回顾：
速度 kvjvivv
zyx
???? ???
加速度
k
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx ???? ???
kajaia zyx ??? ???
若速度 自然坐标系
tevv
?? ?
加速度
nt
t eve
dt
dv
dt
evda ????
?
2)(
???
nntt eaea
?? ??
dt
dva
t ?
dt
vd ?一般 ?
（下一页）
极坐标rerr ?? ?
22 yxr ??
dt
rdv ?? ?
分量）（只是速度的一个径向但
一般
dt
drvv ?? ?
矢径方向单位矢量:re?
drrd ?
一般?
化率位矢的大小随时间的变
其模的差矢量的差的模 一般?
一部分只是质点径向加速度的而 2
2
dt
rd
求加速度的大小。除非直线运动，不能用 2
2
dt
rd
dt
dsvvs ?? ?,是路程
（下一页）
注
意
矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向
加减运算遵循平行四边形法则
r??
某一时刻的瞬时量，
不同时刻的量不同。
过程量
a?r? v?瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同
不同坐标系中，具体表达形式不同
叠加性,任一曲线运动都可以分解成沿 x,y,z
三个各自独立的直线运动的叠加
（下一页）
a?r? r?? 加速度位矢 位移 速度 v?
叠加性：
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx ???,,
)(),(),( 121212 zzzyyyxxx ?????? ???
)(txx ? )(tyy ? )(tzz ?
2
2
2
2
2
2
,,dt zdadt ydadt xda zyx ???
任一曲线运动都可以分解成沿 x,y,z 三个各自独立
的直线运动的叠加 运动的独立性原理
(运动的叠加原理 )
a?
r? v? 描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
（下一页）
运动叠加举例,1、抛物线运动（抛体）
平抛：水平方向，匀速运动；
竖直方向，自由落体运动。
斜上抛：水平方向，匀速运动；
竖直方向，竖直上抛运动。
斜下抛：水平方向，匀速运动；
竖直方向，竖直下抛运动。
2、圆运动：垂直方向两个谐振动的叠加。
3、螺旋线运动, 平面两维的圆运
===动，与第三维的匀速直线运动
===的叠加，如,tvz
tAy
tAx
z?
?
?
?
?
s in
c os
（下一页学习牛顿定律）
自然和自然规律隐藏在黑暗之中，
上帝说“让牛顿降生吧”，
一切就有了光明；
但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，
上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，
就恢复到现在这个样子。
（下一页）
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建立了
动力学三大定律和万有引力定律。其实，没有后者，
就不能充分显示前者的光辉。海王星的发现，把牛
顿力学推上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学摧垮, 她在更加坚
实的基础上确立了自己的使用范围。宇宙时代，给
牛顿力学带来了又一个繁花似锦的春天。
（下一页）
但是，十九世纪末期,看来很和谐的经典物理理
论,发生了很大的困难,使许多物理学家感到困惑不
解, 正如开尔文在 1900年指出的那样，物理学理论的
大厦飞来两朵乌云（下册 P223注①）,它动摇了经典
物理理论的基础,
第一定律 惯性定律 （ Newton first law ）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，
直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
2-1、牛顿运动定律
1、定义了物体（质点）的惯性；
2,说明了力是物体运动状态改变的原因
（下一页）
第二定律
amvm
dt
d
dt
PdF m
＝
视为常量宏观低速运动中
＝ )(?
amF ?? ?即
1,在 [SI]下，定量的说明了力、质量、加速度
三者的关系；
2、说明了质量是物体惯性的量度。
（下一页）
注意
1,上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理
---量都是同一时刻的物理量。 而且
是作用在质点上各力的矢量和。2,F?
3,在一般情况下力 是一个变力F?
常见的几中变力形式：
灭。同生、同向、同变、同与 aF ??
? ?
? ?
? ? 阻尼力
打击力
弹性力
kvvFF
tFF
kxxFF
???
?
???
（下一页）
dt
dpF
dt
dpF
dt
dpF z
z
y
y
x
x ???
