上节回顾；
1、变力作功 dsFrdFW B
A
B
AAB ??
??? ?c o s??
⑴正确写出积分表达式，即元功 dsFdW ?c o s?
⑵统一积分变量；
⑶建立坐标系，正确定出积分上下限（即 A,B）
2、质点动能定理
22
2
1
2
1
AB
v
v
B
A
B
A
B
A
mvmvvdvm
rd
dt
vd
mrdamrdF
B
A
????
?????
?
???
??
?
?
????
即
KEW ??
（下一页）
3、质点系的动能定理
K
i
iK
i
iK EEEWW ????? ?? 初末内外
4、保守力的功 = 相应势能的增量的负值 PEW ???保
）（重力的功 ABh
h
m g hm g hgdhmB
A
?????
][2 ）（）（万有引力的功
AB
r
r r
MmG
r
MmGdr
r
MmGB
A
???????
）（弹力的功 22 2121 ABx
x
kxkxdxkxB
A
?????
2
2
1 kxE
r
mMGEm g hE
PPP ???? 弹引重
(下面例题 )
例,一质量为 m的质点，在 xoy平面上运动。
其位置矢量为：
其中 a,b,? 为正值常数,a > b 。
(1)求 质点在 A (a,0)点和 B(0,b)点时的动能。
解,(1) jtbitar ??? ?? s incos ??
jtbitar ??? ?? s incos ??
tbytax ?? s inc o s ???
tbvtav yx ???? c o ss in ???
（下一页）
由
(2)求 质点所受的作用力以及当质点从 A运动到 B的
过程中分力, 所做的功。
yx FF
A x
y
ao
r? m
Bb ?
t?
A(a,0)点,cos?t=1 sin? t=0
B(0,b)点,cos?t=0 sin? t=1
tbvtav yx ???? c o ss in ???
2222
2
1
2
1
2
1 ?mbmvmvE
yxKA ????
2222
2
1
2
1
2
1 ?mamvmvE
yxKB ????
jtmbitma
jmaimaF yx
??
???
???? s inc o s
)2(
22 ???
?? jymixm ?? 22 ?? ???
220 20
2
1 ?? max d xmdxFW
aa xx
???? ??
22
0
2
0 2
1 ?? mby d ymdyFW bb
yy ????? ??
（下一页）
A x
y
ao
r? m
Bb ?
t?
例 4,一链条总长为 l, 质量为 m 。 放在桌面上并使其
一部分下垂，下垂的长度为 a, 设链条与桌面的滑动
摩擦系数为 ?，令链条从静止开始运动,则：（ 1） 到
链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？
（ 2） 链条离开桌面时的速率是多少？
a
l-a
x
O解,(1) 建坐标系如图
注意,摩擦
力作负功！
dxxl
l
mgrdfW l
a
l
af
)( ????? ?? ??
?
22 )(
2)]2
1([ al
l
mgxlx
l
mg l
a ?????
??
（下一页）
gxl
l
mf )( ?? ?摩擦力
(2) 对链条应用动能定理：
2
0
2
2
1
2
1 mvmvWWW
fp ?????
2
0 2
10 mvWWv
fp ?????
2
222
2
1
2
)(
2
)( mv
l
almg
l
almg ????? ?
])()[( 222 alal
l
gv ???? ?得
前已得出：
l
almgW
f 2
)( 2??? ?
