第 3章 电阻电路的一般分析方法
? 重点：
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法
回路电流法
结点电压法
3.1 电路的图
求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构 。
首先, 选择一组合适的电路变量 （ 电流和 /或电
压 ）, 根据 KCL和 KVL及元件的电压电流关系
（ VCR） 建立该组变量的独立方程组, 即电路方程,
然后从方程中解出电路变量 。 对于线性电阻电路,
电路方程是一组线性代数方程 。
学习图论的初步知识, 以便研究电路的连接
性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变
量 。
一, 图的基本概念
电路的, 图,,是指把电路中每一条支路画成抽象
的线段形成的一个结点和支路的集合 。
每条支路的两端都连到相应的结点上 。
支路用线段描述, 结点用点描述 。
注意：在图的定义中, 结点和支路各自为一个整
体, 但任意一条支路必须终止在结点上 。
移去一条支路并不等于同时把它连接的结
点也移去, 所以允许有孤立结点存在 。 若
移去一个结点, 则应当把与该结点连接的
全部支路都同时移去 。
例,
有向图：赋予支路方向的图 。 电流, 电压取关联参
考方向 。
无向图：未赋予支路方向的图 。
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
一, KCL的独立方程数
列 KCL方程：
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
01 641 ??? iii：结点
02 321 ???? iii：结点
03 652 ??? iii：结点
04 543 ???? iii：结点
0=0?
对所有结点都列写了 KCL方程,
而每一条支路与两个结点相联,
并且每个支路电流必然从其中一
个结点流出, 流入另一结点 。 因
此, 在所有 KCL方程中, 每个支
路电流必然出现两次, 一次为正,
一次为负 。 上述 4个方程中任意 3
个为独立的 。
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
结论, 对于具有 n个结点的电路, 任意选取 (n-1)个
结点, 可以得出 (n-1)个独立的 KCL方程 。
相应的 (n-1)个结点称为独立结点 。
二, KVL独立方程数
路径：从一个图 G的某一结点出发, 沿着一些支
路移动, 从而到达另一结点 （ 或回到原出
发点 ）, 这样的一系列支路构成图 G的一
条路径 。
连通图：当 G的任意两个结点之间至少存在一条支
路时, G为连通图 。
回路：如果一条路径的起点和终点重合, 且经过的
其它结点都相异, 这条闭合的路径为 G的一
个回路 。
例：
有 13个不同的回路, 但独立回路数要少
于 13个 。 对每个回路列 KVL方程, 含有非独
立方程 。
回路 1（ 1,5,8）
回路 2（ 2,6,5）
回路 3（ 1,2,6,8）
0851 ??? uuu
0562 ??? uuu
08621 ???? uuuu
利用, 树, 的概念寻找一个电路的独立回路组 。
1 2
34
58 6
7
?
???
?
树：一个连通图 G的树 T包含 G的全部结点和部分
支路, 而树 T本身是连通的且又不包含回路 。
例, 1 2
34
58 6
7
?
???
?
1
3
58 6
?
?
?
??
58 6
7
?
?
?
? ?
2
4
5
7
?
???
?
3
58 6
?
???
?
25
8 6
?
???
?
