第十章 含有耦合电感的电路
10,1 互感
10,2 含有耦合电感电路的计算
10,3 空心变压器
10,4 理想变压器
10,1 互感
一,互感
当线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux) ?11, 产生的自感磁通链为 ?11, 同时, 有部分磁通穿
过临近线圈 2,产生互感磁通链为 ?21。
i1 称为施感电流,?11 = N1 ?11,?21 = N2 ?21
+ –u11 + –u21
N1 N2
?11 ?21
i1
当线圈 2中通入电流 i2时, 在线圈 2中产生磁通 ?22, 产
生的自感磁通链为 ?22, 同时, 有部分磁通穿过临近线圈 1，
产生互感磁通链为 ?12 。 每个耦合线圈中的磁通链等于自感
磁通链和互感磁通链的代数和 。 即：
+ –u11 + –u21
N1 N2
?1 = ?11± ?12
?2 = ± ?21+?22
?12
?22
i2
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时,?11,?21与 i1成正比，
?12,?22与 i2成正比。即：
?11 = L1i1,?21 = M21 i1，
?22= L2 i2,?12 = M12 i2
。为自感系数，单位亨称,H)( 1
1
11
1 LiL
??
）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称,H21 21
1
21
21 MiM
??
M21 =M12 =M M 恒大于零
?1 = L1 i1 ± Mi2
?2 = ± M i1 +L2i2
二、互感线圈的 同名端 ?1 = L1 i1 ± Mi2
?2 = ± M i1 +L2i2
互感的作用有两种可能性。若互感磁链与自感磁链
方向一致，称为互感的增助作用，此时,M前符号为正；
若互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的削弱作用，
此时,M前符号为负。
为便于反映互感的增助或削弱作用，简化图形表示，
采用同名端标记方法。 对两个有耦合的线圈各取一对端
子 (产生的磁通方向相同 )，用相同的符号如, ?” 或, *”
加以标记，则称这一对端子为同名端。
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
?21
+ –u11 + –u21
i1
?11
N1 N2
i2 i2? ?
当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名
端应一对一对地加以标记。每一对采用不同的符号。
如果每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将
等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?0
N1 N2
+ –u31
N3
?s
? ?* *△ △
例 10-1 图示电路,i1=10A,i2=5cos(10t),L1=2H,L2=3H，
M=1H，求两耦合线圈的磁通链。
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M ?
11 = L1i1 =20Wb
?22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb
?21 = M i1 =10Wb
?12 = M i2 = 5cos(10t) Wb
?1 = L1 i1 +Mi2 =[20+ 5cos(10t)] Wb
?2 = M i1 +L2i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb
当两个线圈同时通以变动的电流时，
各电感的磁链将随电流的变动而变动，
在每个线圈两端将产生感应电压（包含
自感电压和互感电压），设 L1 和 L2的电
压和电流分别为 u1, i1和 u2, i2,且方
向为关联参考方向，互感为 M，则有,
注意：如果互感电压,+”极性端子与产生它的电
流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取
,+”号，反之取,-”号。
dt
di
L
dt
di
Muu
dt
d Ψ
u
dt
di
M
dt
di
Luu
dt
d Ψ
u
2
2
1
2221
2
2
21
11211
1
1
?????
?????
三、互感线圈的 伏安特性 i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
)ts i n (
dt
di
L
dt
di
Mu
)ts i n (
dt
di
M
dt
di
Lu
101 5 0
1050
2
2
1
2
21
11
????
????
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
例 10-2 图示电路,i1=10A,i2=5cos(10t),L1=2H,L2=3H，
M=1H，求两耦合线圈的端电压 u1 和 u2 。
Mi iLΨ
dt
d Ψ
u
Mi iLΨ
dt
d Ψ
u
1222
2
2
2111
1
1
,
,
???
???
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
???
???
????
????
ILIMU
IMILU
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
+
– –
+
2 j ?Iω M 1
j ?IωM
+
–
2 ?U
+
–
1 ?U还可以用电流控制电压源
来表示互感电压的作用。
dt
di
L
dt
di
Mu
dt
di
M
dt
di
Lu
2
2
1
2
21
11
??
??
耦合系数 (coupling coefficient)k：
工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，把两线
圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦
合因数，用 k表示。 k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
全耦合, ?11= ?21,?22 =?12
212211
2112
d e f
LL
Mk ?
