零输入响应
重点掌握
第六章 一阶电路
零状态响应
三要素法
K未动作前
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
一, 动态电路
i
+
–
uCUs R C
§ 6-1 动态电路概述
稳态分析
K
+
–
uCUs R C
it = 0
K接通电源后很长时间
K
+
–
uCUs R C
i
初始状态
过渡状态
新稳态t1
USuc
t0
a,动态电路,含有动态元件的电路，当电路状态
发生改变时需要经历一个变化过程
才能达到新的稳态。
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
iR
US
b,动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路
的方程为微分方程。
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述
电路的方程为代数方程。
SC
C Uu
dt
duRC ??
K
+
–
uCUs R C
i
+
- us
R1
R2 R3
二, 过渡过程产生的原因
1,电路内部含有储能元件 L, C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
t
wp
?
??
2,电路结构、状态发生变化
支路接入或断开, 参数变化
换路
三, 稳态分析和动态分析的区别
稳 态
换路发生 很长时间
后重新达到稳态
换路 刚 发生后的
整个变化过程
微分方程的特解
动 态
微分方程的一般解
恒定或周期性激励 任意激励
四, 一阶电路
换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
五, 动态电路的分析方法
0011
1
1 ?????? ?
?
? tuiadt
dia
dt
ida
dt
ida
n
n
nn
n
n ?
1、根据 KVL,KCL及元件的 VCR 建立电路
方程，该方程为以时间为自变量的线性常
微分方程。
2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。
一, t = 0+与 t = 0- 的概念
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间
0+ 换路后一瞬间
§ 6-2 电路的初始条件
电路中的 u, i 及其各阶导数在 t = 0+
时的值。
0- 0+0
t
f(t)
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
?
??
? )(lim)0(
0
0
tff
t
t
?
??
?
初始条件：
二, 换路定律
?? d)(1)( ? ??? tC iCtu ???? d)(1d)(1
0
0 ??
?
? ??
??
t i
CiC
?? d)(1)0( 0?
?
?? ? tC iCu
q =C uC
t = 0+时刻
?? d)(1)0()0( 00? ?
?
?? ?? iCuu CC
?? d)()0()( 0?
?
?? ? t iqtq
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q(0+) = q (0-)uC (0+) = uC (0-) 电荷守恒
结论 换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
1.
? ???? ?? 00 )()0()0( ?? diqq
? ?? ?00 0)( ?? di
t
iLu L
d
d? ?? d)(1)( ?
???
t
L uLti
???? d))(1d)(1)( 00 ??
?
? ??
??
t
L uLuLti
?? duLi tL )(1)0( 0?
?
? ??
当 u为有限值时
???? d)()0()( 0?
?
? ??
t utLLi??
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
磁链守恒
结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
2.
i u L+
-
L
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
qc (0+) = qc (0-)
uC (0+) = uC (0-)
换路定律：
换路定律 成立的条件注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有
限值，则电感电流（磁链）换路
前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有
限值，则电容电压（电荷）换路
前后保持不变。
三, 电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0( ????Ci
(1) 由 0-电路求 uC(0-)或 iL(0-)
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0-)=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+) i
C(0--)=0 iC(0+)
例 1 +
- 10V
i
iC
+
uC
-k
10k
40k
求 iC(0+)
0)0(
0)0(
??
?
?
?
L
L
u
u? ?
iL(0+)= iL(0-) =2A
Vu L 842)0( ??????
例 2 t = 0时闭合开关 k,
求 uL(0+)。
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
由 0+电路求 uL(0+),+u
L
-10V
1? 4?
2A
先求
Ai L 241 10)0( ????
由换路定律,
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求出 uC(0-)
和 iL(0-)。
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b.若 uC(0+) 或 iL(0+) 不为零,电容 （ 电感 ）
用 电压源 （ 电流源 ）替代。
电压源 （ 电流源 ）取 0+时刻值，其方向同
原假定的电容电压,电感电流方向。
电容 （ 电感 ）相当于 开路 （ 短路 ）。
a,若 uC(0+) 或 iL(0+) 为零,电容 （ 电感 ）用
短路 （ 开路 ）替代。
iL(0+) = iL(0-) = IS
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= –RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0)0( ???? RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
+ –uL
iL
C
+
–
uCRIS
iC
0-电路
1.求 uC(0-)和 iL(0-)
iL(0-) = IS
uC(0-) = RIS
2.求 uC(0+)和 iL(0+)
3.求 iC(0+)和 uL(0+)
§ 6-3 一阶电路的零输入响应
零输入响应,激励 (独立电源 )为零，仅由储能元
件初始储能作用于电路产生的响应 。
一,RC放电电路
已知 uC (0-)=U0
t
uCi C
d
d??
