上节回顾：
大小, L=r ·mv·sin?
方向：右手螺旋法则
若质点作圆运动，则,L = rmv = mr2? = J?
注意：不是圆运动 (θ≠?? 2 )不能这样表示,
2、质点的角动量定理, Mdt = dL 微分形式
12
2
1
LLM d tt
t
???
积分形式
物理意义：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
3、质点的角动量守恒定律：若质点所受合力矩为零，
===即 M = 0, 则有 dL= 0, 即 L = 恒量
r1P1sin?1 = r2P2sin?2
（下一页）
1、质点对原点 O 的角动量 L =r × P =mr × v
4、刚体定轴转动的角动量 L = J?
5、刚体定轴转动的角动量定理
dt
dLJ
dt
dM ?? )( ?
1212
2
1
2
1
?? JJLLdLM d t L
L
t
t
????? ??
若 J 变化，则
1122
2
1
?? JJM d tt
t
???
6、刚体定轴转动的角动量守恒定律：
当合外力矩为零时，即 ∑M外 =0 时，
L =恒量，即 J2?2 = J1?1
（下一页）
一,力矩的功
||c o s rdFrdFdW ??? ????
称为力矩的功。
力矩作功是力作功的角量表达式
x
O
P
?
?
rd?d?
r?
F???
圆轨道上的弧元
?? rdFdW c o s?
MrFFF t ??? ?? co sco s?
?MddW ??
?? ?MdW
（下一页）
4 – 4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
刚体上所有质元的动能之和为：
三、刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩作
功的效果来解释。
2
2
122
2
1
2
2
12
2
1
)(
)(
??
?
Jrm
rmvmE
ii
iiiiK
???
????
?
??
????? dJd
dt
dJMddW ???
2
12
12
22
12
1
2
1
????? ?
?
?
?
JJdJMd ???? ??
（下一页）
二、转动动能
上式即为：
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做
的功等于刚体的转动动能的增量。
kkk EEEMdW ????? ? 12
2
1
?
?
?
（下一页）
定轴转动的动能定理
四、刚体的重力势能 h
hi
hc
xO
m
C
?m
整个刚体：
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部
质量都集中在质心时所具有的势能。
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保
守内力作功,则此系统的机械能守恒。
一 个质元：
ii ghm?
（下一页）
对于系统的动能，除了考虑它的平动动能，
还要考虑它的转动动能。
i
i
iP ghmE ? ??重
? ???
i
cii m g hhmg )(
介绍,*3—9 质心 质心运动定理 (P95)
一 质心
有 n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
ni
nnii
c mmmm
rmrmrmrmr
???????????
????????????
21
2211
?????
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
m
rm
1
1
?
若取
?
?
?
n
i
imm
1
'
为质点系内各质点的质量总和
上式可写为
i
n
i
ic rmrm
?? ?
?
?
1
'
对时间的一阶导数为：
dt
rdm
dt
rdm in
i
i
c
??
?
?
?
1
' ??
??
??
n
i
ii
n
i
ic pvmvm
11
' ???即
（下一页）
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
质心的速度乘以系统的质量。
???
???
???
n
i
i
n
i
i
n
i
F
dt
PdF
111
0 外内
???
?
C
C am
dt
vdmF ??? ’‘
外即 ??
上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质
量乘以系统质心的加速度。
此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的
物理问题时，会带来许多方便。
以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。
完毕
例１, 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处
摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时
的速度和此时滑轮的角速度。
解,据机械能守恒定律：
上次的例题另解如下：
R
M
22
2
1
2
1 mvJm g h ?? ?
Mm
m g hvRv
?
??
