第八章 相量法
重点：
? 正弦量的三要素,相位差
? 正弦量的相量表示
? 电路定律的相量表示形式
? 相量图
8,1 正弦量的基本概念
一,正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。
瞬时值表达式,i(t)=Imcos(w t+ ?)
i
+ _u
波形：
i
w tO?
T
二、正弦量的 三要素,
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im
Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2)角频率 (angular frequency)w
Tf ??w 22 ?? 单位,rad/s,弧度 / 秒
i
w tO?
T i(t)=I
mcos(w t+ ?)
w t+ ? 称为正弦量的相位或相角。
w：正弦量的相位随时间变化的角速度。
dt
td i )( ?ww ??
反映正弦量变化的快慢。
频率 f, 每秒重复变化的次数。
周期 T, 重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
?w 2?T
(3) 初相位 (initial phase angle) ?
(w t+ ? ) 大小决定该时刻正弦量的值 。 当 t=0时, 相位
角 (wt+? )= ?, 故称 ?为初相位角, 简称初相位 。
i(t)=Imcos(w t+ ?)i
w tO?
T
反映了正弦量的计时起点。
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
O
? =0
? =?/2 ? =-?/2
一般规定, | ? |??。
对于一个正弦量来说, 初相可以任意指定, 但对
于一个电路中有许多相关的正弦量, 它们只能相对于一
个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相 。
? =?
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(w t+ ? u),i(t)=Imcos(w t+ ? i)
则 相位差 即相位角之差：
? = (w t+ ? u)- (w t+ ? i)= ? u- ? i
? ? >0,u 领先 (超前 ) i, 或 i 落后 (滞后 ) u (u 先到达最大值 )；
? ? <0,i 领先 (超前 ) u，或 u 落后 (滞后 ) i (i 先到达最大值 )。
恰好等于初相位之差
? u
? i
? w t
u,i
u
i
O
? u <0
? i <0
? =0,同相：
? =?? (?180o ), 反相：
规定,| ? | ?? (180° )。
特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
O
w t
u,i
u
iO
? = ?/2,u 领先 i 于 ?/2,不说 u 落后 i于 3?/2；
i 落后 u于 ?/2,不说 i 领先 u于 3?/2。
w t
u,i
u
i
O
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8,2 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小
工程上采用有效值来表示。
电流有效值 定义为：
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
物理意义,周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内吸收的
电能, 等于一直流电流 I 流过 R,在时间 T 内吸
收的电能, 则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值 。
有效值也称均方根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
1,周期电流、电压有效值 (effective value)定义
?? T ttiTI 0 2d e f d)(1
W2=I 2RT
R
i(t)
R
I
同样，可定义 电压有效值,
?? T tRtiW 0 21 d)(
?? T tRtiRTI 0 22 d)(
?? T ttiTI 0 2 d)(1
?? T ttuTU 0 2d e f d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ ? )
ttITI T d ) (co s1
0
22
m? ?? ?w
Tttttt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 000 2 ?????? ?? ?w?w?
II
I
IT
I
T
I
2
7 0 7.0
22
1
m
m
m2
m
?
?????
) co s (2) co s ()( m ?w?w ???? tItIti
?? T ttiTI 0 2d e f d)(1
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2 21 mm ?? 或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设备铭牌
额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值指的是
最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值
考虑 。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i m
1,复数 A表示形式：
Fb
Re
Im
aO
F=a+jb
Fb
Re
Im
aO
?
|F|
)s i n( c o s|||| ??? jFeF j ??
8,3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
jba ??
jbaF ??
??? || FF
?? ??? |||| FeFF j
1??j
两种表示法的关系：
F=a+jb
F=|F|ej? =|F| ?
直角坐标表示
极坐标表示
?
?
?
?
?
?
??
a
b θ
baF
a rc t g
|| 22
或
??
?
?
?
?
?
s i n||
c o s||
F b
Fa
2,复数运算
则 F1± F2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——直角坐标
若 F1=a1+jb1,F2=a2+jb2
F1
F2
Re
Im
O
加减法可用图解法。
Fb
Re
Im
aO
?
|F|
F1+F2
F1-F2
(2) 乘除运算 ——极坐标
若 F1=|F1| ? 1, 若 F2=|F2| ? 2
21
2
1)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||e
||
||
e||
e||
||
|| 211 θθ
F
F
F
F
F
F
θF
θF
F
F θθ
θ
θ
??????? ?
