例1－3：求电流i、功率P (t)和储能W (t)。    解：uS (t)的函数表示式为:    解得电流：    功率：    能量：    例1－4：已知电流求电容电压。    解：已知电流：   当       例4－1 求图示电路的电压 U.   例4－1图  　解：应用叠加定理求解。首先 画出分电路图如下图所示    当12V电压源作用时，应用分压原理有： 　　当3A电流源作用时，应用分流公式得： 　　 　　　　　则所求电压： 例4－2 计算 图示电路的电压 u 。   例4－2图  解：应用叠加定理求解。首先 画出分电路图如下图所示    　　 当 3A 电流源作用时：  　　　　其余电源作用时：  　　　　　　　　　　　　  　　　　　则所求电压：  　　 本例说明： 叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。 例4－3 计算图示电路的电压 u 电流 i 。   例4－3 图  解：应用叠加定理求解。首先 画出分电路图如下图所示    　　当 10V 电源作用时： 　　　解得：　　　 　　　当5A电源作用时，由左边回路的KVL： 　　　解得： 　　 　　　所以：　 　　　　　　 　　注意：受控源始终保留在分电路中。 例4－4　封装好的电路如图，已知下列实验数据：当时，响应 ，当时，响应， 　　 求：时， i = ？   例4－4图  　　解：根据叠加定理，有：  　　 　　代入实验数据，得： 　　　　　 解得：  　　 　　　因此： 　　 本例给出了研究激励和响应关系的实验方法 例4－5　求图示电路的电流i，已知：RL=2Ω R1=1Ω R2=1Ω uS =51V   例4－5图  　　解：采用倒推法：设i' =1A 。则各支路电流如下图所示，   　　 此时电源电压为： ， 　　 根据齐性原理：当电源电压为： 时，满足关系： 　　　　　　 例4－10　 计算图示电路中Rx分别为1.2Ω、5.2Ω时的电流 I ；   例4－10 图（a）  　解：断开Rx支路，如图(b)所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：    例4－10 图（b） 例4－10 图（c）  　1）求开路电压 Uoc 　　　　　  　2）求等效电阻Req。把电压源短路，电路为纯电阻电路，应用电阻串、并联公式，得： 　　　　　　　　  　3）画出等效电路，接上待求支路如图(d)所示，  当 Rx=1.2Ω时， 　　　  当 Rx =5.2Ω时， 　　　   例4－10 图（d）    例4－11　计算图示电路中的电压U0 ；   例4－11 图（a）  解：应用戴维宁定理。断开3Ω电阻支路，如图(b)所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路： 1)求开路电压 Uoc 　　 　  2)求等效电阻 Req 方法1：外加电压源如图(c)所示，求端口电压U 和电流I0的比值。注意此时电路中的独立电源要置零。 　　因为： 　　 所以  方法2：求开路电压和短路电流的比值。 　　把电路断口短路如图(d)所示。注意此时电路中的独立电源要保留。 　　对图(d)电路右边的网孔应用KVL，有： 　 　　　　　  　　　所以I =0 ， 　 　　　 　则  3) 画出等效电路，如图(e)所示，解得： 　　     例4－11 图（b）      例4－11 图（c）      例4－11 图（d）      例4－11 图（e）  　　注意：计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好 例4－12　 求图示电路中负载 RL 消耗的功率。   例4－12 图（a）  　　解：应用戴维宁定理。断开电阻RL所在支路，如图(b)所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路。首先应用电源等效变换将图(b)变为图(c)。    例4－12 图（b） 例4－12 图（c）  　 1) 求开路电压Uoc 　　　　　由 KVL 得：  　　　　　解得： ，  2) 求等效电阻Req，用开路电压、短路电流法。 　　端口短路，电路如图(d)所示，短路电流为： 　　　　 　　因此：    例4－12 图（d）  3)?画出戴维宁等效电路，接上待求支路如图(e)所示，则： 　　　　 　　     例4－12 图（e）  例4－13　电路如图所示，已知开关S扳向1，电流表读数为2A；开关S扳向2，电压表读数为4V；求开关S扳向3后，电压U 等于多少？   例4－13 图（a）  　　　　解：根据戴维宁定理，由已知条件得 　　　　　　　 　　　　　 所以  　　　　　 等效电路如图(b)所示，   例4－13 图（b）  　　　　　则： 例4－14　 应用诺顿定理求图示电路中的电流 I 。   例4－14 图（a）  解： (1) 求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图(b)所示，解得： 　 　　 　  　所以：    例4－14 图（b）  　 (2) 求等效电阻Req ，把独立电源置零，电路如图(c)所示。　 　　　解得：  　 (3)?画出诺顿等效电路，接上待求支路如图(d)所示，应用分流公式得： 　　　　　  　　　 注意：诺顿等效电路中电流源的方向。    例4－14 图（c） 例4－14 图（d）  例4－15　求图示电路中的电压 U 。   例4－15 图（a）  　　解：本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。    例4－15 图（b） 例4－15 图（c）  　　　 (1)　求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图(b)所示，解得： 　　　　　　　　 　　　 (2)? 求等效电阻Req，把独立电源置零，电路如图(c)所示，为简单并联电路。 　 　　　　　　　　 (3)　画出诺顿等效电路， 　接上待求支路如图(d)所示，得： 　 　　   ? 例4－15 图（d）  例4－16　 图示电路中负载电阻RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。   