2
4可解出又 ? 比上次作法简单
（下一页）
T4-27,如图所示，一质量为
m的小球由一绳索系着，以角
速度 ?0 在无摩擦的水平面上，
作半径为 r0 的圆周运动。如果
在绳的另一端作用一竖直向下
·
F
?0m
的拉力，使小球作半径为 r0/2的圆周运动。试求：
⑴小球新的角速度； ⑵拉力所作的功。
分析,⑴沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球
在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应
保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也
改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度；⑵
拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到。
解,⑴根据分析小球在转动过程中，角动量守恒，
故有 J0?0 = J1?1
（下一页）
式中
00
1
0
1 4 ??? ??? J
J
⑵随着小球转动角速度的增加，其转动动能也
==增加，这正是拉力作功的结果。由转动的动
==能定理可得拉力的功为
2
0
2
0
2
00
2
11 2
3
2
1
2
1 ??? mrJJW ???
（下一页）
2
2
1
2
4
1
2 o
o
oo mr
rmJmrJ ?
?
?
??
?
???
11?? JJ oo ?
例 3,如图，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一
点，杆的质量 m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然
下垂，将单摆的摆锤拉到高度 h0,令它自静止状态下
垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端
达到的高度 h 。
（下一页）
解,碰撞前单摆摆锤的速度为
00 2 ghv ?
c
hc
h’ h=3h0/2
ba
m
l
ho
l
令碰撞后直杆的角速度为 ?，摆锤的速度为 v ＇ 。
由角动量守恒，有
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的,
二式联立解得：
（下一页）
?Jvvml ?? )'( 0 式中 231 mlJ ?
2
21
22
021 )'( ?Jvvm ??
而杆的质心达到的高度满足
cm g hJ ?
2
2
1 ?
由此得
2
32 0hhh
c ??
2
' 0vv ?
l
v
2
3 0??
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为
4
' 0hh ?（碰后速度减为一半，动能减为四分之一）
P153,T4-26 地球对自转轴的转动惯量为 0·33mER2,
其中 mE为地球的质量,R为地球的半径（ 1）求地球
自转时的动能；（ 2）由于潮汐的作用，地球自转的
速度逐渐减小，一年内自转周期增加 3·5× 10-5 s,求潮
汐对地球的平均力矩。
分析,地球自转一周的时间为 24小时，由 ω=2π/T 可
确定地球自转的角速度和转动动能 EK=1/2Jω2。 随着
自转周期的增加，相应 自转角速度将减小，因而转动
动能也将减少。对上述两式微分，可得 △ EK～ △ T 的
关系，又由 W=MΔ?=ΔEK,即可求得 M 。
解,（ 1）地球的 mE=5·98× 1024kg,R=6·37× 106m,
地球自转的动能 EK=1/2Jω2=（ 0·33/2） mER2（ 2π/T） 2
======================2·12× 1029J；
（ 2）对式 ω=2π/T两边微分，得 dω=－ （ 2π/T2） dT
（下一页）
由地球自转减慢而引起动能的减少量为
当周期变化一定量时，
TT
T
???????
?
???
2
2 2
2
（ 1）
TETJJE KK ?????????
?
?
?
???
2
3（ 2）
又根据动能定理
KEMW ???? ?
（ 3）
由式（ 2）、（ 3）、（ 4）可得潮汐的摩擦力矩为：
mN
n
TEM K ?????? 16
2 104772 ?
?
式中 n =365天,ΔT为一天中周期的增加量。
（下一页）
Δθ = 2πn (4)一年内
P154,T4-30在 T3-28（ P105） 的冲击摆问题中，若一
质量为 m’的均匀细棒代替柔绳，子弹速度的最小值是
多少？
T3-28,质量为 m 的弹丸 A, 穿过如图 3-28所示的摆锤
后,速率由 v 减少到 v / 2 。 已知摆锤的质量为 m’，
摆线的长度为 l, 如果摆锤能在垂直平面内完成一个
完全的圆周运动, v 的最小值应为多少？
解,水平方向的动量守恒，有
)1(''
2
vmvmmv ??
在最高点，绳中张力 FT=0, 则
)2('''
2
l
vmgm h?
为摆锤在最高点的速率'
hv
又摆锤在垂直平面内圆周运动时，机械能守恒,
（下一页）
故有
)3('''2'' 221221 hvmglmvm ??
解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为
glmmv 5'2?
