第十七章 非线性电路简介
17.1 非线性电阻的伏安特性
17.2 非线性电阻的串联、并联电路
17.3 非线性电阻电路的方程
17.4 小信号分析方法
17.1 非线性电阻的伏安特性
一、线性电阻元件
电阻值大小与 u,i 无关（ R为常数），其伏安特性
为一过原点的直线。线性电阻的 u,i取关联参考
方向时,u,i关系符合欧姆定律。
c o n s ttg ??? ?iuR
i
u
P
u
i
?
u
i
R
二、非线性电阻元件
非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而
遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与 u、
i 有关，伏安特性不是过原点的直线。
u = f ( i )
i = g ( u )
非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系,
流控电阻
压控电阻
单调型电阻
+ ?u
i
非线性电阻元件分类
1 流控电阻,电阻两端电压是其电流的单值函数。
u
i
0
对每一电流值有唯一的电压与
之对应，对任一电压值则可能
有多个电流与之对应 (不唯一 )。
某些充气二极管具有类似伏安特
性。
流控电阻的伏安特性呈,S”型。
2 压控电阻,电阻两端电流是其电压的单值函数。
对每一电压值有唯一的电流与
之对应，对任一电流值则可能
有多个电压与之对应 (不唯一 )。
隧道二极管 ( 单极晶体管 )具有
此伏安特性。
压控电阻的伏安特性呈,N”型。
u
i
0
“S”型和,N”型电阻的伏安特性均有一段下倾段，在
此段内电流随电压增大而减小。
u
i
0 u
i
0
3 单调型电阻,伏安特性单调增长或单调下降。
u,i 一一对应，既是压控又是流控。
P?N结二极管具有此特性。
u,i 关系具有方向性。
u
+
?
i
其伏安特性可用下式表示：
)1e(s ?? kTquIi
其中,Is —— 反向饱和电流 ( 常数 )
q —— 电子电荷,1.6?10?19C
k —— 玻尔兹曼常数,1.38?10?23 J/K
T —— 热力学温度（绝对温度）
）（
）（则
（
时，即摄氏室温下当
1ln
1
) ] [ ][ ( 40)/40
C27 )K(300
S
40
S
11
??
??
???
??
??
I
i
q
kT
u
eIi
V I tJVCJ
kT
q
T
u
u 可以用 i 表示
i 可以用 u 表示
一一对应
三、非线性电阻的静态电阻 Rs 和动态电阻 Rd
静态电阻
动态电阻
s,tg Gi
uR
s ???
?
?
i
u
P
dd,tgd
d G
i
uR ???
说明, (1)静态电阻与动态电阻不同, 它们都与工作点
有关 。 当 P点位置不同时, Rs与 Rd 均变化 。
(2) Rs反映了某一点时 u 与 i 的关系，而 Rd 反映了在
某一点 u 的变化与 i 的变化的关系，即 u 对 i 的变
化率。
(3) 对,S”型、,N”型非线性电阻，下倾段 Rd 为负，
因此，动态电阻具有“负电阻”性质。
例,一非线性电阻 3100 ii)i(fu ???
(1) 分别求 i1 = 2A,i2 = 2Sin314t A,i3 = 10A时
对应电压 u1,u2,u3；
(2) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有 u12= u1 + u2？
(3) 若忽略高次项，当 i = 10mA时，由此产生多
大误差？
例,一非线性电阻 3100 ii)i(fu ???
(1) 分别求 i1 = 2A,i2 = 2Sin314t A,i3 = 10A时
对应电压 u1,u2,u3；
V208100 3111 ??? iiu
倍频中出现了 3 V 9 4 2s i n23 1 4s i n2 0 6
9 4 2s i n23 1 4s i n63 1 4s i n2 0 0
)s i n4s i n33s i n( 3 1 4s i n83 1 4s i n2 0 0
1 0 0
2
33
3
222
utt
ttt
θθθtt
iiu
??
???
????
??
?
