第十五章 电路方程的矩阵形式
本章重点
（ 1）图的矩阵表示
关联矩阵 A 单连支回路矩阵 B 单树支割集矩阵 Q
（ 2）矩阵形式的 KCL,KVL
（ 3）节点电压方程的建立
§ 15-1 图的基本概念
i1
i2 i3
i1 i
2 i3
i1 i
2 i3
抽象
?i = 0
抽象 支路
+
-
一, 图的基本概念
R2 C
L
uS
R1
抽象
抽象
无
向
图
有
向
图
+
-
连通图
图
不连通图
+
-
抽象
连通图
抽象
不连通图
1,图
G={支路，节点 }
①
②
１
允许孤立节点存在
二, 名词和定义
2.子图
路径：从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达
另一节点所经过的支路构成路经。
3,连通图
图 G的任意两节点间至少有
一条路经时称 G为连通图。
4.有向图
图中的方向表示原电路中支路电压和
电流 关联参考方向 。
§ 15-2,回路、树、割集
一, 回路
(1)连通；
(2)每个节点关联支路数恰好为 2。
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3 1 2
7 58 4
回路 不是回路
回路 L是连通图 G的一个子图。
具有下述性质
树不唯一树支,组成树的支路
连支,属于 G而不属于 T的支路
二, 树 (Tree)
树 T是连通图 G的一个子图，具有下述性质：
(1)连通；
(2)包含 G的 所有节点和部分支路；
(3)不包含回路。
16个
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1)
单连支回路（基本回路）
1
2
3
4
5 6
7
1
4
5树支数 4
连支数 3
单连支回路 独立回路
三, 割集
(1) 把 Q 中全部支路移去，将图分成 两个 分离部分；
(2)保留 Q 中的一条支路，其余都移去,G还是连通的。
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
1
②
3
④
③
4
2
5
6
Q1,{ 2,5,4,6 }
割集 Q是连通图 G中一个支路的集合，具有下述性质：
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
4 3
21
②
④
③5
6
Q4,{ 1,5,2 }Q3,{ 1,5,4}Q2,{ 2,3,6 }
由于 KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说，
组成割集的所有支路的电流应满足 KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等
的 KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割
集。
单树支割集（基本割集）
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
4 3
21
②
④
③5
6
Q3,{ 1,5,3,6 }Q2,{ 3,5,4}
①
4 3
21
②
④
③5
6
Q1,{ 2,3,6 }
连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下
的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。
由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有 n个
节点和 b条支路组成的电路，树支数有（ n-1）个，因此可
以构成（ n-1）单树支割集。称之为 基本割集组 。
单树支割集 独立割集
单树支割集 独立割集
1
2
3
4
{1,2,3,4} 割集 三个分离部分
1
2
3 4
{1,2,3,4} 割集
4
保留 4支路，图不连通的。
§ 15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一, 关联矩阵 A
用矩阵形式描述 节点 和 支路 的关联性质
aij
aij = 1 有向 支路 j 与节点 i 关联且 背离 节点 i
aij= -1 有向 支路 j与节点 i 关联且 指向 节点 i
aij =0 j 支路与 i节点 无关
关联矩阵 Aa={aij}n ? b
节点数 支路数
一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点
相关联。
6
4
5
3
21
①
②
④
③ Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
-1 -1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 -1
0 0 -1 1 -1 0
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6支节
1
-1
0
0
0
-1
1
0
0
0
1
-1
-1
0
0
1
0
1
0
-1
1
0
-1
0
每一支路，连接在两个节
点上，必然要背离一个节
点，指向另一节点。
-1 -1 0 0 1 0A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
称 A为降阶关联矩阵 (n-1)?b,
表征独立节点与支路的关联性质
设④为参考节点
设,
6
4
5
3
21
①
②
④
③
-1 -1 0 0 1 0A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
? ?
?
?
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6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u支路电压? ?
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5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
i
i支路电流
? ?
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?
?
?
?
?
3
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
节点电压
矩阵形式的 KCL
Ai =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
632
521
641
iii
iii
iii
-1 -1 0 0 1 0
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
6
5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
i
6
4
5
3
21
①
②
④
③
A i = 0
0?
矩阵形式 KVL
?
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?