若以细直棒代替柔绳,不同之处在于,
（ 1）子弹与摆锤相互作用过程不再满
足动量守恒,而应属于角动量守恒
（轴对棒有水平分力作用）；
（ 2）摆在转动过程中,机械能守恒，
且在最高端 EK≥0 即可。
解,取子弹与摆为系统,角动量守恒，有
)1()'31'(2)()( 2222 ?lmlmlvmllvml ???
（下一页）
vm
2
v
m’l
摆在转动过程中机械能守恒，
取子弹射入处为零势点，有
)2()23(')2(''21)'31'(21 222 lgmlgmglmlmlm ???? ?
由式（ 1）、（ 2）可得子弹速度的最小值为
gl
m
mv 2'4?
（下一页）
P154,T4-33,如图，在光
滑的水平面上有一劲度系数
为 k的轻质弹簧，它的一端
固定，另一端系一质量为
m’的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度 l。,今
有质量为 m 的子弹以速度 v。 沿水平方向并垂直于弹簧
轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动）当
弹簧被拉伸至长度为 l 时，求滑快速度的大小和方向。
分析,该题可分两个过程。（ 1）子弹与滑块撞击的过
程，是完全非弹性碰撞，沿子弹运动方向外力为零，
系统动量守恒,∴ 可求出碰撞后它们的共同速度 v1 ；
（ 2） 它们碰后以共同速度运动时，由于弹簧不断伸长，
滑块在受到指向固定点的弹力的作用下作弧线运动。
m
O·
● θ
v0 ● m’
l。 v2l
v1
（下一页）
该弹力对滑块不产生力矩，因而滑块在运动中角动量
守恒；与此同时，对滑块、弹簧组成的系统也满足机
械能守恒。这样，应用机械能守恒可求出滑快速度的
大小，应用角动量守恒可求出其速度的方向。
解,子弹射入滑块瞬间，完全非弹性碰撞，动量守恒，
有 mv0=（ m’+m） v1 （ 1）
之后，滑块与子弹一起运动的过程中，在包括弹
簧的系统内，机械能守恒，有
（ 2）
2
021
2
2
,
21
2
1
,
21 )()()( llkvmmvmm ?????
又在滑块绕固定点作弧线运动中，角动量守恒，故有
（ m’+m） v1l0=（ m’+m） v2l sinθ （ 3）
式中 θ为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角
联立解上述三式，可得 （下一页）
mm
llk
mm
m vv
?
?
? ?? '
)(2
0
2
'2
2
0)(
]
'
)(
)
'
()'(
a r c s in [
2
022
0
00
mm
llk
mm
m
vmml
lmv
?
?
?
?
?
??
（下一页）
五、力矩的功率
?? M
dt
dM
dt
dWP ???
即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当
功率一定时，转速越低，力矩越大；反之，转速
越高，力矩越小。
看课本 P139 表 4-3 质点、刚体对照表
再加上质点对定轴的角动量 L=mv r sinθ
机械能的动能有：平动动能、转动动能；
===== 势能有：重力势能、万有引力势能、弹性势能
到此为止，力学的三大守恒定律，我们都已学完。
要加强对角动量的概念的理解。
角动量守恒定律，同动量守恒定律一样，也是用
牛顿力学原理“推证”出来的，但它们不仅适用于宏
观、低速领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用
于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛顿力学理
论更为普适的物理定律
（下一页）
4-6 经典力学的成就和局限性
一、狭义相对论基础
二、确定性与随机性
人们把确定性运动具有的不确定性的现象称
之为混沌现象。
先有“系统论”、“信息论”、“控制论”
三论又有“同一论”、“协同论”、“耗散结构理论”
三论三、能量的连续性与能量量子化
在经典力学中，物体的能量变化是连续的。
能量量子化是微观粒子的重要性质之一
（下一页）
课本 P153, T4-24
（ 1）设氢原子中电子在圆形轨道中以速率 v 绕质子运
动。作用在电子上的向心力为电作用力，其大小为
2
0
2
4 r
e
??