例4－16 图（a）  　　解：应用戴维宁定理。断开电阻RL所在支路，如图(b)所示，将一端口网络化为戴维宁等效电路。  1)? 求开路电压Uoc 　　　因为： 　　　　　　 　　 　解得： 　  例4－16 图（b） ?  2)? 求等效电阻Req，用外加电源法。 　　 电路如图(c)所示。 　　 因为：　 　　　　　 　　所以：   ? 例4－16 图（c）  　　　3)? 由最大功率传输定理得： 时，其上获取最大功率， 　　　　　且  例6-1 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流 iC (0+)    例6-1 图（a） (b)  　解：(1) 由图(a) t=0－电路求得：uC (0－)=8V 　　　(2) 由换路定律得：uC (0＋)=uC (0－)=8V 　　　(3) 画出0＋等效电路如图 (b) 所示，电容用 8V 电压源替代，解得： 　　　　　　　　　 　　 注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即：  例6-2 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，t = 0 时闭合开关,求电感电压 uL (0+) 。   例 6-2 图（a）  　解： 　(1) 首先由图(a)t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b）所示，则： 　　　　　     例 6-2 图（b） 例 6-2 图（c）  (2) 由换路定律得： 　　　　　　 iL (0+) = iL (0－)= 2A (3) 画出 0+ 等效电路如图 (c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得： 　　　　　　　  注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：  例6-3 图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关,求电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+)   例 6-3 图（a）  　解：(1) 把图(a)　t=0－ 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： 　　　 　　　 　　　(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得： 　　　 　　　    例 6 — 3 图(b) 例 6 — 3 图（c）  　　　 注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。 例6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。   例 6-4 图（a）  　解：(1) 把图 (a)　t=0－ 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： 　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　  　　　(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得： 　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　     例 6-4 图(b) 例 6-4 图（c）  例6-5 图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。   例 6-5 图（a）  解：这是一个求一阶RC零输入响应问题，t＞0 后的等效电路如图（b）所示，有： 　　  　 　代入 　　 得：　　　　    例 6-5 图（b）  　　　　　　　　  　　 分流得 ： 　　 　 注意：通常为了分析方便，将电路中纯电阻部分从电路中分离出来并简化成其等效电路 例6-6 图示电路原本处于稳态，t=0 时 , 打开开关，求 t＞0 后电压表的电压随时间变化的规律，已知电压表内阻为10kΩ，电压表量程为50V 。   例 6 — 6 图  　解： 电感电流的初值为： iL(0+) = iL (0－) = 1A 　　　 开关打开后为一阶 RL 电路的零输入响应问题，因此有： 　　　　　　  　　　 代入初值和时间常数：  　　　 得电压表电压：  　　 t =0+ 时，电压达最大值：，会造成电压表的损坏。 　 注意：本题说明 RL 电路在换路时会出现过电压现象，不注意会造成设备的损坏。 例6-7 图示电路原本处于稳态，t =0 时 , 开关 K 由 1 → 2 ，求 t＞0 后的电感电压和电流及开关两端电压u12。   例 6 — 7 图（ a ）  　解：电感电流的初值为： 　　开关打开后为一阶RL电路的零输入响应问题， 　　其等效电路如图（b）所示，等效电阻为： 　　　　  　　　　 时间常数：  　　 因此电感电流和电压为： 　　     （ b ）  　　　 　　　 开关两端的电压：  例6-8 图示电路在t =0 时 , 闭合开关 K ，已知uC（0－）=0 ， 　　 求（1）电容电压和电流， 　　　 （2）电容充电至uC＝80V 时所花费的时间 t 。   例 6 — 8 图  　　解：(1) 这是一个 RC 电路零状态响应问题，时间常数为： 　　　　　　　  　　　　 t＞0 后，电容电压为： 　　　　  　　　　 充电电流为：  　　　 （2）设经过 t1 秒， uC ＝ 80V ，即：  　　　　　　　　解得：  例6-9 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求t＞0后iL和uL的变化规律。   