直角坐标系中
自然坐标系中
?
?
?
2
mmaF
dt
d
mmaF
nn
tt
??
??
4,要注意定律的矢量性。
5,牛顿第二定律的投影形式：
（下一页）
第三定律
两个物体之间对各自对方的相互作用总是
相等的，而且指向相反的方向。
21 FF
?? ??
注意,1、力是使物体速度改变（产生加速度）的原因，
而不是维持速度的原因。
2、质量是量度物体惯性的物理量。
3、作用力和反作用力是作用在不同物
体上的同一性质的力。
与平衡力不同 。
（下一页）
2--3、力学中常见的几种力
由于地球吸引使物体所受的力。质量与重力
加速度的乘积 mg,方向竖直向下。
发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与
它接触的物体产生的作用力。如压力、张力、
拉力、支持力、弹簧的弹力。在弹性限度内
f = -kx,方向总是与形变的方向相反。
摩擦力,物体运动时，由于接触面粗糙而受到的阻
========碍运动的力。分滑动摩擦力和静摩擦力。
========大小分别为 fk =? k N 及 fsmax= ?sN。
重力,
弹力,
（下一页）
基本的自然力 (已发现四种）
1、万有引力：
2
21
r
mmGf ?
G = 6.67?10-11Nm2/kg2
例,地球对物体的引力
2、电磁力：（库仑力）
k = 9 ?109Nm2/C2
注意：电磁力远远大于万有引力！
22,,R
GMg
R
MmGmgP ????地表附近
2
21
r
qqkf ?
02 rr
MmGP ?? ??
（下一页）
3、强力,粒子之间的一种相互作用，作用范围
========在 0.4?10-15米至 10-15米。
4、弱力,粒子之间的另一种作用力，力程短、力
========弱（ 10－ 2牛顿）
四种基本自然力的特征和比较
力的种类 相互作用的物体 力的强度 力 程
万有引力 一切质点 10－ 34N 无限远
弱力 大多数粒子 10－ 2N 小于 10－ 17m
电磁力 电荷 102N 无限远
强力 核子、介子等 104N 10－ 15m
（下一页）
问题：
车的 a = 0时单摆和小球的状态符合牛顿定律
结论,在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯
性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。
而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
a≠0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？
惯性系与非惯性系
（下一页）
2-4 惯性参考系 力学相对性原理 (经典力学）
一、惯性参考系 ------依靠实验和观察来确定
牛顿定律严格成立的参考系叫做惯性参考系,简
称惯性系 ; 反之，就叫做非惯性系。
根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星
运动时发现行星运动遵守牛顿定律，
所以 太阳系是一个惯性系 。
地球有公转和自转，所以地球只能看作一个近
似的惯性系。但是，在小范围的地球表面以及相对地
面作匀速直线运动的车厢,都是惯性系,而相对地面作
加速运动的车厢则是非惯性系,
（下一张）
二 力学相对性原理 (经典力学）
相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系
都是惯性系, 在所有惯性系中，牛顿运动定律都是
等价的,
对于不同惯性系，牛顿力学的规律都有相同的
形式，在一惯性系内部所作的任何力学实验,都不
能确定该惯性系是否在运动, 这个原理叫做力学相
对性原理或伽利略相对性原理
（下一张）
应用牛顿定律解题的规范化步骤：
1,确定研究对象（隔离体），视为质点。有时为了
计算方便，根据牛三定律，选它的被作用对象。
2、受力分析，画出受力图。要迅速、准确：全、纯。
循序：重力、弹力、摩擦力，防止遗漏；不要重复；
========分清内力、外力。
注意：悬挂重物，重力的传递。若重物静止或匀速
========直线运动，重力 = 拉力 (悬挂）；若重物变速
========运动,则，拉力 ≠重力，这时把上面物受
========拉力 =下面物体的重力 ----------易犯的错误！
mg
T
a
（下一页）
2-5 牛顿定律的应用举例
受力分析，一定要画图，不要草率，力线要直、
方向准确（牵扯到力的分解），且图不能太小。
3,建立坐标系,问题越复杂，正确建立坐标系越重要
4、分析运动过程（找特点）：受力情况、初始条件、
什么时刻、什么位置、要一一对应。另外，互动系 统，
要找出其比例关系,例如课本 P55 T2-6图,B 的位移
是 A 的位移的两倍，则速度、加速度也是 两倍。
5、指明根据的原理列方程,（ 独立方程数 =未知量的个数）
6、解方程，先求代数解，而后代入已知数（统一单位
制），求出结果，确定单位，若是矢量还要指明方向。
7、讨论。有时结果是代数解，就有变化范围，需要讨
论不同情况。
（下一页）
P45例 2如图所示，长为 l 的轻绳，一
端系质量为 m 的小球，另一端系于定
点 O, 开始时小球处于最低位置。若
使小球获得如图所示的初速 v0, 小球
将在铅直平面内作圆周运动。 求 小球
在任意位置的速率及绳的张力。
0v
TF
l
P
v
te?