其中 e为电子、质子的电量,r 为轨道半径
ε0 为恒量
试证轨道半径为
2
0
2
4 mv
er
??
?
（ 2）假设电子绕核的角动量只能为 h / 2π 的整数倍，
其中 h 为普朗克恒量。试证电子
的可能轨道半径由下式确定：
mv
nhr
?2?
（ 3）试由以上两式消去 v, 从而证明符合这两个要求
的轨道半径必须
满足以下关系式：
2
2
0
2
me
hnr
?
??
（式中 n 可取正整数
==1,2,3,…… ）
（下一页）
分析,在氢原子中，电子、质子的线度远小于它们
之间的距离，因此，可将它们视为质点。又由于它
们之间的电作用力远大于万有引力，因此，可略去
万有引力。由电子在圆周运动中的径向动力学方程
和角动量 L 的量子化条件，可证得题中各结果。
证 （ 1）已知电子的向心力，根据径向动力学方程，有
r
mv
r
e 2
2
0
2
4
?
??
则电子的轨
道半径为
2
0
2
4 mv
er
??
?
（ 2）已知电子角动量的量子化条件为
?2
hnL ?
有
??? 24 20
2 h
n
mv
emvm v rL ???
则电子可能的轨道半径为
mv
nhr
?2
?
（下一页）
（ 3）根据（ 1）和（ 2）的结果消去 v, 电子可能
的轨道半径也可表示为
2
2
0
2
me
hnr
?
??
式中 n 可取正整数 1,2,3,……
经典物理不能用来描述微观粒子的运动；符合
微观粒子的特点的是 ——量子力学
量子力学还指出描述物体（微观粒子）运动状
态的位置和动量有相互联系，但不能同时精确确定，
而且一般作不连续的变化。
对于宏观物体，用量子力学和经典力学所得的结
果相差甚微。所以，经典力学对于宏观物体还是适用
的。
下面作业
作业：
P153 T4---28、
P154 T4---29。
Bye Bye!
下次课带下册书来,
学习第十八章 相对论
大小, L=r ·mv·sin?
方向：右手螺旋法则
若质点作圆运动，则,L = rmv = mr2? = J?
注意：不是圆运动 (θ≠?? 2 )不能这样表示,
2、质点的角动量定理, Mdt = dL 微分形式
12
2
1
LLM d tt
t
???
积分形式
物理意义：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
3、质点的角动量守恒定律：若质点所受合力矩为零，
===即 M = 0, 则有 dL= 0, 即 L = 恒量
r1P1sin?1 = r2P2sin?2
（下一页）
1、质点对原点 O 的角动量 L =r × P =mr × v
4、刚体定轴转动的角动量 L = J?
5、刚体定轴转动的角动量定理
dt
dLJ
dt
dM ?? )( ?
1212
2
1
2
1
?? JJLLdLM d t L
L
t
t
????? ??
若 J 变化，则
1122
2
1
?? JJM d tt
t
???
6、刚体定轴转动的角动量守恒定律：
当合外力矩为零时，即 ∑M外 =0 时，
L =恒量，即 J2?2 = J1?1
（下一页）
一,力矩的功
||c o s rdFrdFdW ??? ????
称为力矩的功。
力矩作功是力作功的角量表达式
x
O
P
?
?
rd?d?
r?
F???
圆轨道上的弧元
?? rdFdW c o s?
MrFFF t ??? ?? co sco s?
?MddW ??
?? ?MdW
（下一页）
4 – 4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
刚体上所有质元的动能之和为：
三、刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩作
功的效果来解释。
2
2
122
2
1
2
2
12
2
1
)(
)(
??
?
Jrm
rmvmE
ii
iiiiK
???
????
?
??
????? dJd
dt
dJMddW ???
2
12
12
22
12
1
2
1
????? ?
?
?
?
JJdJMd ???? ??
（下一页）
二、转动动能
上式即为：
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做
的功等于刚体的转动动能的增量。
kkk EEEMdW ????? ? 12
2
1
?
?
?
