第 4章 电路定理 (Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4.6 对偶原理 (Dual Principle)
?重点,
1,熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维南和诺
顿定理；
2,掌握齐性定理和最大功率传递定理。
叠加定理,
在线性电路中, 任一支路电流 (或电压 )都是
电路中各个独立电源单独作用时, 在该支路产
生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
如图电路，计算各支路电流。
应用回路法：
(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2
-R2ia+(R2+R3)ib=us2-us3
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
其中
R11=R1+R2,R12= -R2,us11=us1-us2
R21= -R2,R22=R2+R3,us22=us2-us3
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
定理的证明：
s3
2
s2
3
1s
32
a u
RuRuRRi
?????
??
s3
21
s2
1
1s
2
b u
RRuRuRi
ΔΔΔ
????
其中 323121 RRRRRR ???Δ
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
''''''
111s3
2
s2
3
s1
32
a1 iiiu
RuRuRRii ????????
ΔΔΔ
''''''
222s3
1
s2
31
s1
3
ba2 iiiu
RuRRuRiii ?????????
ΔΔΔ
''''''
333s3
21
s2
1
s1
2
b3 iiiu
RRuRuRii ????????
ΔΔΔ
由上式可见,各支路电流均为各电压源的一次
函数，所以各支路电流（如 i1）均可看成各电压源单
独作用时，产生的电流（如 i1',i1",i1"'） 之叠加。
则各支路电流为：
三个电源共同作用
=
= us1单独作用 +
us2单独作用
+
+ us3单独作用
+R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R1
us1
R2 R3
i1'
i2'
i3'
+
–
R1 R2
us2
R3
i1''
i2''
i3''
+
–
R1 R2 R3
us3
i1'''
i2'''
i3'''
+
–
当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着
取零值。 即将电压源看作 短路,将电流源看作 开路 。
因此 i1=i1'+i1"+i1"'
i3=i3'+i3"+i3"'
i2=i2'+i2"+i2"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念, 这
个方法也可推广到多个电源的电路中去 。
对于有 b条支路, m个电压源和 n个电流源组成
的 线性电阻电路, 各支路的电压和电流解答式为：
),2,1,(
S2S21S1
S2S21S1
bk
iyiyiy
uxuxuxu
nknkk
mkmkkk
?
?
?
?
????
????
由此可知,线性电阻 电路中, 任一支路电压或电
流都是电路中各个 独立电源 （ 电压源
和电流源 ） 单独作用时在该支路产生
的电压或电流的叠加 。
当电路中含有受控源时, 叠加定理仍然适
用, 但要注意受控源是不能 单独 作用的, 受控
源要保留在各分电路中 。
),2,1,(
S2S21S1
S2S21S1
bk
iyiyiy
uxuxuxi
nknkk
mkmkkk
?
?
?
?
???????
???????
小结,
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,在各分电路中只有一个电源作用，其余电源置零。
电压源为零
电流源为零
3,功率
4,各分电路中的参考方向与原电路中的参考方向要
一致，取和时可以直接相加。
5,含受控源 (线性 )电路
—短路。
—开路。
不能叠加 (功率为电源的二次函数 )。
亦可用叠加定理, 但受控
源不能单独作用, 受控源应始终保留 。
例 1.求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解, (1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 2,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用 的分电路为,解,
I1'= 10/（ 6+4） = 1A
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
Us'= -10 I1'+4 I1' = -6V
受控源要保留
例 2,求电压 Us。
(2) 4A电流源单独作用的分电路为：解,
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
AI 6146 441,????????
VIIU S 6.25)6(10 11 ???????????
思考：能否做出受控源单独作用的分电路？
Us'= -6V
齐性原理（ homogeneity property):
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都同时增大
(或减小 )同样的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )
也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例 3.
解, 采用倒推法：设 i'=1A。
则
求电流 i 。
RL=2? R1=1 ?
R2=1 ? us=51V
i
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
R1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
A5.113451' ' '
s
s
'
s
s ????? i
u
ui
u
u
i
i 即
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 其中第 k条支路电
压 uk,电流 ik为已知, 那么这条支路就可以用一个电
压等于 uk的独立电压源, 或者用一个电流等于 ik的独
立电流源来替代, 替代后电路中全部电压和电流均
保持原有值 (解答唯一 )。
A +
–
uk ikA
定理内容,
A
ik
+
–
uk 支路
k
注：
1,替代定理既适用于线性电路，也适用于非
线性电路。
无纯电压源回路
无纯电流源节点
2.替代后其余支路及参数不能改变 (一点等效 )。
3,替代后电路必须有唯一解
2.5A
10V 5V2? 5?