ne?
?
o
解,由牛顿第二定律，小球的运动方程为：
)1(amgmF T ??? ??
取自然坐标系，运动方程分量式为：
)3(s i n
)2(c o s
2
dt
dv
mmamg
l
v
mmamgF
t
nT
???
???
?
?
（下一页）
由于式（ 3）中
l
v
d
dv
d
dv
dt
d
d
dv
dt
dv ??????
???
?
?
∴ 式（ 3）可写成 ?? dglv d v s in??
积分 ??
?? ? ??
0
s in
0
dglv d vv
v
得 )4()1( c o s22
0 ??? ?glvv
把上式代入式（ 2）得：
)5()c o s32(
2
0 ?gg
l
vmF
T ???
讨论,从式（ 4）可看出 … （见 P46）
从式（ 5）可看出 …
（下一页）
P47例 4 抛体运动,若假设空气对抛体的阻力与抛体的速度
成正比，即 Fr =－ kv,k 为比例系数。还假设抛体的质量
为 m,初速为 v0,抛射角为 α 。 求 抛体运动的轨迹方程。
解：
0?k
0?k
0v
TF
v
p
x
y
?
A
o
取如图平面坐标系 Oxy
抛体在点 A 受到重力 P = mg
和空气阻力 FT=－ kv 的作用，
由牛顿第二定律，得分量式：
?
?
?
??
?
?
????
???
dt
dv
mmakvmg
dt
dv
mmakv
y
yy
x
xx
由此得：
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
dt
m
k
kvmg
k dv
dt
m
k
v
dv
y
y
x
x
对上两式积分,（见下页）
初始条件,t =0 时,v0x= v0cosα, v0y= v0sinα
dt
m
k
v
dv t
v
v x
x
x
ox
?? ??
0
得 mktx evv ?? ?c o s0
,
0
?? ???
tv
v y
y dt
m
k
kvmg
k d vy
oy
k
mge
k
mgvv mkt
y ???
?
)s i n( 0 ?
由,
00
dtvdx t xx ?? ?,00 dtvdy
t
y
y ?? ? 将上两式代入
得 )1()1)(c o s( 0
m
kt
ev
k
mx ??? ?
)2()1)(s i n( 0 t
k
mge
k
mgv
k
my mkt ???? ??
（下一页）
再消去式（ 1）和式（ 2）中的 t,
可得抛体的轨迹方程：
)3()
c o s
1l n ()
c o s
(
0
2
2
0
x
mv
k
k
gmx
kv
mgtgy
??
? ????
显然这不是抛物线方程！
（下一页）
P48 例 5 物体在粘滞流体中的运动
斯托克斯公式,当半径为 r 的球形物体,在粘滞系数
为 η 的流体中运动,且速率 v 不太大时,其 (球体）所
受粘滞力为 vrF
r ??6?