V2 0 0 01 0 0 3333 ??? iiu
)(31 0 01 0 0
)()(1 0 0 ( 2 )
2121
3
2
3
121
3
212112
iiiiiiii
iiiiu
??????
????
（线性化）误差此时，仅引起
忽略高次项，
V10
V101.0100
V10101.001.0100100 ( 3 )
6
633
?
?
????
???????
u
iiu
例,一非线性电阻 3100 ii)i(fu ???
(2) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有 u12= u1 + u2？
(3) 若忽略高次项，当 i = 10mA时，由此产生多
大误差？
32231121 1 0 01 0 0 iiiiuu ?????
性非线性电路不满足叠加 2112 uuu ???
17.2 非线性电阻的串联、并联电路
一、非线性电阻的串联
21
21
uuu
iii
??
??
)(iu
'u
'1u
在每一个 i 下, 图解法求
u, 将一系列 u,i 值连成
曲线即得串联等效电阻
(仍为非线性 )。
i
+ +?
??
+
u )(2 iu)(1 iu
i
u
o
)(1 iu
)(2 iu
'1u
'u2
'i
二、非线性电阻的并联
同一电压下将电流
相加。
i
uo
)(ui
'1i
'2i
'i
'i1
'u
)(1 ui
)(2 ui
21
21
uuu
iii
??
??
i
+ +
? ??
+
u
i1 i2
u1 u2
三、含有一个非线性电阻元件电路的求解
ab 以左部分为线性电路，化为戴维
南等效电路，其 u,i关系为
RiUu s ??
ab 右边为非线性电阻，其伏安特
性为 i = f (u),i(u)曲线如图。
两曲线交点坐标 即
为所求解答。
)i,u( 00
线性
含源
电阻
网络
i +
?
u
a
b
u
i
Us0u
0i
i
s
R
U
),( 00 iuQ
i (u)
o
其特性为一直线。
a i
+
?
u
b
Ri
+U
s?
17.3 非线性电阻电路的方程
列写方程的依据,KCL,KVL、元件伏安特性。
一、节点电压方程的列写 (非线性电阻为压控电阻 )
G1,G2为线性电导，
非线性电阻为压控电
阻
51
55
31
44
3
33
15
10
5
ui
ui
ui
?
?
?
+
+
+
+
?
2i
3i 4i
1i
5i
2G
3u 4u
sU
1G 5u
sI
1nU 2n
U
3nU
?
? ?
0
0
0
24
543
321
????
????
???
sIii
iii
iii
51
25
31
324
3
213
3122
111
15
10
5
n
nn
nn
nn
sn
Ui
)UU(i
)UU(i
)UU(Gi
)UU(Gi
?
??
??
??
??
则节点方程为
010
015105
05
312
31
32
51
2
31
32
3
21
3
2131211
??????
??????
??????
snnnn
nnnnn
nnnnsn
I)UU(G)UU(
U)UU()UU(
)UU()UU(G)UU(G
+
+
++
?
2i
3i 4i
1i
5i
2G
3u 4u
sU
1G 5u sI
1nU 2nU 3nU
?
? ?
51
55
31
44
3
33
15
10
5
ui
ui
ui
?
?
?
二、回路电流方程的列写 (非线性电阻为流控电阻 )
非线性电阻特性,
3133 20 iu ?
032
21
??
??
uu
Uuu s
31
23
2122
111
20
)(
l
ll
l
iu
iiRu
iRu
?
??
?
020)(
)(
31
2212
21211
???
???
lll
slll
iiiR
UiiRiR
即为所求回路电流方程
+ + +?
3usU
R1
u1
i1
R2u2
? ?
i2 i3
il1 il2
17.4 小信号分析方法
小信号分析方法是工程上分析非线性电路的一个
极其重要的方法, 即, 工作点处线性化,
sU
为直流电源 (建立静
态工作点 )
)(tus
为交流小信号电源
)t(uU ss ??
sR 为线性电阻
非线性电阻 i = f (u)
?
+ +
i
u
RS
uS(t)
US
?