（下面学习功能原理）
l
almgx d x
l
mgrdPW l
a
l
ap 2
)( 22 ????? ?? ??重力作功
3-6、机械能守恒定律 能量守恒与转换定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理,W外 +W内 =EkB - EkA
因为 W内 =W保内 ＋ W非保内
所以 W外 + W保内 ＋ W非保内 = EkB - EkA
又因为 W保内 ＝ EPA－ EPB
所以 W外 ＋ W非保内 ＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA)
定义 E＝ Ek + EP ---------- 机械能
即 W外 ＋ W非保内 ＝ EB - EA
质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力
的功的总和等于其机械能的增量。称为 功能原理。
（下一页）
2、机械能守恒定律
W外 ＝ 0 W非保内 ＝ 0
则 EB ＝ EA＝ 常量
如果
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
3,§ 3-8 能量守恒定律
封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，
能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有
能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
注 能量表示状态
意 功代表过程
W外 ＋ W非保内 ＝ EB - EA
封闭系统：不受外界作用的系统。
0??? 非保内外 WW
（下一页）
说明：
1、机械能守恒的条件：作用于质点系的外力和非保
守内力不作功 （ W外 +W非保内 = 0 ）或 只有保守
内力作功。
2、机械能守恒：系统的总机械能不变。而质点系
内的动能和势能都不是不变的，二者之间的转换
是通过系统内的保守力作功来实现的。
3、要区分功、能两种概念，
功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本领。
能是状态量，功是过程量。 （继续）
4、§ 3-8 能量转化与守恒定律
量的方面：
是指封闭系统物质运动的总能始终保持不变，既不能
增加（创造），也不能减少（消灭）。
质的方面：
是指各种形式的能量（机械能、热能、电能、光能、
化学能、核能等）可以互相转化。物质的一种运动形
式转化为另一种运动形式的能力是永恒的，这种转化
能力是物质本身所固有的。
这个定律的发现是十九世纪自然科学的三大发现之一。
化学上有个物质不灭定律；近代科学，相对论的
一个重要结论是 质能守恒 。质能关系式,E = mc2。
（下一页）
例 2,一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地
面，忽略空气阻力,求,（ 1）
陨石下落过程中，万有引力的功是多少？ （ 2）
陨石落地的速度多大？
解,（ 1） 取地心为原点，
========矢 径方向向上,
====== ==引力与矢径方向相反。
a
bh
R
o
（ 下一页 ）
dr
r
MmGrdFW R
hR
R
hR ?? ??
???? 2?
?
)11(2
hRR
G M m
r
drG M m R
hR ?
??? ?
?
)( hRR
G M m h
?
?
（ 2） 陨石落地的速度有多大？
解,陨石下落时，只有万有引力作功,机械能守恒
在离地面高 h 处，引力势能为
hR
MmGE
Ph ???
动能为 0?
KhE
落到地面时 引力势能为
R
MmGE
PR ??
动能为
2
2
1 mvE
KR ?
）（
）（得
由
hRR
G M h
hRR
GMv
EEEE KRPRKhPh
?
?
?
??
???
11
（下一页）
多 P67,3-42
注意：
● 机械能包括两部分：势能和动能；势能有多种，
不能仅局限在重力势能这一种形式，在解决天体、
航天器的问题时，要考虑引力势能形式；重力势
能与引力势能不会同时出现，但重力势能和弹性
势能可以同时都有。动能，我们现在研究的是平
动动能，在学习第四章后，我们就会知道，还有
转动动能。,
（下面作例题）
P83 例 1 如图所示,一雪橇从高度为 50m的山顶上点 A 沿冰道由
静止下滑,山顶到山下的坡道长为 500m,雪橇滑至山下点 B 后，
又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C 处, 若雪橇与冰
道的摩擦因数为 0.050,求 此雪橇沿水平冰道滑行的路程。点 B
附近可视为连续,
弯曲的滑道, 略去,
空气阻力的作用。,
解 如把雪橇、冰道和地球视为一个系统，
由于略去空气阻力对雪橇的作用，故作用于雪橇的力只有
重力 P, 支持力 FN 和摩擦力 Ff 。 其中重力是保守内力，只
有非保守内力 —— 摩擦力作功，没有外力作功。故由功能
原理可知，雪橇在下滑过程中，摩擦力所作的功为 。
)1()()( 112221 kPkP EEEEWWW ??????
式中 和 分别为雪橇沿斜坡下滑和沿水平滑道运动时
摩擦力作的功； 和 为雪橇在山顶时的势能和动能，
1W 2W
1pE 1kE
和 为雪橇在水平滑道上的势能和动能 。2PE
2kE （下一页）
A
h B C
s
?'s
如选水平滑道处的势能为零，由题意可知，
m g hE p ?1 0221 ??? kPk EEE
于是,)2(21 m g hWWW ????
?? ???? BABA f drmgrdFW ?? c o s1 ??
∵ 斜坡的坡度很小, 故）（ 1co s ?? '1 m g sW ???
而 m g srdFW C
B ????? ?
??
2
代入 式（ 2）,得 'shs ?? ?
又已知,h = 50m, μ = 0·050, s’ = 500m, 代入上式
得雪橇沿水平冰道滑行的路程为
mmms 5005000500 50 ????