?
?
?
??
??
1
,
,
,
21
2
212112
2
121
12
1
212
12
2
222
2
1
111
1
??
???
??
??
k
LLMLLMM
i
ΦN
M
i
ΦN
M
i
ΦN
L
i
ΦN
L?
可以证明,k?1。
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时, 两个
电流产生的磁场相互增强 。 （ 根据绕向判别 ）
?i
1
1'
2
2'
* *
(2) 当随时间增大的时变电流从一
线圈的一端流入时, 将会引起
另一线圈相应同名端的电位升
高 。 (实验法判别 )
V
+
–
i1
1'
2
2'
* *
R S
??
电压表正偏。
0,0 '22 ??? dtdiMudtdi
如图电路，当闭合开关 S时,i 增加，
10--2 含有耦合电感电路的计算
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
MLLLRRR 2 2121 ??????
t
iM
t
iLiRu
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d
d
d
d
d
222
111
???
???
)(21 21 LLM ???
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 ???? MLLL
tiLRiti)MLL(i)RR(uuu dddd2212121 ?????????
一、串联反接
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
MLLLRRR 2 2121 ??????
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
二、串联顺接
在正弦激励下：
* *
1
?U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
?U
j? M
? U
? I
??
??? ????? 2j
2121 I)MLL(ωI)RR(U
? I
?
1IR
?
1j ILω
? j IMω
?
2IR
?
2j ILω
? j IMω
1 ?U
2 ?U
? U
? I
?
1 IR
?
1j ILω ? j IMω
?
2 IR
?
2j ILω
? j IMω
1
?U
2
?U
? U
相量图,
(a) 正串 (b) 反串
例 10-3 图示电路中，正弦电压的 U=50V,R1=3 ?,?L1=7.5
?,R2=5 ?,?L2=12.5 ?,?M=8 ?。求该耦合电感的
耦合因数 K和该电路中吸收的复功率。
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
解：耦合因数 K为：
8 2 6.0
5.125.7
8
))(( 2121
?
?
?
??
LL
M
LL
Mk
??
?
AVjZIS
AVjZIS
ZUIU
jZZZ
jMLjRZ
jMLjRZ
????
????
???????
????
?????
?????
?
)63.1 4 025.1 5 6(
)63.1575.93(
57.2659.5/,050
48
5.45)(
5.03)(
2
2
2
1
2
1
...
21
222
111
：各支路吸收的复功率为
则：令
?
?
三、同侧并联
* *+
–
R1 R2
1I? 2I?
3I?
j? L1 j? L2
j? M
? U
1222
2111
jj
jj
???
???
???
???
IMILRU
IMILRU
??
??
）（
）（
213
??? ?? III
2223
1113
][
][
???
???
????
????
IMLjRIMjU
IMLjRIMjU
）（
）（
??
??
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
Lc = M
La =L1 － M
Lb = L2 － M
四、异侧并联
*
*
+
–
R1 R2
1I? 2I?
3I?
j? L1 j? L2
j? M
? U 1222
2111
???
???
???
???
IMjILjRU
IMjILjRU
??
??
）（
）（
213
??? ?? III
2223
1113
][
][
???
???
?????
?????
IMLjRIMjU
IMLjRIMjU
）（
）（
??
??
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
Lc = － M
La =L1 ＋ M
Lb = L2 ＋ M
含有互感电路的去耦等效电路：
1）串联：等效为一个电感,L = L1 + L2 ± 2M
顺接时取,+”，反接时取“－”
2）并联：如果耦合电感的 2条支路各有一端与第 3支路形
成一个仅含 3条支路的共同结点，则可以用 3条
无耦合的电感支路等效替代,3条支路的等效电
感分别为：
同侧并联 异侧并联
Lc = M Lc = － M
La = L1－ M La = L1＋ M
Lb = L2－ M Lb = L2＋ M
注意：互感 M前的符号。
例 10-4 图示电路中，正弦电压的 U=50V,R1=3 ?，
?L1=7.5 ?,R2=5 ?,?L2=12.5 ?,?M=8 ?。求支路
1,2吸收的复功率。
* *+
–
R1 R2
1I? 2I?
3I?
j? L1 j? L2
j? M
? U
???
????
?????
8
5.4
5.0
2
1
ML
MLL
MLL
c
b
a
??
???
???