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31
2
1
3
32
21
nn
n
n
n
nn
nn
uu
u
u
u
uu
uu
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u
u
u
u
u
u
6
5
4
3
2
1
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3
2
1
101
010
001
100
110
011
n
n
n
u
u
u
uu n ?TA
6
4
5
3
21
①
②
④
③
支路电压结点电压
-1 -1 0 0 1 0A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
二, 基本回路矩阵 B
2,支路排列顺序为先连 (树 )支后树 (连 )支。
1 支路 j在回路 i中且与回路 i关联，方向一致
-1 支路 j在回路 i中且与回路 i关联，方向相反
0 支路 j 不在回路 i中
bij=
1
２
３
６
５４
约定,
1,回路的绕行方向取连支电流方向。
用矩阵形式描述 基本回路 和 支路 的关联性质
B = { b i j } l ? b
基本回路数 支路数
1
２
３
６
５４
选 4,5,6为树，连支顺序为 1,2,3。
1
2
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
= [ Bt 1 ]
设
Tiiiiiii ] [][ 321654?
矩阵形式的 KVL
T
lt uu
uuuuuuu ] [][ 321654 ??? ????? ???
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
B u = 0
1
2 3
?
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?
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3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
i
i
i
?
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???
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3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
321
21
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iii
ii
1
２
３
６
５４
B=[ Bt 1 ]
??
?
??
??
1
BB TT t ?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
l
t
l
t
i
ii
1
B T
ltt ii
TB ? 用连支电流表示树支电流
BT il = i矩阵形式的 KCL
KCL的另一种形式
三, 基本割集矩阵 Q
约定 (1) 割集方向与树支方向相同。
(2)支路排列顺序先树 (连 )支,后连 (树 )支。
qij=
1 j支路在割集 i中且与割集 i方向一致
-1 j支路在割集 i中且与割集 i方向相反
0 j 支路不在割集 i中
1
２
３
６
５４
用矩阵形式描述 基本割集 和 支路 的关联性质
Q = { q i j } n-1 ? b
基本割集数 支路数
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
设
T321654 ] [][ iiiiiii ? ut=[ u4 u5 u6 ]
T
矩阵形式的 KCL：
1
２
３
６
５４
0 0 1 0 -1 1
QlQt
Qi =0
0] Q 1[ ??
?
?
?
?
?
l
t
l i
i
llt ii Q ??
回路矩阵表示时
lTtt ii B ?
TBQ tl ??
用连支电流表示树支电流
矩阵形式的 KCL的另一种形式
Qi =0 可写成
??
?
?
?
?
?
l
t
lt i
i
] Q Q[
回路矩阵和割集矩阵的关系
?
?
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???
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
t
l
t
l
t uu
u
uu
??
?
??
???
??
?
??
??
T
T
Q
1Q][
tll uu TQ?
1
２
３
６
５４
矩阵形式的 KVL
用树支电压表示连支电压
QTut=u
KVL的另一种形式
Q
Qi=0
QTut=u
小结：
lTtt ii B ?
ul = - Btut
llt ii Q ??
tll uu TQ?
TBQ tl ??
A B
Ai=0 BTil=iKCL
KVL ATun=u Bu=0
§ 15-4 回路电流方程的矩阵形式
一, 复合支路
对于整个电路有：
SS UIIU ???? ??? ZZ
skskkk UIIZU
...,)( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
Cj
Lj
R
Z
?
?
1
二, 复合支路约束方程
由 RLC、电压源、电流源组成
参考方向如图所示
不存在无伴电流源
1、电感之间无耦合情况
Z 为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。
kU?
SI?
SkU?
kI? ek
I?
? ?
Zk
? ?
0B K V L ?U?
lII ?? TB K C L ?
0BBZBZB ???? SS UIIU ????
SSl IUI ??? BZBBZ B T ??
回路方程矩阵形式
zL 回路阻抗阵：主对角线上元素为回路自阻抗，
非对角元素为互阻抗。
SS UIIUVCR ???? ??? ZZ
2、电感之间存在耦合时,方程中还应考虑互感电压的作用，
比较复杂。此时,Z不再是对角阵。
3、当电路中含有与无源元件串联的受控电压源时（控制量
为其它支路无源元件的电压或电流）,Z不再是对角阵。
三, 回路方程
kU?
SI?
SkU?
kI? ek
I?
? ?
Zk
? ?
例 15-1 用矩阵形式列出图示电路的回路电流方程。
+
?