例 6 — 9 图（ a ）  　　解：这是一个RL电路零状态响应问题， 　　　　 t＞0 后的等效电路如图（b）所示，   （ b ）  　　　　　　其中： 　　　 因此时间常数为：  　　　 把电感短路得电感电流的稳态解：  　　　　　 则  　　　　　  例6-10 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时 , 打开开关K，求t＞0 后的电感电流iL和电压uL及电流源的端电压。   例 6-10 图（a）  　　解：这是一个RL电路零状态响应问题， 　　应用戴维宁定理得t＞0后的等效电路如图（b）所示，有：　　 　　 　　　 　 　　 　　　  　　把电感短路得电感电流的稳态解： 　　　 　　　则     例 6-10 图（b）  　　　　　 　　由图（a）知电流源的电压为： 例6-11 图示电路原本处于稳定状态，t=0时打开开关K，求t＞0后的电感电流iL和电压uL   例 6-11 图  　　解：这是一个一阶 RL 电路全响应问题，电感电流的初始值为： 　　　　　　　  　　　 时间常数为：  　　　 因此零输入响应为：  　　　 零状态响应为：  　　　 全响应为：  　　　 也可以求出稳态分量：  　　　 则全响应为：  　　　　代入初值有： 6 ＝ 2 ＋ A ，得： A=4 例6-12 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关K闭合，求t＞0后的电容电流iC和电压uC及电流源两端的电压。已知：    例 6-12 图  　　解：这是一个一阶 RC 电路全响应问题， 　　　　 其稳态解： 　　　　 时间常数为：  　　　　 则全响应为：  　　　 代入初值有： 1 ＝ 11 ＋ A ，得： A= － 10 　　　 所以： 　 　 　　　　　  　　　电流源电压为：  例6-13 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后的电容电压uC并画出波形图。   例 6-13 图（a）  　　解：这是一个一阶 RC 电路全响应问题，应用三要素法， 　　　　 电容电压的初始值为：  　　　　 稳态值为：  时间常数为：  　　代入三要素公式： 　 　所以：  电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。    （ b ）  例6-14 图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求t＞0 后各支路的电流。   例 6-14 图  　　解：这是一个一阶 RL 电路全响应问题，应用三要素法， 　　　 三要素为：  　　　　　　　　　 　　　　　　　　　  　　　 代入三要素公式：  　　　 所以：  　　　  　　　 支路电流为：  　　　　　　　　　　 例6-15 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关由1扳到2，求换路后的电容电压uC(t)。   例 6-15 图（a）  　　解：这是一个一阶 RC 电路全响应问题，应用三要素法， 　　　　 三要素为：  　　　　　　　　　　 由于含有受控源所以应用图（b）电路求等效电阻： 　　　　 　　则时间常数为： 　　　　  　　　代入三要素公式得：　　　　　     （ b ）  例6-16 图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。   例 6-16 图  　　解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法， 　　　 电容电路的三要素为： 　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　  　　　 电感电路的三要素为： 　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　  　　　 代入三要素公式得： 　　　　　　　　　　　　  　　　　因此：  例6-17 已知：电感无初始储能，t=0时闭合开关k1, t=0.2s时闭合开关k2，求两次换路后的电感电流i(t) 。   例 6-17 图  　　　解：分两个阶段求解， 　　　 当 0＜t＜0.2s 时有： 　　　  　　　 所以：  　　　 当t＞0.2s 时 　　　　 根据： 　　　　　 有：  　　　 因为： 　　　　　　所以：  例6-18 用阶跃函数表示图示函数 f（t）。    例 6 — 18 （ a ） （ b ）    例 6 — 18 （ a ）   　　 解：（a） 　　　　（b）  　　　　（c）  例6-19 已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。   例 6 — 19 （ a ）  　　　  　　　  　　　  　　　  　解：根据阶跃函数的性质得所求波形分别为图（b）、（c）、（d）、（e）。    （b） （c）     （d） （e）  例6-20 求图（a）所示电路中电流iC(t），已知电压源波形如图（b）所示。  ?      （ b ）  例 6 — 20 （ a ）   　　解：把电路等效为图（c）中的左图，   （ c ）  　　　　时间常数为： 　　　等效电路的阶跃响应为： 　　图（b）所示电压源波形可以用阶跃函数表示为： 　　即：电源可以看成是阶跃激励和延迟的阶跃激励的叠加，因此等效电路可以用图（c）中右边两分电路图表示。由齐次性和叠加性得实际响应为： 　 　  上式用分段函数可表示为： 　　　　  　 响应的波形如图（d）所示。   ? （ d ）  例6-21 电路如图所示，求：电源is(t)为单位冲激时的电路响应uC(t)和iC(t)。   例 6 — 21 图（ a ）  　　解：先求电路的单位阶跃响应 , 令：  　　　　　则 　　t = RC 　　　　　　 　　　 　　　根据单位冲激响应与单位阶跃响应之间的关系, 当时有： 　　　　  　　　　根据冲击函数的筛分性质：， 　　　　　上式等号右边第一项为零，最后得： 　　　　 　　　 　　　　图（b）分别给出了阶跃响应和冲激响应的波形。      （ b ） 阶跃响应 （ c ） 冲激响应  例6-22 求图示电路电容加冲击激励后的电压。   例 6 — 22 图（ a ）  解： 　　电容电流和电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。    