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
)7.9335.34(
)74.18897.111(
1.10199.1
3.5939.4
)///(
8
5.45
5.03
050
22
11
2
21
2
1
213
3
22
11
jIUS
jIUS
I
I
ZZ
Z
I
ZZZUI
jMjZ
jLjRZ
jLjRZ
U
b
a
????
???
????
????
?
?
??
??
????
????
???
?
??
?
??
?
??
??
?
?
?
?
令
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
??
??
???
??
??
?
8
5.4
5.0
5
3
50
2
1
c
b
a
L
L
L
R
R
VU
?
?
?
S2111
j)j( ??? ??? UIMILωR ?
0)j(j 2221 ???? ?? IZLωRIM?
10--3 空心变压器
22
2
11
1
S
in
22
2
11
S
1
)(
)(
Z
M
Z
I
U
Z
Z
M
Z
U
I
?
?
???
?
?
?
??
?
Z11=R1+j?L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗
来考虑 。 从物理意义讲, 虽然原副边没有电的联系, 但
由于互感作用使闭合的副边产生电流, 反过来这个电流
又影响原边电流电压 。
lll XRXR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
MZ jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
??????????
Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。
引入电阻???? 2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l
引入电抗????? 2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l
负号反映了副边的感性阻抗
反映到原边为一个容性阻抗
11in2,,0 ZZI ?? 即副边开路当 ?
11
2
22
11S
2
/)(
/j-
ZMZ
ZUMI
?
?
?
?
?
?
同样可解得：
2 ?I+
–
oc
?U Z22
11
2)(
Z
Mω
11
S
oc
j
Z
UMωU
?
?
?
11
2)(
Z
Mω —原边对副边的引入阻抗。
副边等效电路
—副边开路时，原边电
流在副边产生的互感电压。
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j)j( ??? ??? UIMILωR ?
0)j(j 2221 ???? ?? IZLωRIM?
Z11=R1+j?L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
例 10-5 图示电路,R1=R2=0，
L1=5H,L2=1.2H,M=2
H,us=100cos(10t)，
ZL=RL+jXL=3 ?。求
原副边电流 i1,i2。
:,0250 ?? ??? IU S 用原边等效回路求电流解：
?????
????????
)37.3184.7()123/(400/)(
)123(,50
22
2
222111
jjZM
jLjZZjLjZ L
?
??
???
?
?
????
?
?
?
?
?
?
84.1 2 666.5
2.675.3
/)(
22
1
2
22
2
11
1
Z
IMj
I
ZMZ
U
I
S
?
?
Ati
Ati
)84.12610co s (266.5
)2.6710co s (25.3
2
1
???
???
10--4 理想变压器
当 L1,M,L2??,L1/L2 比值
不变 (磁导率 m??),则有
一, 理想变压器 (ideal transformer)：
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器的元件特性
理想变压器的电路模型
2
1
2
1
2
1
L
L
L
M
M
L
N
Nn ????
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
2
1 ?? I
n
1
1 ?U
n
Zn
I
U
n
I
n
Un
I
U 2
2
22
2
2
1
1 )(
1
???
?
? ?
?
?
?
?
?
(a) 阻抗变换性质
二、理想变压器的性质
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
Z
1
?I
+
–
1
?U n
2Z
(b) 功率性质：
21 nuu ?
21
1 ini ??
* *+
–
n, 1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 ??????? niuniuiuiup
由此可以看出, 理想变压器既不储能, 也不耗能,
在电路中只起传递信号和能量的作用 。
*
*
+
–
1, 10
u1
i1 i2
+
–
u2
+
–
us R2
R1例 10-6 图示理想变压器，匝数比为 1,10，已
知 us=10cos(10t)V，
R1=1 ?,R2=100 ?。
求 u2。
0
K V L
222
111
??
??
uiR
uuiR s
方程为：解：两回路的
21
21
10
10
1
,
ii
uu
VCR
?
??
有：由理想变压器的
Vtuu s )10c o s (5052 ????
*
*
+
–
1, 10
u1
i1 i2
+
–
u2
+
–
us R2
R1
???? 11.0)( 222 RZnR eq：二解
+
–
u1
i1
+
–
us
R1
Req
Seq
eq
S uR
RR
uu 5.0
1
1 ???
Vtuuu S )10c o s (50510 12 ??????