除法：模相除，角相减。
例 1,
乘法：模相乘，角相加。
则,
2121)(212121 2121 ?????? ??????? ? FFeFFeFeFFF jjj
2510475 ????? ??
)2 2 6.40 6 3.9()6 5 7.341.3(2510475 jj ???????? ??
569.047.12 j??
?61.248.12 ???
解,
例 2,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 220 ?? ???? ?
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠ ?
F? ej? 相当于 F逆时针旋转一个角度 ?, 而模不变 。 故
把 ej? 称为旋转因子 。
解：上式 2.1 2 6j2.1 8 0 ??
?
??
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
?
????
?16.70728.62.126j2.180 ????
3 2 9.6j2 3 8.22.1 2 6j2.1 8 0 ????
?365.2255.132j5.182 ????
jje j ????? 2s i n2co s,2 2 ????
?
jje j ???????? ? )2s i n ()2c o s (,2 2 ????
?
1)s i n ()c o s (,???????? ? ???? ? je j
ej?/2=j,e-j?/2= -j,ej?= –1 故 +j,–j,-1 都可以
看成旋转因子。
几种不同 ?值时的旋转因子：
Re
Im
0
I?
Ij??
Ij??I
??
两个正弦量
i1+i2 ?i3
w w w
I1 I2 I3
? 1 ? 2 ? 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁 。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量, 所以, 只
要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。
角频率：
有效值：
初相位：
二、正弦量的相量表示
)c o s (2 111 ?w ?? tIi )c o s (2 222 ?w ?? tIi
i1 i2
w t
u,i
i1
i2
O
i3
于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，
因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来
代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
1,正弦量的相量表示
选一个复函数
)(2)( ??? ωtjIetF
没有物理意义
若对 F(t)取实部：
是一个正弦量,有物理意义。
) co s (2)](R e[ ??? ωtItF
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对
应的复指数函数：
)(2)]( R e[ ) co s (2 ?w?w ????? tjIetFtIi
) s i n (2) co s (2 ?w?w ???? tIjtI
F(t)包含了三要素,I,?, w, 复常数包含了 I,? 。
F(t)还可以写成
tjj eIetF w?2)( ?
复常数
tjeI w?? 2
) c os (2)( ??w ????? ? IItIti
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ???? II
正弦量的相量表示,
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 (强调它与正
弦量的联系 ),同时也改用, 相量,, 而不用, 向量,,
是因为它表示的不是一般意义的向量, 而是表示一个正弦
量 。
) c os (2)( ??w ????? ? UUtUtu
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1.
试用相量表示 i,u,
)V60143 1 1,1 c o s ( 3
A)30314c o s (4.141
o
o
??
??
tu
ti
解,
V60220
A30100
o
o
???
??
?
?
U
I
相量图 (相量和复数一样可以在平面上用向量表示 )：
?? ????? IItωIti ?) co s (2)(
θUUθtUtu ????? ?)c o s (2)( w
??
?U
?I
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解,
A)153 1 4co s (250 ??? ti
,5 0H z A,1550 ???? fI ?已知
我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的 几何意义,
ejw t 为一模为 1、幅角为 w t 的相量。随 t的增加，模不变，
而幅角与 t成正比，可视其为一旋转相量，当 t从 0~T时，
相量旋转一周回到初始位置,w t 从 0~2?。
。电流
投影即为正弦其旋转一周在实轴上的的旋转相量为
初始角度是模为
)c o s (2
,
,22ee2e2 ) (
?w
?
?ww?w
??
?? ?
?
tIi
IIeII tjtjjtj
t
i
O
+1
+j
O
φ
I2
w
2,相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
)2R e () c os (2)(
)2R e () c os (2)(
2222
1111
tj
tj
eUtUtu
eUtUtu
w
w
?w
?w
?
?
???
???
))(2R e ()22R e (
)2R e ()2R e ()()( )(
2121
2121
tjtjtj
tjtj
eUUeUeU
eUeUtututu
www
ww
????
??
????
????
U?
21 UUU ??? ??
可得其相量关系为：
例．
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量
图在正弦稳态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.413 1 4co s (264.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
?9.41
U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
首
尾
相
接
46.32319.5 jj ????
46.619.7 j?? V 9.4164.9 o??
?60
2U?
2, 正弦量的微分
)c o s (2 ii IItIi ??w ????? ?
? ?
