第十章 含有耦合电感电路 教学基本要求 1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。 2、掌握空心变压器和理想变压器的应用。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).互感和互感电压的概念及同名端的含义； (2). 含有互感电路的计算 (3). 空心变压器和理想变压器的电路模型 2．教学难点：(1). 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； (2). 含有耦合电感的电路的方程 (3). 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 三、本章与其它章节的联系： 　　本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 四、学时安排 总学时：4 教 学 内 容 学 时  1．互感、含有耦合电感电路的计算 2  2．空心变压器、理想变压器 2  五、教学内容 §10.1 　　互感 　　耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感  图 10.1 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流i1时，不仅在线圈1中产生磁通φ11，同时，有部分磁通φ21穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i2 时，不仅在线圈2中产生磁通φ22，同时，有部分磁通φ12穿过线圈1，φ12和φ21称为互感磁通。定义互磁链： 　　　 ψ12 = N1φ12 　　　ψ21 = N2φ21 　　当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 　　　　  　　互感磁通链： 　　　　  　　上式中 M12 和 M21 称为 互感系数，单位为（H）。 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 　　　　  　　　　  需要指出的是： 　　１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足 M 12 =M21 =M 　　２）自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 　　 工程上用耦合因数 k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 定义 　　　　　　　　　　　　  　　　 一般有： 　　　　　　  　　　当 k =1 称全耦合，没有漏磁，满足 f11 = f21 ， f22 = f12 。 　　 耦合因数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 　　 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 　　　　  　　　　  　　即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 　　在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 　　　　　　　  　　　　　　　  　　注意： 当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负： 　　　（ 1 ）与电流的参考方向有关。 　　　（ 2 ）与线圈的相对位置和绕向有关。 4. 互感线圈的同名端 　　由于产生互感电压的电流在另一线圈上，因此，要确定互感电压的符号，就必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中很不方便。为了解决这一问题引入同名端的概念。 　　同名端: 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，用小圆点或星号等符号标记。 　　例如图 10.2 中线圈 1 和线圈 2 用小圆点标示的端子为同名端，当电流从这两端子同时流入或流出时，则互感起相助作用。同理，线圈 1 和线圈 3 用星号标示的端子为同名端。线圈 2 和线圈 3 用三角标示的端子为同名端。  图 10.2 注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线圈分别标定。 　　根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为： 　　 (1) 当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将相互增强。 　　 (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 　　 两线圈同名端的实验测定：实验线路如图 10.3 所示，当开关 S 闭合时，线圈 1 中流入星号一端的电流 i 增加，在线圈 2 的星号一端产生互感电压的正极，则电压表正偏。  图 10.3 　　有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及电流和电压的参考方向即可，如图 10.4 所示。