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
?
??
?
uR= Ri
0??? CR uu
一阶微分方程
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
RCp
1??特征根
tRCe 1 A ??
设
ptC eu A?
0?? ptpt AeR C A p e
特征方程RCp+1=0得
ptC eu A?则
0dd ?? pt
pt
AetAeRC
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
?
??
?
uC (0+)=uC(0-)=U0
A=U0
令 ? =RC,称 ?为一阶电路的 时间常数。
00
1
)0( UAeu t
tRC
C ?? ??
?
?
t
U0 uC
0
000 ????
??
teIeRURui RC
t
RC
t
C
0 0 ?? ? teUu RC
t
C
tRC
C Aeu
1 ?
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?秒伏安秒欧伏库欧法欧 ????????????????? RC?
I0
t
i
0
电压、电流以同一指数规律衰减，
衰减快慢取决于 RC乘积。
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = R C
?大 过渡过程时间的 长
?小 过渡过程时间的 短
电压初值一定：
R 大 （ C不变） i=u/R 放电电流小 放电时间 长
U0
t
uc
0 ?小
?大
C 大 （ R不变） W=0.5Cu2 储能大
?
11 ????
RCp
固有频率
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为,经过 3 ? - 5 ?,过渡过程结束。
?：电容电压 衰减到 原来电压 36.8%所需的时间。
某点切距的长度 t2-t1 = ?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
1
1
1
0
01
1
12
1
)(
)(
t a n
)(
t
t
tt
C
C
C
eU
eU
dt
tdu
tu
tu
tt
t
uc
0
?
t1 t2
t 0 ? 2? 3? 5?
?
t
c eUu
0
?? U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(368.0)( 12 tutu CC ?
能量关系：
Rd tiW R ? ?? 0 2
C不断释放能量被 R吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量 2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量
Rd teRU RC
t
2
0
0 )( ????
2
02
1 CU?
uC R+
- C
dteRU RC
t2
0
2
0 ????
????
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
二, RL电路的零输入响应
特征方程 Lp+R=0
L
R?特征根 p =
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A
A= i(0+)= I0
i(0-) =
01 IRR
U S ?
?
00dd ??? tRitiL
ptAeti ?)(
0)( 00 ??? ? teIeIti tL
R
pt得
i(0+) =i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
t
iLu
L d
d?
令 ? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
tLReIi
0
??
0/ 0 ??? ? teRI RL
t
0/ 0 ?? ? teI RL
t
I0一定,L大 起始能量大
R小 放电过程消耗能量小
放电慢
?大
-RI0
uL
t
I0
t
i
0
][][][][][][ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 ???????? RL?
iL (0+) = iL(0-) ? 1 A
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
例 iLK(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?V RV
10k?10V
t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象, 电压表坏了
?/ tL ei ??
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4 ????
???
01 0 0 0 0 2 5 0 0 ????? ? teiRu tLVV
分析
小结：
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为
零输入线性。
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值
引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数
衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数 ?
RC电路 ? = RC,RL电路 ? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
?
t
eyty ??? )0()(
时间常数 ?的简便计算：
? = L / R等 = L / (R1// R2 )
例 1
例 2
R等 C ? = R
等 C
+
-
R1
R2 L
R1
R2 L
零状态响应,储能元件初始能量为零，电路在输入
激励作用下产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
列方程：iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
§ 6-4 一阶电路的零状态响应
非齐次线性常微分方程
解答形式为,????
CCC uuu
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
一, RC电路的零状态响应
SC UuRi ??
强制分量 与输入激励的变化规律有关，为电
路的稳态解，此时强制分量称为 稳态分量。
RC
t
C Aeu
???? 变化规律由电路参数和结构决定
齐次方程 的通解
0dd ?? CC utuRC
,特解（强制分量）
Cu?
= US
Cu?
,通解（自由分量，暂态分量）
Cu??
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
RC
t
C Aeu
????
全解
uC (0+)=A+US= 0 ?A= – US
由起始条件 uC (0+)=0 定 积分常数 A
= US
Cu?
RC
t
SCCC AeUuuu
????????
SC
C Uu
t
uRC ??
d
di
K(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
-US uC"
uC'U
S
t
i
R
US
0
t
uc
0
能量关系
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量
储存在电容中。
2
2
1
SCU?
