第十七章 非线性电路简介 非线性元件中的电压和电流之间的关系是非线性的，有时不能用函数是来表示，要靠对应的曲线来表征其特征，这一特点是分析非线性电路的困难所在。与线性电路的一个根本区别就是不能使用叠加定理和齐性定理。但是分析非线性电路的基本依据仍然是KCL、KVL和元件的特性方程。 一、基本要求 1、掌握非线性电阻元件的电特性； 2、掌握含非线性电阻电路方程的建立； 3、掌握非线性电路的计算方法—图解法和小信号分析法。 二、重点和难点 重点：1. 非线性元件的特性； 　　　2. 非线性电路的小信号分析法； 难点：非线性电阻电路方程的列写。 三、学时安排 共计4学时 授课内容 学时  1非线性电阻、非线性电路的方程 2  2小信号分析法、分段线性化方法 2   四、基本内容 §17.1 　非线性电阻 1．非线性电路 　　在线性电路中, 线性元件的特点是其参数不随电压或电流而变化。如果电路元件的参数随着电压或电流而变化, 即电路元件的参数与电压或电流有关, 就称为非线性元件, 含有非线性元件的电路称为非线性电路。 　　实际电路元件的参数总是或多或少地随着电压或电流而变化, 所以严格说来, 一切实际 电路都是非线性电路。但在工程计算中，可以对非线性程度比较弱的电路元件做为线性元件来处理, 从而简化电路分析。而对许多本质因素具有非线性特性的元件，如果忽略其非线性特性就将导致计算结果与实际量值相差太大而无意义。因此，分析研究非线性电路具有重要的工程物理意义。 2．非线性电阻 　　线性电阻元件的伏安特性可用欧姆定律来表示, 即, 在 平面上它是通过坐标原点的一条直线。非线性电阻元件的伏安关系不满足欧姆定律, 而是遵循某种特定的非线性函数关系。非线性电阻在电路中符号如图 17.1（a）所示 。 　　  　　　图 17.1(a) 图 17.1 (b) 图 17.1 (c) （1）电流控制型电阻： 非线性电阻元件两端电压是其电流的单值函数, 它的伏安特性可用下列函数关系表示： 　　　　　　　  　　其典型的伏安特性如图17.1（b）所示 , 从其特性曲线上可以看到: 对于同一电压值, 与之对应的电流可能是多值的。如 时 , 就有、和 3个不同的值与之对应。而对于每一个电流值i, 有且只有一个电压值u与之对应。 　　（2）电压控制型电阻：通过非线性电阻元件中的电流是其两端电压的单值函数,其伏安特性可用下列函数关系表示： 　　　　　  　　其典型的伏安特性如图17.1（c）所示, 从其特性曲线上可以看到: 对于同一电流值 , 与之对应的电压可能是多值的。但是对于每一个电压值 u, 有且只有一个电流值i与之对应 。隧道二极管就具有这样的伏安特性。 （3）单调型非线性电阻：非线性电阻元件的伏安特性是单调增长或单调下降的,它同时是电流控制又是电压控制的。这类电阻以p-n结二极管最为典型, 其伏安特性用下式表示：  式中为一常数，称为反向饱和电流 , q是电子的电荷 ( 库 ), k是波尔兹曼常数(), T为热力学温度 。在 T=300K ( 室温下 ) 时  因此  从式可求得  　　换句话说, 电压可用电流的单值函数来表示。它的伏安特性曲线如图 17.2 所示。 　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　 图 17.2 　 结二极管的伏安特性 （4）非线性电阻的单向性：线性电阻是双向性的, 而许多非线性电阻却是单向性的。当加在非线性电阻两端的电压方向不同时, 流过它的电流也完全不同, 故其特性曲线不对称于原点。在工程中,非线性电阻的单向导电性可作为整流用。当然也有一些非线性电阻是双向性的。 （5）静态电阻和动态电阻：为了计算上的需要 , 对于非线性电阻元件有时引用静态电阻和动态电阻的概念。 　　非线性电阻元件在某一工作状态下(如图 17.2 中P点)的静态电阻R等于该点的电压值u与电流值i之比, 即  　　显然P点的静态电阻正比于。 　　非线性电阻元件在某一工作状态下(如图 17.2中P点 ) 的动态电阻等于该点的电压u对电流i的导数值 , 即  　　显然P点的动态电阻正比于。 　　