列 KVL 方程,)( uiRtuU
sss ???
u
i
Us0U
0I
i
s
R
U i=f(u)
P
o
我们所关心的是 作用
下引起的电压、电流的交变
分量 。由于电路中有非线性
元件，不能使用叠加定理，
因此采用工作点处线性化的
近似计算 ——小信号分析。
)t(us
KVL 方程,( 1 ) )( uiRtuU
sss ???
首先考虑直流电源单独作用，令 = 0)(tu
s
此时,KVL方程为,uiRU
ss ??
其中,u,i 为 US 作用产生,
非线性电阻的伏安特性 i = f (u) 如上图。作图法可
求出其静态工作点,(U0,I0)
+
?
i
u
RS
US
P点 称为上述电路的 静态工作点 。)I,U( 00
即：
( 3 ) )(
( 2 )
00
00
UfI
UIRU ss
?
??
当考虑信号电源 存在时 ( 仍作用 )，此时
解答可视为在工作点 P 处产生了电压、电
流的扰动 (或称变化量 ),此时电路解
答可表示为：
)t(us sU
)I,U( 00
)t(i),t(u 11
( 5 )
( 4 )
10
10
)t(iIi
)t(uUu
??
??
注意,是由于 作用产生的，但并
不是由其 单独 作用产生的。
)t(i),t(u 11 )t(us
01
01
I)t(i
U)t(u
U)t(u ss
??
???
???
因此,作用使得 u,i 在工
作点 处产生小扰动。
)t(us
)I,U( 00
此时，非线性电阻特性 i = f (u) 可写为
? ?)()( 1010 tuUftiIi ????
)(
)(
)()(
)(
1010
01
0
tu
du
udf
UftiIi
Utu
U?????
???
将上式右边按泰勒级数展开 ( 取线性部
分，忽略高次项 )
( 6 ) )(d )(d)( 101 tuuUfti ?
由前面 (3)式,上式可简化为)(
00 UfI ?
dU Gdu
udf ?
0
)( 为非线性电阻在 处的动态电导0U
则上式可写为：
d
dd
d
G
R)t(iR)t(u
)t(uG)t(i
1
11
11
??
?
或：
( 3 ) )(
( 2 )
00
00
UfI
UIRU ss
?
??
则在工作点 (U0,I0)处, u1(t)与 i1(t) 近似为线性关系,
非线性电阻近似为线性电阻 。 上述近似的条件是 u1(t)
与 i1(t) 均很小, 即扰动不能偏离工作点太远 。
? ? ? ?
? ?
)t(iR)t(u
)t(i)RR()t(u
)t(iR)t(u
)t(u)t(iR)t(u
UIRU
)t(u)t(iRUIR
)t(uU)t(iIR)t(uU
uiR)t(uU
d
dss
d
ss
ss
ss
sss
sss
11
1
11
11
00
1100
1010
(2 )
(1 )
?
???
?
???
??
????
?????
???
而
式
得由方程
?
上式即为 uS(t)作用产生的扰动电压、电流 u1(t),i1(t)
的计算公式，由此可得其等效电路：
此电路称为非线性电
阻 在 工 作 点 P(U0,I0)
处的小信号等效电路 。
上述分析方法 称为小
信号分析方法 。
+ +
?
i1(t)
?
u1(t)Rd
RS
uS(t)
0U
0I P
i(u)
u
i
Us
i
s
R
U
o
解,
)V 5( A4V 2
310 0)(
000
2
000
0
舍去
即则令
?????
?????
UIU
UUI
R
U
Iti
s
ss
(2) 求出工作点处的小信号等效电路
工作点处动态电导
S 42dd 00 ??? UuiG Ud
Ω411
d
d ?? GR则
小信号等效电路如下图：
(1) 求静态工作点 P (U0,I0)
u
i
+
?
IS iS(t)
RS i=g(u)
例：
已知：
?
?
?
?
?
??
?
??
0 0
0
)(
,As i n5.0)(
,
3
1,A10
2
S
SS
u
uu
ugi
tti
RI Ω计算小信号电压、电流。
V s i n0 7 1 4.0s i n7 5.0)()(
ds
s
1 ttGG
titu ??
