练习册答案（量子基础）
一、选择题,1[（ 3）（ 4） ] 2[D] 3[C] 4[B]
二、填空题,1,13·6eV； n=5
2,按题意为 1·95eV。 实际上此题有错误：不存在
对基态的能级差为 10·8eV的定态（ -2·8eV）,假如取定
态 -3·4eV,则从基态使氢原子激发到此定态所需能量
为 10·2eV。 此题答案为 2·55eV。
3,1·55eV； 4 到 2 。 4,2 ； 2（ 2l +1） ； 2n2。
5,?2=2?1+?0 。 6,都不变 。
7,与入射光波长相同及波长变长的两种光波，且波
长变化只与散射角有关，而与散射物质无关
（下一页）
8,4个,(2,0,0,1/2),(2,1,0,1/2)
(2,1,-1,1/2),(2,1,1,1/2)
9,泡利不相容原理 和 能量最小原理,
在一个原子中，不能存有两个或两个以上的
电子处在完全相同的量子态中。
10,粒子在某时刻某位置出现的几率,
单值、连续、有限,
1),( 2 ?? ?? dtx
（下一页）
解：
a
a
aa
a
2
1)
6
5
2
3c o s (1)
6
5( ?? ??
a
a
2
1)
6
5( 2 ??
三、计算题
1,已知波函数在一维矩形无限深势阱中运动，其
波函数为，
则粒子在 处的概率密度为多少？
axa
a
x
a
x ????
2
3c o s1)( ??
6
5ax ?
（下一页）
解：
2,一粒子被限制在相距为 L的两个不可穿透的壁之
间，如图，描写粒子状态的波函数为
其中 c为待定常量。求在区间 (0,L/3)内发现该粒子
的几率。
)( xLcx ???
L
·L/3O x
)( xLcx ???
1
0
2 ???
L
dx
? ??
L
dxxLxc
0
222 1)(
归一化波函数得：
得：
5
30
Lc ?
（下一页）
在区间 (0,L/3)内发现该粒子的几率,
? ? ???
3
0
3
0
22
5
2
81
17
)(
30L L
dxxLx
L
dx?
)(30 5 xLx
L
??? ?
10,已知粒子在无限深势阱中运动，其波
函数为
求发现粒子的几率最大的位置。
)s i n (2)( axax ?? ? 0≤x≤a
（下一页）
分析：
· a0 x·
)x(?
· a·0 x
2)(x?
解, 求极值
0
2
?
dx
d ? 即 0
)s in
2
( 2
?
dx
a
x
a
d
?
02s in ?a x?
2
kax ? k=0,1,2,
…
得
2
a
x ?
（下一页）
11、若 α 粒子在磁感应强度为 B=0.025T的均匀磁场中
沿半径为 R=0.83cm的圆形轨道运动，则（ 1）粒子的德
布罗意波长是多少？（ 2）若是质量 m=0.1的小球以与 α
粒子相同的速率运动，则其德布罗意波长为多少？
代入数据得
evBrmvmaF 22 ???
m
e B rv 2?
?
hmvp ?? e B rhmvh 2???
(mα=6.64× 10－ 27㎏ h=6.63× 10— 34J·S e=1.6× 10－ 19c )
解,(1)
1.0101 11 ??? ??
?
A
分析：
mv
h??
（ 2） 若是质量 m=0.1的小球以与 α 粒子相同的速率运动，
则其德布罗意波长为多少？
所以,24
12 1064.6
???? ?? ?
m
m ?A
（下一页）
12、根据量子力学理论，氢原子中电子的运动状态
可用四个量子数 (n,l,ml,ms )描述，试说明它们各
自确定什么量。
主量子数 n, 它大体上决定了原子中电子的能量；
副量子数（ l = 0,1,2,…, n-1）, 它决定了原子
中电子的轨道角动量大小
磁量子数（ ml = 0, ± 1，± 2,…,± l ）, 它决定
了电子轨道角动量在外磁场中的取向；
自旋磁量子数（ ms=± 1/2）, 它决定了电子自旋角
动量在外磁场中的取向。
?2)1(
hllL ??