)
2
co s ( 2
)s i n ( 2
)co s (2
??ww
w?w
?w
???
???
??
i
i
i
tI
tI
tI
dt
d
dt
di
IjIdtdi i ?w??w ???? )2(
微分运算,
IjdtdiIi ?? w?? Ijdt
id nn
n
?)(
)(
)(
w?
3, 正弦量的积分
)c o s (2 ii IItIi ??w ????? ?
)
2
c o s (
2
)s i n (2
)dc o s (2d
??w
?w
?w
???
??
??? ?
i
i
i
tω
I
tωI
ttIti
w
??
w j
IIi d t
i
?
????? )2(
积分运算,
? ?? wj Ii d tIi
??
n
j
Ini
）（
重积分的
w
?
?
4,相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解 (微分方程的特解 )
例 )c o s ()( m utUtu ?w ?? 一阶常系数
线性微分方程
自由分量 (齐次方程解 ),Ae-R/L t
强制分量 (特解 ),Imcos(w t+? i)
)c o s ()(
)c o s ()c o s ()c o s (
22
m
mmm
θtLRI
tLItRItU
i
iiu
????
?????
?ww
?ww?w?w
Ri(t)
u(t) L
+
-
22
m
m
22
mm )( LωR
UILRIU
2?
???? w
)()()( dt tdiLtRitu ??解,
用相量法求：
)c o s (2
222 R
La r c t gt
LωR
Ui
u
w?w ??
?
?
t
tiLtRitu
d
)(d)()( ??
??? ?? ILjIRU w
)c o s (2
222 R
La r c t gt
LωR
Ui
u
w?w ??
?
?
?
22 )( LωR ?
R
w L
Ri(t)
u(t) L
+
-取相量
LjR
UI
w?
?
?
?
R
La r c t gLωR
U u
w
?
??
??
222
R
La r c t g
iu
w?
???
?
??
小结
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解, 即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用
正弦波形图 相量图
8.4 电路定律的相量形式
一,电阻
时域形式：
相量形式：
iR
i
RIU
II
?
?
??
??
?
?
相量模型
)c o s (2)( itIti ?w ??已知
)c o s (2)()( iR tRItRitu ?w ???则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系,UR=RI
相位关系 ?u= ? i (u,i同相 )
R
+
-
RU?
? I
UR ?u
相量关系,
IRU R ?? ? UR=RI?
u= ? i
瞬时功率：
iup RR ?
波形图及相量图：
i
w tO
uR
pR RU?
I?
?u= ? i
URI
瞬时功率以 2w交变。但始终大于零，
表明电阻始终是吸收（消耗）功率。
) (c o s22 2 iR tωIU ???
)] (2c o s1[ iR tωIU ????
二, 电感 时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式：
2
π
???
??
iL
i
ω L IU
II
?
?
?
?
)c o s (2)( itIti ?w ??已知
)
2
c o s (2
)s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
i
iL
tIL
tIL
t
ti
Ltu
?ww
?ww则
相量模型
jw L
+
-LU
?
? I
相量关系：
ILjU L ?? w?
有效值关系,UL=w L I
相位关系,?u= ? i +90°
(u 超前 i 90° )
1,相量关系：
LU?
I?
?i
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力； U= XL I=w LI= 2?fLI
(2) 感抗和频率成正比；
w
XL
相量表达式,
XL=w L=2?fL,称为感抗, 单位为 ?(欧姆 )
BL=-1/wL = -1/2?fL,感纳, 单位为 S (同电导 )
2,感抗和感纳,
,ILjIjXU L ??? w??;,,;,0 ),(0
开路
短路直流
????w
??w
L
L
X
X
ULjULjUjBI L ???? w?w??? 11
功率：
)(2s i n
)c o s ()
2
c o s (
iL
imiLm
LL
tIU
tItU
iup
?w
?w
?
?w
???
????
?
波形图：
w t
i
O
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，
一周期内刚好互相抵消。
三,电容 时域形式：
相量形式：
2
π
???
??
?
?
uC
u
CUI
UU
?w
?
)c o s (2)( utUtu ?w ??已知
)
2
co s (2
)s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
u
uC
tCU
tCU
t
tu
Cti
?ww
?ww则
相量模型
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i = ?u +90°
(i 超前 u 90° )
iC(t)
u(t) C
+
-
? U
CI
?
+
- ωCj
1 相量关系：
I
C
jU
Cj
U
UCjI
???