例 6 — 22 图（b）  例6-23 求图示电路电感加冲击激励后的电流。   例 6 — 23 图（ a ）  　解： 　　    例 6 — 23 图（ b ）  　　电感电流和电感电压随时间变化的波形如图（b）所示。 　　　注意：冲激激励使电容电压和电感电流初值发生跃变。 例7-1 图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时打开开关, 求电容电压uC并画出其变化曲线。    例 7 — 1 图（ a ） （ b ）  　　解：求解分三步： 　　（1）首先确定电路的初始值。 　　由 t＜0 的时稳态电路，即把电感短路，电容断路， 　　　　　得初值为：uＣ(0－)=25V ，iL(0－)=5A 　　（2）开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电压为变量的微分方程为： 　　　　　　　　  　　　带入参数得特征方程为： 50P 2+2500 P +106=0 　　　　　　解得特征根：  　　　由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解的形式为： 　　　　　  　　（3）确定常数，根据初始条件 得： 　　　有： 　即：  　　　电压随时间的变化波形如图（b）所示。 例7-2 图示电路为RC振荡电路，试讨论k取不同值时输出电压u2的零输入响应情况。   ?  　　解：对节点 A 列写 KCL 方程： 　　列写 KVL 方程：  　　　对方程两边微分，整理得：  　　　特征方程为 ：  　　　特征根为：  　　令： 　　则：  　　下面进行讨论： 　　（1）若 ，特征根为一对共轭复根，电路为振荡情况，此时有： 　　　　　　　 　，|3 - k|＜2 ， 1＜k＜5 　　　　　　　  　　　　　当1＜k＜3时有 d＞0 ，为衰减振荡； 　　　　　当 k=3 时有 d = 0 ，为等幅振荡； 　　　　　当 3＜k＜5 时有 d＜0 ，为增幅振荡。 　　（2）若 ，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此时有： 　　　　　　 ， , k＜1 , k＞5 例7-3 图示电路在 t＜0 时处于稳态， t=0 时打开开关 , 求电流i 的零状态响应。    例 7 — 4 图（ a ） （ b ）  　　解：（1）列写微分方程，由 KCL 得： 　　　　　　  　　　　　　由 KVL 得：  　　　　　　整理以上两个方程得：  　　　　　方程为二阶非齐次常微分方程。解答形式为：  　　　　（2）求通解 i' 　　　　　　特征方程为：  　　　　　　　特征根为： P1=－2 ， P2=－6 　　　　　　　　所以  　　　　（3）求特解 i ” 　　　由图（b）所示的稳态模型得：i=0.5u1，u1=2(2－0.5u1)，解得：u1=2V，i=1A 　　　　　所以  　　　　（4）定常数 电路的初始值为  　 由图（c）所示的0+电路模型得： 　    ? （ c ）  　　　所以 　　 　　　　因此电流为：  例7-4 图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关,已知：iL(0-)=2A，uC(0-)=0，求电流iL和iR 。   例 7 — 4 图  　　解：(1) 列微分方程 　　　应用结点法得： 　　　整理有：  　　　 (2) 令对时间的导数为零，求得特解：  　　　 (3) 求通解 　　　　特征方程为：  　　　　特征根为： P = -100 ± j 100 　　　　所以：  　　　 (4) 定常数，代入初值有  　　　解得： 　　所以  　　　 (5) 求电流iR 　　　　　　 　　　  例8-1 　计算 复数  　　解：　 　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　  　　本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。 例8-2 　计算 复数  　 解： 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。 例8-3 　已知正弦电流波形如图所示， ω＝ 103rad/s ， 　　　 （1）写出正弦 i(t) 表达式； 　　　 （2）求正弦电流最大值发生的时间 t1   例 8 — 3 图  　解： 根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有： 　　　　　　　　　 　　　 解得 由于最大值发生在计时起点右侧故取  　　　 所以  　　　 当 时电流取得最大值，即：  例8-4 　计算下列两正弦量的相位差。 　 　　 　 　　 　　 解：（1）  　　　　　　　 转为主值范围：  　　　　　　　 说明 i1 滞后 i2 。 　　　　 （2） 先把 i2 变为余弦函数：  　　　　　　　则  　　　　　　　说明 i1 超前 i2。 　　　　（3） 因为两个正弦量的角频率 ，故不能比较相位差。 　　　　（4）  　　　　　　　则  　　　　　　　说明 i1 超前i2 　　本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 例8-5 　计算两正弦电压之和，已知： 　　　  　　解： 两正弦电压对应的相量为 :  　　　 相量之和为：  　　　　　　　　　　  　　　 所以  　　　 本题也可借助相量图计算，如下图所示。    例 8 — 5 相量图  例8-6 　试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。 　　 　　　　　　　  　　 　　　　　  　　 　　　　　  　　  　　 解：（1）错 ，瞬时式和相量混淆，正确写法为： 　　　　 （2）错 ，瞬时式不能和相量相等，正确写法为： 　　　　 （3）错 ，有效值和相量混淆，正确写法为： 　　　　 （4）对 　　　　 （5）错 ，感抗和容抗混淆，正确写法为：  　　　　 （6）错 ，有效值和相量混淆，正确写法为：  　　　　 （7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或  例8-7 图(a)所示电路中电流表的读数为：A1=8A ，A2=6A ，试求： 　 （1）若 ，则电流表 A0 的读数为多少？ 　 （2）若 为何参数，电流表 A0 的读数最大？ I0max = ？ 　 （3）若 为何参数，电流表 A0 的读数最小？ I0min = ？ 　 （4）若 为何参数，可以使电流表A0=A1读数最小，此时表A2=？    例 8 — 7 图（a） (b)  　　解：（1）设元件两端的电压相量为参考相量，根据元件电压和电流相量的关系画相量图如图（b）所示，则： 　　　　　　　  　　 　 （2）因为是电阻，所以当也是电阻时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之和，达到最大值： 　　　　　　　  　　　　（3）因为 是电感元件，所以当是电容元件时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之差，达到最小值： 　　　　　　　  　　　　（4）是电感元件，所以当是电容元件时，满足 　　　　　　　 例8-8 电路如图(a)所示，已知电源电压 ，求电源电流i(t)    例 8 — 8 图（a） (b)  　　解：电压源电压的相量为： 　　 计算得感抗和容抗值为： 　　　　　　  　　 电路的相量模型如图（b）所示。根据 KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得： 　　　　　　  　　　　  　　　　　　所以  例8-9 电路如图（a）所示，已知电流 ，求 us(t) 。    例 8 — 9 图（ a ） (b)  　　解：电流的相量为：  　　　 计算得容抗为：  　　　 电路的相量模型如图（b）所示。根据 KVL 和元件的 VCR 的相量表示式得： 　　　　　　 例8-10 电路如图（a）所示，已知电压，求电压    例 8 — 10 图（ a ） (b)  　　解：以电流为参考相量，相量图如图（b）所示，根据相量图得： 　　　　　　  　　　　　 所以  　　　　　　  　　　　　　  例8-11 图(a)所示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。    例 8 — 11 图 （a） （b）  　　解：，根据元件电压和电流之间的相量关系得： 　　　　　　　  　　　　　所以  　　　因为：  　　　令上面等式两边实部等于实部，虚部等于虚部得： 　　　　　　  　　　　　　  　　　　也可以通过画图（b）所示的相量图计算。 例8-12 图（a）所示电路为阻容移项装置，要求电容电压滞后电源电压 p/3 ，问R、C应如何选择。    例 8—11 图 （a） （ b ）  　　解：根据 KVL 有：  　　　所以  　　　　　　  　　　因此若要电容电压滞后电源电压 p/3 ，需满足  　　　也可以通过画图（b）所示的相量图计算。 例9-1 电路如图(a)所示，已知：R=15Ω, L=0.3mH, C=0.2mF,求 i ,uR ,uL ,uC 。     例 9 — 1 图（a） （b） （c）  　　解：电路的相量模型如图（b）所示，其中： 　　　　　  　　　　　  　　　　　因此总阻抗为  　　　　　　　　　　　　　  　　　　　总电流为  　　　电感电压为 　　　 电阻电压为  　　　 电容电压为 　　　　 　　　相量图如图（c）所示，各量的瞬时式为： 　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  　　 注意 UL=8.42＞U=5，说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效值。 例9-2 RL 串联电路如图（a）所示，求在ω＝106rad/s 时的等效并联电路图（b）。    例 9 — 2 图（ a ） （ b ）  　　解：RL 串联电路的阻抗为： 　　　　　  　　 导纳为： 　　　 得等效并联电路的参数  　　　　　  例9-3　 求图示电路的等效阻抗， 已知ω＝ 105 rad/s 。   ?  　　解： 感抗和容抗为： 　　　　　　  　　　　　　  　　　　所以电路的等效阻抗为 　　　 例9-4　 图示电路对外呈现感性还是容性？   例 9 — 4 图  　　解： 图示电路的等效阻抗为： 　　　  　　　　所以 电路对外呈现容性。 例9-5　 图示为 RC 选频网络，试求 u1 和 u0 同相位的条件及    例 9 — 5 图  　　解：设： 　　 　　　　 输出电压  　　　　 输出电压和输入电压的比值  　　　　 因为  　　　　　　　　　 　　　当 ，上式比值为实数，则 u1 和 u0 同相位，此时有 例9-6　 求图 (a) 电路中各支路的电流。已知电路参数为    例 9 — 6 图（ a ） （ b ）  　 解：电路的相量模型如图（b）所示。 　　 设 　　　　 　　则  　　　各支路电流为  　　　  　　　  例9-7　 列写图（a）电路的回路电流方程和节点电压方程   例 9 — 7 图（a）  　　解：选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为: 　　　 回路 1  　　　 回路 2  　　　 回路 3  　　　 回路 4     （ b ） （ c ）  　　 结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为: 　　　 结点 1  　　　 结点 2  　　　结点 3  例9-8　求图（a）电路中的电流 已知：    例 9 — 8 图（a） （b）  　　　　解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中 　　　　　　　  　　  　　　　方法二： 应用戴维南等效变换    图（ c ） （ d ）  　　求开路电压：由图（c）得 　　 求等效电阻：把图（c）中的电流源断开得 　　　　　　  　　　 等效电路如图（d）所示，因此电流 　　　　　  例9-9　求图（a）所示电路的戴维南等效电路。    