（下一页）
13、如图所示，一束动量为 P的电子，通过缝宽为 a的
狭缝，在距离狭逢为 R处放置一荧光屏，屏上衍射图
样中央最窄的宽度 d等于多少？
a
R
P
d?
解,ax ??
?s i npp x ??
R
d
tg 2s i n ?? ??
hxp x ??? hap ??s in
ap
h
R
dtg ????
2s i n ??
得：
ap
hRd 2?
a?? ?s i n k=1
（下一页）
分析,n ∞
2
1
k
R?
?
代入 3647?? ?A
k=2
14、已知氢光谱的某一成分的极限波长为 3647,
其中有一谱线波长为 6565,试由玻尔氢原子理论，
求与波长相应的始态和终态能级的能量。
?
A
?
A
)10097.1( 17 ??? mR
由 )11(1
22 nkR ??? ??
代入 6565?? ?A 得,n=3
eVE
eVE
5.1
3
6.13
4.3
2
6.13
23
22
????
????
对应能量为
（下一页）
15、根据泡利不相容原理，在主量子数 n=2 的电子壳
层中最多可能有多少电子？试写出每个电子所具有的
四个量子数之值。 。
解, (1) n=2,2n2=8(个）；即最多可能有 8 个电子。
2
1;,,1,0,1
0,0
,2)2( ??
??
?
?? s
l
l m
m
m
ln
?
)
2
1
,1,1,2(),
2
1
,1,1,2(),
2
1
,1,1,2(),
2
1
,1,1,2(
)
2
1
,0,1,2(),
2
1
,0,1,2(),
2
1
,0,0,2(),
2
1
,0,0,2(
????
??
（下一页）
18 (T19-7 ) 一具有 1·0× 104 eV 能量的光子，与一静止自
由电 子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为 600,试问：
（ 1）光子的波长、频率和能量各改变多少？
（ 2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？
（下一页）
解, （ 1）入射光子的频率 ? 和波长 ? 分别为
HzhE 1834
194
0 1041210636
106110 ???
??
?????
?
?
?
nmc 124010412 103 18
8
0 ????
???
??用康普顿散射公式，散射
后光子波长的改变量为
2
s in2 2
0
0
????
cm
h???? )
2
60(s in104322 0212?????
nmm 312 1022110221 ?? ??????
16(T19-23),试证：如果粒子位置的不确定量
等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定
量大于或等于其速度。
hxp x ????
证明：
xx mv
hp ??
?
m
pv
x
??? ??? x
h
mv
hvm
x
x ???
xx vv ??
即
（下一页）
17(T19-24),试证自由粒子的不确定关系可
写成，
式中 λ 为自由粒子的德布罗意波的波长。
2?? ??? x
2
2 ???
? ?????????? xhxpx
x
?
hp ?
hp x 2
?
??
???证明
若只考虑不确定量的大小，负号可略去。
（下一页）
]
10241
1
10)0 1 2 20241(
1
[103
1010
8
0
??
??
?
????
??
???
??
?
cc
Hz161032 ????
频率、能量改变量为
??? ?????? hhhE 0 )1032(10636 1634 ??????? ?
eVJ 395105251 17 ??????? ?负号表示光子失去能量
（ 2）反冲电子的动能 Ek 等于入射光子所失去的能量,即
eVJEhhE k 39510521 170 ????????? ???电子动量由相对论粒子能量动量关系式
22202 cPEE ee ??
求得 12402 102752 ?? ??????? smkg
c
EEEP keeke
e
keee EEE ?? 0
（下一页）
碰撞过程动量守恒
y分量
0s in60s in 0 ?? ?? mvch
y
xch 0?
c
h?
