§ 6-6 阶跃函数和冲激函数
一 单位阶跃函数
1,定义
?
?
?
?
?
?
? )0( 1
)0( 0
)( -
t
t
t?
)(t?用 来描述开关的动作
t = 0合闸 u(t) = E )(t?
t = 0合闸 i(t) = Is )(t?
t
? (t)
0
1
Is
K
)(ti
u(t))(tE?
KE u(t)
2,单位阶跃函数的延迟
?
?
?
?
?
??
?
)( 1
)( 0
)(
0
-0
0 tt
tt
tt?
3,由单位阶跃函数可组成复杂的信号
例 1
)()()( 0ttttf ??? ??
?(t)
t
f(t)
1
0
1
t0 t
f(t)
0
t
? (t-t0)
t00
1
t0
-? (t-t0)
二 单位冲激函数
1,单位脉冲函数 p(t)
)]()([1)( ????? tttp ??
1d)( ?? ?
??
ttp?
1/ ?
t
p(t)
0
????? 1 0
)()(lim 0 ttp ????
2,单位冲激函数 ? (t)
? / 2
1/ ?
t
p(t)
-? / 2
)]2()2([1)( ??????? tttp ??
定义
?
?
?
?
?
?
? )0( 0
)0( 0
)( -
t
t
t?
? ??? ? 1d)( tt?
t
?(t)
(1)
0
3,单位冲激函数的延迟 ? (t-t0)
??
?
?
?
??
???
?
?
??
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
?
?
t
? (t-t0)
t00
（ 1）
4,? 函数的筛分性
? ??? tttf d)()( ?
)(d)()( 00 tfttttf ??? ??? ?
同理有：
d)6()( s i n tttt? ?
??
?? ??
f(0)?(t)
02.162166s i n ????? ???
)0(d)()0( fttf ?? ? ??? ?
例 t
?(t)
(1)
0
f(t)
f(0)
* f(t)在 t0 处连续
例 2,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0??t Tt
1,0<t<T RC t
cccc euuutu
?? ????? )]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11 ?? ?? Vu c 1)(1 ?? RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
c
0,)(1 ?? ? tVetu RC
t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
2,t >T RC tcccc euuutu ?? ????? )]()0([)()( 2222
VeTuu RC
T
cc
?? ??? 1)()0(
12
Vu c 0)(2 ?? RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC tRC
T
????
?
?
,1)(1
uc(t )
uR(t )
t0
R
Cus
uR
uc
i
t0(a) ?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b) ? >>T,uc为输出
t0输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T
uR uc
t0
(a) ? >T
R
Cus
uR
uc
i
U1
U2
uc
uR
=1=0
Cu c
1)0( ??
)( tRudtduC cc ???
????? ?????? 000000 )( dttdtRudtdtduC cc ?
uc 不可能是冲激函数,否则 KCL不成立
1, 分二个时间段来考虑冲激响应
iC
R
is
C
+
-
uC
0- 0+
0+ ?
t
零输入响应
uC(0-)=0
电容充电
(1),t 在 0- 0+间
1)]0()0([ ?? ?? cc uuC )0( ?Cu
电容中的冲激电流使 电容电压发生跳变
二、冲激响应,单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应
例 1.
(2),t > 0+ 零输入响应 （ RC放电）
Cu c
1)0( ??
ic
R C
+
uc
-
?? ?? 01 te
Cu
RC
t
c
?? ????? 01 te
RCR
ui RC tc
c
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
)(
1
)(
)(
1
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
c
RC
t
c
??
?
?
?
??
?
)( tdtdiLRi LL ???
iL不可能是冲激
dttdtdtdiLdtRi LL ???
?
?
?
?
?
? ??
0
0
0
0
0
0
)(?
100 ??
?
? LdiL L
i L 1)0( ??
(1),t 在 0- 0+间
L
+
-
iL
R
)(t?
例 2
0)0( ??Li
+
-
uL
(2),t > 0+ RL放电
R
L??
?? ?? 01 te
Li
t
L
?
?? ????? 0 te
L
RRiu t
LL
?
)(1 teLi
t
L ?
???
)()( teLRtu
t
L ??
????
R
uL
iL
Li L
1)0( ??+
-
t
iL
0
L
1
t
uL
)(t?
L
R?
零状态 R(t))(te
2,由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃响应
单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
? (t)
单位阶跃
? (t) dt
tdt )()( ?? ?
)()( tsdtdth ?
)(t?先求 单位阶跃响应 令 is (t)=
)()1()( teRtu RC
t
C ?
???
iC
R
is
C
例 1
+
-
uC
uC(0+)=0 uC(?)=R ? = RC
0)0( ??cu已知：
求,is (t)为单位冲激时电路响应
uC(t)和 iC (t)
iC(0+)=1 iC(?)=0
)( tei RC
t
c ?
??
)()1( teRdtdu RC
t
C ?
???
)(t?再求 单位冲激响应 令 i s (t)=
)()1( teR RC
t
???? )(1 teC RC
t
???
)(1 teC RC
t
??? )()0(
)()(
tf
ttf
?
?
?0
)]([dd teti RC
t
c ?
??
)(1)( teRCte RC
t
RC
t
?? ?? ??
)(1)( teRCt RC
t
?? ???
uC
R
t
0
iC
1
t
0
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
冲激响应
阶跃响应