（下一页）
有一质量为 m, 半径为 r 的球体，由水面静止释放沉
入水底，试求此球体的下沉速度与时间的函数关系。
设球体竖直下沉，其路径为一直线。
解
FB
Fr
mg
v
x
取坐标系如左图,作受力图, 重力与
浮力的合力称为驱动力
Bo FPF
??? ??
其大小为 gmmgFPF
BO '????
其方向与球体的运动方向相同，
为一恒力, 由牛二律 maFF
rO ??
即
dt
dvmvrF
O ?? ??6
令 ??rb 6? 上式为 )1(
dt
dvmbvF
O ??
因此有 )2(?
?
??
?
? ???
b
Fv
m
b
dt
dv o
积分有
)3(1
0
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
t
m
b
o
t
o
v
o
e
b
F
v
dt
m
b
b
F
v
dv
（下一页）
牛顿定律（经典力学）的适用范围；
1、质点或质点系；
2、惯性参考系；
3、低速运动（与光速比较）。
（下一页）
作业
1、看课本上的例题：
====P45～ P48 例 2、例 3、例 4、例 5；
2、思考 P53 ～ P54 问题 2-1～ 2-10
3、书面 P55 T2---5,12
Bye Bye!
下有参考例题
例 6,水平面上有一质量为 51kg的小车 D,其上有一
定滑轮 C,通过绳在滑轮两侧分别连有质量为
m1=5kg和 m2=4kg的物体 A 和 B。 其中物体 A在小车的
水平面上，物体 B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如
图所示。各接触面和滑轮轴均光滑,求 以多大力作
用在小车上，才能使物体 A与小车 D之间无相对滑动。
（滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
D
C
B
A
A和 D有相同
的加速度即可
（下一页）
解,建立坐标系并作受力分析图：
X
Y
O
B
m2g
T
列方程：
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
x
x
x
MaTTF
gmT
amT
amT
?
?
?
s in
c o s
s in
2
2
1
＝
解出：
2
2
2
1
221
2
2
2
1
2
)(
mm
gmMmm
F
mm
gm
a
x
?
??
?
?
?
=784N
A
m1g
N1
TD
Mg
N2
F
T
?T
（下一页）
例 7,质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F,当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f = kv(k为
常数）,证明 小球在水中竖直沉降的速度 v 与时间 t 的
关系为
f
F
mg
a
x
（式中 t 为从沉降
开始计算的时间）
证明,取坐标，作受力图。
根据牛顿第二定律，有
（下一页）
初始条件,t = 0 时 v = 0
?? ???
tv
dt
mFkvmg
dv
00 /)(
keFmgv m
kt
/)1)(( ???? 证毕
例 8,在倾角为 ?的圆锥体的侧面放一
质量为 m的小物体，圆锥体以角速度
?绕竖直轴匀速转动。轴与物体间的
距离为 R,求 为了使物体能在锥体该
处保持静止不动，物体与锥面间的静
摩擦系数至少为多少？并简单讨论所
得到的结果。
?
ω
R
mg
N fs
x
y解：
（ 下一页）
对给定的 ω,R和 θ,μ不能小于此值否则最大静摩
擦力不足以维持 m在斜面上不动。
讨论：由 μ>0,可得,gcosθ-ω 2 Rsinθ>0
所以
当 时，物体不可能在锥面上静止不动
（下一页）
例 9,顶角为 2?的直圆锥体，底面固定在水平面上，
如图所示。质量为 m的小球系在绳的一端，绳的另
一端系在圆锥的顶点，绳长为 l,且不能伸长，质量
不计。圆锥面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角
速度 ?绕 OH轴匀速转动,求：
H
O
l?
r
（下一页）
(1)锥面对小球的支持力 N和细绳的张力 T ;
(2) 当 ?增大到某一值 ?c 时，小球将离开
== 锥面，这时 ?c 及 T又各是多少？
解,设小球所在处圆锥体的水平截面半径为 r
H
O
l?
r
（下一页）
(1)
(2)
向心方向：
竖直方向：
速度 kvjvivv
zyx
???? ???
