13-1 拉普拉斯变换的定义
第 13章 拉普拉斯变换
13-2 拉普拉斯变换的性质
13-3 拉普拉斯反变换
13-4 运算电路
13-5 应用拉普拉斯变换分析电路
§ 13-1 拉普拉斯变换的定义
对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件
的 VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分
方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分
方程法来求解比较困难（各阶导数在 t=0+时刻的值难以确
定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时
域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。
时域
微分
方程
频域
代数
方程
拉氏变换 拉氏逆变换
求解 时域解
优点：不需要确定积分常数，适用
于高阶复杂的动态电路。
相量法：
iii ?? 21正弦量 正弦运算简化
为复数运算
拉氏变换定义,一个定义在 [0,∞）区间的函
数 f(t)，它的拉氏变换定义为：
0 dte)t(f)S(F st? ?? ?
?
?
式中,s =? + j? (复数 )
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。
F(s) 称为象函数，是 s的函数。
??
??? ?? III
21 相量
?
拉氏变换存在条件：对于一个函数 f(t)，若存在正的有限值
M和 c，使得对于所有 t 满足：
0 dte)t(f)S(F st? ?? ?
?
?
ctMe)t(f ?
则 f(t)的拉氏变换 F(s)总存在。
积分下限从 0?开始，称为 0?拉氏变换 。
积分下限从 0+开始，称为 0+拉氏变换 。??? ??0
00
积分下限从 0?开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
反变换
正变换
2
1
??
?
?
?
?
de)j(F)t(f
dte)t(f)j(F
tjj
j
tj傅立叶变换
拉氏反变换,如果 F(s)已知，由 F(s)到 f(t)的变换称为拉氏反
变换，它定义为：
dse)S(F
j
)t(f stj
j?
??
??
? ?
??2
1
特殊情况：当 ? =0,s=j?，且积分下限为－ ∞时，
拉氏变换就是 傅立叶变换
)]([)( 1 sFLtf ??记作：
(2)单位阶跃函数
(1)指数函数
as
e
as
dteeeL tasstatat
?
?
?
?
??? ?????
?
1
0
1][ )(
0
s
e
s
dtedtettL ststst 1
0
1)()]([
00
?
?
???? ??? ?? ? ??
??
??
)()( 0a tte at ?? ?? ?时当
(3)单位冲激函数
1)()()]([ 00 00 ??? ?? ?
??
?? ? dtetdtettL sst ???
例 13-1 求以下函数的象函数。
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性
)()]([,)()]([ 2211 SFtfLSFtfL ??若
)()(
)()(
])()([
21
0 20 1
0 21
SbFSaF
dtetbfdtetaf
dtetbftaf
stst
st
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?证：
)]()([ 21 tbftafL ?则 )()( 21 SbFSaF ??
22
]
11
[
2
1
)](
2
1
[)][ s i n ()1
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
S
jSjSj
ee
j
LtL
tjtj
解：
例 13-2 若：
)1()()2
)s i n ()()1
atektf
ttf
???
? ?
上述函数的定义域为 [0,∞]，求其象函数。
)(
][][)]1([)2
ass
Ka
as
K
s
K
KeLKLeKL atat
?
?
?
??
??? ??
二,导数性质
1,时域导数性质
)0()(])([ ??? fSSFdt tdfL
)0()(
))((
0
)(
)(
)(
0
00
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
??
fSSF
dtstfetfe
tdfedte
dt
tdf
stst
stst
证：
则：设,),()]([ SFtfL ?
)t(dfdv,eu
vd uuvu d v
st ??
??
?
? ?
2222
)0(
1
))]( s i n (
1
[)][ co s ()1:
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
s
s
s
s
t
dt
d
LtL解
例 13-3 应用导数性质求下列函数的象函数：
).()()2
);co s ()()1
ttf
ttf
?
?
?
?
10
1
)]([)]([
1
)]([),()()2
????
??
s
st
dt
d
LtL
s
tLt
dt
d
t
??
???由于
推广,])([ 2
2
dt
tfdL
)0()]0()([ ?? ???? ffSSFS
)0()0()(2 ?? ???? fSfSFS
])([ n
n
dt
tfdL
)0(
)0()0()(
)1(
21
?
?
?
?
?
?
??
????
n
nnn
f
fSfSSFS
?
)0()(])([ ??? fSSFdt tdfL
2.频域导数性质
dS
SdFttfL )()]([ ??则：
?
? ?
?0
)( dtetf
ds
d st证,? ? ?
?
?? 0 ))(( dtettf st
)]([ ttfL ??
)()]([ SFtfL ?设：
n
n
nn
dS
SFdtftL )()()]([ 1??推广：
)1(
SdS
d??)]([1 ttL ?：例
dS
SdFttfL )()]([ ??
2
1
S
?
)1()1( )(
)(
SdS
d
n
n
n??)]([2 ttL n ?：例
1
!
?? nS
n
)1(
aSdS
d
?
??? ][3 atteL：例
2)(
1
aS ?
?
三、积分性质
)(1])([ 0 SF
S
dttfL t ??
?
则：
])([)]([ 0?
?
