第八章 相量法 一、教学基本要求 1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。 2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。 3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。 4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。 5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系； (2). 正弦量的相量差和有效值的概念 (3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式 (4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。 2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。 三、本章与其它章节的联系： 　　本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。 四、学时安排 总学时：4 教 学 内 容 学 时  1．复数、正弦量 2  2．相量法的基础、电路定律的相量形式 2  五、教学内容 §8.1 　　复数 　　相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。 1. 复数的四种表示形式 　　代数形式 A = a +jb 　　  　　复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a 　　Im[A]=b 。 　　图 8.1 为复数在复平面的表示。  图 8.1 根据图 8.1 得复数的三角形式：  　　两种表示法的关系： 或 　　 　　根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式： 　　　　　 　　 　　指数形式有时改写为极坐标形式： 　　注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。 2. 复数的运算 (1) 加减运算 —— 采用代数形式比较方便。 　　若  　　则  即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。 　　复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。  ? 图 8.2 (2) 乘除运算 —— 采用指数形式或极坐标形式比较方便。 　　若  　　 则  　　  　　即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。   图 8.3 图 8.4 (3) 旋转因子： 　　由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数 ， 相当于 A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。故把 称为旋转因子。 　　当  　　当  　　故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 3. 复数运算定理 　　定理1　  　　　　　 式中 K 为实常数。 　　 　　定理2 　 　　 　　定理3 　若　 　　　　　则 　　 例8-1 　计算 复数  　　解：　 　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　  本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。 例8-2 　计算 复数  　 解： 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。 §8.2 　　正弦量 1.正弦量 　　电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为（本书采用 cosine 函数）： 　　　　　　  　　波形如图 8.5 所示。  图 8.5 注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。 　　研究正弦电路的意义： 　　（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。由于： 　　　 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数； 　　　 2）正弦信号容易产生、传送和使用。 　　（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。 2. 正弦量的三要素 　　（1）Im —幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。 　　（2）ω— 角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和频率的关系为： 　　　　　 　　　　　　 rad/s 　　（3）y —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 　　需要注意的是： 　　 1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6给出了同一个正弦量在不同计时起点下初相位的取值。 　　2）一般规定初相位取主值范围，即 |y|≤π 。 　　3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图8.7所示，则初相位为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。 　　4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。   图 8.6 图 8.7 3. 相位差 　　相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。 　　设  　　则相位差为：  　　上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π 　　如果上式中 φ＞0 ，称 u 超前 i ，或 i 滞 u ，表明 u 比 i 先达到最大值； 　　如图 8.8（a）所示。 　　如 φ＜0 ， 称 i 超前 u ，或 u 滞后 i , 表明 i 比 u 先达到最大值。 　　如 φ= ±p ， 称 i 与 u 反相，如图 8.8（b）所示； 　　如 φ=0 ， 称 i 与 u 同相，如图 8.8（c）所示。    图 8.8 （a） （b） （c） 　　需要注意的是： 　　两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 4. 正弦电流、电压的有效值 　　周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应，即令： 　　　　　　  　　从中获得周期电流和与之相等的直流电流 I 之间的关系：  　　这个直流量 I 称为周期量的有效值。有效值也称方均根值。  图 8.9 同样，可定义电压有效值：  　　设正弦电流  　　相应的有效值为：  　　因为  　　所以  　　即 正弦电流的有效值与最大值满足关系：  　　同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 　　若一交流电压有效值为 U = 220V ，则其最大值为Um≈311V ； 需要注意的是： 　　（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 　　（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。 　　（3）区分电压、电流的瞬时值 i、u ，最大值 IMm 、 Um 和有效值 I、U 的符号。 例8-3 　已知正弦电流波形如图所示， ω＝ 103rad/s ， 　　　 （1）写出正弦 i(t) 表达式； 　　　 （2）求正弦电流最大值发生的时间 t1   例 8 — 3 图  　解： 根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有： 　　　　　　　　　 　　　 解得 由于最大值发生在计时起点右侧故取  　　　 所以  　　　 当 时电流取得最大值，即： 例8-4 　计算下列两正弦量的相位差。 　 　　 　 　　 　　 解：（1）  　　　　　　　 转为主值范围：  　　　　　　　 说明 i1 滞后 i2 。 　　　　 （2） 先把 i2 变为余弦函数：  　　　　　　　则  　　　　　　　说明 i1 超前 i2。 　　　　（3） 因为两个正弦量的角频率 ，故不能比较相位差。 　　　　（4）  　　　　　　　则  　　　　　　　说明 i1 超前i2 　　本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 §8.3 　　相量法的基础 　　正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量，因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。 1. 正弦量的相量表示 　　构造一个复函数  对 A(t) 取实部得正弦电流：  上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数，即： 　　　  　A(t) 还可以写成  称复常数为正弦量i(t)对应的相量，它包含了i(t)的两个要素I ,Y 。