加速度
k
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx ???? ???
kajaia zyx ??? ???
若速度 自然坐标系
tevv
?? ?
加速度
nt
t eve
dt
dv
dt
evda ????
?
2)(
???
nntt eaea
?? ??
dt
dva
t ?
dt
vd ?一般 ?
（下一页）
极坐标rerr ?? ?
22 yxr ??
dt
rdv ?? ?
分量）（只是速度的一个径向但
一般
dt
drvv ?? ?
矢径方向单位矢量:re?
drrd ?
一般?
化率位矢的大小随时间的变
其模的差矢量的差的模 一般?
一部分只是质点径向加速度的而 2
2
dt
rd
求加速度的大小。除非直线运动，不能用 2
2
dt
rd
dt
dsvvs ?? ?,是路程
（下一页）
注
意
矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向
加减运算遵循平行四边形法则
r??
某一时刻的瞬时量，
不同时刻的量不同。
过程量
a?r? v?瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同
不同坐标系中，具体表达形式不同
叠加性,任一曲线运动都可以分解成沿 x,y,z
三个各自独立的直线运动的叠加
（下一页）
a?r? r?? 加速度位矢 位移 速度 v?
叠加性：
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx ???,,
)(),(),( 121212 zzzyyyxxx ?????? ???
)(txx ? )(tyy ? )(tzz ?
2
2
2
2
2
2
,,dt zdadt ydadt xda zyx ???
任一曲线运动都可以分解成沿 x,y,z 三个各自独立
的直线运动的叠加 运动的独立性原理
(运动的叠加原理 )
a?
r? v? 描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
（下一页）
运动叠加举例,1、抛物线运动（抛体）
平抛：水平方向，匀速运动；
竖直方向，自由落体运动。
斜上抛：水平方向，匀速运动；
竖直方向，竖直上抛运动。
斜下抛：水平方向，匀速运动；
竖直方向，竖直下抛运动。
2、圆运动：垂直方向两个谐振动的叠加。
3、螺旋线运动, 平面两维的圆运
===动，与第三维的匀速直线运动
===的叠加，如,tvz
tAy
tAx
z?
?
?
?
?
s in
c os
（下一页学习牛顿定律）
自然和自然规律隐藏在黑暗之中，
上帝说“让牛顿降生吧”，
一切就有了光明；
但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，
上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，
就恢复到现在这个样子。
（下一页）
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建立了
动力学三大定律和万有引力定律。其实，没有后者，
就不能充分显示前者的光辉。海王星的发现，把牛
顿力学推上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学摧垮, 她在更加坚
实的基础上确立了自己的使用范围。宇宙时代，给
牛顿力学带来了又一个繁花似锦的春天。
（下一页）
但是，十九世纪末期,看来很和谐的经典物理理
论,发生了很大的困难,使许多物理学家感到困惑不
解, 正如开尔文在 1900年指出的那样，物理学理论的
大厦飞来两朵乌云（下册 P223注①）,它动摇了经典
物理理论的基础,
第一定律 惯性定律 （ Newton first law ）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，
直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
2-1、牛顿运动定律
1、定义了物体（质点）的惯性；
2,说明了力是物体运动状态改变的原因
（下一页）
第二定律
amvm
dt
d
dt
PdF m
＝
视为常量宏观低速运动中
＝ )(?
amF ?? ?即
1,在 [SI]下，定量的说明了力、质量、加速度
三者的关系；
2、说明了质量是物体惯性的量度。
（下一页）
注意
1,上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理
---量都是同一时刻的物理量。 而且
是作用在质点上各力的矢量和。2,F?
3,在一般情况下力 是一个变力F?
常见的几中变力形式：
灭。同生、同向、同变、同与 aF ??
? ?
? ?
? ? 阻尼力
打击力
弹性力
kvvFF
tFF
kxxFF
???
?
???
（下一页）
dt
dpF
dt
dpF
dt
dpF z
z
y
y
x
x ???