060
?
mv
)60s ina r c s in ( 0
pc
h ?? ?有
]2 310310305 10)0230412(10636a r c s i n [ 824
1634
????? ???????? ?
?
'32595459 00 ???
（下一页）
254页 例 2
19、德布罗意关于玻尔角动量量子化的解释。以ｒ
表示氢原子中电子绕核运行的轨道半径，以 λ 表示
电子波的波长。氢原子的稳定性要求电子在轨道上
运行时电子波应形成整数波长的驻波。试由此并结
合德布罗意波长公式导出电子轨道运动的角动量应
为
这正是当时已被波尔提出的电子轨道角动量量子化
的假设。
?nrvmL e ??
n = 1,2,3,…
（下一页）
将 λ=h/(m ev)代入,
即可得
由于电子绕核运动的
角动量就等于 mevr,
所以有
解,驻波条件要求,?? nr ?2
?nnhvrm e ?? )2/( ?
?nrvmL e ??
n =1,2,3,…
n =1,2,3,… -13.6
-3.40
-1.51-0.85
0
4
8
1n=
2n=
3n=
氢原子能级图
基态
激
发
态
电离态能量 eV
（结束 ）
一、选择题,1[（ 3）（ 4） ] 2[D] 3[C] 4[B]
二、填空题,1,13·6eV； n=5
2,按题意为 1·95eV。 实际上此题有错误：不存在
对基态的能级差为 10·8eV的定态（ -2·8eV）,假如取定
态 -3·4eV,则从基态使氢原子激发到此定态所需能量
为 10·2eV。 此题答案为 2·55eV。
3,1·55eV； 4 到 2 。 4,2 ； 2（ 2l +1） ； 2n2。
5,?2=2?1+?0 。 6,都不变 。
7,与入射光波长相同及波长变长的两种光波，且波
长变化只与散射角有关，而与散射物质无关
（下一页）
8,4个,(2,0,0,1/2),(2,1,0,1/2)
(2,1,-1,1/2),(2,1,1,1/2)
9,泡利不相容原理 和 能量最小原理,
在一个原子中，不能存有两个或两个以上的
电子处在完全相同的量子态中。
10,粒子在某时刻某位置出现的几率,
单值、连续、有限,
1),( 2 ?? ?? dtx
（下一页）
解：
a
a
aa
a
2
1)
6
5
2
3c o s (1)
6
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2
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三、计算题
1,已知波函数在一维矩形无限深势阱中运动，其
波函数为，
则粒子在 处的概率密度为多少？
axa
a
x
a
x ????
2
3c o s1)( ??
6
5ax ?
（下一页）
解：
2,一粒子被限制在相距为 L的两个不可穿透的壁之
间，如图，描写粒子状态的波函数为
其中 c为待定常量。求在区间 (0,L/3)内发现该粒子
的几率。
)( xLcx ???
L
·L/3O x
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1
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归一化波函数得：
得：
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（下一页）
在区间 (0,L/3)内发现该粒子的几率,
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81
17
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)(30 5 xLx
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10,已知粒子在无限深势阱中运动，其波
函数为
求发现粒子的几率最大的位置。
)s i n (2)( axax ?? ? 0≤x≤a
（下一页）
分析：
· a0 x·
)x(?
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2)(x?
解, 求极值
0
2
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2
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2
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2
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（下一页）
11、若 α 粒子在磁感应强度为 B=0.025T的均匀磁场中
沿半径为 R=0.83cm的圆形轨道运动，则（ 1）粒子的德
布罗意波长是多少？（ 2）若是质量 m=0.1的小球以与 α
粒子相同的速率运动，则其德布罗意波长为多少？
代入数据得
evBrmvmaF 22 ???
m
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?
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(mα=6.64× 10－ 27㎏ h=6.63× 10— 34J·S e=1.6× 10－ 19c )
解,(1)
1.0101 11 ??? ??