树支：树中包含的支路为树支 。
连支：其它支路为对应于该树的连支 。
树支与连支共同构成图 G的全部的支路 。
树支数,对于一个具有 n个结点的连通图, 它的
任何一个树的树支数必为 （ n-1） 个 。
连支数,对于一个具有 n个结点 b条支路的连通
图, 它的任何一个树的连支数必为
(b-n+1)个 。
由于连通图 G的树支连接所有结点又不形成
回路, 因此, 对于图 G的任意一个树, 加入一个
连支后, 形成一个回路, 并且此回路除所加的连
支外均由树支组成 。
单连支回路,由树支和 一条连支 所形成的回路 。
单连支回路也称为基本回路 。
每一个基本回路仅含一个连支, 且这一连支并不
出现在其他基本回路中 。
独立回路数：对于一个结点数为 n,支路数为 b的
连通图, 其独立回路数为 （ b-n+1） 。
基本回路组,由全部单连支形成的基本回路构成基本
回路组 。
基本回路组是独立回路组 。 根据基本回路列出的
KVL方程组是独立方程 。
平面图,如果把一个图画在平面上, 能使它的各条
支路除连接的结点外不再交叉, 这样的图
为平面图 。 否则为非平面图 。
平面图的全部网孔是一组独立回路, 故平面图
的网孔数为其独立回路数 。
2b法,对一个具有 b条支路和 n个结点的电路, 当
以 支路电压和支路电流 为电路变量列写方程
时, 总计有 2b个未知量 。 根据 KCL可以列
出 （ n-1） 个独立方程, 根据 KVL可以列出
（ b-n+1） 个独立方程, 根据元件的 VCR又
可以列出 b个方程 。 总计方程数 2b,与未知
数相等 。
例
b=3,n=2,l=3
变量,I1,I2,I3
a,-I1-I2+I3= 0
b,I1+I2-I3= 0
KCL
一个独立方程
KVL I1R1-I2R2=E1-E2
I2R2+I3R3= E2
I1R1+I3R3= E1
二个独立方程
规律,KCL,n - 1
R1
E1
I1
R2
E2
I2 I3
R3
b
a
3.3 支路电流法 (branch current method )
支路电流法,以各支路电流为未知量列写电路方程。
KVL,b - (n - 1)
由上式可得 KVL方程的另一形式, 即任一回路中,
电阻电压 的代数和等于 电源电压 的代数和, 即：
?? ? skkk uiR
式中 Rkik为回路中第 k个支路电阻上的电压, 和
式遍及回路中的所有支路, 且当 ik参考方向与回路方
向一致时, 前面取, +”号；不一致时, 取, –”号 。
右边 usk为回路中第 k支路的电源电压 （ 也包括
电流源引起的电压 ） 。 在取代数和时, 当 usk与回
路方向一致时前面取, –”号；当 usk与回路方向不
一致时取, +”号；
列出支路电流法的电路方程的步骤：
注意：电阻电压和电源电压表达式中符号
的选取。
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路, 指定回路的绕
行方向, 列出用支路电流表示的 KVL方程 。
3,5 回路电流法 (loop current method)
基本思想,以 假想的 独立回路电流为独立变量 。 各支路电
流可用回路电流线性组合表示 。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 支路电流可由回路电流求出
回路电流分别为 il 1,il 2
列写 KVL方程
电阻压降 电源电压升
??? S UU R
绕行方向 和 回路电流方向 取为 一致
? ? 0U
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1i3= i l 2
回路电流法,以回路电流为未知变量列写电路方
程分析电路的方法。
回路 1,R1 il1-R2(il2 - il1)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
得 (R
1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
支路电流
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1 i3= i l 2
R11=R1+R2 代表回路 1的总电阻（ 自电阻 ）令
R22=R2+R3 代表回路 2总电阻（ 自电阻 ）
R12= -R2, R21= -R2 代表回路 1和回路 2的公共电阻（ 互电阻 ）
uSl1= uS1-uS2 回路 1中所有电压源电压升的代数和
uSl2= uS2 回路 2中所有电压源电压升的代和
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 R11=R1+R2 自电阻
R22=R2+R3 自电阻
R12=-R2, R21=-R2 互电阻
R11 il 1+R12 il 2= uSl1
R21 il1+R22 il2= uSl2
推广到 l 个回路
其中
Rjk,互电阻
+, 流过互阻两个回路电流方向相同
-, 流过互阻两个回路电流方向相反
0, 无关
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill=uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill=uSll
Rkk,自电阻 (为正 ), k =1,2,?,l
网孔电流法,对平面电路, 若以网孔为独立回路, 此
时回路电流也称为网孔电流, 对应的分
析方法称为网孔电流法 。
例 1 用回路法求各支路电流。
解 (1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且
互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
(5) 校核 选一新回路 ?U ==?E?
,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
① 将 VCVS看作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia -3Ib = 2
-12Ia+15Ib-Ic = 0
9Ia -10Ib+3Ic= 0
③
U2=3(Ib-Ia) ②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
例 2 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
?