? t dttf
dt
dLtfL
)(SF
??? ???
?? 000 )(])([ ttt dttfdttfsL
? ?? t dttfdtdtf 0 )()(证：
)()]([ SFtfL ?设：
)(1])([ 0 SF
S
dttfL t ??
?
20
0
1
)]([
1
])([)]([
)()(
)(413
s
tL
s
dLtfL
dttf
ttf
t
t
???
??
??
?
?
????
???解：由于
的象函数。利用积分性质求函数例
3
2 2][
stL ?推广：
?? t t d tt 02 2?
30
2 2][2]2[][
ss
tLt d tLtL t ??? ?
1
!][
?? n
n
s
ntL推广：
四、延迟性质
1.时域延迟
f(t)?(t)
t t
f(t-t0)?(t-t0)
t0
f(t)?(t-t0)
t
t0
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?则：
dtettfttfL st??? ? ??? 0 00 )()]([证：
?? ? defdtettf tsstt )(00 0
0
)()( ????? ??
?
???
?? ? defe sst ? ? ??
?
? 0 )(0
)(0 SFe st??
??? 0tt令
0)()()]([ 00 ???? ttfttSFtfL 时，当设：
例 13-5 求图示矩形脉冲的象函数
1
T t
f(t) )()()( Ttttf ??? ??
STe
SSSF
??? 11)(
T
T
f(t)
)]()([)( Tttttf ??? ??
22
1)(
S
e
SSF
ST?
??
2、频域平移性质
dtetfe stt ?? ??
?0
)(?证：
)()]([ ?? ??? SFtfeL t则：
dtetf tas )(0 )( ?????
)()]([ SFtfL ?设：
)( ??? sF
积分
)(t? )( t? )( tt? )( tt n????
1 1
S
2S
1 1
!
???? nS
n
)(s in tt?? )(c o s tt?? )(e t- t?? )(s ine t- tt???
)(e t- tt n??
22 ?
?
?S 22 ??S
S
??S
1
22)( ??
?
??S
1)(
!
?? nS
n
?
小结：
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?
微分
§ 13-3 拉普拉斯反变换
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 dseSFjtf stjj )(2
1)(
? ?? ??? ???
(2)对 F(S)进行部分分式展开
)()()()( 21 SFSFSFSF n???????
)()()()( 21 tftftftf n???????
象函数的一般形式：
)( )( )()( 1
10
1
10 mn
bSbSb
aSaSa
SD
SNSF
n
nn
m
mm
??????? ???????? ?
?
nSSnSDmn ????? 10)(.1 个单根的根为，设
利用部分分式 F(S)分解为：
n
n
SS
k
SS
k
SS
kSF
?????????? 2
2
1
1)(
tsntsts nekekektf ?????? 21 21)(
)( )( )()( 1
10
1
10 mn
bSbSb
aSaSa
SD
SNSF
n
nn
m
mm
?
??????
????????
?
?
1))(( 11 SSSSSFk ???
2))(( 22 SSSSSFk ???
nSSnn SSSFk ?????? ))((
65
54)(:
2 ??
??
SS
SSF例
32
21
???? S
K
S
K
21 3
54
???
??
SS
SK 3??
7254 32 ???? ??SSSK
)(7)(3)( 32 tetetf tt ?? ?? ???
ii SS
i
SSii SD
SSSNSFSSk
??
????
)(
))(()()(
)(
)())((l i m
SD
SNSSSN i
ss i ?
????
? )(
)(
i
i
SD
SN
?
?
352 54 21 ????? ??SSSk
752 54 32 ???? ??SSSk
不定式00
65
54)(:
2 ??
??
SS
SSF例
32
21
???? S
K
S
K
例 13-6
。的原函数求 )(107 12)( 23 tfsss ssF ?? ??
解：令 D(s)=0，则 s1 = 0,s2=－ 2,s3=－ 5
10143)( 2 ???? sssD
1.0
10143
12
)(
)(
021 1 ???
??
?? ?? sss ss
s
sD
sNK
6.0
5.0
3
2
??
?
K
K
tt eetf 52 6.05.01.0)( ?? ???
有共轭复根，设 0)(.2 ?? SDmn ?? jS ??2,1
)())((
)(
)(
)(
)(
SQjSjS
SN
SD
SN
SF
???? ????
??
)(
)(21
SQ
SP
jS
k
jS
k ?
?????? ????
?????? jsjs sD
sNsFjsK
???? ????? )(
)()]()[(
1
?????? jsjs sD
sNsFjsK
???? ????? )(
)()]()[(
2
???? ?? tjtj eKeKtf )(2)(1)( ????
K1,k2也是一对共轭复根
11 1211 ?? jj ekkekk ???,则设
)c o s (2
)(
11
)(
1
)(
1
)(
2
)(
1
11
??
?
??????
????
??
??
??
???
??
tek
eekeek
ekektf
t
tjjtjj
tjtj
。的原函数求例 )(52 3)(713 2 tfSS SSF ?? ???
21,0)( 12 jssD ???? 则解：令
????
?
???
?????? 4525.022
3
)(
)(
2121'1 jSjs s
s
sD
sNk
)452co s (2
)452co s (2)( 1
?