（下一页）
定轴转动的动能定理
四、刚体的重力势能 h
hi
hc
xO
m
C
?m
整个刚体：
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部
质量都集中在质心时所具有的势能。
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保
守内力作功,则此系统的机械能守恒。
一 个质元：
ii ghm?
（下一页）
对于系统的动能，除了考虑它的平动动能，
还要考虑它的转动动能。
i
i
iP ghmE ? ??重
? ???
i
cii m g hhmg )(
介绍,*3—9 质心 质心运动定理 (P95)
一 质心
有 n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
ni
nnii
c mmmm
rmrmrmrmr
???????????
????????????
21
2211
?????
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
m
rm
1
1
?
若取
?
?
?
n
i
imm
1
'
为质点系内各质点的质量总和
上式可写为
i
n
i
ic rmrm
?? ?
?
?
1
'
对时间的一阶导数为：
dt
rdm
dt
rdm in
i
i
c
??
?
?
?
1
' ??
??
??
n
i
ii
n
i
ic pvmvm
11
' ???即
（下一页）
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
质心的速度乘以系统的质量。
???
???
???
n
i
i
n
i
i
n
i
F
dt
111
0 外内
???
?
C
C am
dt
vdmF ??? ’‘
外即 ??
上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质
量乘以系统质心的加速度。
此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的
物理问题时，会带来许多方便。
以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。
完毕
例１, 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处
摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时
的速度和此时滑轮的角速度。
解,据机械能守恒定律：
上次的例题另解如下：
R
M
22
2
1
2
1 mvJm g h ?? ?
Mm
m g hvRv
?
??
2
4可解出又 ? 比上次作法简单
（下一页）
T4-27,如图所示，一质量为
m的小球由一绳索系着，以角
速度 ?0 在无摩擦的水平面上，
作半径为 r0 的圆周运动。如果
在绳的另一端作用一竖直向下
·
F
?0m
的拉力，使小球作半径为 r0/2的圆周运动。试求：
⑴小球新的角速度； ⑵拉力所作的功。
分析,⑴沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球
在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应
保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也
改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度；⑵
拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到。
解,⑴根据分析小球在转动过程中，角动量守恒，
故有 J0?0 = J1?1
（下一页）
式中
00
1
0
1 4 ??? ??? J
J
⑵随着小球转动角速度的增加，其转动动能也
==增加，这正是拉力作功的结果。由转动的动
==能定理可得拉力的功为
2
0
2
0
2
00
2
11 2
3
2
1
2
1 ??? mrJJW ???
（下一页）
2
2
1
2
4
1
2 o
o
oo mr
rmJmrJ ?
?
?
??
?
???
11?? JJ oo ?
例 3,如图，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一
点，杆的质量 m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然
下垂，将单摆的摆锤拉到高度 h0,令它自静止状态下
垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端
达到的高度 h 。
（下一页）
解,碰撞前单摆摆锤的速度为
00 2 ghv ?
c
hc
h’ h=3h0/2
ba
m
l
ho
l
令碰撞后直杆的角速度为 ?，摆锤的速度为 v ＇ 。
由角动量守恒，有
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的,
二式联立解得：
（下一页）
?Jvvml ?? )'( 0 式中 231 mlJ ?
2
21
22
021 )'( ?Jvvm ??
而杆的质心达到的高度满足
cm g hJ ?
2
2
1 ?
由此得
2
32 0hhh
c ??
2
' 0vv ?
l
v
2
3 0??