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic
将②代入①，得
各支路电流为：
I1= Ia=1.19A
解得
* 由于含受控源, 方程的系数矩阵一般不对称 。
,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=-0.52A
例 3 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3_ +Ui
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
* 引入电流源的端电压变量
** 增加回路电流和电流源电流的关系方程
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
1、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路
电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
2、按 通式 写出回路电流方程。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端
为该回路所有电源电压 升 的代数和。
3、电路中含有 受控源 时应按独立源来处理；含有 无伴
电流源 时，可使该电流源仅仅属于一个回路。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(2) 列 KCL方程：
? iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
un1
un2
-i3-i4+i5=-iS3
0
1 2
(1) 选定参考节点, 标
明其余 n-1个独立节
点的电压
节点电压法,以节点电压为未知变量列写电路方
程分析电路的方法。
3,6 结点电压法 (node voltage method)
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u ????????
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
1
n1
1 R
ui ?
3
n2n1
3 R
uui ??
2
n1
2 R
ui ?
4
n2n1
4 R
uui ??
5
n2
5 R
ui ?
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为
G11un1+G12un2 = isn1
G21un1+G22un2 = isn2 标准形式的节点电压方程
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
G11=G1+G2+G3+G4 节点 1的自电导, 等于接在节点 1上
所有支路的电导之和
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
G22=G3+G4+G5 节点 2的自电导, 等于接在节点 2上
所有支路的电导之和
G12= G21 =-(G3+G4) 节点 1与节点 2之间的互电导, 等
于接在节点 1与节点 2之间的所有
支路的电导之和, 并 冠以负号
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iSn2=-iS3 流入节点 2的电流源电流的代数和
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与电
阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n1
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu ?????????
uS1
整理，并记 Gk=1/Rk，得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
用节点法求各支路电流。例 1
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.46mA I4= UB /40=0.546mA
各支路电流：
解：
20
1 2 0
10
1)
10
1
40
1
20
1( ????
BA UU
40
2 40)
40
1
20
1
10
1(
10
1 ??????
BA UU
UA=21.8V
UB=-21.82V
I5= UB /20=-1.09mA
(1) 把受控源当作独立源看,列方程
(2) 用节点电压表示控制量。
例 2 列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
u= un1
S12
1
1
21
1)11( iu
RuRR nn ???
12
31
1
1
111
snn igu)uRR(uR ??????
解
1
2
iS1
R1 R3
R2 gu
+ u -
支路法、回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点
较容易。
(3) 回路法, 节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网, 集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
(1) 方程数的比较
本章小结
1、独立的 KCL方程数 （ n–1）个
2、独立的 KVL方程数 （ b – n + 1）个
3、独立回路组
树支数 （ n–1）个
连支数 （ b–n+1）个
单连支回路,一个连支和几个数支构成的回路
独立回路组,由所有单连支回路组成的回路组。
4,2b法
以各支路的电压和电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个
VCR方程数 （ b ）个
?
（ 2 b ）个
5、支路电流法
以各支路的电流为求解变量。各支路电压用