（ 下一页 ）
课本 P85,例 3 在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动
着不可压缩的密度为 ? 的流体，如书上图所示。在图中
点 a 处（低端）压强为 P1, 截面积为 A1,在点 b 处（高
端）的压强为 P2, 截面积为 A2 。 由于点 a和 b之间存在
压力差，流体将在管中流动。在点 a和点 b处的速率分别
为 v1和 v2 。 求 流体的压强和速率之间的关系 。
解,如书上图所示的坐标，在点 a和点 b 处的流体因压
===力差的缘故而移动的距离分别为 dx1和 dx2, 那么由
===压力差所作的功为 dWP =P1A1dx1 - P2A2dx2
由于流体的不可压缩性，有 A1dx1 = A2dx2 = dV
所以上式为 dWP =（ P1– P2） dV
在流体移动过程中重力作的功为 dWg=-dm·g（ y2 - y1)﹒
其中 dm=?dV, dWg=-?g （ y2-y1 ） dV
按动能定理，外力对流体作的功 =流体动能的增量，故
（下一页）
22
2122
21
2111 vgyPvgyP ???? ?????得
即流体在管中任意点都有下述关系：
（ P1 - P2） dV -?g（ y2 - y1） dV = 21212221 d Vvd Vv ?? ?
常量??? 221 vgyp ?? 伯努利方程
它是机械能守恒在流体力学中的一种表现形式。
那么伯努利方程可写成, 常量???? 2
221221211 vPvP ??
这说明,在不可压缩的、密度均匀的流体中，流速较
大的区域压强比较小；反之亦然。
例如,1、喷雾器喷嘴的吸力。 2,飞机机翼的升力 。
3,水运航行，两船并行时，容易相撞 。
（下面学习碰撞）
如果将流管放置在水平面上，即 y1 = y2
3-7,碰撞
碰撞,如果两个或两个以上的物体相互作用，且作用
力较大时间极为短暂。
碰撞过程的特点,1、各个物体的动量明显改变。
2、系统的总动量守恒。
正碰,两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。
那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也
都在这一连线上。（对心碰撞）
斜碰,两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
（下一页）
碰撞过程中两球的机械能（动能）
完全没损失
碰撞过程中两球的机械能（动能）
要损失一部分（转化为热能）。
两球碰后合为一体，以共同的速
度运动。
碰撞过程极为短暂，位置变化也不大，势能没有改变。
弹性碰撞：
非弹性碰撞,
完全非弹性碰撞：
有些情况比较复杂，即要考虑是否动量守恒，又
要考虑是否机械能守恒，以后还要学习角动量守恒。
（下面例题）
—— 那么，动能呢？
例,质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端；质量 m,速
率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆
至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出 子弹的
速率, 并说明 在此过程中机械能损失。0?
0?
0?
m
M h
（下一页）
解,从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作
在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为 0，由动量守恒有
?? )(0 Mmm ??
子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱
地球组成的系统机械能守恒。
ghMmMm )()(21 2 ??? ?
m
ghMm 2)(
0
??? ?
Mm
mvv
?
? 0
（下一页）
碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：
22
0 )(2
1
2
1 ??? MmmE
k ????
ghMmmM )( ??
ghMm
m
ghmm
m )(
2)(
2
1 2
??
?
?
（下一个例题）
课本 P105,T3— 27如图所示，质量为 m, 速度为 v 的
钢球，射向质量为 m’的靶，靶中心有一小孔，内有劲
度系数为 k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在
水平面作无摩擦滑动。 求 子弹射入靶内弹簧后，弹簧
的最大压缩距离。
分析,这是一个碰撞问题。全过程是指小球刚与弹簧
接触直至弹簧被压缩到最大，小球与靶刚好到达共同
速度为止。在这过程中，小球和靶组成的系统在水平
方向不受外力作用,∴ 在此方向动量守恒。但仅靠动
量守恒还不能求出结果来。又考虑到无外力对系统作
功，系统无非保守力作功，故系统的机械能守恒。
考虑到球与弹簧具有相同速度时，弹簧被压缩最
大，应用上述守恒定律，即可求解（不用考虑细节问
题）。
（下一页）
解,设弹簧最大压缩量为 X0, 小球与靶共同运动的
====速度为 v1 。
由 动量守恒定律 有 mv = （ m+m’） v1 -----（ 1）
又由 机械能守恒定律,有
由式（ 1）、（ 2）可得
v
mmk
mm
x
)(,
,
0 ??
