第四章 电路定理 一、教学基本要求 1、了解叠加定理的概念，适用条件，熟练应用叠加定理分析电路。 2、掌握戴维宁定理和诺顿定理的概念和应用条件，并能应用定理分析求解具体电路。 二、教学重点与难点 1. 教学重点：叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。 2．教学难点：各电路定理应用的条件、电路定理应用中受控源的处理。 三、本章与其它章节的联系： 　　 电路定理是电路理论的重要组成部分，本章介绍的叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理适用于所有线性电路问题的分析，对于进一步学习后续课程起着重要作用，为求解电路提供了另一类分析方法。　　 四、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时  1．叠加定理 2  2．戴维宁定理和诺顿定理 2  3．习题 2  五、教学内容 §4.1 叠加定理 1.叠加定理的内容 　　 叠加定理表述为：在线性电路中，任一支路的电流(或电压)都可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 2.定理的证明  图 4.1 　图4.1所示电路应用结点法： 　解得结点电位： 　支路电流为： 　　  　　  　　以上各式表明：结点电压和各支路电流均为各独立电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加，即表示为：　　 　　  　　  　　  　　式中a1,a2,a3 ，b1,b2,b3和c1,c2,c3 是与电路结构和电路参数有关的系数。 3.应用叠加定理要注意的问题 　　 1)?叠加定理只适用于线性电路。这是因为线性电路中的电压和电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。 　　 2)?当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都等于零（理想电压源短路，理想电流源开路）。如图4.2所示。  =  三个电源共同作用 is1单独作用 +  +  us2单独作用 us3单独作用 图 4.2 3)?功率不能用叠加定理计算(因为功率为电压和电流的乘积，不是独立电源的一次函数)。 　　4)?应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，要特别注意各代数量的符号。即注意在各电源单独作用时计算的电压、电流参考方向是否一致，一致时相加，反之相减。 　　5)?含受控源(线性)的电路，在使用叠加定理时，受控源不要单独作用，而应把受控源作为一般元件始终保留在电路中，这是因为受控电压源的电压和受控电流源的电流受电路的结构和各元件的参数所约束。 　　6)?叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。 4.叠加定理的应用 　 例4－1 求图示电路的电压 U.  例4－1图 　解：应用叠加定理求解。首先 画出分电路图如下图所示   当12V电压源作用时，应用分压原理有： 　　当3A电流源作用时，应用分流公式得： 　　 　　　　　则所求电压： 例4－2 计算 图示电路的电压 u 。  例4－2图 解：应用叠加定理求解。首先 画出分电路图如下图所示   　　 当 3A 电流源作用时：  　　　　其余电源作用时：  　　　　　　　　　　　　  　　　　　则所求电压：  　　 本例说明： 叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。 例4－3 计算图示电路的电压 u 电流 i 。  例4－3 图 解：应用叠加定理求解。首先 画出分电路图如下图所示   　　当 10V 电源作用时： 　　　解得：　　　 　　　当5A电源作用时，由左边回路的KVL： 　　　解得： 　　 　　　所以：　 　　　　　　 　　注意：受控源始终保留在分电路中。 例4－4　封装好的电路如图，已知下列实验数据：当时，响应 ，当时，响应， 　　 求：时， i = ？  例4－4图 　　解：根据叠加定理，有：  　　 　　代入实验数据，得： 　　　　　 解得：  　　 　　　因此： 　　 本例给出了研究激励和响应关系的实验方法 5. 齐性原理 　　由以上叠加定理可以得到齐性原理。 　　齐性原理表述为：线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 例4－5　求图示电路的电流i，已知：RL=2Ω R1=1Ω R2=1Ω uS =51V  例4－5图 　　解：采用倒推法：设i' =1A 。则各支路电流如下图所示，  　　 此时电源电压为： ， 　　 根据齐性原理：当电源电压为： 时，满足关系： §4.2　　戴维宁定理和诺顿定理 1.戴维宁定理的内容 　　戴维宁定理表述为：任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时一端口网络端口处的开路电压uoc ，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。以上表述可以用图4.7来表示。  图 4.7 戴维宁定理 2.定理的证明 　　这里给出戴维宁定理的一般证明。图4.8(a)为线性有源一端口网络A与负载网络N相连，设负载上电流为i，电压为u。根据替代定理将负载用理想电流源i 替代，如图4.8(b)所示。  图 4.8 　　替代后不影响A中各处的电压和电流。由叠加定理u可以分为两部分，如图4.9所示，即： 其中是A内所有独立源共同作用时在端口产生的开路电压，是仅由电流源i作用在端口产生的电压，即：，   图 4.9 因此  上式表示的电路模型如图4.10所示。这就证明了戴维宁定理是正确的。  图 4.10 3.应用戴维宁定理要注意的问题 　　1)含源一端口网络所接的外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变。 　　2)当含源一端口网络内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。 　　3)开路电压uoc的计算 　　戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。 　　4)等效电阻的计算 　　等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列三种方法计算： 5)当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－ Y 互换的方法计算等效电阻； 　　6)外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）。 如图 4.11 所示。 　　  图 4.11 用外加电源法求戴维宁等效电阻 则 7)开路电压，短路电流法。