R2R1 j? L
3
j?L4
5
1
Cj? 2
.
SU
1
.
SI
1
4
3
5 2
Ⅰ
Ⅱ
? ?11010 1010112 ???B
1 2 3 4 5
]1,,,,[
5
4321 CjLjLjRRd i a gZ ????
TSS UU ]0000[, 2,?? TSS II ]0000[
.
1
,?
SSl IUI ??? BZBBZ B T ??
?
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???
???
.
2
.
11
.
2
.
1
5
42
5
55
31
11
11
S
S
l
l
U
IR
I
I
Cj
LjR
Cj
CjCj
LjR
?
?
?
??
?
§ 15-5 节点电压方程的矩阵形式
电路分析依据：
KCL A i =0
KVL u=ATun
元件特性方程
条支路电压第
条支路电流第
kU
kI
k
k
?
?
独立电流源
独立电压源
Sk
Sk
I
U
?
?
规定每个支路必须有一个阻抗
k支路抽象为：
k
k
k ZY
1?
一,无互感和受控电流源时的节点方程
设标准支路为：
kU?
SI?
SkU?
kI? ek
I?
? ?
Zk
? ?
k支路电压、电流关系：
SkkSkkk UIIZU ???? ??? )(
设 ? ?
T
21 bIIII ????? ?
Z=diag[Z1 Z2 ? Zb ] Y=diag[Y1 Y2 ? Yb ]
SkkSkkk IUUYI ???? ??? )(
? ? T21 bUUUU ????? ?
? ? T21 SbSSS UUUU ????? ?? ? T21 SbSSS IIII ????? ?
Z=Y -1
SS IUUYI ???? ??? )(
kU?
SI?
SkU?
kI? ek
I?
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Zk
? ?
SS IUYUYI ???? ???
?
?
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Sb
Sk
S
Sbb
Skk
S
b
k
b
k
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I
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UU
UU
Y
Y
Y
I
I
I
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??
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??
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?
11111
0000
0000
0000
0000
0000
支路电压的矩阵方程
SkkSkkk IUUYI ???? ??? )(
kU?
SI?
SkU?
kI? ek
I?
? ?
Zk
? ?
SS IUYUYI ???? ???
由 KCL A i =0
由 KVL u=ATun
0AAAA ???? SS IUYUYI ????
0AAAA T ??? SSn IUYUY ???
节点导纳阵
Tn YY AA?令
SSnn UYIUY ??? A-A?
得节点电压方程
由此求得支路电压和电流
nU? U?
nU?TA
I?
SS IUYUYI ???? ???
kU?
SkI?
SkU?
kI? ek
I?
? ?
kY
例 15-2
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
1,画有向图
2,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
110100
001110
100011
A
3,? ?110, 220, 52d i a gY ?
kU?
SkI?
SkU?
kI? ek
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1 2 3
4 5
6
5V
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1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
4,? ?
T000005??SU?
5,? ? T031000 ??
SI?
SSnn UIU ??? YA-AY ?6.
?
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??
3
1
10
421
27.25.0
15.05.3
3
2
1
n
n
n
U
U
U
?
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?得
kU?
SI?
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kI? ek
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11
2
1
2
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S
S
S
S
U
U
II
II
LjMj
MjLj
U
U
??
??
2112222 )()( SSS UIIMjIILjU
?????? ????? ??
1221111 )()( SSS UIIMjIILjU
?????? ????? ??
二,有互感时的节点方程,U S1
.I
S2
.I
S1
.
US2
jωL1
jωL2
*
*
M
.I
1
.I
2? ? ? ? ??
??
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???
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SS IUYUYI
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS UIZIZU
[Y]=[Z]-1
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bSb
S
b
b
U
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II
Z
Z
LjMj
MjLj
U
U
U
?
?
?
?
1
11
3
2
1
2
1
0
0
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R
C
LM
ML
R
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1
2 3
4 5
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01110
00011
A
??T 10 0 0 0 S SI I? ??
例 2
??T 5 0 0 0 0S SU U? ?? ?
+
?US5
R5
R1
L2 L3
C4I
S1
M
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[Y]=[Z]-1
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3
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0j000
000
000
0000
1
R
C
LM
ML
R
Y
)(j 232 MLL ??? ?
其中
SSnn UIU ??? YA-AY ?
Tn A Y AY ?
