第七章 二阶电路
二阶电路的零输入响应，零状态响应
重点掌握
1,掌握求解二阶电路的方法、步骤。
2,了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不
同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡
与非振荡。
学习方法
§ 7.1 二阶电路的零输入响应
0 ??? CL uuRi
0dddd 2
2
??? CCC utuRCtuLC
012 ??? R C PL C P特征方程为
uC(0-)=U0 i(0-)=0已知
求 uC(t),i(t),uL(t),
t
uCi C
d
d??
R
LC+
-
i
uc uL
+
-
(t=0)
2
C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLu
L ???
P有三种情况
二个不等负实根 2 CLR ?
二个相等负实根 2 CLR ?
二个共轭复根 2 CLR ?
过阻尼
临界阻尼
欠阻尼
012 ??? R C PL C P特征方程为
LC
LCCRRCP
2
422
2,1
???? LCL
R
L
R 1)
2(2
2 ????
不等的负实根一,2, 21 ppCLR ?
tptpC eeu 21 21 AA ??
0210 AA)0( UUu C ?????
0AA0
)0(
)0(dd 2211 ????
?
? ?? PPC
i
t
u C
0
12
1
20
12
2
1 AA UPP
PU
PP
P
?
??
??
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
?
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C
i
td
du
td
du
Ci
C
C
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R
LC+
-
i
uc uL
+
-
(t=0)
)( 21 12
12
0 tptp
C ePePPP
Uu ?
??
t
uc 设 |P2| > |P1|
12
02
PP
UP
?
|P2|大
12
01
PP
UP
?
?
|P1|小
U0 uc
)(
)(
)(
)(
21
21
12
0
2121
12
0
tptp
tptpC
ee
PPL
U
eppepp
PP
CU
dt
du
Ci
?
?
?
?
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?
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)()( 21 21
12
0 tptp
L ePePPP
U
dt
diLu ?
?
???
2tm
uL
tm
i
t
U0 uc )( 21 1212 0
tptp
C ePePPP
Uu ?
??
LCPP
1
21 ?
t=0+,i=0
t = tm 时 i 最大
0< t < tm,i 增加,uL>0
t > tm,i 减小,uL <0
t = 2tm 时 uL 极小
t=0+,uL=U0
t > 2tm uL 衰减加快
t>0 i>0
t= ?, uL=0
2tm
uL
tm
i
t
U0 uc R
LC+
-
i
uc uL
+
-
(t=0)
t=?,i=0
由 uL= 0 可计算 tm
021 21 ?? tptp epep
tpp
tp
tp
e
e
e
p
p )(2
12
1
2
2
1 )( ???
12
2
1ln
pp
p
p
t m
?
?
由 duL / dt 可确定 uL为极小值的时间 t
021 2221 ?? tptp epep
tpp
tp
tp
e
e
e
p
p )(
2
1 12
1
2
???
mtpp
p
p
t 2
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12
2
2
1
?
?
?
)()( 21 21
12
0 tptp
L ePePPP
Uu ?
?
??
能量转换关系
0 < t < tm uc减小, i 增加。 t > tm uc减小, i 减小。
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uc
tm
i
0
非振荡放电 过阻尼
2, CLR ?二 特征根为一对共轭复根
LCL
R
L
RP 1)
2(2
2
12 ????
12 ?? jP ???
2 LR??令
uC的解答形式,tptp
C eAeAu 21 21 ??
22
0
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2(-
1 ??? ???
L
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0
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2
1 AA UPP
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P
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)( 21 12
12
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C ePePPP
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tptp
C
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j
U
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U
u
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12 ????? jP ?
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)]()([2 0 tjtjtjtjt eejeeejU ???????? ?????????
]2 )(2 )([ 0
tjtjtjtj
t ee
j
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??
)c o ss i n( 0 tteU t ?????? ??
)co ss i n(
00
0
0 tteU t ?
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VtKeVteU tt )s i n ()s i n ( 00 ?????????? ????
t?s in t?c o s
?
?
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?
?
??
?
?
a r c t g
s i n
c o s
0
0
teLUtuCi tC ?? ? s i ndd 0 ????
)s i n (dd 00 ???? ? ???? ? teUtiLu tL
uL零点,?t = ?,?+?,2?+?,.,n?+?
i 零点,?t =0,?,2?,.,n?, i 极值点为 uL零点。
uL
uC
?-? 2?-?
uc
t
U0
teU ??? ?00
teU ??? ?? 00
0
? 2?
i
?
?+?
)s i n ( 00 ???? ? ?? ? teUu tC
uC零点,?t = ?-?,2?-?,.,n?-?,uC 极值点为 i零点。
?< ?t < ?-? ?-? < ?t < ?
R
LC
+
-
R
LC
+
-
能量转换关系
0 < ? t < ?