??
或：
As i n2 8 6.0)(74)()( S
dS
S1 ttiRR
Rtiti S ??
??
1i
iS(t)
RS
+
?
u1(t)Rd
As i n286.04s i n0 7 1 4.0)()( d11 ttGtuti ????
V s i n0715.0s i n286.041)()( 1d1 tttiRtu ????
VtuUu )s i n0715.02(10 ????
AtiIi )s i n286.04(10 ????
17.1 非线性电阻的伏安特性
17.2 非线性电阻的串联、并联电路
17.3 非线性电阻电路的方程
17.4 小信号分析方法
17.1 非线性电阻的伏安特性
一、线性电阻元件
电阻值大小与 u,i 无关（ R为常数），其伏安特性
为一过原点的直线。线性电阻的 u,i取关联参考
方向时,u,i关系符合欧姆定律。
c o n s ttg ??? ?iuR
i
u
P
u
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二、非线性电阻元件
非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而
遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与 u、
i 有关，伏安特性不是过原点的直线。
u = f ( i )
i = g ( u )
非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系,
流控电阻
压控电阻
单调型电阻
+ ?u
i
非线性电阻元件分类
1 流控电阻,电阻两端电压是其电流的单值函数。
u
i
0
对每一电流值有唯一的电压与
之对应，对任一电压值则可能
有多个电流与之对应 (不唯一 )。
某些充气二极管具有类似伏安特
性。
流控电阻的伏安特性呈,S”型。
2 压控电阻,电阻两端电流是其电压的单值函数。
对每一电压值有唯一的电流与
之对应，对任一电流值则可能
有多个电压与之对应 (不唯一 )。
隧道二极管 ( 单极晶体管 )具有
此伏安特性。
压控电阻的伏安特性呈,N”型。
u
i
0
“S”型和,N”型电阻的伏安特性均有一段下倾段，在
此段内电流随电压增大而减小。
u
i
0 u
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0
3 单调型电阻,伏安特性单调增长或单调下降。
u,i 一一对应，既是压控又是流控。
P?N结二极管具有此特性。
u,i 关系具有方向性。
u
+
?
i
其伏安特性可用下式表示：
)1e(s ?? kTquIi
其中,Is —— 反向饱和电流 ( 常数 )
q —— 电子电荷,1.6?10?19C
k —— 玻尔兹曼常数,1.38?10?23 J/K
T —— 热力学温度（绝对温度）
）（
）（则
（
时，即摄氏室温下当
1ln
1
) ] [ ][ ( 40)/40
C27 )K(300
S
40
S
11
??
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???
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I
i
q
kT
u
eIi
V I tJVCJ
kT
q
T
u
u 可以用 i 表示
i 可以用 u 表示
一一对应
三、非线性电阻的静态电阻 Rs 和动态电阻 Rd
静态电阻
动态电阻
s,tg Gi
uR
s ???
?
?
i
u
P
dd,tgd
d G
i
uR ???
说明, (1)静态电阻与动态电阻不同, 它们都与工作点
有关 。 当 P点位置不同时, Rs与 Rd 均变化 。
(2) Rs反映了某一点时 u 与 i 的关系，而 Rd 反映了在
某一点 u 的变化与 i 的变化的关系，即 u 对 i 的变
化率。
(3) 对,S”型、,N”型非线性电阻，下倾段 Rd 为负，
因此，动态电阻具有“负电阻”性质。
例,一非线性电阻 3100 ii)i(fu ???
(1) 分别求 i1 = 2A,i2 = 2Sin314t A,i3 = 10A时
对应电压 u1,u2,u3；
(2) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有 u12= u1 + u2？
(3) 若忽略高次项，当 i = 10mA时，由此产生多
大误差？
例,一非线性电阻 3100 ii)i(fu ???