例 9 — 9 图（ a ） （ b ）  　　解：把图（a）变换为图（b），应用 KVL 得 　　　  　　　 解得开路电压  　　　 求短路电流：把 图（b）电路端口短路得 　　　　 　　　　　 　　　 所以等效阻抗 　　　　　　  例9-10　用叠加定理计算图（a）电路的电流 ，已知     例 9 — 10 （ a ） （ b ） （ c ）  　　解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，由图（a）得： 　　　　　  　　　　　　　  　　　 由图（b）得  　　则所求电流 　　　  例9-11　已知图示电路：Z =10+j50Ω,Z1=400+j1000Ω,问：β等于多少时， 相位差90°？　   例 9 — 11 图  　　解：根据 KVL 得  　　　所以  　　　令上式的实部为零，即  　　　　　得  　　　即电压落后电流 90°相位。 例9-12　已知图（a）所示电路中，U =115V , U1=55.4V , U2= 80V , R1=32W , f=50Hz ， 求： 电感线圈的电阻 R2 和电感 L2 。    例 9 — 12 （a） （b）  　　解：方法－、 画相量图分析。相量图如图（b）所示，根据几何关系得： 　　　　 　　 　　　 代入数据得 　　  　　　　 因为  　　　 所以 　　　　 方法二、列方程求解，因为 　　　　　　  　　　　　　 令上式等号两边实部、虚部分别相等得 　　　　　　　　　  　　　　　　　　　  　　　　解得 其余过程同方法一。 例9-13　 图示电路是用三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U = 50V ，I =1A ， P =30W ,求线圈参数。   例 9 — 13 图  　　解： 　　方法一，由电表的读数知： 　　　 视在功率  　　　 无功功率  　　　　 因此  　　　　　　 　　　　 　　 方法二 ，由 　　　　　　 因  　　　　　　 且  　　　　　 所以  　　　方法三，由  　　　　　 得  　　　　　　 因  　　　　　　 所以  　　　　　　　　　 例9-14　图示电路，已知：f =50Hz, U =220V, P =10kW, 线圈的功率因素 cosφ=0.6 ，采用并联电容方法提高功率因素，问要使功率因数提高到0.9, 应并联多大的电容C，并联前后电路的总电流各为多大？   例 9—14 图  　　解：　　 　　　　 所以并联电容为： 　　　　　　　 　　　 未并电容时，电路中的电流为： 　　　　  　　　 并联电容后，电路中的电流为： 　　　　  例9-15　电路如图所示，求各支路的复功率。   例 9 — 15 图  　　解： 输入阻抗  　　　　 电压  　　　　 电源发出的复功率 　　　　　　  　　　 支路的复功率为 　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  例9-16　电路如图（a）所示，求 　（1）RL =5Ω 时其消耗的功率； 　（2）RL =? 能获得最大功率，并求最大功率； 　（3）在 RL 两端并联一电容，问 RL 和 C 为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求匹配功率。    例 9—16 图（a） （b）  　　解：（1）电源内阻抗 　　　　　  　　　　　电路中的电流  　　　　　负载电阻消耗的功率  　　　　（2）当  　　　　　电流为  　　　　　负载电阻消耗的最大功率 　　　　　　　　  　　　　（3）并联电容后的电路如图（b）所示，导纳为 　　　　  　　　　　令 　　　解得：  　　　　　电流 　　匹配功率  例9-17　电路如图（a）所示，求 ZL =? 时能获得最大功率，并求最大功率。    例 9 — 17 图（ a ） （ b ）  　　解： 应用戴维宁定理，先求负载阻抗 ZL 左边电路的等效电路。 　　　　等效阻抗  　　　　等效电源  　　　　等效电路如图（b）所示。 　　　　因此 　　　　　　当 时， 　　　　　负载获得最大功率 例9-18　某收音机的输入回路如图所示， L =0.3mH ， R =10 W ，为收到中央电台 560kHz 信号，求 　（1）调谐电容 C 值； 　（2）如输入电压为 1.5 mV ，求谐振电流和此时的电容电压。   例 9 — 18 图  　　解：（1） 由串联谐振的条件得： 　　　　　　　  　　　　  　　　　　　  　　　　　　　或  例9-19　一信号源与 R 、 L 、 C 电路串联如图所示，要求谐振频率 f0 =104Hz ，频带宽△f =100Hz ， R=15Ω ，请设计一个线性电路。   例 9 — 19 图  　　解：电路的品质因数  　　　　所以 　　　　　　　  　　　　　　　  例9-20　一接收器的电路如图所示，参数为： U =10V ， w =5×103 rad/s, 调 C 使电路中的电流最大，Imax =200mA ，测得电容电压为 600V ，求 R、L、C 及 Q 。   例 9 — 20 图  　　解：电路中电流达到最大时发生串联谐振，因此有： 　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  例9-21　图（a）所示电路，电源角频率为ω，问在什么条件下输出电压 uab 不受 G 和 C 变化的影响。    例 9 — 21 图（ a ） （ b ）  　　解：应用电源等效变换，把图（a）电路变换为图（b）电路，显然当 L1、C1 发生串联谐振时，输出电压 uab 不受 G 和 C 变化的影响。因此有： 　　　　　　　  　　　　　令  　　　　　　　  　　　　　　　  例9-22　电阻 R=10Ω 和品质因数 QL=100 的线圈与电容接成并联谐振电路，如图（a）所示，如再并联上一个 100kΩ的电阻，求电路的品质因数 Q 。    例 9 — 22 图（ a ） （ b ）  　　解：因为 　　　　所以  　　　　　则  　　　把 图（a）电路等效为图（b）电路，得： 　　　　　　  　　　　　因此  例9-23　电路如图所示，已知： RS =50kΩ， US=100V ， w0=106 ，Q=100 ，谐振时线圈获取最大功率，求：L、C、R 及谐振时 I0 、U 和功率 P 。    