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量：
2
0 0
dd SRC
t
S
SS CUteR
UUtiU ?? ?? ?? ?
电阻消耗
tRRUtRi RCS
t
e d)(d 2
00
2 ??? ?? ?
R
C+
-
US
二, RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL ??
)1( tL
RS
L eR
Ui ???
tLR
S
L
L eUt
iLu ???
d
d
iL(0-)=0 求, 电感电流 iL(t)已知
LLL iii ?????
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0
R
Ui S
L ????? A0)0(
tLRS Ae
R
U ???
iLK(t=0)
US + –uR L +
–
uL
R
§ 6-5 一阶电路的全响应
全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应
一, 一阶电路的全响应及其两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
稳态解 uC' = US
解答为 uC(t) = uC' + uC"
uC (0-)=U0
非齐次方程
?=RC ?tSC eUu A ???
暂态解 ?t
C eu
???? A
1、全响应
uC (0+)=A+US=U0 ?A=U0 –US由起始值定 A
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
uC"
-USU0
暂态解
uC'US 稳态解
U0 uc
全解
t
uc
0
(1),全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
2、全响应的两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0-)=0
+
uC (0-)=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
(2),全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
等效+
- uc
uC (0-)=U0
i
C +
- U0
uc
iC
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应
全响应
零输入响应
U0
(3).两种分解方式的比较
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
物理概念清楚
便于叠加计算
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
?
t
Ssc eUUUu
???? )(
0
稳态解 暂态解
(t ≥ 0)
二, 三要素法分析一阶电路
?
t
effftf
?
????? ? )]()0([)()(
??
?
?
? ?
?
时间常数
起始值
稳态解
三要素
)0(
)(
?
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
?
t
eftf ???? A)()(
令 t = 0+
A)()0( ???? ff
)()0( ??? ? ffA
cbftd fda ??
其解答一般形式为：
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
V2)0()0( ?? ?? CC uu
V667.0112 2)( ?????Cu
s2332 ???? CR 等?
033.16 6 7.0
)6 6 7.02(6 6 7.0
5.0
5.0
???
???
?
?
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关
求 换路后的 uC(t) 。
解：
t
uc
2
(V)
0.667
0
?
t
cccc euuutu
?
????? ? )]()0([)()(
例 2
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
解,0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti ???
t > 0.2s
A2)(
s2.0
0)0(
1
??
?
??
i
i
?
Ai
i
5)(
5.0
26.1)2.0(
2
??
?
??
?
Aei 26.122)2.0( 2.05 ??? ???
A74.35)( )2.0(2 ???? teti
)2.0(274.35 ???? tei
tei 522 ??? (0 < t ? 0.2)
( t ? 0.2)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.262
例 3,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0??t Tt
1,0<t<T
RC
t
CCCC euuutu
?
? ????? )]()0([)()( 1111
Vuu CC 0)0()0( 11 ?? ?? Vu C 1)(1 ??
RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
C 0,)(1 ??
? tVetu RC t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
2,t >T
RC
t
CCCC euuutu
??????
? )]()0([)()( 2222
VeTuu RC
T
CC
?
???? 1)()0( 12
Vu C 0)(2 ??
RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
C ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC TtRC
T
????
???
,1)(2
uc(t )
uR(t )
t0
R
Cus
uR
uc
i
(a) ?<<T,uR为输出
输出近似为输入的微分
RC uu ??
SC uu ?
dt
duRCRiu C
R ?? dt
duRC S?
t0
uR
R
Cus
uR
uC
i
(b) ? >>T,uC为输出
输出近似为输入的积分
t0
uC
RC uu ??
SR uu ?
??? tCC idCuu 01)0( ?
??? t RC dRuCu 01)0( ?
??? t SC duRCu 01)0( ?
R
Cus
uR
uc
i2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T/2
uR uc
t0
(a) ? >T /2
R
Cus
uR
uc
i
U1
U2
uc
uR
)1( 2 RC
T
S eu
?? RCTRCT
S eeu
22 )1( ???
v
+
-
V1
v
+
-
V
S t e p
S co p e 2
S co p e
c
1
2
S
R2
R 1 C
100v
do ub le
do ub le
do ub le
例 4,已知 U＝ 100V,R1＝ 10K ?, C＝ 0.01F，
R2＝ 5K ?,求 UR1＝？ UR2＝？
Matlab仿真结果：
重点掌握
第六章 一阶电路
零状态响应
三要素法
K未动作前
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
一, 动态电路
i
+
–
uCUs R C
§ 6-1 动态电路概述
稳态分析
K
+
–
uCUs R C
it = 0
K接通电源后很长时间
K
+
–
uCUs R C
i
初始状态
过渡状态
新稳态t1
USuc
t0
a,动态电路,含有动态元件的电路，当电路状态
发生改变时需要经历一个变化过程
才能达到新的稳态。
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
iR
US
b,动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路
的方程为微分方程。
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述
电路的方程为代数方程。
SC
C Uu
dt
duRC ??