??
w
??
w
?
w?
11
U?
CI?
? u
令 XC=-1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,w ?0,|XC|?? 直流开路 (隔直 )
w ??,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
容抗与容纳：
相量表达式, UCjUjBII
CjIjXU CC ?????? w??w
???,1
功率：
)(2s i n
)
2
c o s ()c o s (2
uC
uuC
CC
tωUI
tωtωUI
uip
?
?
??
???
????
?
波形图：
w t
iC
O
u
pC
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有
负，一周期内刚好互相抵消。
对于电路中任一结点，
根据 KCL有,? ? 0i 0?? ?I
对于电路中任一回路，
根据 KVL有,? ? 0u 0?? ?U
四、基尔霍夫定律的向量形式
例 8-3
。和，求电压，
，，已知：有效值
bdad
S
uuFCHL
Rsr a dAI
?
w
11
3/105 3
??
????
L
C
R
+ uL -
uC
a
+
-
iS + uR -
b c
d
? ? ?
?
R
+ -
a
+
-
+ -
b c
d
? ? ?
?
SI
? RU? LU?
CU
?
Ljw
Cjw
1
AI S ???? 05设 VIRU SR ???? ?? 015
VILjU SL ???? ?? 905 00 0w
VICjU SC ????? ?? 905 0 0 01w
R
+ -
a
+
-
+ -
b c
d
? ? ?
?
SI
? RU? LU?
CU
?
Ljw
Cjw
1
VIRU SR ???? ?? 015
VILjU SL ???? ?? 905 00 0w
VICjU SC ????? ?? 905 0 0 01w
0??? ??? CLbd UUU
VUUU bdRad ????? ??? 015
Vtu
u
ad
bd
)10c o s (215
0
3?
?
例 8-4 图示电路，电流表 A1的读数为 5A,A2的读数为
20A,A3的读数为 25A,求电流表 A和 A4的读数。
+
-
A
A1
A3
A2
A4
SU
?
?I
1
?I
2
?I
3
?I
4
?I
Ljw Cjw1R
???? 0SS UU设
AI ???? 051
AjI 2090202 ???????
AjI 2590253 ?????
AjIII ?????? ??? 9055324
AjIII ??????? ??? 4507.75541
1
?I
2
?I
3
?I
4
?I
?I
SU
?
o
本章小结
1、正弦量及三各要素
i(t)=Imcos(w t+ ?)
振幅,Im 角频率,w 初相,?
2、有效值
2
d)(1
0
2
d e f
mT Itti
T
I ?? ?
3、同频率正弦量的相位差
? ui = (w t+ ? u)- (w t+ ? i)= ? u- ? i
? ui =? u- ? i > 0 电压超前于电流
? ui =? u- ? i < 0 电压滞后于电流
规定,| ? | ??
4、有效值相量
) c os (2)( ??w ????? ? IItIti
5、相量的性质
a、同频正弦量的代数和
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
6、相量图
b、正弦量的微分
)c o s (2 ii IItIi ??w ????? ?
Ijdtdi ?w?
c、正弦量的积分
? ?? wj Ii d tIi
??
?? ????? IItωIti ?) co s (2)(
θUUθtUtu ????? ?)c o s (2)( w
??
?U
?I
7、电路定律的相量形式
a、电阻
R
+
-
RU?
? I
IRU R ?? ? UR=RI
?u= ? i
瞬时功率：
iup R?
RU?
I?
?u= ? i
)] (2c o s1[ i???? tωIU R
电阻总是消耗功率的
b、电感
jw L
+
-LU
?
? I
ILjU L ?? w?
UL=w L I
?u= ? i +90°
(u 超前 i 90° )
LU?
I?
?i
)(2s i n
)c o s ()
2
c o s (
iL
imiLm
LL
tIU
tItU
iup
?w
?w
?
?w
???
????
?
LBLX LL ww
1?? 感纳：；感抗：
c、电容
CBCX CC ww ?? 容纳：；容抗,1
? U
CI
?
+
- ωCj
1IC=w CU
? i = ?u +90°
(i 超前 u 90° )
I
C
jU
Cj
U
UCjI
???
??
w
??
w
?
w?
11
U?
CI?
?u
功率：
)(2s i n
)
2
c o s ()c o s (2
uC
uuC
CC
tωUI
tωtωUI
uip
?
?
??
???
????