?
??
??
?
?
te
tektf
t
t
???
?
???
?????? 4525.022
3
)(
)(
2121'2 jSjs s
s
sD
sNk
重根有，设 nSDmn 0)(.3 ??
)()(
1
1
10
n
m
mm
SS
aSaSaSF
?
??????? ?
n
n
n
n
SS
k
SS
k
SS
k
SS
kSF
)()()()( 1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
???????????? ?
?
1)]()[( 11 SS
nn SFSSk ???
1
)]()[( 111 SSnn SFSSdsdk ?? ??
1
)]()[(!21 12
2
21 SS
n
n SFSSds
dk
?? ??
1
)]()[()!1( 1 11
1
11 SS
n
n
n
SFSSdsdnk ??
?
???
?
2
22211
)1()1( ????? S
K
S
K
S
K
2)1(
4
?
?
SS
S例：
4
)1(
4)0(
021 ??
???
?Sss
ssK
3
)1(
4)1(
12
2
22 ???
???
??Sss
ssK
1
2
21 )]()1[( ???? SSFSds
dK 4]4[
1 ??
??
??SS
S
ds
d
tt teetf ?? ??? 344)(
2
2221
3
13
2
1211
)1()1()1()( s
K
s
K
s
K
s
K
s
KsF ??
??????
11 1213 ?? ??ssK 22]1[ 131212 ???? ???? ss ssdsdK
3621]1[21 14122
2
11 ??? ???? ss ssds
dK
1)1( 1 0322 ??? ?ssK
3)1( 3])1( 1[ 040321 ??????? ?? ss ssdsdK
232
13
)1(
1
)1(
2
1
3)(
ssssssF ????????
tetteetf ttt ????? ??? 35.023)( 2
的原函数。求例 23)1( 1)(8-13 sssF ??
小结：
1.) n =m 时将 F(S)化成真分式
)(
)()(
0 SD
SPCSF ??
1.由 F(S)求 f(t) 的步骤
2.)求真分式分母的根，确定分解单元
3.)求各部分分式的系数
4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2.拉氏变换法分析电路
?
? )()( titu正变换 反变换
U(S) I(S)?
?
65
119)(
2
2
??
???
SS
SSSF例：
65
541
2 ??
???
SS
S
3
7
2
31
???
???
SS
)()37()()( 23 teettf tt ?? ?? ???
相量形式 KCL,KVL
元件 ? 复阻抗、复导纳
相量形式
电路模型
i
§ 13-4 运算电路
类似地
)()( titu ?
元件 ? 运算阻抗、运算导纳
运算形式 KCL,KVL 运算形式
电路模型
u
?? I
?? U
?
I ( S )U ( S ) ?
?
2.电路元件的运算形式
R,u=Ri
)()( SGUSI ?
)()( SRISU ?
1.运算形式的电路定律
0
0
?
?
?
?
uK V L
iK C L
? ? 0)( SU
0 (S ) ?? I
+ u -
i R
+ U(S) -
I(S) R
L:
dt
diLu ?
)0()()( ??? LiSS L ISU
S
i
SL
SUSI )0()()( ???
SL
i(0-)/S
+ U(S) -I(S)
I(S) Li(0-)
+ U(S) -
SL
i
+ u -
L
+ u -
iC:
S
uSI
SCSU
c
cc
)0()(1)( ???
)0(1 0 ??? ? ? ct cc udtiCu
)0()()( ??? cCC CuSS C USI
IC(S)
1/SC
uc(0-)/S
+ UC(S) -
＋ －
+ UC(S) -
Cuc(0-)
1/SC
IC(S)
?
?
?
??
?
?
??
??
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
?
?
?
????
????
??
??
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MiSS M IiLSISLSU
MiSS M IiLSISLSU
M
L1 L2
1 2
+
u1
-
+
u2
-
L1i1(0-） Mi2(0-） Mi1(0-）L2i2(0-）
+
U2(S)
-
+
U1(S)
-
I1(S) I2(S)
SL1 SL2
+ －
SM
＋ － － +－ +
12
1
uu
iRu
??
?
)()(
)()(
12
1
SUSU
RSISU
??
? (s)U
+
1(s)
-
?R
I(S)
+
U2
-U1(S)
+
u1
-
+
u2
-
?u1R
i
＋
－
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
?
?
??? t c dtiCdtdiLiRu 01
)(1)()()( SISCSS L IRSISU ???
)1)(( SCSLRSI ???
运算阻抗
)()()( SZSISU ?
)()()( SYSUSI ? )(
1)(
SZSY ?
运算形式
欧姆定理
SCSLRSZ
1)( ???
+
u
-
i R L
C
+
U(S)
-
I(S) R SL
1/SC
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
)0(1 0 ????? ?
?
c
t
c udtiCdt
diLiRu
s
uSI
SCLiSS L IRSISU
c )0()(1)0()()()( ?
? ?????
s
uLisU
SCSLRSI
c )0()0()()1)(( ?
? ?????
运算阻抗 SCSLRSZ
1)( ???