三,具有受控源电路的节点方程
)( Skkkekkek UUYUYI ???? ???
)( sjjgejgdk UUUI kjkj ???? ???
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
?????? ?????? )()(
)( sjjYej UUI j
???
??
sksjjjkjskkkk IUUYUUYI
?????? ?????? )()( ?
ejkjdk UgI
?? ?设
VCCS)1( 为dkI?
ejkjdk II
?? ? ?设
CCCS)2( 为dkI?
.
.
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k
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ek
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UU
UU
UU
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Y
Y
Y
I
I
I
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1111
1
0
0
考虑 b个支路时：
jkj YK ??)2(kjgK ?)1(
K
SSnn UIU ??? YA-AY ?Tn A Y AY ?
? ?
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??
00011
01101
11000
A
? ?50000 sS iI ??????? ?
5 2
4
3
1２ 3１
0
例 3：
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
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5
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3
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0000
0000
000
000
000
G
G
gLj
LM
ML
Y
?5 2
4
3
1２ 3１
0
例 3：
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
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0
0
2
0
0
5
3
2
1
212
22
344
454 s
n
n
n I
U
U
U
MLLML
MLL
LjGgGg
GGG
?
代入
取割集（树支）电压为未知量
0Q K C L ?I?
tUU ?? TQ K V L ?
0QQYQYQ ???? SS IUUI ????
SSt UIU ??? QYQQ Y Q T ??
割集方程矩阵形式Yt
割集导纳阵
kU?
SI?
SkU?
kI? ek
I?
? ?
Zk
SS IUUI ???? ??? YY
元件特性
§ 15-6 割集电压方程的矩阵形式
要求：
1,掌握回路、树、割集的概念。
2.会写关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵。
3.掌握节点方程的矩阵形式
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
(1)画出有向图
(2)写出关联矩阵
(3)写出支路导纳阵
(4)以 3,4,5为树支写出基本回路矩阵 B，基本割集矩阵 Q。
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④
uS C3
L2L1+
-
R4
R5
R6
* *
M
?
3I
① ② ③
?
3I?
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 0 0 1 0 1
-1 1 1 0 0 0
0 -1 0 0 1 -1
uS C3
L2L1+
-
R4 R5
R6
* *
M
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3I
① ② ③
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3I?
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④
?
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5
3
4
3
1
2
1
00000
0
1
0Cj00
00
1
000
00000
0000
0000
Y
R
R
R
Cj
LM
ML
??
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??
??
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④ B =
3 4 5 1 2 6支回
1
2
6
支回
1 -1 0 1 0 0
-1 0 1 0 1 0
0 - 1 1 0 0 1
Bt Bl
Q=
3 4 5 1 2 6支割集
3
4
5
1 0 0 -1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 -1 -1
QlQt
本章重点
（ 1）图的矩阵表示
关联矩阵 A 单连支回路矩阵 B 单树支割集矩阵 Q
（ 2）矩阵形式的 KCL,KVL
（ 3）节点电压方程的建立
§ 15-1 图的基本概念
i1
i2 i3
i1 i
2 i3
i1 i
2 i3
抽象
?i = 0
抽象 支路
+
-
一, 图的基本概念
R2 C
L
uS
R1
抽象
抽象
无
向
图
有
向
图
+
-
连通图
图
不连通图
+
-
抽象
连通图
抽象
不连通图
1,图
G={支路，节点 }
①
②
１
允许孤立节点存在
二, 名词和定义
2.子图
路径：从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达
另一节点所经过的支路构成路经。
3,连通图
图 G的任意两节点间至少有
一条路经时称 G为连通图。
4.有向图
图中的方向表示原电路中支路电压和
电流 关联参考方向 。
§ 15-2,回路、树、割集
一, 回路
(1)连通；
(2)每个节点关联支路数恰好为 2。
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3 1 2
7 58 4
回路 不是回路
回路 L是连通图 G的一个子图。
具有下述性质
树不唯一树支,组成树的支路
连支,属于 G而不属于 T的支路
二, 树 (Tree)
树 T是连通图 G的一个子图，具有下述性质：
(1)连通；
(2)包含 G的 所有节点和部分支路；
(3)不包含回路。
16个
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1)
单连支回路（基本回路）
1
2
3
4
5 6
7
1
4
5树支数 4
连支数 3
单连支回路 独立回路
三, 割集
(1) 把 Q 中全部支路移去，将图分成 两个 分离部分；
(2)保留 Q 中的一条支路，其余都移去,G还是连通的。
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
1
②
3
④
③
4
2
5
6
Q1,{ 2,5,4,6 }