支路电流来表示。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个 ? （ b ）个
列出支路电流法的电路方程的步骤：
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路, 指定回路的绕
行方向, 列出用支路电流表示的 KVL方程 。
?? ? skkk uiR
（ 4） 若某个支路含有无伴电流源时, 该支路电压
无法用支路电流来表示, 可设该支路电压为
解变量, 由于该支路电流为已知, 变量的总
数没有变化 。
6、回路电流法
以假想的各独立回路的回路电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
(1) 选择独立回路（平面电路可选择网孔），标
注回路电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
(2) 按 通式 写出回路电流方程。
平面电路的网孔就是独立回路。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程
右端为该回路所有电源电压 升 的代数和。
(3) 电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(4) 电路中含有 无伴电流源 时，需要特殊处理。
a.可使该电流源仅仅属于一个回路 ;
b.设该电流源的端电压为求解变量，用回路
电流列出一个增补方程。
7、结点电压法
以各独立结点的结点电压为求解变量。
KCL方程数 （ n –1）个
（ 1）指定 参考结点,其余结点对参考结点之间
的电压就是结点电压。
列写结点电压方程的步骤：
G11un1+G12un2+…+ G1nunn= iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2nunn= iSn2
… … …
Gn1un1+Gn2un2+…+ Gnnunn= iSnn
（ 2）按 通式 写出结点电压方程。
自导为正，互导
总为负，注入各
结点的电流为正。
（ 3）电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
（ 4）电路中含有 无伴电压源 时可选择该电压源
的一端作为参考结点。
8,比较
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
? 重点：
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法
回路电流法
结点电压法
3.1 电路的图
求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构 。
首先, 选择一组合适的电路变量 （ 电流和 /或电
压 ）, 根据 KCL和 KVL及元件的电压电流关系
（ VCR） 建立该组变量的独立方程组, 即电路方程,
然后从方程中解出电路变量 。 对于线性电阻电路,
电路方程是一组线性代数方程 。
学习图论的初步知识, 以便研究电路的连接
性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变
量 。
一, 图的基本概念
电路的, 图,,是指把电路中每一条支路画成抽象
的线段形成的一个结点和支路的集合 。
每条支路的两端都连到相应的结点上 。
支路用线段描述, 结点用点描述 。
注意：在图的定义中, 结点和支路各自为一个整
体, 但任意一条支路必须终止在结点上 。
移去一条支路并不等于同时把它连接的结
点也移去, 所以允许有孤立结点存在 。 若
移去一个结点, 则应当把与该结点连接的
全部支路都同时移去 。
例,
有向图：赋予支路方向的图 。 电流, 电压取关联参
考方向 。
无向图：未赋予支路方向的图 。
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
一, KCL的独立方程数
列 KCL方程：
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
01 641 ??? iii：结点
02 321 ???? iii：结点
03 652 ??? iii：结点
04 543 ???? iii：结点
0=0?
对所有结点都列写了 KCL方程,
而每一条支路与两个结点相联,
并且每个支路电流必然从其中一
个结点流出, 流入另一结点 。 因
此, 在所有 KCL方程中, 每个支
路电流必然出现两次, 一次为正,
一次为负 。 上述 4个方程中任意 3
个为独立的 。
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
结论, 对于具有 n个结点的电路, 任意选取 (n-1)个
结点, 可以得出 (n-1)个独立的 KCL方程 。
相应的 (n-1)个结点称为独立结点 。
二, KVL独立方程数
路径：从一个图 G的某一结点出发, 沿着一些支
路移动, 从而到达另一结点 （ 或回到原出
发点 ）, 这样的一系列支路构成图 G的一
条路径 。
连通图：当 G的任意两个结点之间至少存在一条支
路时, G为连通图 。
回路：如果一条路径的起点和终点重合, 且经过的
其它结点都相异, 这条闭合的路径为 G的一
个回路 。
例：
有 13个不同的回路, 但独立回路数要少
于 13个 。 对每个回路列 KVL方程, 含有非独
立方程 。
回路 1（ 1,5,8）
回路 2（ 2,6,5）
回路 3（ 1,2,6,8）
0851 ??? uuu
0562 ??? uuu
08621 ???? uuuu
利用, 树, 的概念寻找一个电路的独立回路组 。
1 2
34
58 6
7
?
???
?
树：一个连通图 G的树 T包含 G的全部结点和部分
支路, 而树 T本身是连通的且又不包含回路 。
例, 1 2
34
58 6
7
?
???
?
1
3
58 6
?
?
?
??
58 6
7
?
?
?
? ?
2
4
5
7
?
???
?
3
58 6
?
???
?
25
8 6
?
???
?