R
LC
+
-
uC减小,i 增大 uC减小,i 减小 |uC |增大, i 减小
衰减振荡
欠阻尼
uL
uC
?-? 2?-?
uc
t
U0
teU ??? ?00
teU ??? ?? 00
0
? 2?
i
?
?+?
特例 R = 0
LC utUu ?
???? )
2s i n ( 00
02,1 ?jp ??
2
1
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???? ???,
LC
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tLUi 0
0
0 s i n ?
??
teLUtuCi tC ????? ?? s i ndd 0
)s i n (dd 00 ???????? ?? teUtiLu tL
)s in (00 ???? ? ?? ? teUu tC
等幅振荡
无阻尼
?
?0
?
?
LC +
-
t
例, 已知,U1＝ 5V,C＝ 5nF,L＝ 0.2H,R1＝
20KΩ,R2＝ 30Ω，求 t=0时,uc＝？
Schematics 仿真结果：
??????? LRPPP 221 )( 21 tAAeu tC ?? ? ?
010)0( UAUu C ????
?
?
?
?
?
?02
01
UA
UA
t
L
tC
t
C
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t
i
Lu
et
L
U
t
u
Ci
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0
0
0
)1(
d
d
d
d
) 1(
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
相等的实根三,2, 21 ppCLR ?
0)(0)0(dd 21 ?????? AAtu C ?
由初始条件
非振荡放电
临界阻尼
小结：
非振荡放电过阻尼,2 CLR ? tptpc eAeAu 21 21 ??
振荡放电欠阻尼,2 CLR ?
)s i n ( ???? ?? tAeu tc
非振荡放电临界阻尼,2 CLR ? )(
21 tAAeu tc ?? ??
可推广应用于一般二阶电路
定积分常数
??
?
?
?
?
?
)0(
)0(
dt
du
u
C
C由
电路所示如图
t = 0 时打开开关。
求, 电容电压 uC,并画
波形图。
解
(1) uc(0-)=25V
iL(0-)=5A
例 1
(2) uc(0+)=25V
iC(0+)= -5A
5Ω
20Ω
10Ω
10Ω
50V
+ -
iL+u
C
- 0
-电路
5Ω
μF
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uC
+ -
iL
20Ω
10Ω
10Ω
+
-
25V 5A
i
C
0+电路
特征方程为
50P2+2500P+106=0
13925 jP ???
0dd25]dd[dd )3( ???? CCC utuCtuCtL
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
例 1 5Ω
μF
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uC
+ -
iL
(1) uc(0-)=25V
iL(0-)=5A
(2) uc(0+)=25V
iC(0+)= -5A
20Ω
10Ω
10Ω
+
-uC
LC
t >0 电路
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
??
?
?
?
???
?
? 410
5s i n25c o s1 3 9
25s i n
??
?
KK
K
?176 358 ?? ?，K
0V)1 7 61 3 9s i n (3 5 8 25 ??? ? tteu tC ?
(4)
??
?
?
?
??
??
5
25)0(
dt
duC
u
C
C由
uC
?t0
358
25
一,零状态响应 u
c(0-)=0,iL(0-)=0
微分方程为：
EudtduRCdt ud ccc ???
2
LC
"' ccc uuu ??
特解通解
特解, Euc ?"
求通解的特征方程为；
012 ??? R C PL C P
R L
C
+
-
uC
iL
E
§ 7,2 二阶电路的零状态响应和全响应
)( 2121 21 ppeAeAEu tptpc ????
) ( 21 2 1 ??? ?????? ?? PPteAeAEu ttc
)( )s i n ( 21 ????? jPtAeEu tc ?????? ?,
uc解答形式为：
确定两个常数由初值
)0(
)0(
??
?
?
?
?
?
dt
du
u
c
c
二, 全响应
已知,iL(0-)=2A uC(0-)=0
R=50?,L=0.5H,C=100?F
求,iL(t) 。
解 (1) 列微分方程
50dddd 2
2
??? LLL RitiLt iRL C
t
uCi
R
u
L d
d-50 CC ??
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
t
iLuu L
LC d
d??
R
L C
iR
i L iC50 V
t=0
+
-
uL +
-
uC
(2)求通解 (自由分量）
02 0 0 0 02 0 02 ??? PP特征方程
特征根 P= -100 ? j100
)100s i n (1)( 100 ???? ? tKeti tL全解
(3)求特解（强制分量，稳态解）
AiL 1" ?
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
)1 0 0s i n ()( 100 ??? ? tKeti tL通解
(4)求全解
(5)由 初值 定积分常数
??
?
?
?
?????
????
?
?
0c o s100s i n1000
2s i n12)0(
0 ??
?