)2()( 202121,21221 ??kxvmmmv ???
（下一页）
课本 P104,T3-22 一自动卸货矿车，满载时质量为 m’，
从与水平成倾角 ?= 30o斜面上的 A 由静止下滑。设斜
面对车的阻力为车重的 0·25倍。矿车下滑距离 l 时，
矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生
最大形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹
力作用，使之返回原位置 A 再装货。 试问 要完成这一
过程空载时与满载时车的质量比应为多大？ =======
分析,矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、
阻力和支持力作用。若取矿车、地球和弹簧为系统，
支持力不作功，重力弹力为保守力，而阻力为非保守
力。全过程中，存在非保守力作功，系统不满足机械
能守恒的条件，因此，可用功能原理去求解。在确定
势能零点时，常选取弹簧原长时的位置为重力势能、
弹性势能共同的零点这样解题比较方便。 =========
（下一页）
解, 取沿斜面向上为 X轴正方向。弹簧被压缩到最大
====形变时弹簧上端为坐标原点 O。 矿车在下滑和上
行的全过程中，按题意摩擦力所作的功为：
Wf = －（ 0·25mg+0·25m’g）（ l+x） ------（ 1）
由 功能原理,在全过程中，摩擦力所作的功应等于
系统机械能的增量。故有
Wf =△ E =△ EP+△ EK
由于矿车返回原位置时速度为零，故 △ EK=0,而
====△ EP=（ m-m’） g（ l+x） sin?=Wf ----------（ 2）
由式（ 1）、（ 2）可解得 m/m’=1/3 。
（下一页）
四、关于“宇宙速度”（课本 P86— 91）
1、人造地球卫星 第一宇宙速度
1
2
97 ??????? skmgRv
R
v
mmg E
E
2、人造行星 第二宇宙速度
0
2
1 2
2 ????? ??
E
E
pk R
mGmmvEEE
3、飞出太阳系 第三宇宙速度
要先脱离地球引力，再脱离太阳的引力
1
12 21122
2 ??????? skmvgR
R
Gmv
E
E
E
（下一页）
设抛体脱离地球引力后，相对地球的速度为 v’
按机械能守恒有 )1(
2
1
2
1 2'2
3 ???? mvR
mmGmv
E
E
借助地球相对太阳的速度 vE 若 v’与 vE方向相同
则抛体相对太阳的速度最大，有
Evvv ??
''
3故抛体要脱离太阳引力，其机械能至少是：
0
2
1 2'
3 ??
s
s
R
mmGmv
s
s
R
Gmv 2'
3 ??
E
s
s
E vR
Gmvvv ???? 2'
3
'则
由牛二律
s
E
E
s
sE
R
vm
R
mmG 2
2 ??
s
s
E R
mGv ?得
（下一页）
于是
s
s
R
mGv )12(' ??
12'
3
4162
1
?
????? skm
R
m
Gvv
E
E
）式，有代入（
1312 ???? skm
—— 此即第三宇宙速度
（下一页）
介绍,*3— 9 质心 质心运动定理 （课本 P95 ）
一 质心
有 n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
ni
nnii
c mmmm
rmrmrmrmr
???????????
????????????
21
2211
?????
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
m
rm
1
1
?
若取 ?
?
?
n
i
imm
1
' 为质点系内各质点的质量总和
上式可写为
i
n
i
ic rmrm
?? ?
?
?
1
' 此式对时间求导为：
dt
rdm
dt
rdm in
i
i
c
??
?
?
?
1
' ??
??
??
n
i
ii
n
i
ic pvmvm
11
' ???即
（下一页）
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
==质心的速度乘以系统的质量。
???
???
???
n
i
i
n
i
i
n
i
F
dt
PdF
111
0 外内
???
?
C
C am
dt
vdmF ??? ’‘
外即 ??
上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质
量乘以系统质心的加速度。
此即 质心运动定律 。利用此定律求解多粒子体系的
物理问题时，会带来许多方便。
以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。
（下一页作业）
作业
课本 P105
T3---26, 28
Bye Bye!