树支：树中包含的支路为树支 。
连支：其它支路为对应于该树的连支 。
树支与连支共同构成图 G的全部的支路 。
树支数,对于一个具有 n个结点的连通图, 它的
任何一个树的树支数必为 （ n-1） 个 。
连支数,对于一个具有 n个结点 b条支路的连通
图, 它的任何一个树的连支数必为
(b-n+1)个 。
由于连通图 G的树支连接所有结点又不形成
回路, 因此, 对于图 G的任意一个树, 加入一个
连支后, 形成一个回路, 并且此回路除所加的连
支外均由树支组成 。
单连支回路,由树支和 一条连支 所形成的回路 。
单连支回路也称为基本回路 。
每一个基本回路仅含一个连支, 且这一连支并不
出现在其他基本回路中 。
独立回路数：对于一个结点数为 n,支路数为 b的
连通图, 其独立回路数为 （ b-n+1） 。
基本回路组,由全部单连支形成的基本回路构成基本
回路组 。
基本回路组是独立回路组 。 根据基本回路列出的
KVL方程组是独立方程 。
平面图,如果把一个图画在平面上, 能使它的各条
支路除连接的结点外不再交叉, 这样的图
为平面图 。 否则为非平面图 。
平面图的全部网孔是一组独立回路, 故平面图
的网孔数为其独立回路数 。
2b法,对一个具有 b条支路和 n个结点的电路, 当
以 支路电压和支路电流 为电路变量列写方程
时, 总计有 2b个未知量 。 根据 KCL可以列
出 （ n-1） 个独立方程, 根据 KVL可以列出
（ b-n+1） 个独立方程, 根据元件的 VCR又
可以列出 b个方程 。 总计方程数 2b,与未知
数相等 。
例
b=3,n=2,l=3
变量,I1,I2,I3
a,-I1-I2+I3= 0
b,I1+I2-I3= 0
KCL
一个独立方程
KVL I1R1-I2R2=E1-E2
I2R2+I3R3= E2
I1R1+I3R3= E1
二个独立方程
规律,KCL,n - 1
R1
E1
I1
R2
E2
I2 I3
R3
b
a
3.3 支路电流法 (branch current method )
支路电流法,以各支路电流为未知量列写电路方程。
KVL,b - (n - 1)
由上式可得 KVL方程的另一形式, 即任一回路中,
电阻电压 的代数和等于 电源电压 的代数和, 即：
?? ? skkk uiR
式中 Rkik为回路中第 k个支路电阻上的电压, 和
式遍及回路中的所有支路, 且当 ik参考方向与回路方
向一致时, 前面取, +”号；不一致时, 取, –”号 。
右边 usk为回路中第 k支路的电源电压 （ 也包括
电流源引起的电压 ） 。 在取代数和时, 当 usk与回
路方向一致时前面取, –”号；当 usk与回路方向不
一致时取, +”号；
列出支路电流法的电路方程的步骤：
注意：电阻电压和电源电压表达式中符号
的选取。
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路, 指定回路的绕
行方向, 列出用支路电流表示的 KVL方程 。
3,5 回路电流法 (loop current method)
基本思想,以 假想的 独立回路电流为独立变量 。 各支路电
流可用回路电流线性组合表示 。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 支路电流可由回路电流求出
回路电流分别为 il 1,il 2
列写 KVL方程
电阻压降 电源电压升
??? S UU R
绕行方向 和 回路电流方向 取为 一致
? ? 0U
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1i3= i l 2
回路电流法,以回路电流为未知变量列写电路方
程分析电路的方法。
回路 1,R1 il1-R2(il2 - il1)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
得 (R
1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
支路电流
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1 i3= i l 2
R11=R1+R2 代表回路 1的总电阻（ 自电阻 ）令
R22=R2+R3 代表回路 2总电阻（ 自电阻 ）
R12= -R2, R21= -R2 代表回路 1和回路 2的公共电阻（ 互电阻 ）
uSl1= uS1-uS2 回路 1中所有电压源电压升的代数和
uSl2= uS2 回路 2中所有电压源电压升的代和
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 R11=R1+R2 自电阻
R22=R2+R3 自电阻
R12=-R2, R21=-R2 互电阻
R11 il 1+R12 il 2= uSl1
R21 il1+R22 il2= uSl2
推广到 l 个回路
其中
Rjk,互电阻
+, 流过互阻两个回路电流方向相同
-, 流过互阻两个回路电流方向相反
0, 无关
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill=uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill=uSll
Rkk,自电阻 (为正 ), k =1,2,?,l
网孔电流法,对平面电路, 若以网孔为独立回路, 此
时回路电流也称为网孔电流, 对应的分
析方法称为网孔电流法 。
例 1 用回路法求各支路电流。
解 (1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且
互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
(5) 校核 选一新回路 ?U ==?E?
,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
① 将 VCVS看作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia -3Ib = 2
-12Ia+15Ib-Ic = 0
9Ia -10Ib+3Ic= 0
③
U2=3(Ib-Ia) ②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
例 2 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
?