(1) 分别求 i1 = 2A,i2 = 2Sin314t A,i3 = 10A时
对应电压 u1,u2,u3；
V208100 3111 ??? iiu
倍频中出现了 3 V 9 4 2s i n23 1 4s i n2 0 6
9 4 2s i n23 1 4s i n63 1 4s i n2 0 0
)s i n4s i n33s i n( 3 1 4s i n83 1 4s i n2 0 0
1 0 0
2
33
3
222
utt
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θθθtt
iiu
??
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V2 0 0 01 0 0 3333 ??? iiu
)(31 0 01 0 0
)()(1 0 0 ( 2 )
2121
3
2
3
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3
212112
iiiiiiii
iiiiu
??????
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（线性化）误差此时，仅引起
忽略高次项，
V10
V101.0100
V10101.001.0100100 ( 3 )
6
633
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u
iiu
例,一非线性电阻 3100 ii)i(fu ???
(2) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有 u12= u1 + u2？
(3) 若忽略高次项，当 i = 10mA时，由此产生多
大误差？
32231121 1 0 01 0 0 iiiiuu ?????
性非线性电路不满足叠加 2112 uuu ???
17.2 非线性电阻的串联、并联电路
一、非线性电阻的串联
21
21
uuu
iii
??
??
)(iu
'u
'1u
在每一个 i 下, 图解法求
u, 将一系列 u,i 值连成
曲线即得串联等效电阻
(仍为非线性 )。
i
+ +?
??
+
u )(2 iu)(1 iu
i
u
o
)(1 iu
)(2 iu
'1u
'u2
'i
二、非线性电阻的并联
同一电压下将电流
相加。
i
uo
)(ui
'1i
'2i
'i
'i1
'u
)(1 ui
)(2 ui
21
21
uuu
iii
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+ +
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+
u
i1 i2
u1 u2
三、含有一个非线性电阻元件电路的求解
ab 以左部分为线性电路，化为戴维
南等效电路，其 u,i关系为
RiUu s ??
ab 右边为非线性电阻，其伏安特
性为 i = f (u),i(u)曲线如图。
两曲线交点坐标 即
为所求解答。
)i,u( 00
线性
含源
电阻
网络
i +
?
u
a
b
u
i
Us0u
0i
i
s
R
U
),( 00 iuQ
i (u)
o
其特性为一直线。
a i
+
?
u
b
Ri
+U
s?
17.3 非线性电阻电路的方程
列写方程的依据,KCL,KVL、元件伏安特性。
一、节点电压方程的列写 (非线性电阻为压控电阻 )
G1,G2为线性电导，
非线性电阻为压控电
阻
51
55
31
44
3
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15
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Ui
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则节点方程为
010
015105
05
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10
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ui
ui
ui
?
?
?
二、回路电流方程的列写 (非线性电阻为流控电阻 )
非线性电阻特性,
3133 20 iu ?
032
21
??
??
uu
Uuu s
31
23
2122
111
20
)(
l
ll
l
iu
iiRu
iRu
?
??
?
020)(
)(
31
2212
21211
???
???
lll
slll
iiiR
UiiRiR
即为所求回路电流方程
+ + +?
3usU
R1
u1
i1
R2u2
? ?
i2 i3
il1 il2
17.4 小信号分析方法
小信号分析方法是工程上分析非线性电路的一个
极其重要的方法, 即, 工作点处线性化,
sU
为直流电源 (建立静
态工作点 )
)(tus
为交流小信号电源
)t(uU ss ??
sR 为线性电阻
非线性电阻 i = f (u)
?
+ +
i
u
RS
uS(t)
US
?
列 KVL 方程,)( uiRtuU
sss ???
u
i
Us0U
0I
i
s
R
U i=f(u)
P
o
我们所关心的是 作用
下引起的电压、电流的交变
分量 。由于电路中有非线性
元件，不能使用叠加定理，
因此采用工作点处线性化的
近似计算 ——小信号分析。
)t(us
KVL 方程,( 1 ) )( uiRtuU
sss ???
首先考虑直流电源单独作用，令 = 0)(tu
s
此时,KVL方程为,uiRU
ss ??