+
u
-
i R L
C
+
U(S)
-
I(S) R SL
1/SC
－ ＋ ＋ －u
c(0-)/s Li(0-)
3.运算电路
运算电路
如 L, C 有初值时，初值应考虑为附加电源
R
RL
L
C
i1
i2
E?(t)
时域电路
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
物理量用象函数表示
元件用运算形式表示
R
RL
SL
1/SC
I1(S)
E/S
I2(S)＋
－
例
5Ω
1F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-uc
+ -i
L
时域电路
t=0时打开开关
Ai L 510//105 50)0( ????
Vu C 25)10//10(5)0( ???
t>0运算电路
20
0.5S
-
++
-
1/S
25/S
2.5
5
IL(S)
UC(S)
§ 5.拉普拉斯变换法分析电路
步骤,1.由换路前电路计算 uc(0-),iL(0-)
2,画运算电路图
3,应用电路分析方法求象函数
4,反变换求原函数
例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL
t = 0时闭合 k,求 iL,uL。
100)0( ??cu已知,V
Ai L 5)0()1( ??解：
(2)画运算电路
SSL 1.0?
S
SSC
1000
101000
11
6
?
??
?
?
200/S
30 0.1s 0.5
10
1000/S
100/S
IL(S) I2(S)
Vu c 1 0 0)0( ??
例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL
??
?
)3( 回路法
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
5.0200)(10)1.040)(( 21 ???? SSISSI
SSISSI
100)()100010()(10-
21 ???
200/S
30 0.1s 0.5
10
1000/S
100/S
IL(S) I2(S)
I1(S) I2(S)
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
(4)反变换求原函数
200030)( 321 ????? SSSSD,个根有
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
01 )( ?? SSSFK 52 0 04 0 0
)4 0 0 0 07 0 0(5
022
2
??? ??? ?SSS SS
1500)200)(( 2 0 0222 ??? ??SSSFK
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
0)]()2 0 0[( 2 0 0221 ??? ??SSFSdsdK
21 )2 0 0(
1 5 0 0
)2 0 0(
05)(
????? SSSSI
Atteti t )()15005()( 2001 ????
ttLL tee
dt
tdiLtu 2 0 02 0 0 3 0 0 0 01 5 0)()( ?? ???
SLSISU L )()( 1?求 UL(S)
UL(S)
5.0)()( 1 ?? SLSISU L 2)200(
3 0 0 0 0
200
150
?
??
?? SS
Vteetu ttL )3 0 0 0 01 5 0()( 20 020 0 ?? ??
200/S
30 0.1s 0.5
10
1000/S
100/S
IL(S) I2(S)
R C
+
uc
?
is
?(t)
例 13-10 求冲激响应 0)0( ?
?Cu
R
1/SC
+
Uc(S)
?
IS
1
SCSISCR
RSU
C
1)(
/1)( ?? )/1( RCSRC
R
??
1)()( ??? R S C
R S CSS C USI
CC 1
1
1
1
???
??
RS CRS C
RS C
)0(1 / ?? ? teCu RCtc )0(1)( / ??? ? teRCti RCtc ?
t
uc (V)
C
1
0
t
ic
RC
1?
)(t?
例 13-11 图示电路已处于稳态,t=0时将开关 S闭合，已知
us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5?,L1=1H,求 t≥0时的 uL(t).
2
2]2[][ 2
1 ???
?
seLuL
t
s
sLuL s
5]5[][
2 ??
ARui sL 1)0(
2
2 ??
?
S R1 R2
＋ iL + ＋
US1 L uL US2
－ － －
R1 R2
＋ + ＋
UL(s)
－ － －
sL
－
Li(0-)
+
2
2
?s
s
5
①
SL
Li
RSRSSUSLRR L
)0(151
2
2)()111(
2121
?????
????
)52)(2(
2)(
??? SS
SSU
L
Veetu ttL )54()( 5.22 ?? ???
M
L1 L2
R1
R2
＋
us
－
S
i1 i2
例 13-12 图示电路，已知 R1=R2=1?,L1=L2=0.1H,M=0.5H，
us=1V，试求,t=0时开关闭合后的电流 i1(t)和 i2(t)。
0)0()0( 21 ?? ?? ii
Sss MIsIsLR
1)()()(
2111 ???
0)()()( 2221 ???? sIsLRss M I
sL1 sL2
s
1
＋
－
R1
R2
sM
)(1 SI
)(2 SI
t = 0时打开开关 k,
求电流 i,
0)0(
5)0(
2
1
?
?
?
?
i
Ai
)12.00 0 7 5.0(
11.0)(
21 ??
??
sss
ssI
12.00 0 7 5.0
05.0)(
22 ??? sssI
Aeeti tt )5.05.01()( 2067.61 ?? ???
Aeeti tt )(5.0)( 2067.62 ?? ??
例,13-13
+
- Us k
R1 L1 L2
R2
i1 i20.3H 0.1H
10V
2Ω
3Ω
10/S
2
0.3S 1.5
3
0.1S
I(S)
S
SSI
4.05
5.1
10
)(
?
?
?
SS
S
)4.05(
5.110
?
??