根据标定的同名端和电流、电压参考方向可知：   图 10.4 （ a ） 图 10.4（ b ） 　　　　 （ a ）图 　　　（ b ）图  例10-1　如图所示（a）、（b）、（c）、（d）四个互感线圈，已知同名端和各线圈上电压电流参考方向，试写出每一互感线圈上的电压电流关系。   例 10-1 图（a） 例 10-1 图（b）   例 10-1 图（c） 例 10-1 图（d） 　　解：（a）  　　　　（b）  　　　　（c）  　　　　（d）  例10-2　电路如图（a）所示，图（b）为电流源波形。 　　已知：，    例 10-2 图 （a） 例 10-2 图 （a）（b） 　　解：根据电流源波形，写出其函数表示式为： 　　　　　　　　  　　该电流在线圈 2 中引起互感电压： 　　　　　  　　对线圈 1 应用 KVL ，得电流源电压为： 　　　　　  §10.2 　　含有耦合电感电路的计算 含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意： 　　(1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析方法。 　　(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。 　　(3) 一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行处理。 1. 耦合电感的串联 （1） 顺向串联 　　图 10.5 所示电路为耦合电感的串联电路，由于互感起“增助”作用，称为顺向串联。   图 10.5 图 10.6 　　按图示电压、电流的参考方向， KVL 方程为： 　　　　  　　根据上述方程可以给出图 10.6 所示的无互感等效电路。等效电路的参数为： 　　　　　　  （2） 反向串联 　　图 10.7 所示的耦合电感的串联电路，由于互感起“削弱”作用，称为反向串联。  图 10.7 　　按图示电压、电流的参考方向， KVL 方程为： 　　　　　　  　　根据上述方程也可以给出图10.6所示的无互感（去耦）等效电路。但等效电路的参数为： 　　　　　　　  　　在正弦稳态激励下，应用相量分析，图 10.5 和图 10.7 的相量模型如图 10.8 所示。   图 10.8 （ a ） 图 10.8（ b ） 　　图（a）的 KVL 方程为： 　　　输入阻抗为：  　　可以看出耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时的相量图如图 10.9 所示。   图 10.9 图 10.10 　　图（b）的 KVL 方程为：  　　　 输入阻抗为：  　　可以看出耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时的相量图如图 10.10 所示。 　　注意： 　　 （1） 互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关系： 　　　　　　　  　　 （2）根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反接一次，则互感系数为：  2. 耦合电感的并联　 （1）同侧并联 　　图 10.11 为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为同侧串联。 根据 KVL 得同侧并联电路的方程为： 　　　　　  由于 i = i1 + i2 解得 u , i 的关系：    图 10.11 图 10.12 　　 　　根据上述方程可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： 　　　　　　　  （2） 异侧并联 　　图 10.13 中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联。  图 10.13 此时电路的方程为：  考虑到： i = i1 + i2 解得 u , i 的关系：  根据上述方程也可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： 　　　　　　　  3. 耦合电感的 T 型去耦等效 　　如果耦合电感的 2 条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的共同结点如图 10.14 所示，称为耦合电感的 T 型联接。显然耦合电感的并联也属于 T 型联接。 （1） 同名端为共端的 T 型去耦等效   图 10.14 图 10.15 图 10.14 的电路为同名端为共端的 T 型联接。根据所标电压、电流的参考方向得： 　　　　　　 　　　　　　  　　由上述方程可得图 10.15 所示的无互感等效电路。 （2） 异名端为共端的 T 型去耦等效   图 10.16 图 10.17 图 10.16 的电路为异名端为共端的 T 型联接。根据所标电压、电流的参考方向得： 　　　　  　　　　  　　由上述方程可得图 10.17 所示的无互感等效电路。 　　注意： T 型去耦等效电路中 3 条支路的等效电感分别为： 　　　支路 3 ： （同侧取“ + ”，异侧取“—”） 　　　支路 1 ：  　　　支路 2 ：  例10-3　求图（a）、（b）所示电路的等效电感 。   例 10-3 图（a） 例 10-3 图（b） 　　解：（a）图中 4H 和 6H 电感为 T 型结构，应用 T 型去耦等效得图（c）电路。则等效电感为：   例 10-3 图（ c ） 例 10-3 图（ d ） 　　　　　  　　（b） 图中 5H 和 6H 电感为同侧相接的 T 型结构， 2H 和 3H 电感为异侧相接的 T 型结构，应用 T 型去耦等效得图（d）电路。