?
d、基尔霍夫定律
? ? 0i 0?? ?I
? ? 0u 0?? ?U
重点：
? 正弦量的三要素,相位差
? 正弦量的相量表示
? 电路定律的相量表示形式
? 相量图
8,1 正弦量的基本概念
一,正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。
瞬时值表达式,i(t)=Imcos(w t+ ?)
i
+ _u
波形：
i
w tO?
T
二、正弦量的 三要素,
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im
Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2)角频率 (angular frequency)w
Tf ??w 22 ?? 单位,rad/s,弧度 / 秒
i
w tO?
T i(t)=I
mcos(w t+ ?)
w t+ ? 称为正弦量的相位或相角。
w：正弦量的相位随时间变化的角速度。
dt
td i )( ?ww ??
反映正弦量变化的快慢。
频率 f, 每秒重复变化的次数。
周期 T, 重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
?w 2?T
(3) 初相位 (initial phase angle) ?
(w t+ ? ) 大小决定该时刻正弦量的值 。 当 t=0时, 相位
角 (wt+? )= ?, 故称 ?为初相位角, 简称初相位 。
i(t)=Imcos(w t+ ?)i
w tO?
T
反映了正弦量的计时起点。
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
O
? =0
? =?/2 ? =-?/2
一般规定, | ? |??。
对于一个正弦量来说, 初相可以任意指定, 但对
于一个电路中有许多相关的正弦量, 它们只能相对于一
个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相 。
? =?
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(w t+ ? u),i(t)=Imcos(w t+ ? i)
则 相位差 即相位角之差：
? = (w t+ ? u)- (w t+ ? i)= ? u- ? i
? ? >0,u 领先 (超前 ) i, 或 i 落后 (滞后 ) u (u 先到达最大值 )；
? ? <0,i 领先 (超前 ) u，或 u 落后 (滞后 ) i (i 先到达最大值 )。
恰好等于初相位之差
? u
? i
? w t
u,i
u
i
O
? u <0
? i <0
? =0,同相：
? =?? (?180o ), 反相：
规定,| ? | ?? (180° )。
特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
O
w t
u,i
u
iO
? = ?/2,u 领先 i 于 ?/2,不说 u 落后 i于 3?/2；
i 落后 u于 ?/2,不说 i 领先 u于 3?/2。
w t
u,i
u
i
O
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8,2 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小
工程上采用有效值来表示。
电流有效值 定义为：
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
物理意义,周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内吸收的
电能, 等于一直流电流 I 流过 R,在时间 T 内吸
收的电能, 则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值 。
有效值也称均方根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
1,周期电流、电压有效值 (effective value)定义
?? T ttiTI 0 2d e f d)(1
W2=I 2RT
R
i(t)
R
I
同样，可定义 电压有效值,
?? T tRtiW 0 21 d)(
?? T tRtiRTI 0 22 d)(
?? T ttiTI 0 2 d)(1
?? T ttuTU 0 2d e f d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ ? )
ttITI T d ) (co s1
0
22
m? ?? ?w
Tttttt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 000 2 ?????? ?? ?w?w?
II
I
IT
I
T
I
2
7 0 7.0
22
1
m
m
m2
m
?
?????
) co s (2) co s ()( m ?w?w ???? tItIti
?? T ttiTI 0 2d e f d)(1
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2 21 mm ?? 或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设备铭牌
额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值指的是
最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值
考虑 。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i m
1,复数 A表示形式：
Fb
Re
Im
aO
F=a+jb
Fb
Re
Im
aO
?
|F|
)s i n( c o s|||| ??? jFeF j ??
8,3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
jba ??
jbaF ??
??? || FF
?? ??? |||| FeFF j
1??j
两种表示法的关系：
F=a+jb
F=|F|ej? =|F| ?
直角坐标表示
极坐标表示
?
?
?
?
?
?
??
a
b θ
baF
a rc t g
|| 22
或
??
?
?
?
?
?
s i n||
c o s||
F b
Fa
2,复数运算
则 F1± F2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——直角坐标
若 F1=a1+jb1,F2=a2+jb2
F1
F2
Re
Im
O
加减法可用图解法。
Fb
Re
Im
aO
?
|F|
F1+F2
F1-F2
(2) 乘除运算 ——极坐标
若 F1=|F1| ? 1, 若 F2=|F2| ? 2
21
2
1)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||e
||
||
e||
e||
||
|| 211 θθ
F
F
F
F
F
F
θF
θF
F
F θθ
θ
θ
??????? ?