1A
1.5A5V
3A 5A2A
4?
8V?
例,
若要使
试求 Rx。
0.5?
0.5?
+
–
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
,II x 81?
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
解,用替代定理：
利用叠加定理：
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix
Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5? 0.5?
0.5?1?
– +U''0.5?
I81
xIIIIUUU 80105052
511
52
1
21,...
.
.' ????????
xI.I.I.
.''U 600 7 501
8
1
52
51 ????????
U1 U2
0.5?
0.5?
1?
U''
0.5?
I81 +
-
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究
某一支路的情况 。 这时, 可以将除
我们需保留的支路外的其余部分的
电路 (通常为二端网络或称一端口网
络 ),等效变换为较简单的含源支路
(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),可大大
方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正
是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3R1
R5
R4R2 iRx
a
b
+ –
us
1,几个名词
(1) 端口 ( port ) 端口指电路引出的一对端钮, 其
中从一个端钮 (如 a)流入的电流一
定等于从另一端钮 (如 b)流出的电
流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络
内部 含有独立电源 的一端口网络称为 含源一端口网络。
内部 不含有独立源 的一端口网络称为 无源一端口网络。
2,戴维南定理
任何一个含有独立电源, 线性电阻和线性受
控源的一端口网络, 对外电路来说, 可以用一个
电压源 (Uoc)和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此
电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电
压, 而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的
端口等效电阻 。
A
a
b
i
u
i a
b
Ri
Uoc+
-
u
证明,
(a)
(对 a) 利用替代定理, 将外部电路用电流源替代, 此
时 u,i值不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得
电流源 i为零 网络 A中独立源全部置零
a
b
A
i
+
–u N
' (b)
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Ri
a
b
A i+–u
a
b
A +–u'
u'=Uoc (外电路开路时 a,b间开路电压 )
u"= - Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
a
b
A i+
–
u''R
i
例 1
I
A2A1
+
-uo1
Ro1
+
-uo2
Ro2
I
0201
0201
RR
UUI
?
??
例 2 外电路含有非线性元件
J
-100V 40V 200V
30K 10K 60K
+ -U I
5K
A
B
100 40 200
30K 10K 60K
+
+ +-
--
A
B
UAB
+
-
解,求开路电压 UAB
当电流 I > 2mA时继
电器的控制触点闭合（继
电器线圈电阻是 5K? ）。
问现在 继电器 触点是否闭
合。
60000
200
10000
40
30000
100
)
60000
1
10000
1
30000
1
( AB
??
?
??? U
UAB=26.7V
30K 10K 60K
A
B
RABRAB=10K // 30K // 60K
= 6.67K?
二极管导通
I = 26.7 / (5000+6670)
= 2.3mA >2mA
结论, 继电器 触点闭合。
求戴维南等效电阻
求继电器电流 I
UAB=26.7V
I
5K
+
-UAB
RAB
A
B
NS R
i
+
-
u
最大功率传输定理,
2
2
2
)( RR
RuRip
o
oc
?
??
的功率最大时 RdRdp,0?
时即 oRR ?:
o
oc
R
uP
4
2
m a x ?
i
Ro
+
-
+
-
u R
uoc
例 3.
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?
时的 I；
(2) Rx为何值时，其上获最大
功率?
IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解,保留 Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 Ri
Ri=4//6+6//4=4.8?
Ri
a
b
Uoc = 2V
Ri=4.8?
(3) Rx =1.2?时,I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时,I= Uoc /(Ri + Rx) =0.2A
Rx = Ri =4.8?时，其上获最大功率。
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
)(21.0
8.44
4
4
2
m ax WR
UP
i
oc ?
?
??
含受控源电路戴维南定理的应用
求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例 4,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30 ????U
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=（ -6I） /3=-2I
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc
=9/1.5=6 ?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
例 5.