1、变力作功 dsFrdFW B
A
B
AAB ??
??? ?c o s??
⑴正确写出积分表达式，即元功 dsFdW ?c o s?
⑵统一积分变量；
⑶建立坐标系，正确定出积分上下限（即 A,B）
2、质点动能定理
22
2
1
2
1
AB
v
v
B
A
B
A
B
A
mvmvvdvm
rd
dt
vd
mrdamrdF
B
A
????
?????
?
???
??
?
?
????
即
KEW ??
（下一页）
3、质点系的动能定理
K
i
iK
i
iK EEEWW ????? ?? 初末内外
4、保守力的功 = 相应势能的增量的负值 PEW ???保
）（重力的功 ABh
h
m g hm g hgdhmB
A
?????
][2 ）（）（万有引力的功
AB
r
r r
MmG
r
MmGdr
r
MmGB
A
???????
）（弹力的功 22 2121 ABx
x
kxkxdxkxB
A
?????
2
2
1 kxE
r
mMGEm g hE
PPP ???? 弹引重
(下面例题 )
例,一质量为 m的质点，在 xoy平面上运动。
其位置矢量为：
其中 a,b,? 为正值常数,a > b 。
(1)求 质点在 A (a,0)点和 B(0,b)点时的动能。
解,(1) jtbitar ??? ?? s incos ??
jtbitar ??? ?? s incos ??
tbytax ?? s inc o s ???
tbvtav yx ???? c o ss in ???
（下一页）
由
(2)求 质点所受的作用力以及当质点从 A运动到 B的
过程中分力, 所做的功。
yx FF
A x
y
ao
r? m
Bb ?
t?
A(a,0)点,cos?t=1 sin? t=0
B(0,b)点,cos?t=0 sin? t=1
tbvtav yx ???? c o ss in ???
2222
2
1
2
1
2
1 ?mbmvmvE
yxKA ????
2222
2
1
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1
2
1 ?mamvmvE
yxKB ????
jtmbitma
jmaimaF yx
??
???
???? s inc o s
)2(
22 ???
?? jymixm ?? 22 ?? ???
220 20
2
1 ?? max d xmdxFW
aa xx
???? ??
22
0
2
0 2
1 ?? mby d ymdyFW bb
yy ????? ??
（下一页）
A x
y
ao
r? m
Bb ?
t?
例 4,一链条总长为 l, 质量为 m 。 放在桌面上并使其
一部分下垂，下垂的长度为 a, 设链条与桌面的滑动
摩擦系数为 ?，令链条从静止开始运动,则：（ 1） 到
链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？
（ 2） 链条离开桌面时的速率是多少？
a
l-a
x
O解,(1) 建坐标系如图
注意,摩擦
力作负功！
dxxl
l
mgrdfW l
a
l
af
)( ????? ?? ??
?
22 )(
2)]2
1([ al
l
mgxlx
l
mg l
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??
（下一页）
gxl
l
mf )( ?? ?摩擦力
(2) 对链条应用动能定理：
2
0
2
2
1
2
1 mvmvWWW
fp ?????
2
0 2
10 mvWWv
fp ?????
2
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2
1
2
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2
)( mv
l
almg
l
almg ????? ?
])()[( 222 alal
l
gv ???? ?得
前已得出：
l
almgW
f 2
)( 2??? ?