这里特别要说明的是，当非线性电阻伏安特性某一点处的动态电阻为负值时，称非线线性电阻在该点具有“负电阻”的性质。 　 （6）非线性电阻的串联和并联 当非线性电阻元件串联或并联时,只有所有非线性电阻元件的控制类型相同,才有可能得出其等效电阻伏安特性的解析表达式。对于下图所示两个非线性电阻的串联电路,设两个非线性电阻的伏安特性分别为, 用表示图17.3（a）所示两个非线性电阻串联电路的一端口伏安特性。根据KCL和KVL, 得： 　　  　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 图 17.3 非线性电阻的串联 ，  因此对所有i, 则有：  　　因此两个电流控制的非线性电阻串联组合的等效电阻还是一个电流控制的非线性电阻。 　　也可以用图解的方法来分析非线性电阻的串联电路。图17.3（b）说明了这种分析方法，即在同一电流值下将和相加可得出u。例如，当时，有 ，，而。取不同的 i值，可逐点求出其等效伏安特性， 如图17.3（b） 　　如果这两个非线性电阻中有一个是电压控制型，在电流值的某范围内电压是多值的，很难写出等效伏安特性的解析式。可以用图解的方法求其等效伏安特性。 　　图17.4（a）所示电路由线性电阻 和直流电压源及一个非线性电阻R组成。线性电阻和电压源的串联组合可以是一个线性一端口的戴维宁等效电路。设非线性电阻的伏安特性如图17.4（b）所示。这里介绍另一种图解法, 称为“曲线相交法”。 对此电路用KVL, 可得下列方程：  　  此方程可以看作是图17.4（a）虚线方框所示一端口的伏安特性。它在 平面上是一条如图17.4（b）中的直线。设非线性电阻 R的伏安特性可表示为：。 直线与此伏安特性的交点同时满足和, 所以有： 　　　　　　  　　　　　　  　　  (b) 图 17.4 静态工作点 交点Q称为电路的静态工作点 , 它就是图17.4（a）所示电路的解。在电子电路中直流电压源通常表示偏置电压 , 表示负载 , 故直线通常称为负载线。 　　图 17.5 为两个非线性电阻的并联电路。按KCL和KVL有：  设两个非线性电阻均为电压控制型的, 其伏安特性分别表示为： 　　　　  　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　图 17.5 非线性电阻的并联 由此并联电路组成的一端口伏安特性用来表示。利用以上关系, 可得：  　　所以此一端口的伏安特性是一个电压控制型的非线性电阻。如果并联的非线性电阻中之一不是电压控制的 , 就得不出以上的解析式 , 但可以用图解法来解。 　　用图解法来分析非线性电阻的并联电路时 , 把在同一电压值下的各并联非线性电阻的电流值相加 , 即可得到所需要的驱动点特性。 例17－1： 设有一个非线性电阻元件 , 其伏安特性为： 。 1) 试分别求出时对应的电压的值； 　　 2) 试求时对应的电压 u的值； 　　 3) 设 , 试问是否等于? 解 (1) 时  时 　　　  时 　　  时  从上述计算可以看出, 如果把这个电阻作为100的线性电阻, 当电流i不同时, 引起的误差不同, 特别是当电流值较小时, 引起的误差不大。 (2) 当时 　　　　　  由此可见, 虽然非线性电阻元件中的电流是基频量, 但由于非线性而导致电压中含有 3 倍频分量 , 所以利用非线性电阻可以产生频率不同于输入频率的输出(这种作用称为“倍频”) 。 (3) 现假设 , 则 　　　　　  　　　　　 可见： 　　  所以在非线性电路中叠加定理不适用于非线性电阻。 §17.3 　非线性电路的方程　　 在电路的分析与计算中 , 基尔霍夫定律是分析线性电路和非线性电路的基本定律 , 所以线性电路方程与非线性电路方程的差别仅由于元件特性的不同而引起的。对于非线性电阻电路列出的方程是一组非线性代数方程 , 而对于含有非线性储能元件的动态电路列出的方程是一组非线性微分方程。下面通过几个实例说明上述概念。 