割集 Q是连通图 G中一个支路的集合，具有下述性质：
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
4 3
21
②
④
③5
6
Q4,{ 1,5,2 }Q3,{ 1,5,4}Q2,{ 2,3,6 }
由于 KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说，
组成割集的所有支路的电流应满足 KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等
的 KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割
集。
单树支割集（基本割集）
①
4 3
21
②
④
③5
6
①
4 3
21
②
④
③5
6
Q3,{ 1,5,3,6 }Q2,{ 3,5,4}
①
4 3
21
②
④
③5
6
Q1,{ 2,3,6 }
连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下
的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。
由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有 n个
节点和 b条支路组成的电路，树支数有（ n-1）个，因此可
以构成（ n-1）单树支割集。称之为 基本割集组 。
单树支割集 独立割集
单树支割集 独立割集
1
2
3
4
{1,2,3,4} 割集 三个分离部分
1
2
3 4
{1,2,3,4} 割集
4
保留 4支路，图不连通的。
§ 15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一, 关联矩阵 A
用矩阵形式描述 节点 和 支路 的关联性质
aij
aij = 1 有向 支路 j 与节点 i 关联且 背离 节点 i
aij= -1 有向 支路 j与节点 i 关联且 指向 节点 i
aij =0 j 支路与 i节点 无关
关联矩阵 Aa={aij}n ? b
节点数 支路数
一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点
相关联。
6
4
5
3
21
①
②
④
③ Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
-1 -1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 -1
0 0 -1 1 -1 0
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6支节
1
-1
0
0
0
-1
1
0
0
0
1
-1
-1
0
0
1
0
1
0
-1
1
0
-1
0
每一支路，连接在两个节
点上，必然要背离一个节
点，指向另一节点。
-1 -1 0 0 1 0A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
称 A为降阶关联矩阵 (n-1)?b,
表征独立节点与支路的关联性质
设④为参考节点
设,
6
4
5
3
21
①
②
④
③
-1 -1 0 0 1 0A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
? ?
?
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4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u支路电压? ?
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2
1
i
i
i
i
i
i
i支路电流
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3
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
节点电压
矩阵形式的 KCL
Ai =
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
632
521
641
iii
iii
iii
-1 -1 0 0 1 0
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
6
5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
i
6
4
5
3
21
①
②
④
③
A i = 0
0?
矩阵形式 KVL
?
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31
2
1
3
32
21
nn
n
n
n
nn
nn
uu
u
u
u
uu
uu
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u
u
u
u
u
u
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5
4
3
2
1
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3
2
1
101
010
001
100
110
011
n
n
n
u
u
u
uu n ?TA
6
4
5
3
21
①
②
④
③
支路电压结点电压
-1 -1 0 0 1 0A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6支节
1 0 0 -1 0 1
0 1 1 0 0 -1
二, 基本回路矩阵 B
2,支路排列顺序为先连 (树 )支后树 (连 )支。
1 支路 j在回路 i中且与回路 i关联，方向一致
-1 支路 j在回路 i中且与回路 i关联，方向相反
0 支路 j 不在回路 i中
bij=
1
２
３
６
５４
约定,
1,回路的绕行方向取连支电流方向。
用矩阵形式描述 基本回路 和 支路 的关联性质
B = { b i j } l ? b
基本回路数 支路数
1
２
３
６
５４
选 4,5,6为树，连支顺序为 1,2,3。
1
2
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
= [ Bt 1 ]
设
Tiiiiiii ] [][ 321654?
矩阵形式的 KVL
T
lt uu
uuuuuuu ] [][ 321654 ??? ????? ???
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
B u = 0
1
2 3
?
?
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3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
i
i
i
?
?
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???
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3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
321
21
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iii
ii
1
２
３
６
５４
B=[ Bt 1 ]
??
?
??
??