解,(1) a,b开路电压。
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k ?Ri
用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
Uoc
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
I
I=0,0.5I=0,Uoc= 10V
(2)求 Ri。 a.加压求流法
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
Ri = U0 / I0 =1500?
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
I= I0
U0 =0.5I0 ? 103 +I0 ? 103 =1500I0
? Ri = U0 /I0=1500 ?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
b,加流求压法求 Ri
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
(I-0.5I)?103 +I?103+10=0 I= -1/150 A
即 Isc = -I =1/150 A
? Ri = Uoc / Isc =10 ? 150=1500 ?
c.开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 Ri：
Ri = Uoc / Isc Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc(将 a,b短路 )：
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k ?Ri
(3) 求电压 U。
Uoc =10V Ri = 1500 ?
V
RR
RUU
i
oc 5.25001500
50010 ?
?
??
?
??
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
3,小结
(1) 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路
断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开
路电压方向有关 。
开路电压的计算方法：
a,分压、分流公式及 KVL,KCL定律
b,实际电源的等效变换法
c,电路的一般分析法（支路电流、回路电流、结
点电压）
d,多电源的电路，可利用叠加定理
(2) 串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零
(电压源短路, 电流源开路 )后, 所得无源一端口
网络的等效电阻 。
等效电阻的计算方法：
a,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串
并联的方法计算
b,加压求流法或加流求压法
c,开路电压，短路电流法
显然,b 和 c 更具有一般性
(3) 外电路发生改变时, 含源一端口网络的等效
电路不变 (伏 -安 特性等效 )。
(4) 当一端口内部含有受控源时, 控制电路与受
控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控
源的一端口, 对外电路来说, 可以用一个电流
源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源
的电流等于该一端口的短路电流, 而电导 (电阻 )
等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入
电导 (电阻 )。
4,诺顿定理
A
a
b
a
b
Gi(Ri)Isc
例, 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4?I
a
b
Gi(Ri) Is
c
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2
=- 6 - 3.6 =-9.6A
解：
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 Ri：
Ri =10?2/(10+2)=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
Ri 2?
10?a
b
b
4?I
a
1.67 ? -9.6A
本章小结
1、叠加定理
线性电路中，如果激励为多个独立源，
每个支路的响应可以看作是每个独立源单独
作用时，在该支路上产生的响应的叠加。
a,叠加定理只适用于线性电路。
b,在各分电路中只有一个电源作用，其余电源
置零，电阻和受控源要保留在分电路中。
电压源为零 电流源为零—短路 —开路
使用叠加定理可以简化电路的分析和计
算，但要注意：
d,各分电路中的参考方向与原电路中的参考方
向要一致，取和时可以直接相加。
c,功率不能叠加 (功率为电源的二次函数 )。
e,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加定理, 但受
控源不能单独作用, 受控源应始终保留在
分电路中 。
2,齐性定理
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都同时增大
(或减小 )同样的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )
也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
3、替代定理
对于给定的任意一个电路, 其中第 k条支路电
压 uk,电流 ik为已知, 那么这条支路就可以用一个
电压等于 uk的独立电压源, 或者用一个电流等于 ik
的独立电流源来替代, 替代后电路中全部电压和电
流均保持原有值 (解答唯一 )。
a,替代定理既适用于线性电路，也适用于非
线性电路。
无纯电压源回路 无纯电流源节点
b.替代后其余支路及参数不能改变 (一点等效 )。
c,替代后电路必须有唯一解
4、戴维南定理
任何一个含有独立电源, 线性电阻和线性受
控源的一端口, 对外电路来说, 可以用一个电压
源 (Uoc)和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此电压
源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压,
而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口
等效电阻 。
开路电压的求法：
简单计算
等效变换
电路的一般分析法
叠加定理
?
等效电阻的求法：
电阻串并联方法
加压求流法或加流求压法
开路电压，短路电流法?
5、最大功率传递定理
o
oc
R
uP
4
2
m a x ?