非线性电阻电路的非线性代数方程 电路如图 17.9 所示 , 已知，非线性电阻的特性是电压控制型的，，试求u 。  　　　　　　　　 图 17.9 　　应用 KCL 有：  对于回路 1 应用 KVL, 有：  而将，代入上式，得：  　　从上式解得：   　　非线性电阻电压有两个解，这说明由于非线性电阻的参数通常不等于常数，导致了非线性电路的解不是唯一的。 如果电路中既有电压控制的电阻，又有电流控制的电阻，建立方程的过程就比较复杂。可根据元件的特性选择支路电流法，回路电流法，结点电压法等来建立电路的方程。 例17－2： 如图所示电路，分别写出非线性电阻伏安特性为和 的结点电压方程。 　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　例 17 — 1 图 解：当时，方程变量除结点电压外，电流也要作为变量，故 KCL 方程为： 结点 ① ：  结点 ② ：  　　补充方程：  　　而当时，，结点电压方程为 结点 ① ：  　　结点 ② ：  评点 ：本例考察了含有非线性电阻时的结点电压方程。可见当时，需要列补充方程。而当非线性电阻为时，则不需要补充方程。 §17.4 　小信号分析法 1．小信号分析法的工程背景 小信号分析法是电子工程中分析非线性电路的一个重要方法。通常在电子电路中遇到的非线性电路 , 不仅有作为偏置电压的直流电源作用 , 同时还有随时间变动的输入电压作用 。 假设在任何时刻有>>, 则把称为小信号 。 分析此类电路 , 就可采用小信号分析法 。 2．小信号分析 　　在图17.11(a) 所示电路中,直流电压源 为偏置电压,电阻为线性电阻，非线性电阻R是电压控制型的，其伏安特性为, 图17.11(b) 为其伏安特性曲线。小信号时变电压为, 且<<总成立。现在待求的是非线性电阻电压和电流 。 　　  　　　　　　　　 (a) (b) 图 17.11 非线性电路的小信号分析 首先应用KVL列出电路方程：  当 =0时, 即只有直流电压源单独作用时，负载线如上图17.11(b) 所示 , 它与特性曲线的交点 即的静态工作点。在 <<的条件下,电路的解、必在工作点 附近, 所以可以近似地把、写为： 　　　　　 　　　　  式中和是由于信号 在工作点附近引起的偏差。在任何时刻, 和相对于都是很小的量。 考虑到给定非线性电阻的特性, 从以上两式得： 　　　　  由于很小,可以将上式右方在Q点附近用泰勒级数展开, 取级数前面两项而略去一次项以上的高次项, 则上式可写为： 　　　　  由于, 故从上式得：  又因为  为非线性电阻在工作点处的动态电导 , 所以有： 　　　　 　　　 　　 由于 在工作点处是一个常量 , 所以由小信号电压 产生的电压 和电流之间的关系是线性的 。这样 , 式 ：  可改写为：  由, 故得：  又因为在工作点处 , 有，代入上式 , 最后得  上式是一个线性代数方程，由此可以作出给定非线性电阻在静态工作点 处的小信号等效电路如图17.12 所示。于是, 求得   　　　　　　　  图 17.12 小信号等效电路 综上所述，小信号分析步骤为： 求解非线性电路的静态工作点； 求解非线性电路的动态电导或动态电阻； 作出给定的非线性电阻在静态工作点处的小信号等效电路； 根据小信号等效电路进行求解 。 例17－3： 非线性电路如图（a）所示，非线性电阻为电压控制型，用函数表示则为： 　　　　　　　 而直流电压源，信号源，试求在静态工作点处由小信号所产生的电压 和电流。  　　　　 (a) (b) 例 17 — 3 图 解： 对于图(a)，应用 KCL 和 KVL 有： 　　　　　　　　 　　　 整理后即得： 　　　　　　　  　　(1) 先求电路的静态工作点，令 　　　　　　　　 即： 　  解得 和 而不符合题意 ，故可得静态工作点： 　　　　　  (2) 求解非线性电路的动态电导，静态工作点处的动态电导为： 　　　　　　  (3) 作出给定非线性电导在静态工作点处的小信号等效电路如图（b）所示，则有： 　　　　　　　  　　　　　　　  　故图(a)中：