则等效电感为： 　　　　　　  例10-4　 图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路电流方程。   例 10 — 4 （ a ） 例 10 — 4 （ b ） 　　解：设网孔电流如图（b）所示，为顺时针方向，则回路方程为： 　　　　　　  　　　　　　   注意： 列写有互感电路的回路电流方程是，注意互感电压的极性和不要遗漏互感电压。 例10-5　求图（a）所示电路的开路电压。   例 10-5 图 （a） 例 10-5 图 （b） 解法1：列方程求解。由于线圈2中无电流，线圈1和线圈3为反向串联，所以电流 　　　　　　  　　　则开路电压 解法2：作出去耦等效电路，消去耦合的过程如图（b）、（c）、（d）所示(一对一对消)。   （ c ） （ d ） 　　由图（d）的无互感电路得开路电压： 　　　　　　　  例10-6　图（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗 Z 中的电流 i =0 ，问电源的角频率为多少？  例 10-6 （a）   例 10-6 （b） 例 10-6 （c） 解：根据两线圈的绕向标定同名端如图（b）所示，应用 T 型去耦等效，得无互感的电路如图（c）所示，显然当电容和 M 电感发生串联谐振时，负载阻抗 Z 中的电流为零。因此有： 　　　　　　 ，  §10.3 　　空心变压器 　　变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载。变压器是通过互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。 　　 1.空心变压器电路 　　图 10.18 为空心变压器的电路模型，与电源相接的回路称为原边回路（或初级回路），与负载相接的回路称为副边回路（或次级回路）。  图 10.18 2. 分析方法 （1） 方程法分析 　　在正弦稳态情况下，图 10.18 电路的回路方程为： 　　　　　　  　　　　　　  　　令 称为原边回路阻抗，称为副边回路阻抗。则上述方程简写为： 　　　　　　  　　　　　　  　　从上列方程可求得原边和副边电流： 　　　　　　  　　　　　　  （2） 等效电路法分析 　　等效电路法实质上是在方程分析法的基础上找出求解的某些规律，归纳总结成公式，得出等效电路，再加以求解的方法。 　　首先讨论图 10.18 的原边等效电路。令上述原边电流的分母为： 　　　　　　  　　　　 则原边电流为：  根据上式可以画出原边等效电路如图 10.19 所示。上式中的 Zf 称为引入阻抗（或反映阻抗），是副边回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗，它体现了副边回路的存在对原边回路电流的影响。 从物理意义讲，虽然原、副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。  图 10.19 把引入阻抗 Zf 展开得： 　　  　　上式表明： 　 　 （1）引入电阻 不仅与次级回路的电阻有关，而且与次级回路的电抗及互感有关。 （2）引入电抗 的负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。 　　可以证明引入电阻消耗的功率等于副边回路吸收的功率。根据副边回路方程得： 　　　　　  方程两边取模值的平方：  从中得：  　　 应用同样的方法分析方程法得出的副边电流表达式。令 　　　　 　　　　 　　　 则  根据上式可以画出副边等效电路如图10.20所示。上式中的 Z2f 称为原边回路对副边回路的引入阻抗，它与Z1f 有相同的性质。应用戴维宁定理也可以求得空心变压器副边的等效电路。 （3） 去耦等效法分析 　　对空心变压器电路进行 T 型去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。  图 10.20 例10-7　图（a）为空心变压器电路，已知电源电压 US =20 V , 原边引入阻抗 Zl =10–j10Ω，求 : 负载阻抗 ZX 并求负载获得的有功功率。   例 10 — 7 图 （ a ） 例 10 — 7 图 （ b ） 解：图（a）的原边等效电路如图（b）所示，引入阻抗为： 　　　　　　　  　　　从中解得： 　　　此时负载获得的功率等于引入电阻消耗的功率，因此： 　　　　　　　  　　 注意：电路实际处于最佳匹配状态，即 　　　　　　　  例10-8　已知图（a）空心变压器电路参数为： L1 =3.6H , L2 =0.06H , M =0.465H , R1=20Ω, R2=0.08Ω, RL=42Ω,ω=314rad/s, ，求：原、副边电流 。  例 10 — 8 图 （ a ）   例 10 — 8 图 （ b ） 例 10 — 8 图 （ c ） 解法1：应用图（b）所示的原边等效电路，得： 　　　　  　　　　  　　　　  　　　所以  　　　　　  解法2：应用图（c）所示的副边等效电路，得：  　　 　　所以  例10-9　全耦合互感电路如图（a）所示，求电路初级端 ab 间的等效阻抗。   例 10 — 9 图 （ a ） 例 10 — 9 图（ b ） 解法1：应用原边等效电路，因为： 　　　 　　　　　　 　　所以　 　　　　　  解法2：应用 T 型去耦等效电路如图（b）所示，则等效电感为： 　　　　  例10-10　已知图（a）所示电路中，L1=L2=0.1mH , M =0.02mH , R1=10Ω , C1=C2=0.01mF , ω=106rad/s, ， 问：R2=？