5.12
75.12
??? SS
tei 5.1275.12 ???
)0()0( 1 ?? ? ii
t
i
5
2
3.75
0 )0()0( 2 ?? ? ii
5.1)(3.0)(1 ?? ssIsU L
3 7 5.05.1256.6 ???? S
UL1(S)
)(1.0)(2 ssIsU L ?
5.12
19.23 7 5.0
??? S
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
10/S
2
0.3S 1.5
3
0.1S
I(S)
uL1
-6.56 t-0.375?(t)
0.375?(t)
uL2
t-2.19
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
t
i
5
2
3.75
0
Aii 75.31.0 375.0)0()0( 22 ??? ??
Ai 75.33.0 375.053.0)0(1 ?????
小结,运算法分析动态电路的步骤
1.由换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2,画运算电路图
3,应用电路分析方法求象函数。
4,反变换求原函数。
磁链守恒,)0()()0()0(
212211 ??? ??? iLLiLiL
75.34.0053.0 ????
第 13章 拉普拉斯变换
13-2 拉普拉斯变换的性质
13-3 拉普拉斯反变换
13-4 运算电路
13-5 应用拉普拉斯变换分析电路
§ 13-1 拉普拉斯变换的定义
对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件
的 VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分
方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分
方程法来求解比较困难（各阶导数在 t=0+时刻的值难以确
定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时
域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。
时域
微分
方程
频域
代数
方程
拉氏变换 拉氏逆变换
求解 时域解
优点：不需要确定积分常数，适用
于高阶复杂的动态电路。
相量法：
iii ?? 21正弦量 正弦运算简化
为复数运算
拉氏变换定义,一个定义在 [0,∞）区间的函
数 f(t)，它的拉氏变换定义为：
0 dte)t(f)S(F st? ?? ?
?
?
式中,s =? + j? (复数 )
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。
F(s) 称为象函数，是 s的函数。
??
??? ?? III
21 相量
?
拉氏变换存在条件：对于一个函数 f(t)，若存在正的有限值
M和 c，使得对于所有 t 满足：
0 dte)t(f)S(F st? ?? ?
?
?
ctMe)t(f ?
则 f(t)的拉氏变换 F(s)总存在。
积分下限从 0?开始，称为 0?拉氏变换 。
积分下限从 0+开始，称为 0+拉氏变换 。??? ??0
00
积分下限从 0?开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
反变换
正变换
2
1
??
?
?
?
?
de)j(F)t(f
dte)t(f)j(F
tjj
j
tj傅立叶变换
拉氏反变换,如果 F(s)已知，由 F(s)到 f(t)的变换称为拉氏反
变换，它定义为：
dse)S(F
j
)t(f stj
j?
??
??
? ?
??2
1
特殊情况：当 ? =0,s=j?，且积分下限为－ ∞时，
拉氏变换就是 傅立叶变换
)]([)( 1 sFLtf ??记作：
(2)单位阶跃函数
(1)指数函数
as
e
as
dteeeL tasstatat
?
?
?
?
??? ?????
?
1
0
1][ )(
0
s
e
s
dtedtettL ststst 1
0
1)()]([
00
?
?
???? ??? ?? ? ??
??
??
)()( 0a tte at ?? ?? ?时当
(3)单位冲激函数
1)()()]([ 00 00 ??? ?? ?
??
?? ? dtetdtettL sst ???
例 13-1 求以下函数的象函数。
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性
)()]([,)()]([ 2211 SFtfLSFtfL ??若
)()(
)()(
])()([
21
0 20 1
0 21
SbFSaF
dtetbfdtetaf
dtetbftaf
stst
st
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?证：
)]()([ 21 tbftafL ?则 )()( 21 SbFSaF ??
22
]
11
[
2
1
)](
2
1
[)][ s i n ()1
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
S
jSjSj
ee
j
LtL
tjtj
解：
例 13-2 若：
)1()()2
)s i n ()()1
atektf
ttf
???
? ?
上述函数的定义域为 [0,∞]，求其象函数。
)(
][][)]1([)2
ass
Ka
as
K
s
K
KeLKLeKL atat
?
?
?
??
??? ??
二,导数性质
1,时域导数性质
)0()(])([ ??? fSSFdt tdfL
)0()(
))((
0
)(
)(
)(
0
00
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
??
fSSF
dtstfetfe
tdfedte
dt
tdf
stst
stst
证：
则：设,),()]([ SFtfL ?
)t(dfdv,eu
vd uuvu d v
st ??
??
?
? ?
2222
)0(
1
))]( s i n (
1
[)][ co s ()1:
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
s
s
s
s
t
dt
d
LtL解
例 13-3 应用导数性质求下列函数的象函数：
).()()2
);co s ()()1
ttf
ttf
?
?
?
?
10
1
)]([)]([
1
)]([),()()2
????
??
s
st
dt
d
LtL
s
tLt
dt
d
t
??
???由于
推广,])([ 2
2
dt
tfdL
)0()]0()([ ?? ???? ffSSFS
)0()0()(2 ?? ???? fSfSFS
])([ n
n
dt
tfdL
)0(
)0()0()(
)1(
21
?