10,1 互感
10,2 含有耦合电感电路的计算
10,3 空心变压器
10,4 理想变压器
10,1 互感
一,互感
当线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux) ?11, 产生的自感磁通链为 ?11, 同时, 有部分磁通穿
过临近线圈 2,产生互感磁通链为 ?21。
i1 称为施感电流,?11 = N1 ?11,?21 = N2 ?21
+ –u11 + –u21
N1 N2
?11 ?21
i1
当线圈 2中通入电流 i2时, 在线圈 2中产生磁通 ?22, 产
生的自感磁通链为 ?22, 同时, 有部分磁通穿过临近线圈 1，
产生互感磁通链为 ?12 。 每个耦合线圈中的磁通链等于自感
磁通链和互感磁通链的代数和 。 即：
+ –u11 + –u21
N1 N2
?1 = ?11± ?12
?2 = ± ?21+?22
?12
?22
i2
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时,?11,?21与 i1成正比，
?12,?22与 i2成正比。即：
?11 = L1i1,?21 = M21 i1，
?22= L2 i2,?12 = M12 i2
。为自感系数，单位亨称,H)( 1
1
11
1 LiL
??
）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称,H21 21
1
21
21 MiM
??
M21 =M12 =M M 恒大于零
?1 = L1 i1 ± Mi2
?2 = ± M i1 +L2i2
二、互感线圈的 同名端 ?1 = L1 i1 ± Mi2
?2 = ± M i1 +L2i2
互感的作用有两种可能性。若互感磁链与自感磁链
方向一致，称为互感的增助作用，此时,M前符号为正；
若互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的削弱作用，
此时,M前符号为负。
为便于反映互感的增助或削弱作用，简化图形表示，
采用同名端标记方法。 对两个有耦合的线圈各取一对端
子 (产生的磁通方向相同 )，用相同的符号如, ?” 或, *”
加以标记，则称这一对端子为同名端。
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
?21
+ –u11 + –u21
i1
?11
N1 N2
i2 i2? ?
当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名
端应一对一对地加以标记。每一对采用不同的符号。
如果每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将
等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?0
N1 N2
+ –u31
N3
?s
? ?* *△ △
例 10-1 图示电路,i1=10A,i2=5cos(10t),L1=2H,L2=3H，
M=1H，求两耦合线圈的磁通链。
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M ?
11 = L1i1 =20Wb
?22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb
?21 = M i1 =10Wb
?12 = M i2 = 5cos(10t) Wb
?1 = L1 i1 +Mi2 =[20+ 5cos(10t)] Wb
?2 = M i1 +L2i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb
当两个线圈同时通以变动的电流时，
各电感的磁链将随电流的变动而变动，
在每个线圈两端将产生感应电压（包含
自感电压和互感电压），设 L1 和 L2的电
压和电流分别为 u1, i1和 u2, i2,且方
向为关联参考方向，互感为 M，则有,
注意：如果互感电压,+”极性端子与产生它的电
流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取
,+”号，反之取,-”号。
dt
di
L
dt
di
Muu
dt
d Ψ
u
dt
di
M
dt
di
Luu
dt
d Ψ
u
2
2
1
2221
2
2
21
11211
1
1
?????
?????
三、互感线圈的 伏安特性 i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
)ts i n (
dt
di
L
dt
di
Mu
)ts i n (
dt
di
M
dt
di
Lu
101 5 0
1050
2
2
1
2
21
11
????
????
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
例 10-2 图示电路,i1=10A,i2=5cos(10t),L1=2H,L2=3H，
M=1H，求两耦合线圈的端电压 u1 和 u2 。
Mi iLΨ
dt
d Ψ
u
Mi iLΨ
dt
d Ψ
u
1222
2
2
2111
1
1
,
,
???
???
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
???
???
????
????
ILIMU
IMILU
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
+
– –
+
2 j ?Iω M 1
j ?IωM
+
–
2 ?U
+
–
1 ?U还可以用电流控制电压源
来表示互感电压的作用。
dt
di
L
dt
di
Mu
dt
di
M
dt
di
Lu
2
2
1
2
21
11
??
??
耦合系数 (coupling coefficient)k：
工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，把两线
圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦
合因数，用 k表示。 k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
全耦合, ?11= ?21,?22 =?12
212211
2112
d e f
LL
Mk ?
?
?
?
??
??
1
,
,
,
21
2
212112
2
121
12
1
212
12
2
222
2
1
111
1
??
???