直角坐标系中
自然坐标系中
?
?
?
2
mmaF
dt
d
mmaF
nn
tt
??
??
4,要注意定律的矢量性。
5,牛顿第二定律的投影形式：
（下一页）
第三定律
两个物体之间对各自对方的相互作用总是
相等的，而且指向相反的方向。
21 FF
?? ??
注意,1、力是使物体速度改变（产生加速度）的原因，
而不是维持速度的原因。
2、质量是量度物体惯性的物理量。
3、作用力和反作用力是作用在不同物
体上的同一性质的力。
与平衡力不同 。
（下一页）
2--3、力学中常见的几种力
由于地球吸引使物体所受的力。质量与重力
加速度的乘积 mg,方向竖直向下。
发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与
它接触的物体产生的作用力。如压力、张力、
拉力、支持力、弹簧的弹力。在弹性限度内
f = -kx,方向总是与形变的方向相反。
摩擦力,物体运动时，由于接触面粗糙而受到的阻
========碍运动的力。分滑动摩擦力和静摩擦力。
========大小分别为 fk =? k N 及 fsmax= ?sN。
重力,
弹力,
（下一页）
基本的自然力 (已发现四种）
1、万有引力：
2
21
r
mmGf ?
G = 6.67?10-11Nm2/kg2
例,地球对物体的引力
2、电磁力：（库仑力）
k = 9 ?109Nm2/C2
注意：电磁力远远大于万有引力！
22,,R
GMg
R
MmGmgP ????地表附近
2
21
r
qqkf ?
02 rr
MmGP ?? ??
（下一页）
3、强力,粒子之间的一种相互作用，作用范围
========在 0.4?10-15米至 10-15米。
4、弱力,粒子之间的另一种作用力，力程短、力
========弱（ 10－ 2牛顿）
四种基本自然力的特征和比较
力的种类 相互作用的物体 力的强度 力 程
万有引力 一切质点 10－ 34N 无限远
弱力 大多数粒子 10－ 2N 小于 10－ 17m
电磁力 电荷 102N 无限远
强力 核子、介子等 104N 10－ 15m
（下一页）
问题：
车的 a = 0时单摆和小球的状态符合牛顿定律
结论,在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯
性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。
而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
a≠0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？
惯性系与非惯性系
（下一页）
2-4 惯性参考系 力学相对性原理 (经典力学）
一、惯性参考系 ------依靠实验和观察来确定
牛顿定律严格成立的参考系叫做惯性参考系,简
称惯性系 ; 反之，就叫做非惯性系。
根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星
运动时发现行星运动遵守牛顿定律，
所以 太阳系是一个惯性系 。
地球有公转和自转，所以地球只能看作一个近
似的惯性系。但是，在小范围的地球表面以及相对地
面作匀速直线运动的车厢,都是惯性系,而相对地面作
加速运动的车厢则是非惯性系,
（下一张）
二 力学相对性原理 (经典力学）
相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系
都是惯性系, 在所有惯性系中，牛顿运动定律都是
等价的,
对于不同惯性系，牛顿力学的规律都有相同的
形式，在一惯性系内部所作的任何力学实验,都不
能确定该惯性系是否在运动, 这个原理叫做力学相
对性原理或伽利略相对性原理
（下一张）
应用牛顿定律解题的规范化步骤：
1,确定研究对象（隔离体），视为质点。有时为了
计算方便，根据牛三定律，选它的被作用对象。
2、受力分析，画出受力图。要迅速、准确：全、纯。
循序：重力、弹力、摩擦力，防止遗漏；不要重复；
========分清内力、外力。
注意：悬挂重物，重力的传递。若重物静止或匀速
========直线运动，重力 = 拉力 (悬挂）；若重物变速
========运动,则，拉力 ≠重力，这时把上面物受
========拉力 =下面物体的重力 ----------易犯的错误！
mg
T
a
（下一页）
2-5 牛顿定律的应用举例
受力分析，一定要画图，不要草率，力线要直、
方向准确（牵扯到力的分解），且图不能太小。
3,建立坐标系,问题越复杂，正确建立坐标系越重要
4、分析运动过程（找特点）：受力情况、初始条件、
什么时刻、什么位置、要一一对应。另外，互动系 统，
要找出其比例关系,例如课本 P55 T2-6图,B 的位移
是 A 的位移的两倍，则速度、加速度也是 两倍。
5、指明根据的原理列方程,（ 独立方程数 =未知量的个数）
6、解方程，先求代数解，而后代入已知数（统一单位
制），求出结果，确定单位，若是矢量还要指明方向。
7、讨论。有时结果是代数解，就有变化范围，需要讨
论不同情况。
（下一页）
P45例 2如图所示，长为 l 的轻绳，一
端系质量为 m 的小球，另一端系于定
点 O, 开始时小球处于最低位置。若
使小球获得如图所示的初速 v0, 小球
将在铅直平面内作圆周运动。 求 小球
在任意位置的速率及绳的张力。
0v
TF
l
P
v
te?