?
?
?
?
?
??
????
n
nnn
f
fSfSSFS
?
)0()(])([ ??? fSSFdt tdfL
2.频域导数性质
dS
SdFttfL )()]([ ??则：
?
? ?
?0
)( dtetf
ds
d st证,? ? ?
?
?? 0 ))(( dtettf st
)]([ ttfL ??
)()]([ SFtfL ?设：
n
n
nn
dS
SFdtftL )()()]([ 1??推广：
)1(
SdS
d??)]([1 ttL ?：例
dS
SdFttfL )()]([ ??
2
1
S
?
)1()1( )(
)(
SdS
d
n
n
n??)]([2 ttL n ?：例
1
!
?? nS
n
)1(
aSdS
d
?
??? ][3 atteL：例
2)(
1
aS ?
?
三、积分性质
)(1])([ 0 SF
S
dttfL t ??
?
则：
])([)]([ 0?
?
? t dttf
dt
dLtfL
)(SF
??? ???
?? 000 )(])([ ttt dttfdttfsL
? ?? t dttfdtdtf 0 )()(证：
)()]([ SFtfL ?设：
)(1])([ 0 SF
S
dttfL t ??
?
20
0
1
)]([
1
])([)]([
)()(
)(413
s
tL
s
dLtfL
dttf
ttf
t
t
???
??
??
?
?
????
???解：由于
的象函数。利用积分性质求函数例
3
2 2][
stL ?推广：
?? t t d tt 02 2?
30
2 2][2]2[][
ss
tLt d tLtL t ??? ?
1
!][
?? n
n
s
ntL推广：
四、延迟性质
1.时域延迟
f(t)?(t)
t t
f(t-t0)?(t-t0)
t0
f(t)?(t-t0)
t
t0
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?则：
dtettfttfL st??? ? ??? 0 00 )()]([证：
?? ? defdtettf tsstt )(00 0
0
)()( ????? ??
?
???
?? ? defe sst ? ? ??
?
? 0 )(0
)(0 SFe st??
??? 0tt令
0)()()]([ 00 ???? ttfttSFtfL 时，当设：
例 13-5 求图示矩形脉冲的象函数
1
T t
f(t) )()()( Ttttf ??? ??
STe
SSSF
??? 11)(
T
T
f(t)
)]()([)( Tttttf ??? ??
22
1)(
S
e
SSF
ST?
??
2、频域平移性质
dtetfe stt ?? ??
?0
)(?证：
)()]([ ?? ??? SFtfeL t则：
dtetf tas )(0 )( ?????
)()]([ SFtfL ?设：
)( ??? sF
积分
)(t? )( t? )( tt? )( tt n????
1 1
S
2S
1 1
!
???? nS
n
)(s in tt?? )(c o s tt?? )(e t- t?? )(s ine t- tt???
)(e t- tt n??
22 ?
?
?S 22 ??S
S
??S
1
22)( ??
?
??S
1)(
!
?? nS
n
?
小结：
)()]()([ 000 SFettttfL st???? ?
微分
§ 13-3 拉普拉斯反变换
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 dseSFjtf stjj )(2
1)(
? ?? ??? ???
(2)对 F(S)进行部分分式展开
)()()()( 21 SFSFSFSF n???????
)()()()( 21 tftftftf n???????
象函数的一般形式：
)( )( )()( 1
10
1
10 mn
bSbSb
aSaSa
SD
SNSF
n
nn
m
mm
??????? ???????? ?
?
nSSnSDmn ????? 10)(.1 个单根的根为，设
利用部分分式 F(S)分解为：
n
n
SS
k
SS
k
SS
kSF
?????????? 2
2
1
1)(
tsntsts nekekektf ?????? 21 21)(
)( )( )()( 1
10
1
10 mn
bSbSb
aSaSa
SD
SNSF
n
nn
m
mm
?
??????
????????
?
?
1))(( 11 SSSSSFk ???
2))(( 22 SSSSSFk ???
nSSnn SSSFk ?????? ))((
65
54)(:
2 ??
??
SS
SSF例
32
21
???? S
K
S
K
21 3
54
???
??
SS
SK 3??
7254 32 ???? ??SSSK
)(7)(3)( 32 tetetf tt ?? ?? ???
ii SS
i
SSii SD
SSSNSFSSk
??
????
)(
))(()()(
)(
)())((l i m
SD
SNSSSN i
ss i ?
????
? )(
)(
i
i
SD
SN
?
?
352 54 21 ????? ??SSSk
752 54 32 ???? ??SSSk
不定式00
65
54)(:
2 ??
??
SS
SSF例
32
21
???? S
K
S
K
例 13-6
。的原函数求 )(107 12)( 23 tfsss ssF ?? ??
解：令 D(s)=0，则 s1 = 0,s2=－ 2,s3=－ 5
10143)( 2 ???? sssD
1.0
10143
12
)(
)(
021 1 ???
??
?? ?? sss ss
s
sD
sNK
6.0
5.0
3
2
??
?
K
K
tt eetf 52 6.05.01.0)( ?? ???