时能吸收最大功率,并求最大功率。    例 10-8 图 （a） 例 10-8 图 （b） 例 10-8 图 （c） 解法 1：因为 　　　　 　　　所以原边自阻抗为：  　　　副边自阻抗为：  　　原边等效电路如图（b）所示，引入阻抗为：  　　　　因此当  　　　　即 R2 =40Ω 时吸收最大功率，最大功率为： 　　　　　　  解法2：应用图（c）所示的副边等效电路，得 　　　　　  　　　　　  　　　　　因此当 时吸收最大功率，最大功率为： 　　　　　　　 例10-11　图示互感电路已处于稳态，t=0 时开关打开，求 t＞0+ 时开路电压 u2(t)。  例 10 — 11 图 解：副边开路，对原边回路无影响，开路电压 u2(t) 中只有互感电压。先应用三要素法求电流 i(t)： 　　　　　  　　　当 ，时间常数为：  　　　当 ，有： 　　　所以  　　　则 例10-12　已知图（a）电路中 ，， 问负载 Z 为何值时其上获得最大功率，并求出最大功率。   例 10-12 图 （a） 例 10-12 图 （b）    （ c ） （ d ） （ e ） 解：（1）首先判定互感线圈的同名端，如图（b）所示。 （2）做出去耦等效电路如图（c）所示。由于 LC 串联支路发生谐振，可用 短路线替代这条支路，如图（d）所示，断开负载，得开路电压： 　　　　　  由图（e）得等效阻抗  　　　　　　　  当 时，负载获取最大功率，最大功率为： 　　　　　　　  §10.4 　　理想变压器 　　理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。 1．理想变压器的三个理想化条件 　　条件1 ：无损耗，认为绕线圈的导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。 　　条件2 ：全耦合，即耦合系数  　　条件3 ：参数无限大，即自感系数和互感系数 但满足： 　　　　　　  　　上式中 N 1 和 N 2 分别为变压器原、副边线圈匝数， n 为匝数比。以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。 2. 理想变压器的主要性能 　　 满足上述三个理想条件的理想变压器与有互感的线圈有着质的区别。具有以下特殊性能。 （1）变压关系 　 图 10.21 为满足三个理想条件的耦合线圈。由于 ，所以 　因此 　　 　   图 10.21 图 10.22 　　根据上式得理想变压器模型如图 10.22 所示。 　　注意：理想变压器的变压关系与两线圈中电流参考方向的假设无关，但与电压极性的设置有关，若 u1、u2 的参考方向的“+”极性端一个设在同名端，一个设在异名端，如图 10.23 所示，此时 u1 与 u2 之比为： 　 　　　　  （2）变流关系 　　根据互感线圈的电压、电流关系（电流参考方向设为从同名端同时流入或同时流出）： 　　　　　　　　  　 则    图 10.23 图 10.24 　 代入理想化条件： ，  　 得理想变压器的电流关系为： 　　　　　　　　　　  　　注意：理想变压器的变流关系与两线圈上电压参考方向的假设无关，但与电流参考方向的设置有关，若i1、i2的参考方向一个是从同名端流入，一个是从同名端流出，如图10.24所示，此时i1与i2之比为： 　　　　　　　　　  （3）变阻抗关系 　　设理想变压器次级接阻抗 Z ，如图 10.25 所示。由理想变压器的变压、变流关系得初级端的输入阻抗为：   图 10.25 图 10.26 　　　　　　　　　 　由此得理想变压器的初级等效电路如图10.26所示，把Zin称为次级对初级的折合等效阻抗。 　　注意：理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。 　　 （4）功率性质 　　由理想变压器的变压、变流关系得初级端口与次级端口吸收的功率和为： 　　　　　　  　　以上各式表明： 　　（1）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。 　　（2）理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。 　　 例10-13　已知图（a）电路的电源内阻RS=1kΩ ，负载电阻 RL=10Ω 。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比 n 。   例 10-13 图 （a） （b） 解：把副边阻抗折射到原边，得原边等效电路如图（b）所示，因此当 n2RL=RS 时电路处于匹配状态，由此得： 　　　　　10 n2 =1000 　　　　即 n2 =100 ， n =10 例10-14　 求图（a）所示电路负载电阻上的电压   例 10 — 14 图 （ a ） 解法 1 ：列方程求解。 　　　原边回路有：  　　　副边回路有：  　　　代入理想变压器的特性方程： ，  　　　　解得  解法2 ： 应用阻抗变换得原边等效电路如图（b）所示，则   例 10 — 14 图（ b ） 所以  解法3 ： 应用戴维南定理， 首先 根据图（c）    例 10 — 14 图（ c ） 例 10 — 14 图（ d ） 　　　　因为 　　　 则  由图（d）求等效电阻 Req ：Req=102×1=100Ω 戴维南等效电路如图（e）所示，则： 　　　　　   例 10 — 14 图（ e ）