任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即： 　　　  　　注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 　　例如若已知正弦电流和电压分别为： 　　  　　 则对应的相量分别为：  　　 若正弦电流的相量 频率  　　 则对应的正弦电流为： 2. 相量图 　　 在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量 　　　　　　  则对应的相量图如图 8.10 所示。辐角为零的相量称为参考相量。  图 8.10 3.相量法的应用 (1) 同频率正弦量的加减 设  　　则 　　 从上式得其相量关系为：   图 8.11 故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算，运算过程如图 8.11 所示。 （2）正弦量的微分、积分运算 　　 设  　　 则  　　 即 对应的相量为  　　 而  　　 即 对应的相量为  　 以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量 　乘以，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量除以。 例如图 8.12 所示 RLC 串联电路，由 KVL 得电路方程为 　　　　 根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为：   图 8.12 因此引入相量的优点是： 　　 （1）把时域问题变为复数问题； 　　 （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； 需要注意的是： 　　 1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析； 　　 2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 　　 3）相量法用来分析正弦稳态电路。 例8-5 　计算两正弦电压之和，已知： 　　　  　解： 两正弦电压对应的相量为 :  　　　 相量之和为：  　　　　　　　　　　  　　　 所以  　　　 本题也可借助相量图计算，如下图所示。   例 8 — 5 相量图 例8-6 　试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。 　　 　　　　　　　  　　 　　　　　  　　 　　　　　  　　  解：（1）错 ，瞬时式和相量混淆，正确写法为： 　　（2）错 ，瞬时式不能和相量相等，正确写法为： 　　（3）错 ，有效值和相量混淆，正确写法为： 　　（4）对 　　（5）错 ，感抗和容抗混淆，正确写法为：  　　（6）错 ，有效值和相量混淆，正确写法为：  　　（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或  §8.4 　　电路定律的相量形式 1. 电阻元件 VCR 的相量形式 设图8.13（a）中流过电阻的电流为 则电阻电压为： 其相量形式：  图8.13（a） 以上式子说明： ? 电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图8.13（b）为电阻的相量模型图。  图 8.13（ b ） （2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：UR = RI 　（3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi 　电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14（a）和（b）所示。   图 8.14（a） （b） 　电阻的瞬时功率为： 　　　　　  　即瞬时功率以2ω 交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。 2. 电感元件 VCR 的相量形式 设图 8.15（a）中流过电感的电流为  则 对应的相量形式分别为：   图 8.15 （ a ） （ b ） 以上式子说明： 　　（1） 电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中XL=ωL =2πfL ，称为感抗，单位为Ω(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。 　　（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。 　　（3）电感电压超前电流 相位，即： 　　电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。 注意: 　　（1） 感抗表示限制电流的能力； 　　（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当　　；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。    图 8.16 （a） （b） （c） 电感的瞬时功率为： 　　　  　　即电感的瞬时功率以 2ω 交变，有正有负，如图8.16（a）所示。电感在一个周期内吸收的平均功率为零。 3. 电容元件 VCR 的相量形式   图 8.17 （ a ） （ b ） 　　设图8.17（a）中电容的电压为： 则 对应的相量形式分别为：  　　以上式子说明： 　　（1）电容的电压相量和电流相量满足关系： 　　其中 XC =1/ωC ，称为容抗，单位为Ω(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。 　　（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。 　　（3）电容电压滞后电流 相位，即： 　　电容电压和电流的波形图及相量图如图8.18（a）和（b）所示。 注意: 容抗和频率成反比如图8.18（c）所示，当 ，说明电容有隔断直流的作用，而高频时电容相当于短路。    图 8.18 （ a ） （ b ） （ c ） 　　　　电容的瞬时功率为： 　　　  　　即电容的瞬时功率以 2ω 交变，有正有负，如图8.18（a）所示。电感在一个周期内吸收的平均功率为零。 4. 基尔霍夫定律的相量形式 　　同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦稳态电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示。 　　对电路中任一结点，根据KCL有，由于 　　　　　　　　  得 KCL 的相量形式为：  　　同理对电路中任一回路，根据 KVL 有 ， 对应的相量形式为：  　　上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL ；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL 。 例8-7 图(a)所示电路中电流表的读数为：A1=8A ，A2=6A ，试求： 　 （1）若 ，则电流表 A0 的读数为多少？ 　 （2）若 为何参数，电流表 A0 的读数最大？ I0max = ？ 　 （3）若 为何参数，电流表 A0 的读数最小？ I0min = ？ 　 （4）若 为何参数，可以使电流表A0=A1读数最小，此时表A2=？   例 8 — 7 图（a） (b) 解：（1）设元件两端的电压相量为参考相量，根据元件电压和电流相量的关系画相量图如图（b）所示，则： 　　　　　　　  　 （2）因为是电阻，所以当也是电阻时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之和，达到最大值： 　　　　　　　  　 （3）因为 是电感元件，所以当是电容元件时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之差，达到最小值： 　　　　　　　  　 （4）是电感元件，所以当是电容元件时，满足 　　　　　　　 例8-8 电路如图(a)所示，已知电源电压 ，求电源电流i(t)   例 8 — 8 图（a） (b) 解：电压源电压的相量为： 　　 计算得感抗和容抗值为： 　　　　　　  　　 电路的相量模型如图（b）所示。根据 KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得： 　　　　　　  　　　　  　　　　　　所以  例8-9 电路如图（a）所示，已知电流 ，求 us(t) 。   例 8 — 9 图（ a ） (b) 解：电流的相量为：  　　计算得容抗为：  　　电路的相量模型如图（b）所示。根据 KVL 和元件的 VCR 的相量表示式 得： 　　　　　　 例8-10 电路如图（a）所示，已知电压，求电压   例 8 — 10 图（ a ） (b) 解：以电流为参考相量，相量图如图（b）所示，根据相量图得： 　　　　　　  　　　　所以  　　　　　　  　　　　　　  例8-11 图(a)所示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。   例 8 — 11 图 （a） （b） 解：，根据元件电压和电流之间的相量关系得： 　　　　　　　  　　　所以  　　　因为：  　　　令上面等式两边实部等于实部，虚部等于虚部得： 　　　　　　  　　　　　　  　　　也可以通过画图（b）所示的相量图计算。 例8-12 图（a）所示电路为阻容移项装置，要求电容电压滞后电源电压 p/3 ，问R、C应如何选择。   例 8—11 图 （a） （ b ） 解：根据 KVL 有：  　　　所以  　　　　　　  　　　因此若要电容电压滞后电源电压 p/3 ，需满足  　　　也可以通过画图（b）所示的相量图计算。