有共轭复根，设 0)(.2 ?? SDmn ?? jS ??2,1
)())((
)(
)(
)(
)(
SQjSjS
SN
SD
SN
SF
???? ????
??
)(
)(21
SQ
SP
jS
k
jS
k ?
?????? ????
?????? jsjs sD
sNsFjsK
???? ????? )(
)()]()[(
1
?????? jsjs sD
sNsFjsK
???? ????? )(
)()]()[(
2
???? ?? tjtj eKeKtf )(2)(1)( ????
K1,k2也是一对共轭复根
11 1211 ?? jj ekkekk ???,则设
)c o s (2
)(
11
)(
1
)(
1
)(
2
)(
1
11
??
?
??????
????
??
??
??
???
??
tek
eekeek
ekektf
t
tjjtjj
tjtj
。的原函数求例 )(52 3)(713 2 tfSS SSF ?? ???
21,0)( 12 jssD ???? 则解：令
????
?
???
?????? 4525.022
3
)(
)(
2121'1 jSjs s
s
sD
sNk
)452co s (2
)452co s (2)( 1
?
?
??
??
?
?
te
tektf
t
t
???
?
???
?????? 4525.022
3
)(
)(
2121'2 jSjs s
s
sD
sNk
重根有，设 nSDmn 0)(.3 ??
)()(
1
1
10
n
m
mm
SS
aSaSaSF
?
??????? ?
n
n
n
n
SS
k
SS
k
SS
k
SS
kSF
)()()()( 1
1
1
1
11
2
1
12
1
11
???????????? ?
?
1)]()[( 11 SS
nn SFSSk ???
1
)]()[( 111 SSnn SFSSdsdk ?? ??
1
)]()[(!21 12
2
21 SS
n
n SFSSds
dk
?? ??
1
)]()[()!1( 1 11
1
11 SS
n
n
n
SFSSdsdnk ??
?
???
?
2
22211
)1()1( ????? S
K
S
K
S
K
2)1(
4
?
?
SS
S例：
4
)1(
4)0(
021 ??
???
?Sss
ssK
3
)1(
4)1(
12
2
22 ???
???
??Sss
ssK
1
2
21 )]()1[( ???? SSFSds
dK 4]4[
1 ??
??
??SS
S
ds
d
tt teetf ?? ??? 344)(
2
2221
3
13
2
1211
)1()1()1()( s
K
s
K
s
K
s
K
s
KsF ??
??????
11 1213 ?? ??ssK 22]1[ 131212 ???? ???? ss ssdsdK
3621]1[21 14122
2
11 ??? ???? ss ssds
dK
1)1( 1 0322 ??? ?ssK
3)1( 3])1( 1[ 040321 ??????? ?? ss ssdsdK
232
13
)1(
1
)1(
2
1
3)(
ssssssF ????????
tetteetf ttt ????? ??? 35.023)( 2
的原函数。求例 23)1( 1)(8-13 sssF ??
小结：
1.) n =m 时将 F(S)化成真分式
)(
)()(
0 SD
SPCSF ??
1.由 F(S)求 f(t) 的步骤
2.)求真分式分母的根，确定分解单元
3.)求各部分分式的系数
4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2.拉氏变换法分析电路
?
? )()( titu正变换 反变换
U(S) I(S)?
?
65
119)(
2
2
??
???
SS
SSSF例：
65
541
2 ??
???
SS
S
3
7
2
31
???
???
SS
)()37()()( 23 teettf tt ?? ?? ???
相量形式 KCL,KVL
元件 ? 复阻抗、复导纳
相量形式
电路模型
i
§ 13-4 运算电路
类似地
)()( titu ?
元件 ? 运算阻抗、运算导纳
运算形式 KCL,KVL 运算形式
电路模型
u
?? I
?? U
?
I ( S )U ( S ) ?
?
2.电路元件的运算形式
R,u=Ri
)()( SGUSI ?
)()( SRISU ?
1.运算形式的电路定律
0
0
?
?
?
?
uK V L
iK C L
? ? 0)( SU
0 (S ) ?? I
+ u -
i R
+ U(S) -
I(S) R
L:
dt
diLu ?
)0()()( ??? LiSS L ISU
S
i
SL
SUSI )0()()( ???
SL
i(0-)/S
+ U(S) -I(S)
I(S) Li(0-)
+ U(S) -
SL
i
+ u -
L
+ u -
iC:
S
uSI
SCSU
c
cc
)0()(1)( ???
)0(1 0 ??? ? ? ct cc udtiCu
)0()()( ??? cCC CuSS C USI
IC(S)
1/SC
uc(0-)/S
+ UC(S) -
＋ －
+ UC(S) -
Cuc(0-)
1/SC
IC(S)
?
?
?
??
?
?
??
??
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
?
?
?
????
????
??
??
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MiSS M IiLSISLSU
MiSS M IiLSISLSU
M
L1 L2
1 2
+
u1
-
+
u2
-
L1i1(0-） Mi2(0-） Mi1(0-）L2i2(0-）
+
U2(S)
-
+
U1(S)
-
I1(S) I2(S)
SL1 SL2
+ －
SM
＋ － － +－ +
12
1
uu
iRu
??