其中,u,i 为 US 作用产生,
非线性电阻的伏安特性 i = f (u) 如上图。作图法可
求出其静态工作点,(U0,I0)
+
?
i
u
RS
US
P点 称为上述电路的 静态工作点 。)I,U( 00
即：
( 3 ) )(
( 2 )
00
00
UfI
UIRU ss
?
??
当考虑信号电源 存在时 ( 仍作用 )，此时
解答可视为在工作点 P 处产生了电压、电
流的扰动 (或称变化量 ),此时电路解
答可表示为：
)t(us sU
)I,U( 00
)t(i),t(u 11
( 5 )
( 4 )
10
10
)t(iIi
)t(uUu
??
??
注意,是由于 作用产生的，但并
不是由其 单独 作用产生的。
)t(i),t(u 11 )t(us
01
01
I)t(i
U)t(u
U)t(u ss
??
???
???
因此,作用使得 u,i 在工
作点 处产生小扰动。
)t(us
)I,U( 00
此时，非线性电阻特性 i = f (u) 可写为
? ?)()( 1010 tuUftiIi ????
)(
)(
)()(
)(
1010
01
0
tu
du
udf
UftiIi
Utu
U?????
???
将上式右边按泰勒级数展开 ( 取线性部
分，忽略高次项 )
( 6 ) )(d )(d)( 101 tuuUfti ?
由前面 (3)式,上式可简化为)(
00 UfI ?
dU Gdu
udf ?
0
)( 为非线性电阻在 处的动态电导0U
则上式可写为：
d
dd
d
G
R)t(iR)t(u
)t(uG)t(i
1
11
11
??
?
或：
( 3 ) )(
( 2 )
00
00
UfI
UIRU ss
?
??
则在工作点 (U0,I0)处, u1(t)与 i1(t) 近似为线性关系,
非线性电阻近似为线性电阻 。 上述近似的条件是 u1(t)
与 i1(t) 均很小, 即扰动不能偏离工作点太远 。
? ? ? ?
? ?
)t(iR)t(u
)t(i)RR()t(u
)t(iR)t(u
)t(u)t(iR)t(u
UIRU
)t(u)t(iRUIR
)t(uU)t(iIR)t(uU
uiR)t(uU
d
dss
d
ss
ss
ss
sss
sss
11
1
11
11
00
1100
1010
(2 )
(1 )
?
???
?
???
??
????
?????
???
而
式
得由方程
?
上式即为 uS(t)作用产生的扰动电压、电流 u1(t),i1(t)
的计算公式，由此可得其等效电路：
此电路称为非线性电
阻 在 工 作 点 P(U0,I0)
处的小信号等效电路 。
上述分析方法 称为小
信号分析方法 。
+ +
?
i1(t)
?
u1(t)Rd
RS
uS(t)
0U
0I P
i(u)
u
i
Us
i
s
R
U
o
解,
)V 5( A4V 2
310 0)(
000
2
000
0
舍去
即则令
?????
?????
UIU
UUI
R
U
Iti
s
ss
(2) 求出工作点处的小信号等效电路
工作点处动态电导
S 42dd 00 ??? UuiG Ud
Ω411
d
d ?? GR则
小信号等效电路如下图：
(1) 求静态工作点 P (U0,I0)
u
i
+
?
IS iS(t)
RS i=g(u)
例：
已知：
?
?
?
?
?
??
?
??
0 0
0
)(
,As i n5.0)(
,
3
1,A10
2
S
SS
u
uu
ugi
tti
RI Ω计算小信号电压、电流。
V s i n0 7 1 4.0s i n7 5.0)()(
ds
s
1 ttGG
titu ??
??
或：
As i n2 8 6.0)(74)()( S
dS
S1 ttiRR
Rtiti S ??
??
1i
iS(t)
RS
+
?
u1(t)Rd
As i n286.04s i n0 7 1 4.0)()( d11 ttGtuti ????
V s i n0715.0s i n286.041)()( 1d1 tttiRtu ????
VtuUu )s i n0715.02(10 ????
AtiIi )s i n286.04(10 ????