当负载电阻 RL与戴维南等效电阻 R0相等
时，负载获得的功率最大。
6、诺顿定理
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控
源的一端口, 对外电路来说, 可以用一个电流
源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源
的电流等于该一端口的短路电流, 而电导 (电阻 )
等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入
电导 (电阻 )。
短路电流和等效输入电导 (电阻 )的求法参考
戴维南定理的求解方法 。
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4.6 对偶原理 (Dual Principle)
?重点,
1,熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维南和诺
顿定理；
2,掌握齐性定理和最大功率传递定理。
叠加定理,
在线性电路中, 任一支路电流 (或电压 )都是
电路中各个独立电源单独作用时, 在该支路产
生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
如图电路，计算各支路电流。
应用回路法：
(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2
-R2ia+(R2+R3)ib=us2-us3
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
其中
R11=R1+R2,R12= -R2,us11=us1-us2
R21= -R2,R22=R2+R3,us22=us2-us3
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
定理的证明：
s3
2
s2
3
1s
32
a u
RuRuRRi
?????
??
s3
21
s2
1
1s
2
b u
RRuRuRi
ΔΔΔ
????
其中 323121 RRRRRR ???Δ
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
''''''
111s3
2
s2
3
s1
32
a1 iiiu
RuRuRRii ????????
ΔΔΔ
''''''
222s3
1
s2
31
s1
3
ba2 iiiu
RuRRuRiii ?????????
ΔΔΔ
''''''
333s3
21
s2
1
s1
2
b3 iiiu
RRuRuRii ????????
ΔΔΔ
由上式可见,各支路电流均为各电压源的一次
函数，所以各支路电流（如 i1）均可看成各电压源单
独作用时，产生的电流（如 i1',i1",i1"'） 之叠加。
则各支路电流为：
三个电源共同作用
=
= us1单独作用 +
us2单独作用
+
+ us3单独作用
+R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R1
us1
R2 R3
i1'
i2'
i3'
+
–
R1 R2
us2
R3
i1''
i2''
i3''
+
–
R1 R2 R3
us3
i1'''
i2'''
i3'''
+
–
当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着
取零值。 即将电压源看作 短路,将电流源看作 开路 。
因此 i1=i1'+i1"+i1"'
i3=i3'+i3"+i3"'
i2=i2'+i2"+i2"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念, 这
个方法也可推广到多个电源的电路中去 。
对于有 b条支路, m个电压源和 n个电流源组成
的 线性电阻电路, 各支路的电压和电流解答式为：
),2,1,(
S2S21S1
S2S21S1
bk
iyiyiy
uxuxuxu
nknkk
mkmkkk
?
?
?
?
????
????
由此可知,线性电阻 电路中, 任一支路电压或电
流都是电路中各个 独立电源 （ 电压源
和电流源 ） 单独作用时在该支路产生
的电压或电流的叠加 。
当电路中含有受控源时, 叠加定理仍然适
用, 但要注意受控源是不能 单独 作用的, 受控
源要保留在各分电路中 。
),2,1,(
S2S21S1
S2S21S1
bk
iyiyiy
uxuxuxi
nknkk
mkmkkk
?
?
?
?
???????
???????
小结,
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,在各分电路中只有一个电源作用，其余电源置零。
电压源为零
电流源为零
3,功率
4,各分电路中的参考方向与原电路中的参考方向要
一致，取和时可以直接相加。
5,含受控源 (线性 )电路
—短路。
—开路。
不能叠加 (功率为电源的二次函数 )。
亦可用叠加定理, 但受控
源不能单独作用, 受控源应始终保留 。
例 1.求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解, (1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 2,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用 的分电路为,解,
I1'= 10/（ 6+4） = 1A
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
Us'= -10 I1'+4 I1' = -6V
受控源要保留
例 2,求电压 Us。
(2) 4A电流源单独作用的分电路为：解,
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
AI 6146 441,????????
VIIU S 6.25)6(10 11 ???????????
思考：能否做出受控源单独作用的分电路？
Us'= -6V
齐性原理（ homogeneity property):
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都同时增大
(或减小 )同样的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )
也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例 3.
解, 采用倒推法：设 i'=1A。
则
求电流 i 。
RL=2? R1=1 ?
R2=1 ? us=51V
i
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
R1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
A5.113451' ' '
s
s
'
s
s ????? i
u
ui
u
u
i
i 即
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 其中第 k条支路电
压 uk,电流 ik为已知, 那么这条支路就可以用一个电
压等于 uk的独立电压源, 或者用一个电流等于 ik的独
立电流源来替代, 替代后电路中全部电压和电流均
保持原有值 (解答唯一 )。
A +
–
uk ikA
定理内容,
A
ik
+
–
uk 支路
k
注：
1,替代定理既适用于线性电路，也适用于非
线性电路。
无纯电压源回路
无纯电流源节点
2.替代后其余支路及参数不能改变 (一点等效 )。
3,替代后电路必须有唯一解
2.5A
10V 5V2? 5?