例 9 — 23 图（ a ） （ b ）  　　解： 线圈的品质因数 　　　 　　　把 图（a）电路等效为图（b）电路，考虑到谐振时线圈获取最大功率得： 　　　　　　　  　　　　联立求解以上三式得：  　　　　谐振时总电流  　　　　　线圈两端的电压  　　　　　功率  例10-1　如图所示（a）、（b）、（c）、（d）四个互感线圈，已知同名端和各线圈上电压电流参考方向，试写出每一互感线圈上的电压电流关系。    例 10-1 图（a） 例 10-1 图（b）     例 10-1 图（c） 例 10-1 图（d）  　　解：（a）  　　　　（b）  　　　　（c）  　　　　（d）  例10-2　电路如图（a）所示，图（b）为电流源波形。 　　已知：，     例 10-2 图 （a） 例 10-2 图 （a）（b）  　　解：根据电流源波形，写出其函数表示式为： 　　　　　　　　  　　该电流在线圈 2 中引起互感电压： 　　　　　  　　对线圈 1 应用 KVL ，得电流源电压为： 　　　　　  例10-3　求图（a）、（b）所示电路的等效电感 。    例 10-3 图（a） 例 10-3 图（b）  　　解：（a）图中 4H 和 6H 电感为 T 型结构，应用 T 型去耦等效得图（c）电路。则等效电感为：    （ c ） （ d ）  　　　　　  　　（b） 图中 5H 和 6H 电感为同侧相接的 T 型结构， 2H 和 3H 电感为异侧相接的 T 型结构，应用 T 型去耦等效得图（d）电路。则等效电感为： 　　　　　　  例10-4　 图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路电流方程。    例 10 — 4 （ a ） 例 10 — 4 （ b ）  　　解：设网孔电流如图（b）所示，为顺时针方向，则回路方程为： 　　　　　　  　　　　　　   注意： 列写有互感电路的回路电流方程是，注意互感电压的极性和不要遗漏互感电压。 例10-5　求图（a）所示电路的开路电压。    例 10-5 图 （a） 例 10-5 图 （b）  　　解法1：列方程求解。由于线圈2中无电流，线圈1和线圈3为反向串联，所以电流 　　　　　　  　　　则开路电压  　　解法2：作出去耦等效电路，消去耦合的过程如图（b）、（c）、（d）所示(一对一对消)。    （ c ） （ d ）  　　由图（d）的无互感电路得开路电压： 　　　　　　　  例10-6　图（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗 Z 中的电流 i =0 ，问电源的角频率为多少？  ?  例 10-6 （a） ?     例 10-6 （b） 例 10-6 （c）  　　解：根据两线圈的绕向标定同名端如图（b）所示，应用 T 型去耦等效，得无互感的电路如图（c）所示，显然当电容和 M 电感发生串联谐振时，负载阻抗 Z 中的电流为零。因此有： 　　　　　　 ，  例10-7　图（a）为空心变压器电路，已知电源电压 US =20 V , 原边引入阻抗 Zl =10–j10Ω，求 : 负载阻抗 ZX 并求负载获得的有功功率。    例 10 — 7 图 （ a ） 例 10 — 7 图 （ b ）  　　解：图（a）的原边等效电路如图（b）所示，引入阻抗为： 　　　　　　　  　　　从中解得： 　　　此时负载获得的功率等于引入电阻消耗的功率，因此： 　　　　　　　  　　 注意：电路实际处于最佳匹配状态，即 　　　　　　　  例10-8　已知图（a）空心变压器电路参数为： L1 =3.6H , L2 =0.06H , M =0.465H , R1=20Ω, R2=0.08Ω, RL=42Ω,ω=314rad/s, ，求：原、副边电流 。  ?  例 10 — 8 图 （ a ） ?     例 10 — 8 图 （ b ） 例 10 — 8 图 （ c ）  　　解法1：应用图（b）所示的原边等效电路，得： 　　　　  　　　　  　　　　  　　　所以  　　　　　  　　解法2：应用图（c）所示的副边等效电路，得：  　　　　　  　　　　所以  例10-9　全耦合互感电路如图（a）所示，求电路初级端 ab 间的等效阻抗。    例 10 — 9 图 （ a ） （ b ）  　　解法1：应用原边等效电路，因为： 　　　 　　　　　　 　　所以　 　　 　　　　　  　　解法2：应用 T 型去耦等效电路如图（b）所示，则等效电感为： 　　　　  例10-10　已知图（a）所示电路中，L1=L2=0.1mH , M =0.02mH , R1=10Ω , C1=C2=0.01mF , ω=106rad/s, ， 问：R2=？时能吸收最大功率,并求最大功率。     例 10-8 图 （a） 例 10-8 图 （b） 例 10-8 图 （c）  　　解法 1：因为 　　　　 　　　所以原边自阻抗为：  　　　副边自阻抗为：  　　原边等效电路如图（b）所示，引入阻抗为：  　　　　因此当  　　　　即 R2 =40Ω 时吸收最大功率，最大功率为： 　　　　　　  　　解法2：应用图（c）所示的副边等效电路，得 　　　　　  　　　　　  　　　　　因此当 时吸收最大功率，最大功率为： 　　　　　　　  例10-11　图示互感电路已处于稳态，t=0 时开关打开，求 t＞0+ 时开路电压 u2(t)。   例 10 — 11 图  　　解：副边开路，对原边回路无影响，开路电压 u2(t) 中只有互感电压。先应用三要素法求电流 i(t)： 　　　　　  　　　当 ，时间常数为：  　　　当 ，有： 　　　所以  　　　则  例10-12　已知图（a）电路中 ，， 问负载 Z 为何值时其上获得最大功率，并求出最大功率。    例 10-12 图 （a） 例 10-12 图 （b）      （ c ） （ d ） （ e ）  　　解：（1）首先判定互感线圈的同名端，如图（b）所示。 　　　　（2）做出去耦等效电路如图（c）所示。