运动轨道为直线
X
Y
O
（ 下一页 ）
做功与路径有关
沿抛物线
沿直线
（ 下一页 ）X
Y
O
例 2,一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地
面，忽略空气阻力,求：（ 1） 陨石下落过程中，
万有引力的功是多少？ （ 2） 陨石落地的速度多
大？（下节再求）
解,取地心为原点，矢 径方向向上
a
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R
o
（ 下一页 ）
引力与矢径方向相反 。
例 3,质量为 2 kg 的质点在力 (SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。
求 前三秒内该力所作的功。
解,（一维运动可以用标量）
由：
（ 下面学习动能定理 ）
F 是 t 的函数,
要统一积分变量
二、动能和动能定理
1、质点的动能定理
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
定义：动能
单位,J 量纲,ML2T－ 2
（ 下一页 ）
AkBkABk EEWmvE ???
2
21
质点的动能定理
2、质点系的动能定理
质点,m1 m2 内力：
初速度：
外力：
末速度：
两式相加得：
（下一页）
即,外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和
等于质点系 总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能，
但不能改变系统的总动量。
记作,W外 ＋ W内 ＝ EKB - EKA 质点系动能定理
(下一页 ）
说明,1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定
=========的动能。
2、功是过程量，它与能量的改变有联系。
3,?EK为动能的增量，增量可正可负，
=========视功的正负而变。
4、动能是质点因运动而具有的做功本领。
5、动能与动量的异同：
相同点 ● 二者都是描述质点或质点系的状态 --
------------的物理量,都是状态量；
===== ● 二者都与质点或质点系的质量和速 -
------------度有关。
（ 下一页 ）
不同点,首先二者定义不同、量纲不同。另外，
● 动量是矢量，它与速度的大小和方向都有关，
动能是标量，它与速度的大小有关，而与速度的方 --
---------------------向无关。
● 动量的增量 = 外力的冲量，与内力的冲量无关；
动能的增量 = 外力和内力作的总功，与内力有关。
● 动量有守恒定律，动能没有守恒定律，这是因为
==还要考虑势能。
（ 下面学习势能 ）
速度的大小改变，动量和动能都会改变（当然改
变的程度不同）；而速度的大小不变、只是方向
改变，那么，动能不会改变，而动量会发生改变。
∴
1、保守力,某些力对质点做功的大小只与
质点的始末位置有关，而与路径
无关。这种力称为保守力。
3-5,保守力作功 势能
典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、静电力。
与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力,摩擦力
（下一页）
几种保守力（重力、引力、弹力）和相应的势能
⑴ 重力的功
m 在重力作用下由 a 运动到 b,取地面为坐标原点,
不管是沿 acb,还是沿 adb,
结果都一样，即重力作功与路
径无关；可见，重力是保守力。
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（ 下一页 ）
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⑵ 万有引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时,以
M 所在处为原点,M 指向 m 的方向为矢径的正方
向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。
可见，万有引力是保守力。
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确定两个质点，则 M,m 不变，
功 Wf仅是位矢大小 r 的函数，
而与路径无关。
（下一页）
M
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⑶ 弹力的功
可见，弹性力是保守力。
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弹性力和弹性力作功，都是沿 X轴，而 X轴可以绕其
原点 旋转，弹力和弹力作功，只决定于振子在 X轴上
的坐标，而与路径无关。
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“保守力
作功一周
为零” 就
是保守力
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A C B
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保保保
就是说：保守力作的功，与路径无关,是位置
的单值函数；那么，我们就可以引入仅是位置的单
值函数的能量，叫作势能，也叫作位能。
( 下面是势能 )
A
B
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此即保守力作功的特点
2、势能 EP
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（下一页）
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P ?弹
重力是万有引力的特例，重力
的功等于重力势能增量的负值。
注意,零势能点可以任意取，
======前述是一般取法。
重力势能以地面
为零势能点,m g hE P ?重
弹性势能以弹簧
原长为零势能点。 2
2
1 kxE
P ?弹
弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
h
pE
m ghE p ?
o
X
2
2
1 kxE
p ?
pE
o
势能曲线
（下一页）
地球半径为 R, 在地球表面高为 h 处的势能为：
1)1( ????
??? R
h
R
MmG
hR
MmGE
p
当 h << R 时
由万有引力势能
r
MmGE
p ??
导出重力势能：★
（下一页）
引力势能以无穷
远为零势能点。 rMmGE P ??引
万有引力的功等于
引力势能增量的负值。
r
MmGE
P ??
r
o
PE
在研究航天器（例如飞船、卫星）、天体的运
动时，要应用万有引力势能的形式，而不能应用重
力势能的形式。
所以,重力势能 mgh 是万有引力势能
在地壳表面的近似。 rR
MmG
??
（下一页）
R
h
R
h ??? ? 1)1( 1 若取地表为零势点
R
MmGE
p ??0
m g h
R
h
R
MmGEEE
ppph ???? 02R
MGg ?
小结：
1、只要有保守力，就可引入相应的势能。
2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点
的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所
在点移动到零势能点时保守力所做的功。
3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。
两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对
位置的单值函数。势能是状态量。
（ 下一页 ）
4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的
5、对系统而言，保守力属于内力，所以，也叫做
保守内力。
6、保守内力的功，总是等于相应势能增量的负值。
W保内 =–?EP 因为内力作功是要消耗系统内的
能量的。即保守内力作正功，系统势能减少；保
守内力作负功（外力对系统作正功），系统势能
增加。
（ 下面作例题 ）
课本 P105,3-23,用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板
对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次
敲击，能把钉子钉入木板 1cm。 第二次敲击时，保持第
一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？
由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速
度也相同，所具有的初动能也相同；由 动能定理
钉入过程是阻力作功 = 钉子动能的增量，两次动
能增量相同,∴ 两次阻力作功相同 。
解,以钉入方向为 X轴，板面为原点。阻力与深度成
正比，则有 f = -kx（ k 为阻力系数）；令第一次钉入为
x1=1cm, 第二次钉入为 x2 。 由两次作功相等，可得：
?? ??? 2110 xxx k x d xk x d x 2122 2 xx ? 12 2 xx ?取
cmxxx 41012 ?????? 第二次钉入 （下一页）
分析：
例题,在光滑水平桌面上，有一弹簧振子系统，劲度
系数 k =20,0N/m，把振子从平衡位置拉长为 x1=4cm，
问 在弹性限度之内，再拉长 4cm, 外力需作多少功？
解法一,W 外 = － W弹 ＝－ ∫－ kxdx =∫kxdx
）（
）（
外
J
kxkxk x dxW
x
x
2
22
2
1
2
2
1084
04008020
2
1
2
1
2
12
1
?
???
??????
???? ?
解法二,W外 =△ EP= )(1084
2
1
2
1 22
1
2
2 Jkxkx
?????
（下一页作业）
作 业
课本 P104
T 3---15,20
Bye Bye!