1A
1.5A5V
3A 5A2A
4?
8V?
例,
若要使
试求 Rx。
0.5?
0.5?
+
–
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
,II x 81?
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
解,用替代定理：
利用叠加定理：
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix
Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5? 0.5?
0.5?1?
– +U''0.5?
I81
xIIIIUUU 80105052
511
52
1
21,...
.
.' ????????
xI.I.I.
.''U 600 7 501
8
1
52
51 ????????
U1 U2
0.5?
0.5?
1?
U''
0.5?
I81 +
-
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究
某一支路的情况 。 这时, 可以将除
我们需保留的支路外的其余部分的
电路 (通常为二端网络或称一端口网
络 ),等效变换为较简单的含源支路
(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),可大大
方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正
是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3R1
R5
R4R2 iRx
a
b
+ –
us
1,几个名词
(1) 端口 ( port ) 端口指电路引出的一对端钮, 其
中从一个端钮 (如 a)流入的电流一
定等于从另一端钮 (如 b)流出的电
流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络
内部 含有独立电源 的一端口网络称为 含源一端口网络。
内部 不含有独立源 的一端口网络称为 无源一端口网络。
2,戴维南定理
任何一个含有独立电源, 线性电阻和线性受
控源的一端口网络, 对外电路来说, 可以用一个
电压源 (Uoc)和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此
电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电
压, 而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的
端口等效电阻 。
A
a
b
i
u
i a
b
Ri
Uoc+
-
u
证明,
(a)
(对 a) 利用替代定理, 将外部电路用电流源替代, 此
时 u,i值不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得
电流源 i为零 网络 A中独立源全部置零
a
b
A
i
+
–u N
' (b)
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Ri
a
b
A i+–u
a
b
A +–u'
u'=Uoc (外电路开路时 a,b间开路电压 )
u"= - Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
a
b
A i+
–
u''R
i
例 1
I
A2A1
+
-uo1
Ro1
+
-uo2
Ro2
I
0201
0201
RR
UUI
?
??
例 2 外电路含有非线性元件
J
-100V 40V 200V
30K 10K 60K
+ -U I
5K
A
B
100 40 200
30K 10K 60K
+
+ +-
--
A
B
UAB
+
-
解,求开路电压 UAB
当电流 I > 2mA时继
电器的控制触点闭合（继
电器线圈电阻是 5K? ）。
问现在 继电器 触点是否闭
合。
60000
200
10000
40
30000
100
)
60000
1
10000
1
30000
1
( AB
??
?
??? U
UAB=26.7V
30K 10K 60K
A
B
RABRAB=10K // 30K // 60K
= 6.67K?
二极管导通
I = 26.7 / (5000+6670)
= 2.3mA >2mA
结论, 继电器 触点闭合。
求戴维南等效电阻
求继电器电流 I
UAB=26.7V
I
5K
+
-UAB
RAB
A
B
NS R
i
+
-
u
最大功率传输定理,
2
2
2
)( RR
RuRip
o
oc
?
??
的功率最大时 RdRdp,0?
时即 oRR ?:
o
oc
R
uP
4
2
m a x ?
i
Ro
+
-
+
-
u R
uoc
例 3.
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?
时的 I；
(2) Rx为何值时，其上获最大
功率?
IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解,保留 Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 Ri
Ri=4//6+6//4=4.8?
Ri
a
b
Uoc = 2V
Ri=4.8?
(3) Rx =1.2?时,I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时,I= Uoc /(Ri + Rx) =0.2A
Rx = Ri =4.8?时，其上获最大功率。
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
)(21.0
8.44
4
4
2
m ax WR
UP
i
oc ?
?
??
含受控源电路戴维南定理的应用
求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例 4,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30 ????U
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=（ -6I） /3=-2I
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc
=9/1.5=6 ?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
例 5.