除法：模相除，角相减。
例 1,
乘法：模相乘，角相加。
则,
2121)(212121 2121 ?????? ??????? ? FFeFFeFeFFF jjj
2510475 ????? ??
)2 2 6.40 6 3.9()6 5 7.341.3(2510475 jj ???????? ??
569.047.12 j??
?61.248.12 ???
解,
例 2,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 220 ?? ???? ?
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠ ?
F? ej? 相当于 F逆时针旋转一个角度 ?, 而模不变 。 故
把 ej? 称为旋转因子 。
解：上式 2.1 2 6j2.1 8 0 ??
?
??
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
?
????
?16.70728.62.126j2.180 ????
3 2 9.6j2 3 8.22.1 2 6j2.1 8 0 ????
?365.2255.132j5.182 ????
jje j ????? 2s i n2co s,2 2 ????
?
jje j ???????? ? )2s i n ()2c o s (,2 2 ????
?
1)s i n ()c o s (,???????? ? ???? ? je j
ej?/2=j,e-j?/2= -j,ej?= –1 故 +j,–j,-1 都可以
看成旋转因子。
几种不同 ?值时的旋转因子：
Re
Im
0
I?
Ij??
Ij??I
??
两个正弦量
i1+i2 ?i3
w w w
I1 I2 I3
? 1 ? 2 ? 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁 。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量, 所以, 只
要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。
角频率：
有效值：
初相位：
二、正弦量的相量表示
)c o s (2 111 ?w ?? tIi )c o s (2 222 ?w ?? tIi
i1 i2
w t
u,i
i1
i2
O
i3
于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，
因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来
代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
1,正弦量的相量表示
选一个复函数
)(2)( ??? ωtjIetF
没有物理意义
若对 F(t)取实部：
是一个正弦量,有物理意义。
) co s (2)](R e[ ??? ωtItF
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对
应的复指数函数：
)(2)]( R e[ ) co s (2 ?w?w ????? tjIetFtIi
) s i n (2) co s (2 ?w?w ???? tIjtI
F(t)包含了三要素,I,?, w, 复常数包含了 I,? 。
F(t)还可以写成
tjj eIetF w?2)( ?
复常数
tjeI w?? 2
) c os (2)( ??w ????? ? IItIti
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ???? II
正弦量的相量表示,
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 (强调它与正
弦量的联系 ),同时也改用, 相量,, 而不用, 向量,,
是因为它表示的不是一般意义的向量, 而是表示一个正弦
量 。
) c os (2)( ??w ????? ? UUtUtu
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1.
试用相量表示 i,u,
)V60143 1 1,1 c o s ( 3
A)30314c o s (4.141
o
o
??
??
tu
ti
解,
V60220
A30100
o
o
???
??
?
?
U
I
相量图 (相量和复数一样可以在平面上用向量表示 )：
?? ????? IItωIti ?) co s (2)(
θUUθtUtu ????? ?)c o s (2)( w
??
?U
?I
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解,
A)153 1 4co s (250 ??? ti
,5 0H z A,1550 ???? fI ?已知
我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的 几何意义,
ejw t 为一模为 1、幅角为 w t 的相量。随 t的增加，模不变，
而幅角与 t成正比，可视其为一旋转相量，当 t从 0~T时，
相量旋转一周回到初始位置,w t 从 0~2?。
。电流
投影即为正弦其旋转一周在实轴上的的旋转相量为
初始角度是模为
)c o s (2
,
,22ee2e2 ) (
?w
?
?ww?w
??
?? ?
?
tIi
IIeII tjtjjtj
t
i
O
+1
+j
O
φ
I2
w
2,相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
)2R e () c os (2)(
)2R e () c os (2)(
2222
1111
tj
tj
eUtUtu
eUtUtu
w
w
?w
?w
?
?
???
???
))(2R e ()22R e (
)2R e ()2R e ()()( )(
2121
2121
tjtjtj
tjtj
eUUeUeU
eUeUtututu
www
ww
????
??
????
????
U?
21 UUU ??? ??
可得其相量关系为：
例．
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量
图在正弦稳态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.413 1 4co s (264.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
?9.41
U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
首
尾
相
接
46.32319.5 jj ????
46.619.7 j?? V 9.4164.9 o??
?60
2U?
2, 正弦量的微分
)c o s (2 ii IItIi ??w ????? ?