??
??
k
LLMLLMM
i
ΦN
M
i
ΦN
M
i
ΦN
L
i
ΦN
L?
可以证明,k?1。
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时, 两个
电流产生的磁场相互增强 。 （ 根据绕向判别 ）
?i
1
1'
2
2'
* *
(2) 当随时间增大的时变电流从一
线圈的一端流入时, 将会引起
另一线圈相应同名端的电位升
高 。 (实验法判别 )
V
+
–
i1
1'
2
2'
* *
R S
??
电压表正偏。
0,0 '22 ??? dtdiMudtdi
如图电路，当闭合开关 S时,i 增加，
10--2 含有耦合电感电路的计算
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
MLLLRRR 2 2121 ??????
t
iM
t
iLiRu
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d
d
d
d
d
222
111
???
???
)(21 21 LLM ???
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 ???? MLLL
tiLRiti)MLL(i)RR(uuu dddd2212121 ?????????
一、串联反接
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
MLLLRRR 2 2121 ??????
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
i
R
L
u
+
–
二、串联顺接
在正弦激励下：
* *
1
?U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
?U
j? M
? U
? I
??
??? ????? 2j
2121 I)MLL(ωI)RR(U
? I
?
1IR
?
1j ILω
? j IMω
?
2IR
?
2j ILω
? j IMω
1 ?U
2 ?U
? U
? I
?
1 IR
?
1j ILω ? j IMω
?
2 IR
?
2j ILω
? j IMω
1
?U
2
?U
? U
相量图,
(a) 正串 (b) 反串
例 10-3 图示电路中，正弦电压的 U=50V,R1=3 ?,?L1=7.5
?,R2=5 ?,?L2=12.5 ?,?M=8 ?。求该耦合电感的
耦合因数 K和该电路中吸收的复功率。
i
*
*
u2
+
–
M
R1
R2
L1
L2
u1
+
–u
+
–
解：耦合因数 K为：
8 2 6.0
5.125.7
8
))(( 2121
?
?
?
??
LL
M
LL
Mk
??
?
AVjZIS
AVjZIS
ZUIU
jZZZ
jMLjRZ
jMLjRZ
????
????
???????
????
?????
?????
?
)63.1 4 025.1 5 6(
)63.1575.93(
57.2659.5/,050
48
5.45)(
5.03)(
2
2
2
1
2
1
...
21
222
111
：各支路吸收的复功率为
则：令
?
?
三、同侧并联
* *+
–
R1 R2
1I? 2I?
3I?
j? L1 j? L2
j? M
? U
1222
2111
jj
jj
???
???
???
???
IMILRU
IMILRU
??
??
）（
）（
213
??? ?? III
2223
1113
][
][
???
???
????
????
IMLjRIMjU
IMLjRIMjU
）（
）（
??
??
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
Lc = M
La =L1 － M
Lb = L2 － M
四、异侧并联
*
*
+
–
R1 R2
1I? 2I?
3I?
j? L1 j? L2
j? M
? U 1222
2111
???
???
???
???
IMjILjRU
IMjILjRU
??
??
）（
）（
213
??? ?? III
2223
1113
][
][
???
???
?????
?????
IMLjRIMjU
IMLjRIMjU
）（
）（
??
??
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
Lc = － M
La =L1 ＋ M
Lb = L2 ＋ M
含有互感电路的去耦等效电路：
1）串联：等效为一个电感,L = L1 + L2 ± 2M
顺接时取,+”，反接时取“－”
2）并联：如果耦合电感的 2条支路各有一端与第 3支路形
成一个仅含 3条支路的共同结点，则可以用 3条
无耦合的电感支路等效替代,3条支路的等效电
感分别为：
同侧并联 异侧并联
Lc = M Lc = － M
La = L1－ M La = L1＋ M
Lb = L2－ M Lb = L2＋ M
注意：互感 M前的符号。
例 10-4 图示电路中，正弦电压的 U=50V,R1=3 ?，
?L1=7.5 ?,R2=5 ?,?L2=12.5 ?,?M=8 ?。求支路
1,2吸收的复功率。
* *+
–
R1 R2
1I? 2I?
3I?
j? L1 j? L2
j? M
? U
???
????
?????
8
5.4
5.0
2
1
ML
MLL
MLL
c
b
a
??
???
???