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为
4
' 0hh ?（碰后速度减为一半，动能减为四分之一）
P153,T4-26 地球对自转轴的转动惯量为 0·33mER2,
其中 mE为地球的质量,R为地球的半径（ 1）求地球
自转时的动能；（ 2）由于潮汐的作用，地球自转的
速度逐渐减小，一年内自转周期增加 3·5× 10-5 s,求潮
汐对地球的平均力矩。
分析,地球自转一周的时间为 24小时，由 ω=2π/T 可
确定地球自转的角速度和转动动能 EK=1/2Jω2。 随着
自转周期的增加，相应 自转角速度将减小，因而转动
动能也将减少。对上述两式微分，可得 △ EK～ △ T 的
关系，又由 W=MΔ?=ΔEK,即可求得 M 。
解,（ 1）地球的 mE=5·98× 1024kg,R=6·37× 106m,
地球自转的动能 EK=1/2Jω2=（ 0·33/2） mER2（ 2π/T） 2
======================2·12× 1029J；
（ 2）对式 ω=2π/T两边微分，得 dω=－ （ 2π/T2） dT
（下一页）
由地球自转减慢而引起动能的减少量为
当周期变化一定量时，
TT
T
???????
?
???
2
2 2
2
（ 1）
TETJJE KK ?????????
?
?
?
???
2
3（ 2）
又根据动能定理
KEMW ???? ?
（ 3）
由式（ 2）、（ 3）、（ 4）可得潮汐的摩擦力矩为：
mN
n
TEM K ?????? 16
2 104772 ?
?
式中 n =365天,ΔT为一天中周期的增加量。
（下一页）
Δθ = 2πn (4)一年内
P154,T4-30在 T3-28（ P105） 的冲击摆问题中，若一
质量为 m’的均匀细棒代替柔绳，子弹速度的最小值是
多少？
T3-28,质量为 m 的弹丸 A, 穿过如图 3-28所示的摆锤
后,速率由 v 减少到 v / 2 。 已知摆锤的质量为 m’，
摆线的长度为 l, 如果摆锤能在垂直平面内完成一个
完全的圆周运动, v 的最小值应为多少？
解,水平方向的动量守恒，有
)1(''
2
vmvmmv ??
在最高点，绳中张力 FT=0, 则
)2('''
2
l
vmgm h?
为摆锤在最高点的速率'
hv
又摆锤在垂直平面内圆周运动时，机械能守恒,
（下一页）
故有
)3('''2'' 221221 hvmglmvm ??
解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为
glmmv 5'2?
若以细直棒代替柔绳,不同之处在于,
（ 1）子弹与摆锤相互作用过程不再满
足动量守恒,而应属于角动量守恒
（轴对棒有水平分力作用）；
（ 2）摆在转动过程中,机械能守恒，
且在最高端 EK≥0 即可。
解,取子弹与摆为系统,角动量守恒，有
)1()'31'(2)()( 2222 ?lmlmlvmllvml ???
（下一页）
vm
2
v
m’l
摆在转动过程中机械能守恒，
取子弹射入处为零势点，有
)2()23(')2(''21)'31'(21 222 lgmlgmglmlmlm ???? ?
由式（ 1）、（ 2）可得子弹速度的最小值为
gl
m
mv 2'4?
（下一页）
P154,T4-33,如图，在光
滑的水平面上有一劲度系数
为 k的轻质弹簧，它的一端
固定，另一端系一质量为
m’的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度 l。,今
有质量为 m 的子弹以速度 v。 沿水平方向并垂直于弹簧
轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动）当
弹簧被拉伸至长度为 l 时，求滑快速度的大小和方向。
分析,该题可分两个过程。（ 1）子弹与滑块撞击的过
程，是完全非弹性碰撞，沿子弹运动方向外力为零，
系统动量守恒,∴ 可求出碰撞后它们的共同速度 v1 ；
（ 2） 它们碰后以共同速度运动时，由于弹簧不断伸长，
滑块在受到指向固定点的弹力的作用下作弧线运动。
m
O·
● θ
v0 ● m’
l。 v2l
v1
（下一页）
该弹力对滑块不产生力矩，因而滑块在运动中角动量
守恒；与此同时，对滑块、弹簧组成的系统也满足机
械能守恒。这样，应用机械能守恒可求出滑快速度的
大小，应用角动量守恒可求出其速度的方向。
解,子弹射入滑块瞬间，完全非弹性碰撞，动量守恒，
有 mv0=（ m’+m） v1 （ 1）
之后，滑块与子弹一起运动的过程中，在包括弹
簧的系统内，机械能守恒，有
（ 2）
2
021
2
2
,
21
2
1
,
21 )()()( llkvmmvmm ?????