KK
dt
di
Ki
L
L
o452 ?? ?K得
0)45100s i n (21)( 100 ????? ? tAteti tL ?
iL(0+)=2A,uC(0+)=0 （已知）
)1 0 0s i n (1)( 10 0 ???? ? tKeti tL全解
0)0(1)0(1dd 0 ??? ??? CLL uLuLti
)1 0 0c o s (1 0 0)1 0 0s i n (1 0 0dd 1 001 00 ?? ????? ?? tKetKeti ttL
本章小结
)( 过阻尼非振荡放电 tptp eAeA 21 21 ?
共轭虚根 0 ?R
)c o ss i n
)s i n (
tBtAe
tKe
t
t
???
???
??
??
（或
)( 临界阻尼非振荡放电 )( 21 tAAe t ???
2,二阶电路用三个参数 ?, ?和 ? 0来表示动态 响应。
特征根 响应性质 自由分量形式
不等的实根 2 CLR ?
2 共轭复根CLR ?
) ( 阻尼无等幅振荡 )s i n ( 0 ?? ?tK
相等的实根 2 CLR ?
)( 欠阻尼衰减振荡
1,二阶电路：含二个独立储能元件的电路，用二阶常
微分方程所描述的电路。
202 ??? ????p
3,求二阶电路全响应的步骤
(a)列写 t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应 =强制分量 +自由分量
定常数由初值
)0(
)0(
)(
?
?
dt
df
f
e
二阶电路的零输入响应，零状态响应
重点掌握
1,掌握求解二阶电路的方法、步骤。
2,了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不
同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡
与非振荡。
学习方法
§ 7.1 二阶电路的零输入响应
0 ??? CL uuRi
0dddd 2
2
??? CCC utuRCtuLC
012 ??? R C PL C P特征方程为
uC(0-)=U0 i(0-)=0已知
求 uC(t),i(t),uL(t),
t
uCi C
d
d??
R
LC+
-
i
uc uL
+
-
(t=0)
2
C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLu
L ???
P有三种情况
二个不等负实根 2 CLR ?
二个相等负实根 2 CLR ?
二个共轭复根 2 CLR ?
过阻尼
临界阻尼
欠阻尼
012 ??? R C PL C P特征方程为
LC
LCCRRCP
2
422
2,1
???? LCL
R
L
R 1)
2(2
2 ????
不等的负实根一,2, 21 ppCLR ?
tptpC eeu 21 21 AA ??
0210 AA)0( UUu C ?????
0AA0
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1
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t=0+,i=0
t = tm 时 i 最大
0< t < tm,i 增加,uL>0
t > tm,i 减小,uL <0
t = 2tm 时 uL 极小
t=0+,uL=U0
t > 2tm uL 衰减加快
t>0 i>0
t= ?, uL=0
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t=?,i=0
由 uL= 0 可计算 tm
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由 duL / dt 可确定 uL为极小值的时间 t
021 2221 ?? tptp epep
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)()( 21 21
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Uu ?
?
??
能量转换关系
0 < t < tm uc减小, i 增加。 t > tm uc减小, i 减小。
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
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tm
i
0
非振荡放电 过阻尼
2, CLR ?二 特征根为一对共轭复根
LCL
R
L
RP 1)
2(2
2
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12 ?? jP ???
2 LR??令
uC的解答形式,tptp
C eAeAu 21 21 ??
22
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2(-
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uL零点,?t = ?,?+?,2?+?,.,n?+?
i 零点,?t =0,?,2?,.,n?, i 极值点为 uL零点。
uL
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uC零点,?t = ?-?,2?-?,.,n?-?,uC 极值点为 i零点。
?< ?t < ?-? ?-? < ?t < ?
R
LC
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R
LC
+
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能量转换关系
0 < ? t < ?
R
LC
+
-
uC减小,i 增大 uC减小,i 减小 |uC |增大, i 减小
衰减振荡
欠阻尼
uL
uC
?-? 2?-?
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t
U0
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teU ??? ?? 00
0
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LC
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teLUtuCi tC ????? ?? s i ndd 0
)s i n (dd 00 ???????? ?? teUtiLu tL
)s in (00 ???? ? ?? ? teUu tC
等幅振荡
无阻尼
?
?0
?
?
LC +
-
t
例, 已知,U1＝ 5V,C＝ 5nF,L＝ 0.2H,R1＝
20KΩ,R2＝ 30Ω，求 t=0时,uc＝？
Schematics 仿真结果：
??????? LRPPP 221 )( 21 tAAeu tC ?? ? ?
010)0( UAUu C ????
?
?
?
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?02
01
UA
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???
???
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相等的实根三,2, 21 ppCLR ?
0)(0)0(dd 21 ?????? AAtu C ?
由初始条件
非振荡放电
临界阻尼
小结：
非振荡放电过阻尼,2 CLR ? tptpc eAeAu 21 21 ??