（下面学习功能原理）
l
almgx d x
l
mgrdPW l
a
l
ap 2
)( 22 ????? ?? ??重力作功
3-6、机械能守恒定律 能量守恒与转换定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理,W外 +W内 =EkB - EkA
因为 W内 =W保内 ＋ W非保内
所以 W外 + W保内 ＋ W非保内 = EkB - EkA
又因为 W保内 ＝ EPA－ EPB
所以 W外 ＋ W非保内 ＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA)
定义 E＝ Ek + EP ---------- 机械能
即 W外 ＋ W非保内 ＝ EB - EA
质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力
的功的总和等于其机械能的增量。称为 功能原理。
（下一页）
2、机械能守恒定律
W外 ＝ 0 W非保内 ＝ 0
则 EB ＝ EA＝ 常量
如果
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
3,§ 3-8 能量守恒定律
封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，
能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有
能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
注 能量表示状态
意 功代表过程
W外 ＋ W非保内 ＝ EB - EA
封闭系统：不受外界作用的系统。
0??? 非保内外 WW
（下一页）
说明：
1、机械能守恒的条件：作用于质点系的外力和非保
守内力不作功 （ W外 +W非保内 = 0 ）或 只有保守
内力作功。
2、机械能守恒：系统的总机械能不变。而质点系
内的动能和势能都不是不变的，二者之间的转换
是通过系统内的保守力作功来实现的。
3、要区分功、能两种概念，
功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本领。
能是状态量，功是过程量。 （继续）
4、§ 3-8 能量转化与守恒定律
量的方面：
是指封闭系统物质运动的总能始终保持不变，既不能
增加（创造），也不能减少（消灭）。
质的方面：
是指各种形式的能量（机械能、热能、电能、光能、
化学能、核能等）可以互相转化。物质的一种运动形
式转化为另一种运动形式的能力是永恒的，这种转化
能力是物质本身所固有的。
这个定律的发现是十九世纪自然科学的三大发现之一。
化学上有个物质不灭定律；近代科学，相对论的
一个重要结论是 质能守恒 。质能关系式,E = mc2。
（下一页）
例 2,一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地
面，忽略空气阻力,求,（ 1）
陨石下落过程中，万有引力的功是多少？ （ 2）
陨石落地的速度多大？
解,（ 1） 取地心为原点，
========矢 径方向向上,
====== ==引力与矢径方向相反。
a
bh
R
o
（ 下一页 ）
dr
r
MmGrdFW R
hR
R
hR ?? ??
???? 2?
?
)11(2
hRR
G M m
r
drG M m R
hR ?
??? ?
?
)( hRR
G M m h
?
?
（ 2） 陨石落地的速度有多大？
解,陨石下落时，只有万有引力作功,机械能守恒
在离地面高 h 处，引力势能为
hR
MmGE
Ph ???
动能为 0?
KhE
落到地面时 引力势能为
R
MmGE
PR ??
动能为
2
2
1 mvE
KR ?
）（
）（得
由
hRR
G M h
hRR
GMv
EEEE KRPRKhPh
?
?
?
??
???
11
（下一页）
多 P67,3-42
注意：
● 机械能包括两部分：势能和动能；势能有多种，
不能仅局限在重力势能这一种形式，在解决天体、
航天器的问题时，要考虑引力势能形式；重力势
能与引力势能不会同时出现，但重力势能和弹性
势能可以同时都有。动能，我们现在研究的是平
动动能，在学习第四章后，我们就会知道，还有
转动动能。,
（下面作例题）
P83 例 1 如图所示,一雪橇从高度为 50m的山顶上点 A 沿冰道由
静止下滑,山顶到山下的坡道长为 500m,雪橇滑至山下点 B 后，
又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C 处, 若雪橇与冰
道的摩擦因数为 0.050,求 此雪橇沿水平冰道滑行的路程。点 B
附近可视为连续,
弯曲的滑道, 略去,
空气阻力的作用。,
解 如把雪橇、冰道和地球视为一个系统，
由于略去空气阻力对雪橇的作用，故作用于雪橇的力只有
重力 P, 支持力 FN 和摩擦力 Ff 。 其中重力是保守内力，只
有非保守内力 —— 摩擦力作功，没有外力作功。故由功能
原理可知，雪橇在下滑过程中，摩擦力所作的功为 。
)1()()( 112221 kPkP EEEEWWW ??????
式中 和 分别为雪橇沿斜坡下滑和沿水平滑道运动时
摩擦力作的功； 和 为雪橇在山顶时的势能和动能，
1W 2W
1pE 1kE
和 为雪橇在水平滑道上的势能和动能 。2PE
2kE （下一页）
A
h B C
s
?'s
如选水平滑道处的势能为零，由题意可知，
m g hE p ?1 0221 ??? kPk EEE
于是,)2(21 m g hWWW ????
?? ???? BABA f drmgrdFW ?? c o s1 ??
∵ 斜坡的坡度很小, 故）（ 1co s ?? '1 m g sW ???
而 m g srdFW C
B ????? ?
??
2
代入 式（ 2）,得 'shs ?? ?
又已知,h = 50m, μ = 0·050, s’ = 500m, 代入上式
得雪橇沿水平冰道滑行的路程为
mmms 5005000500 50 ????