解,(1) a,b开路电压。
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k ?Ri
用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
Uoc
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
I
I=0,0.5I=0,Uoc= 10V
(2)求 Ri。 a.加压求流法
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
Ri = U0 / I0 =1500?
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
I= I0
U0 =0.5I0 ? 103 +I0 ? 103 =1500I0
? Ri = U0 /I0=1500 ?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
b,加流求压法求 Ri
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
(I-0.5I)?103 +I?103+10=0 I= -1/150 A
即 Isc = -I =1/150 A
? Ri = Uoc / Isc =10 ? 150=1500 ?
c.开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 Ri：
Ri = Uoc / Isc Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc(将 a,b短路 )：
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k ?Ri
(3) 求电压 U。
Uoc =10V Ri = 1500 ?
V
RR
RUU
i
oc 5.25001500
50010 ?
?
??
?
??
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
3,小结
(1) 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路
断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开
路电压方向有关 。
开路电压的计算方法：
a,分压、分流公式及 KVL,KCL定律
b,实际电源的等效变换法
c,电路的一般分析法（支路电流、回路电流、结
点电压）
d,多电源的电路，可利用叠加定理
(2) 串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零
(电压源短路, 电流源开路 )后, 所得无源一端口
网络的等效电阻 。
等效电阻的计算方法：
a,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串
并联的方法计算
b,加压求流法或加流求压法
c,开路电压，短路电流法
显然,b 和 c 更具有一般性
(3) 外电路发生改变时, 含源一端口网络的等效
电路不变 (伏 -安 特性等效 )。
(4) 当一端口内部含有受控源时, 控制电路与受
控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控
源的一端口, 对外电路来说, 可以用一个电流
源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源
的电流等于该一端口的短路电流, 而电导 (电阻 )
等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入
电导 (电阻 )。
4,诺顿定理
A
a
b
a
b
Gi(Ri)Isc
例, 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4?I
a
b
Gi(Ri) Is
c
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2
=- 6 - 3.6 =-9.6A
解：
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 Ri：
Ri =10?2/(10+2)=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
Ri 2?
10?a
b
b
4?I
a
1.67 ? -9.6A
本章小结
1、叠加定理
线性电路中，如果激励为多个独立源，
每个支路的响应可以看作是每个独立源单独
作用时，在该支路上产生的响应的叠加。
a,叠加定理只适用于线性电路。
b,在各分电路中只有一个电源作用，其余电源
置零，电阻和受控源要保留在分电路中。
电压源为零 电流源为零—短路 —开路
使用叠加定理可以简化电路的分析和计
算，但要注意：
d,各分电路中的参考方向与原电路中的参考方
向要一致，取和时可以直接相加。
c,功率不能叠加 (功率为电源的二次函数 )。
e,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加定理, 但受
控源不能单独作用, 受控源应始终保留在
分电路中 。
2,齐性定理
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都同时增大
(或减小 )同样的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )
也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
3、替代定理
对于给定的任意一个电路, 其中第 k条支路电
压 uk,电流 ik为已知, 那么这条支路就可以用一个
电压等于 uk的独立电压源, 或者用一个电流等于 ik
的独立电流源来替代, 替代后电路中全部电压和电
流均保持原有值 (解答唯一 )。
a,替代定理既适用于线性电路，也适用于非
线性电路。
无纯电压源回路 无纯电流源节点
b.替代后其余支路及参数不能改变 (一点等效 )。
c,替代后电路必须有唯一解
4、戴维南定理
任何一个含有独立电源, 线性电阻和线性受
控源的一端口, 对外电路来说, 可以用一个电压
源 (Uoc)和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此电压
源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压,
而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口
等效电阻 。
开路电压的求法：
简单计算
等效变换
电路的一般分析法
叠加定理
?
等效电阻的求法：
电阻串并联方法
加压求流法或加流求压法
开路电压，短路电流法?
5、最大功率传递定理
o
oc
R
uP
4
2
m a x ?
当负载电阻 RL与戴维南等效电阻 R0相等
时，负载获得的功率最大。
6、诺顿定理
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控
源的一端口, 对外电路来说, 可以用一个电流
源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源
的电流等于该一端口的短路电流, 而电导 (电阻 )
等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入
电导 (电阻 )。
短路电流和等效输入电导 (电阻 )的求法参考
戴维南定理的求解方法 。