? ?
)
2
co s ( 2
)s i n ( 2
)co s (2
??ww
w?w
?w
???
???
??
i
i
i
tI
tI
tI
dt
d
dt
di
IjIdtdi i ?w??w ???? )2(
微分运算,
IjdtdiIi ?? w?? Ijdt
id nn
n
?)(
)(
)(
w?
3, 正弦量的积分
)c o s (2 ii IItIi ??w ????? ?
)
2
c o s (
2
)s i n (2
)dc o s (2d
??w
?w
?w
???
??
??? ?
i
i
i
tω
I
tωI
ttIti
w
??
w j
IIi d t
i
?
????? )2(
积分运算,
? ?? wj Ii d tIi
??
n
j
Ini
）（
重积分的
w
?
?
4,相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解 (微分方程的特解 )
例 )c o s ()( m utUtu ?w ?? 一阶常系数
线性微分方程
自由分量 (齐次方程解 ),Ae-R/L t
强制分量 (特解 ),Imcos(w t+? i)
)c o s ()(
)c o s ()c o s ()c o s (
22
m
mmm
θtLRI
tLItRItU
i
iiu
????
?????
?ww
?ww?w?w
Ri(t)
u(t) L
+
-
22
m
m
22
mm )( LωR
UILRIU
2?
???? w
)()()( dt tdiLtRitu ??解,
用相量法求：
)c o s (2
222 R
La r c t gt
LωR
Ui
u
w?w ??
?
?
t
tiLtRitu
d
)(d)()( ??
??? ?? ILjIRU w
)c o s (2
222 R
La r c t gt
LωR
Ui
u
w?w ??
?
?
?
22 )( LωR ?
R
w L
Ri(t)
u(t) L
+
-取相量
LjR
UI
w?
?
?
?
R
La r c t gLωR
U u
w
?
??
??
222
R
La r c t g
iu
w?
???
?
??
小结
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解, 即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用
正弦波形图 相量图
8.4 电路定律的相量形式
一,电阻
时域形式：
相量形式：
iR
i
RIU
II
?
?
??
??
?
?
相量模型
)c o s (2)( itIti ?w ??已知
)c o s (2)()( iR tRItRitu ?w ???则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系,UR=RI
相位关系 ?u= ? i (u,i同相 )
R
+
-
RU?
? I
UR ?u
相量关系,
IRU R ?? ? UR=RI?
u= ? i
瞬时功率：
iup RR ?
波形图及相量图：
i
w tO
uR
pR RU?
I?
?u= ? i
URI
瞬时功率以 2w交变。但始终大于零，
表明电阻始终是吸收（消耗）功率。
) (c o s22 2 iR tωIU ???
)] (2c o s1[ iR tωIU ????
二, 电感 时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式：
2
π
???
??
iL
i
ω L IU
II
?
?
?
?
)c o s (2)( itIti ?w ??已知
)
2
c o s (2
)s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
i
iL
tIL
tIL
t
ti
Ltu
?ww
?ww则
相量模型
jw L
+
-LU
?
? I
相量关系：
ILjU L ?? w?
有效值关系,UL=w L I
相位关系,?u= ? i +90°
(u 超前 i 90° )
1,相量关系：
LU?
I?
?i
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力； U= XL I=w LI= 2?fLI
(2) 感抗和频率成正比；
w
XL
相量表达式,
XL=w L=2?fL,称为感抗, 单位为 ?(欧姆 )
BL=-1/wL = -1/2?fL,感纳, 单位为 S (同电导 )
2,感抗和感纳,
,ILjIjXU L ??? w??;,,;,0 ),(0
开路
短路直流
????w
??w
L
L
X
X
ULjULjUjBI L ???? w?w??? 11
功率：
)(2s i n
)c o s ()
2
c o s (
iL
imiLm
LL
tIU
tItU
iup
?w
?w
?
?w
???
????
?
波形图：
w t
i
O
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，
一周期内刚好互相抵消。
三,电容 时域形式：
相量形式：
2
π
???
??
?
?
uC
u
CUI
UU
?w
?
)c o s (2)( utUtu ?w ??已知
)
2
co s (2
)s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
u
uC
tCU
tCU
t
tu
Cti
?ww
?ww则
相量模型
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i = ?u +90°
(i 超前 u 90° )
iC(t)
u(t) C
+
-
? U
CI
?