（ 下一页 ）
课本 P85,例 3 在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动
着不可压缩的密度为 ? 的流体，如书上图所示。在图中
点 a 处（低端）压强为 P1, 截面积为 A1,在点 b 处（高
端）的压强为 P2, 截面积为 A2 。 由于点 a和 b之间存在
压力差，流体将在管中流动。在点 a和点 b处的速率分别
为 v1和 v2 。 求 流体的压强和速率之间的关系 。
解,如书上图所示的坐标，在点 a和点 b 处的流体因压
===力差的缘故而移动的距离分别为 dx1和 dx2, 那么由
===压力差所作的功为 dWP =P1A1dx1 - P2A2dx2
由于流体的不可压缩性，有 A1dx1 = A2dx2 = dV
所以上式为 dWP =（ P1– P2） dV
在流体移动过程中重力作的功为 dWg=-dm·g（ y2 - y1)﹒
其中 dm=?dV, dWg=-?g （ y2-y1 ） dV
按动能定理，外力对流体作的功 =流体动能的增量，故
（下一页）
22
2122
21
2111 vgyPvgyP ???? ?????得
即流体在管中任意点都有下述关系：
（ P1 - P2） dV -?g（ y2 - y1） dV = 21212221 d Vvd Vv ?? ?
常量??? 221 vgyp ?? 伯努利方程
它是机械能守恒在流体力学中的一种表现形式。
那么伯努利方程可写成, 常量???? 2
221221211 vPvP ??
这说明,在不可压缩的、密度均匀的流体中，流速较
大的区域压强比较小；反之亦然。
例如,1、喷雾器喷嘴的吸力。 2,飞机机翼的升力 。
3,水运航行，两船并行时，容易相撞 。
（下面学习碰撞）
如果将流管放置在水平面上，即 y1 = y2
3-7,碰撞
碰撞,如果两个或两个以上的物体相互作用，且作用
力较大时间极为短暂。
碰撞过程的特点,1、各个物体的动量明显改变。
2、系统的总动量守恒。
正碰,两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。
那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也
都在这一连线上。（对心碰撞）
斜碰,两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
（下一页）
碰撞过程中两球的机械能（动能）
完全没损失
碰撞过程中两球的机械能（动能）
要损失一部分（转化为热能）。
两球碰后合为一体，以共同的速
度运动。
碰撞过程极为短暂，位置变化也不大，势能没有改变。
弹性碰撞：
非弹性碰撞,
完全非弹性碰撞：
有些情况比较复杂，即要考虑是否动量守恒，又
要考虑是否机械能守恒，以后还要学习角动量守恒。
（下面例题）
—— 那么，动能呢？
例,质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端；质量 m,速
率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆
至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出 子弹的
速率, 并说明 在此过程中机械能损失。0?
0?
0?
m
M h
（下一页）
解,从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作
在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为 0，由动量守恒有
?? )(0 Mmm ??
子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱
地球组成的系统机械能守恒。
ghMmMm )()(21 2 ??? ?
m
ghMm 2)(
0
??? ?
Mm
mvv
?
? 0
（下一页）
碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：
22
0 )(2
1
2
1 ??? MmmE
k ????
ghMmmM )( ??
ghMm
m
ghmm
m )(
2)(
2
1 2
??
?
?
（下一个例题）
课本 P105,T3— 27如图所示，质量为 m, 速度为 v 的
钢球，射向质量为 m’的靶，靶中心有一小孔，内有劲
度系数为 k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在
水平面作无摩擦滑动。 求 子弹射入靶内弹簧后，弹簧
的最大压缩距离。
分析,这是一个碰撞问题。全过程是指小球刚与弹簧
接触直至弹簧被压缩到最大，小球与靶刚好到达共同
速度为止。在这过程中，小球和靶组成的系统在水平
方向不受外力作用,∴ 在此方向动量守恒。但仅靠动
量守恒还不能求出结果来。又考虑到无外力对系统作
功，系统无非保守力作功，故系统的机械能守恒。
考虑到球与弹簧具有相同速度时，弹簧被压缩最
大，应用上述守恒定律，即可求解（不用考虑细节问
题）。
（下一页）
解,设弹簧最大压缩量为 X0, 小球与靶共同运动的
====速度为 v1 。
由 动量守恒定律 有 mv = （ m+m’） v1 -----（ 1）
又由 机械能守恒定律,有
由式（ 1）、（ 2）可得
v
mmk
mm
x
)(,
,
0 ??