振荡放电欠阻尼,2 CLR ?
)s i n ( ???? ?? tAeu tc
非振荡放电临界阻尼,2 CLR ? )(
21 tAAeu tc ?? ??
可推广应用于一般二阶电路
定积分常数
??
?
?
?
?
?
)0(
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dt
du
u
C
C由
电路所示如图
t = 0 时打开开关。
求, 电容电压 uC,并画
波形图。
解
(1) uc(0-)=25V
iL(0-)=5A
例 1
(2) uc(0+)=25V
iC(0+)= -5A
5Ω
20Ω
10Ω
10Ω
50V
+ -
iL+u
C
- 0
-电路
5Ω
μF
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uC
+ -
iL
20Ω
10Ω
10Ω
+
-
25V 5A
i
C
0+电路
特征方程为
50P2+2500P+106=0
13925 jP ???
0dd25]dd[dd )3( ???? CCC utuCtuCtL
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
例 1 5Ω
μF
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uC
+ -
iL
(1) uc(0-)=25V
iL(0-)=5A
(2) uc(0+)=25V
iC(0+)= -5A
20Ω
10Ω
10Ω
+
-uC
LC
t >0 电路
)139s i n (25 ??? ? tKeu tC
??
?
?
?
???
?
? 410
5s i n25c o s1 3 9
25s i n
??
?
KK
K
?176 358 ?? ?，K
0V)1 7 61 3 9s i n (3 5 8 25 ??? ? tteu tC ?
(4)
??
?
?
?
??
??
5
25)0(
dt
duC
u
C
C由
uC
?t0
358
25
一,零状态响应 u
c(0-)=0,iL(0-)=0
微分方程为：
EudtduRCdt ud ccc ???
2
LC
"' ccc uuu ??
特解通解
特解, Euc ?"
求通解的特征方程为；
012 ??? R C PL C P
R L
C
+
-
uC
iL
E
§ 7,2 二阶电路的零状态响应和全响应
)( 2121 21 ppeAeAEu tptpc ????
) ( 21 2 1 ??? ?????? ?? PPteAeAEu ttc
)( )s i n ( 21 ????? jPtAeEu tc ?????? ?,
uc解答形式为：
确定两个常数由初值
)0(
)0(
??
?
?
?
?
?
dt
du
u
c
c
二, 全响应
已知,iL(0-)=2A uC(0-)=0
R=50?,L=0.5H,C=100?F
求,iL(t) 。
解 (1) 列微分方程
50dddd 2
2
??? LLL RitiLt iRL C
t
uCi
R
u
L d
d-50 CC ??
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
t
iLuu L
LC d
d??
R
L C
iR
i L iC50 V
t=0
+
-
uL +
-
uC
(2)求通解 (自由分量）
02 0 0 0 02 0 02 ??? PP特征方程
特征根 P= -100 ? j100
)100s i n (1)( 100 ???? ? tKeti tL全解
(3)求特解（强制分量，稳态解）
AiL 1" ?
44
2
2
102102dd2 0 0dd ????? LLL itit i
)1 0 0s i n ()( 100 ??? ? tKeti tL通解
(4)求全解
(5)由 初值 定积分常数
??
?
?
?
?????
????
?
?
0c o s100s i n1000
2s i n12)0(
0 ??
?
KK
dt
di
Ki
L
L
o452 ?? ?K得
0)45100s i n (21)( 100 ????? ? tAteti tL ?
iL(0+)=2A,uC(0+)=0 （已知）
)1 0 0s i n (1)( 10 0 ???? ? tKeti tL全解
0)0(1)0(1dd 0 ??? ??? CLL uLuLti
)1 0 0c o s (1 0 0)1 0 0s i n (1 0 0dd 1 001 00 ?? ????? ?? tKetKeti ttL
本章小结
)( 过阻尼非振荡放电 tptp eAeA 21 21 ?
共轭虚根 0 ?R
)c o ss i n
)s i n (
tBtAe
tKe
t
t
???
???
??
??
（或
)( 临界阻尼非振荡放电 )( 21 tAAe t ???
2,二阶电路用三个参数 ?, ?和 ? 0来表示动态 响应。
特征根 响应性质 自由分量形式
不等的实根 2 CLR ?
2 共轭复根CLR ?
) ( 阻尼无等幅振荡 )s i n ( 0 ?? ?tK
相等的实根 2 CLR ?
)( 欠阻尼衰减振荡
1,二阶电路：含二个独立储能元件的电路，用二阶常
微分方程所描述的电路。
202 ??? ????p
3,求二阶电路全响应的步骤
(a)列写 t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应 =强制分量 +自由分量
定常数由初值
)0(
)0(
)(
?
?
dt
df
f
e