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
)7.9335.34(
)74.18897.111(
1.10199.1
3.5939.4
)///(
8
5.45
5.03
050
22
11
2
21
2
1
213
3
22
11
jIUS
jIUS
I
I
ZZ
Z
I
ZZZUI
jMjZ
jLjRZ
jLjRZ
U
b
a
????
???
????
????
?
?
??
??
????
????
???
?
??
?
??
?
??
??
?
?
?
?
令
+
–
R1 R2
1I? 2I?3I?
j? La j? Lb
j? Lc
? U
??
??
???
??
??
?
8
5.4
5.0
5
3
50
2
1
c
b
a
L
L
L
R
R
VU
?
?
?
S2111
j)j( ??? ??? UIMILωR ?
0)j(j 2221 ???? ?? IZLωRIM?
10--3 空心变压器
22
2
11
1
S
in
22
2
11
S
1
)(
)(
Z
M
Z
I
U
Z
Z
M
Z
U
I
?
?
???
?
?
?
??
?
Z11=R1+j?L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗
来考虑 。 从物理意义讲, 虽然原副边没有电的联系, 但
由于互感作用使闭合的副边产生电流, 反过来这个电流
又影响原边电流电压 。
lll XRXR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
MZ jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
??????????
Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。
引入电阻???? 2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l
引入电抗????? 2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l
负号反映了副边的感性阻抗
反映到原边为一个容性阻抗
11in2,,0 ZZI ?? 即副边开路当 ?
11
2
22
11S
2
/)(
/j-
ZMZ
ZUMI
?
?
?
?
?
?
同样可解得：
2 ?I+
–
oc
?U Z22
11
2)(
Z
Mω
11
S
oc
j
Z
UMωU
?
?
?
11
2)(
Z
Mω —原边对副边的引入阻抗。
副边等效电路
—副边开路时，原边电
流在副边产生的互感电压。
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j)j( ??? ??? UIMILωR ?
0)j(j 2221 ???? ?? IZLωRIM?
Z11=R1+j?L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
* *
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
例 10-5 图示电路,R1=R2=0，
L1=5H,L2=1.2H,M=2
H,us=100cos(10t)，
ZL=RL+jXL=3 ?。求
原副边电流 i1,i2。
:,0250 ?? ??? IU S 用原边等效回路求电流解：
?????
????????
)37.3184.7()123/(400/)(
)123(,50
22
2
222111
jjZM
jLjZZjLjZ L
?
??
???
?
?
????
?
?
?
?
?
?
84.1 2 666.5
2.675.3
/)(
22
1
2
22
2
11
1
Z
IMj
I
ZMZ
U
I
S
?
?
Ati
Ati
)84.12610co s (266.5
)2.6710co s (25.3
2
1
???
???
10--4 理想变压器
当 L1,M,L2??,L1/L2 比值
不变 (磁导率 m??),则有
一, 理想变压器 (ideal transformer)：
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器的元件特性
理想变压器的电路模型
2
1
2
1
2
1
L
L
L
M
M
L
N
Nn ????
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
2
1 ?? I
n
1
1 ?U
n
Zn
I
U
n
I
n
Un
I
U 2
2
22
2
2
1
1 )(
1
???
?
? ?
?
?
?
?
?
(a) 阻抗变换性质
二、理想变压器的性质
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
Z
1
?I
+
–
1
?U n
2Z
(b) 功率性质：
21 nuu ?
21
1 ini ??
* *+
–
n, 1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 ??????? niuniuiuiup
由此可以看出, 理想变压器既不储能, 也不耗能,
在电路中只起传递信号和能量的作用 。
*
*
+
–
1, 10
u1
i1 i2
+
–
u2
+
–
us R2
R1例 10-6 图示理想变压器，匝数比为 1,10，已
知 us=10cos(10t)V，
R1=1 ?,R2=100 ?。
求 u2。
0
K V L
222
111
??
??
uiR
uuiR s
方程为：解：两回路的
21
21
10
10
1
,
ii
uu
VCR
?
??
有：由理想变压器的
Vtuu s )10c o s (5052 ????
*
*
+
–
1, 10
u1
i1 i2
+
–
u2
+
–
us R2
R1
???? 11.0)( 222 RZnR eq：二解
+
–
u1
i1
+
–
us
R1
Req
Seq
eq
S uR
RR
uu 5.0
1
1 ???
Vtuuu S )10c o s (50510 12 ??????