)2()( 202121,21221 ??kxvmmmv ???
（下一页）
课本 P104,T3-22 一自动卸货矿车，满载时质量为 m’，
从与水平成倾角 ?= 30o斜面上的 A 由静止下滑。设斜
面对车的阻力为车重的 0·25倍。矿车下滑距离 l 时，
矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生
最大形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹
力作用，使之返回原位置 A 再装货。 试问 要完成这一
过程空载时与满载时车的质量比应为多大？ =======
分析,矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、
阻力和支持力作用。若取矿车、地球和弹簧为系统，
支持力不作功，重力弹力为保守力，而阻力为非保守
力。全过程中，存在非保守力作功，系统不满足机械
能守恒的条件，因此，可用功能原理去求解。在确定
势能零点时，常选取弹簧原长时的位置为重力势能、
弹性势能共同的零点这样解题比较方便。 =========
（下一页）
解, 取沿斜面向上为 X轴正方向。弹簧被压缩到最大
====形变时弹簧上端为坐标原点 O。 矿车在下滑和上
行的全过程中，按题意摩擦力所作的功为：
Wf = －（ 0·25mg+0·25m’g）（ l+x） ------（ 1）
由 功能原理,在全过程中，摩擦力所作的功应等于
系统机械能的增量。故有
Wf =△ E =△ EP+△ EK
由于矿车返回原位置时速度为零，故 △ EK=0,而
====△ EP=（ m-m’） g（ l+x） sin?=Wf ----------（ 2）
由式（ 1）、（ 2）可解得 m/m’=1/3 。
（下一页）
四、关于“宇宙速度”（课本 P86— 91）
1、人造地球卫星 第一宇宙速度
1
2
97 ??????? skmgRv
R
v
mmg E
E
2、人造行星 第二宇宙速度
0
2
1 2
2 ????? ??
E
E
pk R
mGmmvEEE
3、飞出太阳系 第三宇宙速度
要先脱离地球引力，再脱离太阳的引力
1
12 21122
2 ??????? skmvgR
R
Gmv
E
E
E
（下一页）
设抛体脱离地球引力后，相对地球的速度为 v’
按机械能守恒有 )1(
2
1
2
1 2'2
3 ???? mvR
mmGmv
E
E
借助地球相对太阳的速度 vE 若 v’与 vE方向相同
则抛体相对太阳的速度最大，有
Evvv ??
''
3故抛体要脱离太阳引力，其机械能至少是：
0
2
1 2'
3 ??
s
s
R
mmGmv
s
s
R
Gmv 2'
3 ??
E
s
s
E vR
Gmvvv ???? 2'
3
'则
由牛二律
s
E
E
s
sE
R
vm
R
mmG 2
2 ??
s
s
E R
mGv ?得
（下一页）
于是
s
s
R
mGv )12(' ??
12'
3
4162
1
?
????? skm
R
m
Gvv
E
E
）式，有代入（
1312 ???? skm
—— 此即第三宇宙速度
（下一页）
介绍,*3— 9 质心 质心运动定理 （课本 P95 ）
一 质心
有 n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
ni
nnii
c mmmm
rmrmrmrmr
???????????
????????????
21
2211
?????
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
m
rm
1
1
?
若取 ?
?
?
n
i
imm
1
' 为质点系内各质点的质量总和
上式可写为
i
n
i
ic rmrm
?? ?
?
?
1
' 此式对时间求导为：
dt
rdm
dt
rdm in
i
i
c
??
?
?
?
1
' ??
??
??
n
i
ii
n
i
ic pvmvm
11
' ???即
（下一页）
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
==质心的速度乘以系统的质量。
???
???
???
n
i
i
n
i
i
n
i
F
dt
111
0 外内
???
?
C
C am
dt
vdmF ??? ’‘
外即 ??
上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质
量乘以系统质心的加速度。
此即 质心运动定律 。利用此定律求解多粒子体系的
物理问题时，会带来许多方便。
以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。
（下一页作业）
作业
课本 P105
T3---26, 28
Bye Bye!