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A
分析：
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（ 2） 若是质量 m=0.1的小球以与 α 粒子相同的速率运动，
则其德布罗意波长为多少？
所以,24
12 1064.6
???? ?? ?
m
m ?A
（下一页）
12、根据量子力学理论，氢原子中电子的运动状态
可用四个量子数 (n,l,ml,ms )描述，试说明它们各
自确定什么量。
主量子数 n, 它大体上决定了原子中电子的能量；
副量子数（ l = 0,1,2,…, n-1）, 它决定了原子
中电子的轨道角动量大小
磁量子数（ ml = 0, ± 1，± 2,…,± l ）, 它决定
了电子轨道角动量在外磁场中的取向；
自旋磁量子数（ ms=± 1/2）, 它决定了电子自旋角
动量在外磁场中的取向。
?2)1(
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（下一页）
13、如图所示，一束动量为 P的电子，通过缝宽为 a的
狭缝，在距离狭逢为 R处放置一荧光屏，屏上衍射图
样中央最窄的宽度 d等于多少？
a
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（下一页）
分析,n ∞
2
1
k
R?
?
代入 3647?? ?A
k=2
14、已知氢光谱的某一成分的极限波长为 3647,
其中有一谱线波长为 6565,试由玻尔氢原子理论，
求与波长相应的始态和终态能级的能量。
?
A
?
A
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由 )11(1
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代入 6565?? ?A 得,n=3
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5.1
3
6.13
4.3
2
6.13
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对应能量为
（下一页）
15、根据泡利不相容原理，在主量子数 n=2 的电子壳
层中最多可能有多少电子？试写出每个电子所具有的
四个量子数之值。 。
解, (1) n=2,2n2=8(个）；即最多可能有 8 个电子。
2
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??
（下一页）
18 (T19-7 ) 一具有 1·0× 104 eV 能量的光子，与一静止自
由电 子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为 600,试问：
（ 1）光子的波长、频率和能量各改变多少？
（ 2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？
（下一页）
解, （ 1）入射光子的频率 ? 和波长 ? 分别为
HzhE 1834
194
0 1041210636
106110 ???
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16(T19-23),试证：如果粒子位置的不确定量
等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定
量大于或等于其速度。
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证明：
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?
m
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x
??? ??? x
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x
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即
（下一页）
17(T19-24),试证自由粒子的不确定关系可
写成，
式中 λ 为自由粒子的德布罗意波的波长。
2?? ??? x
2
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x
?
hp ?
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?
??
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若只考虑不确定量的大小，负号可略去。
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1
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1
[103
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8
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（ 2）反冲电子的动能 Ek 等于入射光子所失去的能量,即
eVJEhhE k 39510521 170 ????????? ???电子动量由相对论粒子能量动量关系式
22202 cPEE ee ??
求得 12402 102752 ?? ??????? smkg
c
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e
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（下一页）
碰撞过程动量守恒
y分量
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'32595459 00 ???
（下一页）
254页 例 2
19、德布罗意关于玻尔角动量量子化的解释。以ｒ
表示氢原子中电子绕核运行的轨道半径，以 λ 表示
电子波的波长。氢原子的稳定性要求电子在轨道上
运行时电子波应形成整数波长的驻波。试由此并结
合德布罗意波长公式导出电子轨道运动的角动量应
为
这正是当时已被波尔提出的电子轨道角动量量子化
的假设。
?nrvmL e ??
n = 1,2,3,…
（下一页）
将 λ=h/(m ev)代入,
即可得
由于电子绕核运动的
角动量就等于 mevr,
所以有
解,驻波条件要求,?? nr ?2
?nnhvrm e ?? )2/( ?
?nrvmL e ??
n =1,2,3,…
n =1,2,3,… -13.6
-3.40
-1.51-0.85
0
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3n=
氢原子能级图
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电离态能量 eV
（结束 ）