即求得网络A端口间的开路电压后，将端口短路求得短路电流，如图4.12所示。 　　则： 　　以上方法中后两种方法更具有一般性。  4.戴维宁定理的应用 例4－10　 计算图示电路中Rx分别为1.2Ω、5.2Ω时的电流 I ；  例4－10 图（a） 　解：断开Rx支路，如图(b)所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：   例4－10 图（b） 例4－10 图（c） 　1）求开路电压 Uoc 　　　　　  　2）求等效电阻Req。把电压源短路，电路为纯电阻电路，应用电阻串、并联公式，得： 　　　　　　　　  　3）画出等效电路，接上待求支路如图(d)所示，  例4－10 图（d） 当 Rx=1.2Ω时， 　　　  当 Rx =5.2Ω时， 　　　  例4－11　计算图示电路中的电压U0 ；  例4－11 图（a） 解：应用戴维宁定理。断开3Ω电阻支路，如图(b)所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路： 1)求开路电压 Uoc 　　 　  2)求等效电阻 Req 方法1：外加电压源如图(c)所示，求端口电压U 和电流I0的比值。注意此时电路中的独立电源要置零。 　　因为： 　　 所以  方法2：求开路电压和短路电流的比值。 　　把电路断口短路如图(d)所示。注意此时电路中的独立电源要保留。 　　对图(d)电路右边的网孔应用KVL，有： 　 　　　　　  　　　所以I =0 ， 　 　　　 　则  3) 画出等效电路，如图(e)所示，解得： 　  　 例4－11 图（b） 例4－11 图（c）  例4－11 图（d） 例4－11 图（e） 注意：计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。 例4－12　 求图示电路中负载 RL 消耗的功率。  例4－12 图（a） 　　解：应用戴维宁定理。断开电阻RL所在支路，如图(b)所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路。首先应用电源等效变换将图(b)变为图(c)。   例4－12 图（b） 例4－12 图（c） 1) 求开路电压Uoc 　　　　　由 KVL 得：  　　　　　解得： ，  2) 求等效电阻Req，用开路电压、短路电流法。 　　端口短路，电路如图(d)所示，短路电流为： 　　　　 因此： 　　  例4－12 图（d） 3)?画出戴维宁等效电路，接上待求支路如图(e)所示，则： 　　　　 　　   例4－12 图（e） 例4－13　电路如图所示，已知开关S扳向1，电流表读数为2A；开关S扳向2，电压表读数为4V；求开关S扳向3后，电压U 等于多少？  例4－13 图（a） 　解：根据戴维宁定理，由已知条件得 　　　　　　　 　　　　　 所以  　　　　　 等效电路如图(b)所示，  例4－13 图（b） 　　　　　则： 5.诺顿定理的内容 　　诺顿定理表述为：任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导 (电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。以上表述可以用图4.13来表示。  图 4.13 诺顿定理 诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。 　　需要注意的是： 　　（1）当含源一端口网络A的等效电阻时，该网络只有戴维宁等效电路，而无诺顿等效电路。 　　（2）当含源一端口网络A的等效电阻时，该网络只有诺顿等效电路而无戴维宁等效电路。 6. 诺顿定理的应用 例4－14　 应用诺顿定理求图示电路中的电流 I 。  例4－14 图（a） 解： (1) 求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图(b)所示，解得： 　 　　  　所以：  例4－14 图（b） 　 (2) 求等效电阻Req ，把独立电源置零，电路如图(c)所示。　 　　　解得：  　 (3)?画出诺顿等效电路，接上待求支路如图(d)所示，应用分流公式得： 　　　　　  　　　 注意：诺顿等效电路中电流源的方向。   例4－14 图（c） 例4－14 图（d） 例4－15　求图示电路中的电压 U 。  例4－15 图（a） 　　解：本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。   例4－15 图（b） 例4－15 图（c） 　　　 (1)　求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图(b)所示，解得： 　　　　　　　　 　　　 (2)? 求等效电阻Req，把独立电源置零，电路如图(c)所示，为简单并联电路。 　 　　　　　　　　 （3） 画出诺顿等效电路， 　 接上待求支路如图(d)所示，得： 　  ? 例4－15 图（d） §4.3 最大功率传输定理 1．最大功率传输定理 　　一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题就是最大功率传输定理所要表述的。 　　将含源一端口电路等效成戴维宁电源模型，如图4.14所示。  图 4.14 等效电压源接负载电路 　　　由图可知电源传给负载 RL 的功率为： 　　　　　　　　　　　　　  功率P随负载 RL 变化的曲线如图4.15所示，存在一极大值点。为了找这一极大值点，对P 求导，且令导数为零，即： 　　解上式得： 　　  图 4.15 结论：有源线性一端口电路传输给负载的最大功率条件是：负载电阻RL等于一端口电路的等效内阻。称这一条件为最大功率匹配条件。将这一条件代入功率表达式中，得负载获取的最大功率为： 　　需要注意的是： 　　1）最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况： 　　2）一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%； 　　3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。 2．最大功率传输定理的应用 例4－16　 图示电路中负载电阻RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。  例4－16 图（a） 　　解：应用戴维宁定理。断开电阻RL所在支路，如图(b)所示，将一端口网络化为戴维宁等效电路。  例4－16 图（b） 例4－16 图（c） 1)? 求开路电压Uoc 　　　因为： 　　　　　　 　　 　解得： 　 2)? 求等效电阻Req，用外加电源法。 　　 电路如图(c)所示。 　　 因为：　 　　　　　 　　所以： 3)? 由最大功率传输定理得： 时，其上获取最大功率， 　　　　　且