K
+
–
uCUs R C
i
+
- us
R1
R2 R3
二, 过渡过程产生的原因
1,电路内部含有储能元件 L, C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
t
wp
?
??
2,电路结构、状态发生变化
支路接入或断开, 参数变化
换路
三, 稳态分析和动态分析的区别
稳 态
换路发生 很长时间
后重新达到稳态
换路 刚 发生后的
整个变化过程
微分方程的特解
动 态
微分方程的一般解
恒定或周期性激励 任意激励
四, 一阶电路
换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
五, 动态电路的分析方法
0011
1
1 ?????? ?
?
? tuiadt
dia
dt
ida
dt
ida
n
n
nn
n
n ?
1、根据 KVL,KCL及元件的 VCR 建立电路
方程，该方程为以时间为自变量的线性常
微分方程。
2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。
一, t = 0+与 t = 0- 的概念
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间
0+ 换路后一瞬间
§ 6-2 电路的初始条件
电路中的 u, i 及其各阶导数在 t = 0+
时的值。
0- 0+0
t
f(t)
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
?
??
? )(lim)0(
0
0
tff
t
t
?
??
?
初始条件：
二, 换路定律
?? d)(1)( ? ??? tC iCtu ???? d)(1d)(1
0
0 ??
?
? ??
??
t i
CiC
?? d)(1)0( 0?
?
?? ? tC iCu
q =C uC
t = 0+时刻
?? d)(1)0()0( 00? ?
?
?? ?? iCuu CC
?? d)()0()( 0?
?
?? ? t iqtq
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q(0+) = q (0-)uC (0+) = uC (0-) 电荷守恒
结论 换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
1.
? ???? ?? 00 )()0()0( ?? diqq
? ?? ?00 0)( ?? di
t
iLu L
d
d? ?? d)(1)( ?
???
t
L uLti
???? d))(1d)(1)( 00 ??
?
? ??
??
t
L uLuLti
?? duLi tL )(1)0( 0?
?
? ??
当 u为有限值时
???? d)()0()( 0?
?
? ??
t utLLi??
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
磁链守恒
结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
2.
i u L+
-
L
?L(0+)= ?L(0-)
iL(0+)= iL(0-)
qc (0+) = qc (0-)
uC (0+) = uC (0-)
换路定律：
换路定律 成立的条件注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有
限值，则电感电流（磁链）换路
前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有
限值，则电容电压（电荷）换路
前后保持不变。
三, 电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0( ????Ci
(1) 由 0-电路求 uC(0-)或 iL(0-)
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0-)=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+) i
C(0--)=0 iC(0+)
例 1 +
- 10V
i
iC
+
uC
-k
10k
40k
求 iC(0+)
0)0(
0)0(
??
?
?
?
L
L
u
u? ?
iL(0+)= iL(0-) =2A
Vu L 842)0( ??????
例 2 t = 0时闭合开关 k,
求 uL(0+)。
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
由 0+电路求 uL(0+),+u
L
-10V
1? 4?
2A
先求
Ai L 241 10)0( ????
由换路定律,
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求出 uC(0-)
和 iL(0-)。
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b.若 uC(0+) 或 iL(0+) 不为零,电容 （ 电感 ）
用 电压源 （ 电流源 ）替代。
电压源 （ 电流源 ）取 0+时刻值，其方向同
原假定的电容电压,电感电流方向。
电容 （ 电感 ）相当于 开路 （ 短路 ）。
a,若 uC(0+) 或 iL(0+) 为零,电容 （ 电感 ）用
短路 （ 开路 ）替代。
iL(0+) = iL(0-) = IS
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= –RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0)0( ???? RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
+ –uL
iL
C
+
–
uCRIS
iC
0-电路
1.求 uC(0-)和 iL(0-)
iL(0-) = IS
uC(0-) = RIS
2.求 uC(0+)和 iL(0+)
3.求 iC(0+)和 uL(0+)
§ 6-3 一阶电路的零输入响应
零输入响应,激励 (独立电源 )为零，仅由储能元
件初始储能作用于电路产生的响应 。
一,RC放电电路
已知 uC (0-)=U0
t
uCi C
d
d??