又在滑块绕固定点作弧线运动中，角动量守恒，故有
（ m’+m） v1l0=（ m’+m） v2l sinθ （ 3）
式中 θ为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角
联立解上述三式，可得 （下一页）
mm
llk
mm
m vv
?
?
? ?? '
)(2
0
2
'2
2
0)(
]
'
)(
)
'
()'(
a r c s in [
2
022
0
00
mm
llk
mm
m
vmml
lmv
?
?
?
?
?
??
（下一页）
五、力矩的功率
?? M
dt
dM
dt
dWP ???
即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当
功率一定时，转速越低，力矩越大；反之，转速
越高，力矩越小。
看课本 P139 表 4-3 质点、刚体对照表
再加上质点对定轴的角动量 L=mv r sinθ
机械能的动能有：平动动能、转动动能；
===== 势能有：重力势能、万有引力势能、弹性势能
到此为止，力学的三大守恒定律，我们都已学完。
要加强对角动量的概念的理解。
角动量守恒定律，同动量守恒定律一样，也是用
牛顿力学原理“推证”出来的，但它们不仅适用于宏
观、低速领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用
于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛顿力学理
论更为普适的物理定律
（下一页）
4-6 经典力学的成就和局限性
一、狭义相对论基础
二、确定性与随机性
人们把确定性运动具有的不确定性的现象称
之为混沌现象。
先有“系统论”、“信息论”、“控制论”
三论又有“同一论”、“协同论”、“耗散结构理论”
三论三、能量的连续性与能量量子化
在经典力学中，物体的能量变化是连续的。
能量量子化是微观粒子的重要性质之一
（下一页）
课本 P153, T4-24
（ 1）设氢原子中电子在圆形轨道中以速率 v 绕质子运
动。作用在电子上的向心力为电作用力，其大小为
2
0
2
4 r
e
??
其中 e为电子、质子的电量,r 为轨道半径
ε0 为恒量
试证轨道半径为
2
0
2
4 mv
er
??
?
（ 2）假设电子绕核的角动量只能为 h / 2π 的整数倍，
其中 h 为普朗克恒量。试证电子
的可能轨道半径由下式确定：
mv
nhr
?2?
（ 3）试由以上两式消去 v, 从而证明符合这两个要求
的轨道半径必须
满足以下关系式：
2
2
0
2
me
hnr
?
??
（式中 n 可取正整数
==1,2,3,…… ）
（下一页）
分析,在氢原子中，电子、质子的线度远小于它们
之间的距离，因此，可将它们视为质点。又由于它
们之间的电作用力远大于万有引力，因此，可略去
万有引力。由电子在圆周运动中的径向动力学方程
和角动量 L 的量子化条件，可证得题中各结果。
证 （ 1）已知电子的向心力，根据径向动力学方程，有
r
mv
r
e 2
2
0
2
4
?
??
则电子的轨
道半径为
2
0
2
4 mv
er
??
?
（ 2）已知电子角动量的量子化条件为
?2
hnL ?
有
??? 24 20
2 h
n
mv
emvm v rL ???
则电子可能的轨道半径为
mv
nhr
?2
?
（下一页）
（ 3）根据（ 1）和（ 2）的结果消去 v, 电子可能
的轨道半径也可表示为
2
2
0
2
me
hnr
?
??
式中 n 可取正整数 1,2,3,……
经典物理不能用来描述微观粒子的运动；符合
微观粒子的特点的是 ——量子力学
量子力学还指出描述物体（微观粒子）运动状
态的位置和动量有相互联系，但不能同时精确确定，
而且一般作不连续的变化。
对于宏观物体，用量子力学和经典力学所得的结
果相差甚微。所以，经典力学对于宏观物体还是适用
的。
下面作业
作业：
P153 T4---28、
P154 T4---29。
Bye Bye!
下次课带下册书来,
学习第十八章 相对论