ne?
?
o
解,由牛顿第二定律，小球的运动方程为：
)1(amgmF T ??? ??
取自然坐标系，运动方程分量式为：
)3(s i n
)2(c o s
2
dt
dv
mmamg
l
v
mmamgF
t
nT
???
???
?
?
（下一页）
由于式（ 3）中
l
v
d
dv
d
dv
dt
d
d
dv
dt
dv ??????
???
?
?
∴ 式（ 3）可写成 ?? dglv d v s in??
积分 ??
?? ? ??
0
s in
0
dglv d vv
v
得 )4()1( c o s22
0 ??? ?glvv
把上式代入式（ 2）得：
)5()c o s32(
2
0 ?gg
l
vmF
T ???
讨论,从式（ 4）可看出 … （见 P46）
从式（ 5）可看出 …
（下一页）
P47例 4 抛体运动,若假设空气对抛体的阻力与抛体的速度
成正比，即 Fr =－ kv,k 为比例系数。还假设抛体的质量
为 m,初速为 v0,抛射角为 α 。 求 抛体运动的轨迹方程。
解：
0?k
0?k
0v
TF
v
p
x
y
?
A
o
取如图平面坐标系 Oxy
抛体在点 A 受到重力 P = mg
和空气阻力 FT=－ kv 的作用，
由牛顿第二定律，得分量式：
?
?
?
??
?
?
????
???
dt
dv
mmakvmg
dt
dv
mmakv
y
yy
x
xx
由此得：
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
dt
m
k
kvmg
k dv
dt
m
k
v
dv
y
y
x
x
对上两式积分,（见下页）
初始条件,t =0 时,v0x= v0cosα, v0y= v0sinα
dt
m
k
v
dv t
v
v x
x
x
ox
?? ??
0
得 mktx evv ?? ?c o s0
,
0
?? ???
tv
v y
y dt
m
k
kvmg
k d vy
oy
k
mge
k
mgvv mkt
y ???
?
)s i n( 0 ?
由,
00
dtvdx t xx ?? ?,00 dtvdy
t
y
y ?? ? 将上两式代入
得 )1()1)(c o s( 0
m
kt
ev
k
mx ??? ?
)2()1)(s i n( 0 t
k
mge
k
mgv
k
my mkt ???? ??
（下一页）
再消去式（ 1）和式（ 2）中的 t,
可得抛体的轨迹方程：
)3()
c o s
1l n ()
c o s
(
0
2
2
0
x
mv
k
k
gmx
kv
mgtgy
??
? ????
显然这不是抛物线方程！
（下一页）
P48 例 5 物体在粘滞流体中的运动
斯托克斯公式,当半径为 r 的球形物体,在粘滞系数
为 η 的流体中运动,且速率 v 不太大时,其 (球体）所
受粘滞力为 vrF
r ??6?