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic
将②代入①，得
各支路电流为：
I1= Ia=1.19A
解得
* 由于含受控源, 方程的系数矩阵一般不对称 。
,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=-0.52A
例 3 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3_ +Ui
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
* 引入电流源的端电压变量
** 增加回路电流和电流源电流的关系方程
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
1、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路
电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
2、按 通式 写出回路电流方程。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端
为该回路所有电源电压 升 的代数和。
3、电路中含有 受控源 时应按独立源来处理；含有 无伴
电流源 时，可使该电流源仅仅属于一个回路。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(2) 列 KCL方程：
? iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
un1
un2
-i3-i4+i5=-iS3
0
1 2
(1) 选定参考节点, 标
明其余 n-1个独立节
点的电压
节点电压法,以节点电压为未知变量列写电路方
程分析电路的方法。
3,6 结点电压法 (node voltage method)
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u ????????
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
1
n1
1 R
ui ?
3
n2n1
3 R
uui ??
2
n1
2 R
ui ?
4
n2n1
4 R
uui ??
5
n2
5 R
ui ?
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为
G11un1+G12un2 = isn1
G21un1+G22un2 = isn2 标准形式的节点电压方程
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
G11=G1+G2+G3+G4 节点 1的自电导, 等于接在节点 1上
所有支路的电导之和
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
G22=G3+G4+G5 节点 2的自电导, 等于接在节点 2上
所有支路的电导之和
G12= G21 =-(G3+G4) 节点 1与节点 2之间的互电导, 等
于接在节点 1与节点 2之间的所有
支路的电导之和, 并 冠以负号
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iSn2=-iS3 流入节点 2的电流源电流的代数和
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与电
阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n1
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu ?????????
uS1
整理，并记 Gk=1/Rk，得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
用节点法求各支路电流。例 1
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.46mA I4= UB /40=0.546mA
各支路电流：
解：
20
1 2 0
10
1)
10
1
40
1
20
1( ????
BA UU
40
2 40)
40
1
20
1
10
1(
10
1 ??????
BA UU
UA=21.8V
UB=-21.82V
I5= UB /20=-1.09mA
(1) 把受控源当作独立源看,列方程
(2) 用节点电压表示控制量。
例 2 列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
u= un1
S12
1
1
21
1)11( iu
RuRR nn ???
12
31
1
1
111
snn igu)uRR(uR ??????
解
1
2
iS1
R1 R3
R2 gu
+ u -
支路法、回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点
较容易。
(3) 回路法, 节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网, 集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
(1) 方程数的比较
本章小结
1、独立的 KCL方程数 （ n–1）个
2、独立的 KVL方程数 （ b – n + 1）个
3、独立回路组
树支数 （ n–1）个
连支数 （ b–n+1）个
单连支回路,一个连支和几个数支构成的回路
独立回路组,由所有单连支回路组成的回路组。
4,2b法
以各支路的电压和电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个
VCR方程数 （ b ）个
?
（ 2 b ）个
5、支路电流法
以各支路的电流为求解变量。各支路电压用
支路电流来表示。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个 ? （ b ）个
列出支路电流法的电路方程的步骤：
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路, 指定回路的绕
行方向, 列出用支路电流表示的 KVL方程 。
?? ? skkk uiR
（ 4） 若某个支路含有无伴电流源时, 该支路电压
无法用支路电流来表示, 可设该支路电压为
解变量, 由于该支路电流为已知, 变量的总
数没有变化 。
6、回路电流法
以假想的各独立回路的回路电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
(1) 选择独立回路（平面电路可选择网孔），标
注回路电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
(2) 按 通式 写出回路电流方程。
平面电路的网孔就是独立回路。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程
右端为该回路所有电源电压 升 的代数和。
(3) 电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(4) 电路中含有 无伴电流源 时，需要特殊处理。
a.可使该电流源仅仅属于一个回路 ;
b.设该电流源的端电压为求解变量，用回路
电流列出一个增补方程。
7、结点电压法
以各独立结点的结点电压为求解变量。
KCL方程数 （ n –1）个
（ 1）指定 参考结点,其余结点对参考结点之间
的电压就是结点电压。
列写结点电压方程的步骤：
G11un1+G12un2+…+ G1nunn= iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2nunn= iSn2
… … …
Gn1un1+Gn2un2+…+ Gnnunn= iSnn
（ 2）按 通式 写出结点电压方程。
自导为正，互导
总为负，注入各
结点的电流为正。
（ 3）电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
（ 4）电路中含有 无伴电压源 时可选择该电压源
的一端作为参考结点。
8,比较
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