由于 LC 串联支路发生谐振，可用短路线替代这条支路，如图（d）所示，断开负载，得开路电压： 　　　　　  　　　由图（e）得等效阻抗  　　　　　　　  　　　　当 时，负载获取最大功率，最大功率为： 　　　　　　　  例10-13　已知图（a）电路的电源内阻RS=1kΩ ，负载电阻 RL=10Ω 。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比 n 。    例 10-13 图 （a） （b）   　　解：把副边阻抗折射到原边，得原边等效电路如图（b）所示，因此当 n2RL=RS 时电路处于匹配状态，由此得： 　　　　　10 n2 =1000 　　　　即 n2 =100 ， n =10 例10-14　 求图（a）所示电路负载电阻上的电压    例 10 — 14 图 （ a ）  　　解法 1 ：列方程求解。 　　　原边回路有：  　　　副边回路有：  　　　代入理想变压器的特性方程： ，  　　　　解得  解法2 ： 应用阻抗变换得原边等效电路如图（b）所示，则 　　　　　     （ b ）  所以   　　解法3 ： 应用戴维南定理， 首先 根据图（c）     （ c ） （ d ）  　　　　因为 　　　则  由图（d）求等效电阻 Req ： 　　　　　Req=102×1=100Ω 戴维南等效电路如图（e）所示，则： 　　　　　     （ e ）   例11-1　图（a）所示电路已知对称三相电源线电压为 380V ，负载阻抗Z=6.4+j4.8Ω，端线阻抗 Zl=6.4+j4.8Ω 。求负载 Z 的相电压、线电压和电流。    例 11-1 图 （a） 例 11-1 图 （b）  　　解： 画出一相计算图如图（b）所示。 设线电压为，则电源相电压为： 　　　 　　　线电流 　 负载相电压 　负载线电压 例11-2　一对称三相负载分别接成 Y 和 D 型如图所示。分别求线电流。    例 11 — 2 图 ?  　　解：设负载相电压为 ，则负载为 Y 连接时，线电流为： 　　　负载为 D 连接时，线电流为  　　　　　　即  　　注意： 上述结果在工程实际中用于电动机的降压起动，其原理是电动机起动时将其定子绕组联成 Y 形，等到转速接近额定值时再换接成 D 形，这样，起动时定子每相绕组上的电压为正常工作电压的 ， 降压起动时的电流为直接起动时的 1/3 ，所以起动转矩也减小到直接起动时的 1/3 。 例11-3　图(a)为对称三相电路，电源线电压为380V，负载阻抗|Z1|=10Ω，cosφ1=0.6(感性)，Z2=–j50Ω，中线阻抗 ZN=1+j2Ω。求：线电流、相电流，并定性画出相量图 (以 A 相为例) 。    例 11 — 3 图(a) (b)  　　解：画出一相计算图如图（b）所示。设： 　　　　　  　　因为 ，所以  　　应用 D－Y 变换，得：  　　由图（b）得： 　　　  　　　  　　　  　　根据对称性，得 B 、 C 相的线电流、相电流： 　　　  　　第一组负载的相电流为： 　　  　　由此可以画出相量图如图（c）所示。  第一组负载的相电流为： 　　　　   (c) ?  例11-4　图（a）所示电路，,求：电流 。   例 11 — 4 图（a）  　　解：首先消去互感如图(b)所示，然后进行D-Y变换，画出A相计算电路如图(c)所示。 　　根据对称性，中性电阻 Zn 短路。    （ b ） （ c ）  　　图（c）中  　　　设  　　　　则  　　 　分流得：  　　　　　  例11-5　图示为照明电路，电源电压和负载均对称，试分析在三相四线制和三相三线制下的工作情况。     例 11-5 图（a） （b） （c）  　　解：(1) 三相四线制时如图（a）所示，设中线阻抗约为零。则每相负载的工作彼此独立。 　　(2) 若三相三线制如图（b）所示。则每相负载的工作彼此相关，设 A 相断路出现三相不对称。此时有： 　　　　　  　　若线电压为380V，则 B、C 相灯泡电压为190V ，未达额定工作电压，灯光昏暗。 　　(3) 若 A 相短路如图（c）所示。则 　　　　　  　　即负载上的电压为线电压超过灯泡的额定电压，灯泡将烧坏。 　　此时 A 相的短路电流计算如下（设灯泡电阻为 R ）： 　　　  　　  　　　 即短路电流是正常工作时电流的 3 倍 例11-6　 图（a）为相序仪电路。说明测相序的方法     例11-6图（a） （b） （c）  　　解：首先求电容以外电路的戴维宁等效电路。 　　　　　  　　　　　  　　等效电路如图（b）所示，相量图如图（c）所示。显然 当电容 C 变化时，负载中点 N'在一半圆上移动。由相量图（d）可以看出当电容变化，N'在半圆上运动，因此总满足： 　　　　　  　　若以接电容一相为A相，则B相电压比C相电压高。B相灯较亮，C相较暗 (正序)。据此可测定三相电源的相序。 例11-7　图示电路中，电源三相对称。当开关 S 闭合时，电流表的读数均为 5A 。求：开关 S 打开后各电流表的读数。   例 11 — 7 图  　　解： 开关S打开后，电流表A2中的电流与负载对称时的电流相同。而A1、A3中的电流等于于负载对称时的相电流。因此电流表A2的读数=5A ，电流表A1、A3的读数为： 　　　　　  例11-8　图（a）所示三相电路，已知线电压 Ul=380V ，Z1 =30+j40Ω ，电动机的功率 P =1700W ，cosφ=0.8(感性)。 　　求：(1) 线电流和电源发出的总功率； 　　　　 (2) 用两表法测电动机负载的功率，画接线图，并求两表读数。    例 11-8 图（a） （b）  　　解：(1)设电源电压  　　　则  　　　电动机负载：  　　　所以  　　　根据 得：  　　　因此总电流： 　 　　电源发出的功率 　　　  　　　　  　　 (2) 两瓦计法测量功率的测量图如图（b）所示。 　　表 W1 的读数：P1=UACIA2cosφ1=380×3.23cos(–30°+36.9°)=1218.5W 　　表 W2 的读数：P2=UBCIB2cosφ2=380×3.23cos(–90°+156.9°)=481.6W=P-P1 例11-9　根据图（a）电路中功率表的读数可以测取三相对称负载的什么功率？   例 11-8 图（a） （b） 　　解：画出相量图如图（b）所示，由相量图得功率表的读数： 　　　 P =UBCIAcos(90°±φ)=UlIlsinφj 　　 因此根据功率表的读数可以测取负载的无功功率。