（下一页）
有一质量为 m, 半径为 r 的球体，由水面静止释放沉
入水底，试求此球体的下沉速度与时间的函数关系。
设球体竖直下沉，其路径为一直线。
解
FB
Fr
mg
v
x
取坐标系如左图,作受力图, 重力与
浮力的合力称为驱动力
Bo FPF
??? ??
其大小为 gmmgFPF
BO '????
其方向与球体的运动方向相同，
为一恒力, 由牛二律 maFF
rO ??
即
dt
dvmvrF
O ?? ??6
令 ??rb 6? 上式为 )1(
dt
dvmbvF
O ??
因此有 )2(?
?
??
?
? ???
b
Fv
m
b
dt
dv o
积分有
)3(1
0
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
t
m
b
o
t
o
v
o
e
b
F
v
dt
m
b
b
F
v
dv
（下一页）
牛顿定律（经典力学）的适用范围；
1、质点或质点系；
2、惯性参考系；
3、低速运动（与光速比较）。
（下一页）
作业
1、看课本上的例题：
====P45～ P48 例 2、例 3、例 4、例 5；
2、思考 P53 ～ P54 问题 2-1～ 2-10
3、书面 P55 T2---5,12
Bye Bye!
下有参考例题
例 6,水平面上有一质量为 51kg的小车 D,其上有一
定滑轮 C,通过绳在滑轮两侧分别连有质量为
m1=5kg和 m2=4kg的物体 A 和 B。 其中物体 A在小车的
水平面上，物体 B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如
图所示。各接触面和滑轮轴均光滑,求 以多大力作
用在小车上，才能使物体 A与小车 D之间无相对滑动。
（滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
D
C
B
A
A和 D有相同
的加速度即可
（下一页）
解,建立坐标系并作受力分析图：
X
Y
O
B
m2g
T
列方程：
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
x
x
x
MaTTF
gmT
amT
amT
?
?
?
s in
c o s
s in
2
2
1
＝
解出：
2
2
2
1
221
2
2
2
1
2
)(
mm
gmMmm
F
mm
gm
a
x
?
??
?
?
?
=784N
A
m1g
N1
TD
Mg
N2
F
T
?T
（下一页）
例 7,质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F,当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f = kv(k为
常数）,证明 小球在水中竖直沉降的速度 v 与时间 t 的
关系为
f
F
mg
a
x
（式中 t 为从沉降
开始计算的时间）
证明,取坐标，作受力图。
根据牛顿第二定律，有
（下一页）
初始条件,t = 0 时 v = 0
?? ???
tv
dt
mFkvmg
dv
00 /)(
keFmgv m
kt
/)1)(( ???? 证毕
例 8,在倾角为 ?的圆锥体的侧面放一
质量为 m的小物体，圆锥体以角速度
?绕竖直轴匀速转动。轴与物体间的
距离为 R,求 为了使物体能在锥体该
处保持静止不动，物体与锥面间的静
摩擦系数至少为多少？并简单讨论所
得到的结果。
?
ω
R
mg
N fs
x
y解：
（ 下一页）
对给定的 ω,R和 θ,μ不能小于此值否则最大静摩
擦力不足以维持 m在斜面上不动。
讨论：由 μ>0,可得,gcosθ-ω 2 Rsinθ>0
所以
当 时，物体不可能在锥面上静止不动
（下一页）
例 9,顶角为 2?的直圆锥体，底面固定在水平面上，
如图所示。质量为 m的小球系在绳的一端，绳的另
一端系在圆锥的顶点，绳长为 l,且不能伸长，质量
不计。圆锥面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角
速度 ?绕 OH轴匀速转动,求：
H
O
l?
r
（下一页）
(1)锥面对小球的支持力 N和细绳的张力 T ;
(2) 当 ?增大到某一值 ?c 时，小球将离开
== 锥面，这时 ?c 及 T又各是多少？
解,设小球所在处圆锥体的水平截面半径为 r
H
O
l?
r
（下一页）
(1)
(2)
向心方向：
竖直方向：