1
BB TT t ?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
l
t
l
t
i
ii
1
B T
ltt ii
TB ? 用连支电流表示树支电流
BT il = i矩阵形式的 KCL
KCL的另一种形式
三, 基本割集矩阵 Q
约定 (1) 割集方向与树支方向相同。
(2)支路排列顺序先树 (连 )支,后连 (树 )支。
qij=
1 j支路在割集 i中且与割集 i方向一致
-1 j支路在割集 i中且与割集 i方向相反
0 j 支路不在割集 i中
1
２
３
６
５４
用矩阵形式描述 基本割集 和 支路 的关联性质
Q = { q i j } n-1 ? b
基本割集数 支路数
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
设
T321654 ] [][ iiiiiii ? ut=[ u4 u5 u6 ]
T
矩阵形式的 KCL：
1
２
３
６
５４
0 0 1 0 -1 1
QlQt
Qi =0
0] Q 1[ ??
?
?
?
?
?
l
t
l i
i
llt ii Q ??
回路矩阵表示时
lTtt ii B ?
TBQ tl ??
用连支电流表示树支电流
矩阵形式的 KCL的另一种形式
Qi =0 可写成
??
?
?
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l
t
lt i
i
] Q Q[
回路矩阵和割集矩阵的关系
?
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3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
t
l
t
l
t uu
u
uu
??
?
??
???
??
?
??
??
T
T
Q
1Q][
tll uu TQ?
1
２
３
６
５４
矩阵形式的 KVL
用树支电压表示连支电压
QTut=u
KVL的另一种形式
Q
Qi=0
QTut=u
小结：
lTtt ii B ?
ul = - Btut
llt ii Q ??
tll uu TQ?
TBQ tl ??
A B
Ai=0 BTil=iKCL
KVL ATun=u Bu=0
§ 15-4 回路电流方程的矩阵形式
一, 复合支路
对于整个电路有：
SS UIIU ???? ??? ZZ
skskkk UIIZU
...,)( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
Cj
Lj
R
Z
?
?
1
二, 复合支路约束方程
由 RLC、电压源、电流源组成
参考方向如图所示
不存在无伴电流源
1、电感之间无耦合情况
Z 为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。
kU?
SI?
SkU?
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回路方程矩阵形式
zL 回路阻抗阵：主对角线上元素为回路自阻抗，
非对角元素为互阻抗。
SS UIIUVCR ???? ??? ZZ
2、电感之间存在耦合时,方程中还应考虑互感电压的作用，
比较复杂。此时,Z不再是对角阵。
3、当电路中含有与无源元件串联的受控电压源时（控制量
为其它支路无源元件的电压或电流）,Z不再是对角阵。
三, 回路方程
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例 15-1 用矩阵形式列出图示电路的回路电流方程。
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Cj
CjCj
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§ 15-5 节点电压方程的矩阵形式
电路分析依据：
KCL A i =0
KVL u=ATun
元件特性方程
条支路电压第
条支路电流第
kU
kI
k
k
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独立电流源
独立电压源
Sk
Sk
I
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规定每个支路必须有一个阻抗
k支路抽象为：
k
k
k ZY
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一,无互感和受控电流源时的节点方程
设标准支路为：
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k支路电压、电流关系：
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T
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SkkSkkk IUUYI ???? ??? )(
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? ? T21 SbSSS UUUU ????? ?? ? T21 SbSSS IIII ????? ?
Z=Y -1
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支路电压的矩阵方程
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SS IUYUYI ???? ???
由 KCL A i =0
由 KVL u=ATun
0AAAA ???? SS IUYUYI ????
0AAAA T ??? SSn IUYUY ???
节点导纳阵
Tn YY AA?令
SSnn UYIUY ??? A-A?
得节点电压方程
由此求得支路电压和电流
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SS IUYUYI ???? ???
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例 15-2
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二,有互感时的节点方程,U S1
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三,具有受控源电路的节点方程
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)( sjjgejgdk UUUI kjkj ???? ???
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?????? ?????? )()(
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代入
取割集（树支）电压为未知量
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0QQYQYQ ???? SS IUUI ????
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割集方程矩阵形式Yt
割集导纳阵
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SS IUUI ???? ??? YY
元件特性
§ 15-6 割集电压方程的矩阵形式
要求：
1,掌握回路、树、割集的概念。
2.会写关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵。
3.掌握节点方程的矩阵形式
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
(1)画出有向图
(2)写出关联矩阵
(3)写出支路导纳阵
(4)以 3,4,5为树支写出基本回路矩阵 B，基本割集矩阵 Q。
4
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0 0 1 0 -1 -1
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