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
?
??
?
uR= Ri
0??? CR uu
一阶微分方程
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
RCp
1??特征根
tRCe 1 A ??
设
ptC eu A?
0?? ptpt AeR C A p e
特征方程RCp+1=0得
ptC eu A?则
0dd ?? pt
pt
AetAeRC
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
?
??
?
uC (0+)=uC(0-)=U0
A=U0
令 ? =RC,称 ?为一阶电路的 时间常数。
00
1
)0( UAeu t
tRC
C ?? ??
?
?
t
U0 uC
0
000 ????
??
teIeRURui RC
t
RC
t
C
0 0 ?? ? teUu RC
t
C
tRC
C Aeu
1 ?
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?秒伏安秒欧伏库欧法欧 ????????????????? RC?
I0
t
i
0
电压、电流以同一指数规律衰减，
衰减快慢取决于 RC乘积。
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = R C
?大 过渡过程时间的 长
?小 过渡过程时间的 短
电压初值一定：
R 大 （ C不变） i=u/R 放电电流小 放电时间 长
U0
t
uc
0 ?小
?大
C 大 （ R不变） W=0.5Cu2 储能大
?
11 ????
RCp
固有频率
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为,经过 3 ? - 5 ?,过渡过程结束。
?：电容电压 衰减到 原来电压 36.8%所需的时间。
某点切距的长度 t2-t1 = ?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
1
1
1
0
01
1
12
1
)(
)(
t a n
)(
t
t
tt
C
C
C
eU
eU
dt
tdu
tu
tu
tt
t
uc
0
?
t1 t2
t 0 ? 2? 3? 5?
?
t
c eUu
0
?? U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(368.0)( 12 tutu CC ?
能量关系：
Rd tiW R ? ?? 0 2
C不断释放能量被 R吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量 2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量
Rd teRU RC
t
2
0
0 )( ????
2
02
1 CU?
uC R+
- C
dteRU RC
t2
0
2
0 ????
????
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
二, RL电路的零输入响应
特征方程 Lp+R=0
L
R?特征根 p =
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A
A= i(0+)= I0
i(0-) =
01 IRR
U S ?
?
00dd ??? tRitiL
ptAeti ?)(
0)( 00 ??? ? teIeIti tL
R
pt得
i(0+) =i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
t
iLu
L d
d?
令 ? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
tLReIi
0
??
0/ 0 ??? ? teRI RL
t
0/ 0 ?? ? teI RL
t
I0一定,L大 起始能量大
R小 放电过程消耗能量小
放电慢
?大
-RI0
uL
t
I0
t
i
0
][][][][][][ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 ???????? RL?
iL (0+) = iL(0-) ? 1 A
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
例 iLK(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?V RV
10k?10V
t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象, 电压表坏了
?/ tL ei ??
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4 ????
???
01 0 0 0 0 2 5 0 0 ????? ? teiRu tLVV
分析
小结：
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为
零输入线性。
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值
引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数
衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数 ?
RC电路 ? = RC,RL电路 ? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
?
t
eyty ??? )0()(
时间常数 ?的简便计算：
? = L / R等 = L / (R1// R2 )
例 1
例 2
R等 C ? = R
等 C
+
-
R1
R2 L
R1
R2 L
零状态响应,储能元件初始能量为零，电路在输入
激励作用下产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
列方程：iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
§ 6-4 一阶电路的零状态响应
非齐次线性常微分方程
解答形式为,????
CCC uuu
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
一, RC电路的零状态响应
SC UuRi ??
强制分量 与输入激励的变化规律有关，为电
路的稳态解，此时强制分量称为 稳态分量。
RC
t
C Aeu
???? 变化规律由电路参数和结构决定
齐次方程 的通解
0dd ?? CC utuRC
,特解（强制分量）
Cu?
= US
Cu?
,通解（自由分量，暂态分量）
Cu??
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
RC
t
C Aeu
????
全解
uC (0+)=A+US= 0 ?A= – US
由起始条件 uC (0+)=0 定 积分常数 A
= US
Cu?
RC
t
SCCC AeUuuu
????????
SC
C Uu
t
uRC ??
d
di
K(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
-US uC"
uC'U
S
t
i
R
US
0
t
uc
0
能量关系
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量
储存在电容中。
2
2
1
SCU?