+
- ωCj
1 相量关系：
I
C
jU
Cj
U
UCjI
???
??
w
??
w
?
w?
11
U?
CI?
? u
令 XC=-1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,w ?0,|XC|?? 直流开路 (隔直 )
w ??,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
容抗与容纳：
相量表达式, UCjUjBII
CjIjXU CC ?????? w??w
???,1
功率：
)(2s i n
)
2
c o s ()c o s (2
uC
uuC
CC
tωUI
tωtωUI
uip
?
?
??
???
????
?
波形图：
w t
iC
O
u
pC
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有
负，一周期内刚好互相抵消。
对于电路中任一结点，
根据 KCL有,? ? 0i 0?? ?I
对于电路中任一回路，
根据 KVL有,? ? 0u 0?? ?U
四、基尔霍夫定律的向量形式
例 8-3
。和，求电压，
，，已知：有效值
bdad
S
uuFCHL
Rsr a dAI
?
w
11
3/105 3
??
????
L
C
R
+ uL -
uC
a
+
-
iS + uR -
b c
d
? ? ?
?
R
+ -
a
+
-
+ -
b c
d
? ? ?
?
SI
? RU? LU?
CU
?
Ljw
Cjw
1
AI S ???? 05设 VIRU SR ???? ?? 015
VILjU SL ???? ?? 905 00 0w
VICjU SC ????? ?? 905 0 0 01w
R
+ -
a
+
-
+ -
b c
d
? ? ?
?
SI
? RU? LU?
CU
?
Ljw
Cjw
1
VIRU SR ???? ?? 015
VILjU SL ???? ?? 905 00 0w
VICjU SC ????? ?? 905 0 0 01w
0??? ??? CLbd UUU
VUUU bdRad ????? ??? 015
Vtu
u
ad
bd
)10c o s (215
0
3?
?
例 8-4 图示电路，电流表 A1的读数为 5A,A2的读数为
20A,A3的读数为 25A,求电流表 A和 A4的读数。
+
-
A
A1
A3
A2
A4
SU
?
?I
1
?I
2
?I
3
?I
4
?I
Ljw Cjw1R
???? 0SS UU设
AI ???? 051
AjI 2090202 ???????
AjI 2590253 ?????
AjIII ?????? ??? 9055324
AjIII ??????? ??? 4507.75541
1
?I
2
?I
3
?I
4
?I
?I
SU
?
o
本章小结
1、正弦量及三各要素
i(t)=Imcos(w t+ ?)
振幅,Im 角频率,w 初相,?
2、有效值
2
d)(1
0
2
d e f
mT Itti
T
I ?? ?
3、同频率正弦量的相位差
? ui = (w t+ ? u)- (w t+ ? i)= ? u- ? i
? ui =? u- ? i > 0 电压超前于电流
? ui =? u- ? i < 0 电压滞后于电流
规定,| ? | ??
4、有效值相量
) c os (2)( ??w ????? ? IItIti
5、相量的性质
a、同频正弦量的代数和
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
6、相量图
b、正弦量的微分
)c o s (2 ii IItIi ??w ????? ?
Ijdtdi ?w?
c、正弦量的积分
? ?? wj Ii d tIi
??
?? ????? IItωIti ?) co s (2)(
θUUθtUtu ????? ?)c o s (2)( w
??
?U
?I
7、电路定律的相量形式
a、电阻
R
+
-
RU?
? I
IRU R ?? ? UR=RI
?u= ? i
瞬时功率：
iup R?
RU?
I?
?u= ? i
)] (2c o s1[ i???? tωIU R
电阻总是消耗功率的
b、电感
jw L
+
-LU
?
? I
ILjU L ?? w?
UL=w L I
?u= ? i +90°
(u 超前 i 90° )
LU?
I?
?i
)(2s i n
)c o s ()
2
c o s (
iL
imiLm
LL
tIU
tItU
iup
?w
?w
?
?w
???
????
?
LBLX LL ww
1?? 感纳：；感抗：
c、电容
CBCX CC ww ?? 容纳：；容抗,1
? U
CI
?
+
- ωCj
1IC=w CU
? i = ?u +90°
(i 超前 u 90° )
I
C
jU
Cj
U
UCjI
???
??
w
??
w
?
w?
11
U?
CI?
?u
功率：
)(2s i n
)
2
c o s ()c o s (2
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uuC
CC
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tωtωUI
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????
?
d、基尔霍夫定律
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