)(2
2
teudtduRLdt udLC CCC ???
§ 15-8 状态方程
)()()(0 SESHSU ??
动态网络的分析方法，按照描述网络的微分方程
可分为输入输出法和状态变量 法。
R
L
Ce(t)
+
-uc
iL i
C
uo
+ uL -
)( teuu CL ??
dt
diLu L
L ? R
uii C
CL ??
dt
duCi C
C ?
一, 基本概念
(1)状态变量
在分析网络 (或系统 )时，在网络内部选一组 最少数量 的
特定变量 X,X=[X1,X2……X n]T,只要知道这组变量在某一
时刻值 X(t0),再知道输入 e(t)就可以确定 t0及 t0以后任何时刻网
络的性状 (响应 )，称这一组最少数目的特定变量为状态变量。
)( 0tX
)(),( 0ttte ?
)(),( 0tttY ?
已知, R=3?
Ai
Vu
tte
L
C
0)0(
3)0(
)30s i n (20)(
?
?
???
?
?
?
求,)0()0()0()0(
???? RRLC uiui,，，
解：由
Vu L 7)0( ??
Vu R 3)0( ??
Ai
Ai
C
R
1)0(
1)0(
??
?
?
?
0)0(
3)0(
?
?
?
?
L
C
i
Vu
e(0)=10V
R
L
Ce(t)
+
-uc
iL i
C
uo
例,
可求出
同理可推 广至任一时刻 t1
可由
)(
)(
)(
1
1
1
ti
tu
t
L
c
e
求出
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
ti
ti
tu
tu
c
R
L
R
由此例可知：
(1)状态变量和储能元件有关；
(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 。
?
uC,iL 称为状态变量。它们的初值和激励 e(t)一起可
以确定该电路在任何时刻的性状。
2.状态方程
对状态变量列出的一阶微分方程为状态方程。
设 uc,iL为状态变量
则：
Rdt
dc u ci Lu ci c ???
C
L
L utedt
diLu ??? )(
cRCdt
d iuu Lcc ???
L
te
Ldt
d ui cL )(???
整理得
R
L
Ce(t)
+
-uc
iL i
C
uo
状态方程
?
矩阵形式：
)(1
0
0
1
11
te
L
L
CRC
dt
d
dt
d
i
u
i
u
L
c
L
c
?
?
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]][[]][[][ VBXAX ???
? ?
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?
?
?
?
?
?
0
3
)0(
)0(
)0(
L
C
i
u
X特点,(1)联立一阶微分方程组
(2)左端为状态变量的一阶导数
(3)右端含状态变量和输入量
一般形式：
Tn
dt
dx
dt
dx
dt
dxX ],,[][ 21 ???
n:状态变量个数 r：输入激励数
\n?n \n?r
TnxxxX ],,[][ 21 ??
cRCdt
d iuu Lcc ???
L
te
Ldt
d ui cL )(???
?
3.输出方程
? ?)(
0
0
0
1
0
1
01
1
1
01
te
R
R
u
i
u
i
u
i
L
c
R
R
c
L
?
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?
?
特点,(1)代数方程
(2)用状态变量和输入量
表示输出量
一般形式,[Y]=[C][X]+[D][V]
R
L
Ce(t)
+
-uc
iL i
C
uo
m*n m*r
m为输出变量数
R
u
i
uu
i
R
u
i
teuu
C
R
CR
L
C
C
CL
?
?
???
??? )(
二, 状态方程的列写
1.直观法
(1) 线性电路以 iL,uc为状态变量。
(2)对含有电容的支路，选择一个节点列出 KCL方程，
基本思想：
项；在方程中包括 dtdu c
(3)对含有电感的支路，选择一个回路列出 KVL方程，
项；在方程中包括 dtdi L
(4)保留状态变量和输入激励，消去非状态变量。
设 uc,iL1,iL2为状态变量
SCCL uRiudt
diL ???
111
RLL iRudt
diL
2122 ??
消去非状态量
ic= - (iL1 +iL2)
iR = is +iL2
uL1= uc -(iL1 +iL2 )R1 +us
21 LLC iidt
duC ???
C
C i
dt
duC ?
1
1
1 L
L u
dt
diL ?
2
2
2 L
L u
dt
diL ?
us
R1
C
L1
L2
R2
is
- +
uC iL2
iL1 i
R
+
-
iC
?
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s
s
L
L
C
L
L
C
i
u
L
R
L
L
i
i
u
L
RR
L
R
L
L
R
L
R
L
CC
dt
di
dt
di
dt
du
2
2
2
1
2
1
2
21
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
0
1
00
1
1
11
0
21 LL
C ii
dt
duC ???
SLLC
L uRiiu
dt
diL ????
121
1
1 )(
)()( 2212122 LSSLLCL iiRuRiiudtdiL ??????
?
Ci
? ?
1Lu
Ri
2.拓扑法
在树支中
在连支中
(3)对单电容基本割集（树支割集）列写 KCL方程，方程
中包括
项。dtduC C
(1)每个元件为一支路，线性电路以 iL,uc为状态变量。
(2)选一棵特有树使
基本思想：
L iS
C uS
- +
(4)对单电感基本回路（单连支回路）列写 KVL方程，方程
中包括
项。dtdiL L
(5)消去非状态量 ;
例：
us is
R1
R2
L4C3
1
2
3 4
5
6
(6)整理得状态方程。
(1) (2)
1
2
3 4
5 6
ic =iL+iR2(3)
uL = uR1-uc(4)
us is
R1
R2
L4C3
2RL
C ii
dt
duC ??
CR
L uu
dt
diL ??
1
消去方程中非状态量 iR2 和 uR1。
uR1=R1 iR1
iR1 = - iL+ is uR1 =R1(- iL+ is )
iR2= uR2/ R2
uR2 = - uc+ us iR2 = (- uc+ us)/ R2
(5)
us is
R1
R2
L4C3
2RL
C ii
dt
duC ??
CR
L uu
dt
diL ??
1
?
状态方程为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
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S
S
L
C
L
C
i
u
R
R
i
u
R
R
dt
di
L
dt
du
C
1
2
1
2
0
0
1
1
1
1
整理得：
SLC
L
S
L
CC
iRiRu
dt
di
L
R
u
i
R
u
dt
du
C
11
22
????
????
矩 阵形式为：
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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S
S
L
C
L
C
i
u
L
R
CR
i
u
L
R
L
CCR
dt
di
dt
du
1
2
1
2
0
0
1
1
11
列写以 ?
?
?
??
?
L
c
i
u
为变量的状态方程。
4?
6?
1H
1F
+
us
-
+
uC
-
5u2
iL
u2
①
②
③ ④ ⑤
⑥