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量：
2
0 0
dd SRC
t
S
SS CUteR
UUtiU ?? ?? ?? ?
电阻消耗
tRRUtRi RCS
t
e d)(d 2
00
2 ??? ?? ?
R
C+
-
US
二, RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL ??
)1( tL
RS
L eR
Ui ???
tLR
S
L
L eUt
iLu ???
d
d
iL(0-)=0 求, 电感电流 iL(t)已知
LLL iii ?????
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0
R
Ui S
L ????? A0)0(
tLRS Ae
R
U ???
iLK(t=0)
US + –uR L +
–
uL
R
§ 6-5 一阶电路的全响应
全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应
一, 一阶电路的全响应及其两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
稳态解 uC' = US
解答为 uC(t) = uC' + uC"
uC (0-)=U0
非齐次方程
?=RC ?tSC eUu A ???
暂态解 ?t
C eu
???? A
1、全响应
uC (0+)=A+US=U0 ?A=U0 –US由起始值定 A
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
0)( 0 ???? ? teUUUu
t
SSC ?
uC"
-USU0
暂态解
uC'US 稳态解
U0 uc
全解
t
uc
0
(1),全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
2、全响应的两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0-)=0
+
uC (0-)=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
(2),全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
等效+
- uc
uC (0-)=U0
i
C +
- U0
uc
iC
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应
全响应
零输入响应
U0
(3).两种分解方式的比较
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC ??
零状态响应 零输入响应
物理概念清楚
便于叠加计算
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
?
t
Ssc eUUUu
???? )(
0
稳态解 暂态解
(t ≥ 0)
二, 三要素法分析一阶电路
?
t
effftf
?
????? ? )]()0([)()(
??
?
?
? ?
?
时间常数
起始值
稳态解
三要素
)0(
)(
?
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
?
t
eftf ???? A)()(
令 t = 0+
A)()0( ???? ff
)()0( ??? ? ffA
cbftd fda ??
其解答一般形式为：
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
V2)0()0( ?? ?? CC uu
V667.0112 2)( ?????Cu
s2332 ???? CR 等?
033.16 6 7.0
)6 6 7.02(6 6 7.0
5.0
5.0
???
???
?
?
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关
求 换路后的 uC(t) 。
解：
t
uc
2
(V)
0.667
0
?
t
cccc euuutu
?
????? ? )]()0([)()(
例 2
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
解,0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti ???
t > 0.2s
A2)(
s2.0
0)0(
1
??
?
??
i
i
?
Ai
i
5)(
5.0
26.1)2.0(
2
??
?
??
?
Aei 26.122)2.0( 2.05 ??? ???
A74.35)( )2.0(2 ???? teti
)2.0(274.35 ???? tei
tei 522 ??? (0 < t ? 0.2)
( t ? 0.2)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.262
例 3,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0??t Tt
1,0<t<T
RC
t
CCCC euuutu
?
? ????? )]()0([)()( 1111
Vuu CC 0)0()0( 11 ?? ?? Vu C 1)(1 ??
RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
C 0,)(1 ??
? tVetu RC t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
2,t >T
RC
t
CCCC euuutu
??????
? )]()0([)()( 2222
VeTuu RC
T
CC
?
???? 1)()0( 12
Vu C 0)(2 ??
RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
C ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC TtRC
T
????
???
,1)(2
uc(t )
uR(t )
t0
R
Cus
uR
uc
i
(a) ?<<T,uR为输出
输出近似为输入的微分
RC uu ??
SC uu ?
dt
duRCRiu C
R ?? dt
duRC S?
t0
uR
R
Cus
uR
uC
i
(b) ? >>T,uC为输出
输出近似为输入的积分
t0
uC
RC uu ??
SR uu ?
??? tCC idCuu 01)0( ?
??? t RC dRuCu 01)0( ?
??? t SC duRCu 01)0( ?
R
Cus
uR
uc
i2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T/2
uR uc
t0
(a) ? >T /2
R
Cus
uR
uc
i
U1
U2
uc
uR
)1( 2 RC
T
S eu
?? RCTRCT
S eeu
22 )1( ???
v
+
-
V1
v
+
-
V
S t e p
S co p e 2
S co p e
c
1
2
S
R2
R 1 C
100v
do ub le
do ub le
do ub le
例 4,已知 U＝ 100V,R1＝ 10K ?, C＝ 0.01F，
R2＝ 5K ?,求 UR1＝？ UR2＝？
Matlab仿真结果：