?
)()(
)()(
12
1
SUSU
RSISU
??
? (s)U
+
1(s)
-
?R
I(S)
+
U2
-U1(S)
+
u1
-
+
u2
-
?u1R
i
＋
－
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
?
?
??? t c dtiCdtdiLiRu 01
)(1)()()( SISCSS L IRSISU ???
)1)(( SCSLRSI ???
运算阻抗
)()()( SZSISU ?
)()()( SYSUSI ? )(
1)(
SZSY ?
运算形式
欧姆定理
SCSLRSZ
1)( ???
+
u
-
i R L
C
+
U(S)
-
I(S) R SL
1/SC
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
)0(1 0 ????? ?
?
c
t
c udtiCdt
diLiRu
s
uSI
SCLiSS L IRSISU
c )0()(1)0()()()( ?
? ?????
s
uLisU
SCSLRSI
c )0()0()()1)(( ?
? ?????
运算阻抗 SCSLRSZ
1)( ???
+
u
-
i R L
C
+
U(S)
-
I(S) R SL
1/SC
－ ＋ ＋ －u
c(0-)/s Li(0-)
3.运算电路
运算电路
如 L, C 有初值时，初值应考虑为附加电源
R
RL
L
C
i1
i2
E?(t)
时域电路
0)0( 0)0( ?? ?? Lc iu
物理量用象函数表示
元件用运算形式表示
R
RL
SL
1/SC
I1(S)
E/S
I2(S)＋
－
例
5Ω
1F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-uc
+ -i
L
时域电路
t=0时打开开关
Ai L 510//105 50)0( ????
Vu C 25)10//10(5)0( ???
t>0运算电路
20
0.5S
-
++
-
1/S
25/S
2.5
5
IL(S)
UC(S)
§ 5.拉普拉斯变换法分析电路
步骤,1.由换路前电路计算 uc(0-),iL(0-)
2,画运算电路图
3,应用电路分析方法求象函数
4,反变换求原函数
例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL
t = 0时闭合 k,求 iL,uL。
100)0( ??cu已知,V
Ai L 5)0()1( ??解：
(2)画运算电路
SSL 1.0?
S
SSC
1000
101000
11
6
?
??
?
?
200/S
30 0.1s 0.5
10
1000/S
100/S
IL(S) I2(S)
Vu c 1 0 0)0( ??
例 1：
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uc
+ 1000μ F
iL
??
?
)3( 回路法
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
5.0200)(10)1.040)(( 21 ???? SSISSI
SSISSI
100)()100010()(10-
21 ???
200/S
30 0.1s 0.5
10
1000/S
100/S
IL(S) I2(S)
I1(S) I2(S)
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
(4)反变换求原函数
200030)( 321 ????? SSSSD,个根有
2
2
1 )200(
)400 00700(5)(
?
???
SS
SSSI
01 )( ?? SSSFK 52 0 04 0 0
)4 0 0 0 07 0 0(5
022
2
??? ??? ?SSS SS
1500)200)(( 2 0 0222 ??? ??SSSFK
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( ????? S
K
S
K
S
KSI
0)]()2 0 0[( 2 0 0221 ??? ??SSFSdsdK
21 )2 0 0(
1 5 0 0
)2 0 0(
05)(
????? SSSSI
Atteti t )()15005()( 2001 ????
ttLL tee
dt
tdiLtu 2 0 02 0 0 3 0 0 0 01 5 0)()( ?? ???
SLSISU L )()( 1?求 UL(S)
UL(S)
5.0)()( 1 ?? SLSISU L 2)200(
3 0 0 0 0
200
150
?
??
?? SS
Vteetu ttL )3 0 0 0 01 5 0()( 20 020 0 ?? ??
200/S
30 0.1s 0.5
10
1000/S
100/S
IL(S) I2(S)
R C
+
uc
?
is
?(t)
例 13-10 求冲激响应 0)0( ?
?Cu
R
1/SC
+
Uc(S)
?
IS
1
SCSISCR
RSU
C
1)(
/1)( ?? )/1( RCSRC
R
??
1)()( ??? R S C
R S CSS C USI
CC 1
1
1
1
???
??
RS CRS C
RS C
)0(1 / ?? ? teCu RCtc )0(1)( / ??? ? teRCti RCtc ?
t
uc (V)
C
1
0
t
ic
RC
1?
)(t?
例 13-11 图示电路已处于稳态,t=0时将开关 S闭合，已知
us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5?,L1=1H,求 t≥0时的 uL(t).
2
2]2[][ 2
1 ???
?
seLuL
t
s
sLuL s
5]5[][
2 ??
ARui sL 1)0(
2
2 ??
?
S R1 R2
＋ iL + ＋
US1 L uL US2
－ － －
R1 R2
＋ + ＋
UL(s)
－ － －
sL
－
Li(0-)
+
2
2
?s
s
5
①
SL
Li
RSRSSUSLRR L
)0(151
2
2)()111(
2121
?????
????
)52)(2(
2)(
??? SS
SSU
L
Veetu ttL )54()( 5.22 ?? ???
M
L1 L2
R1
R2
＋
us
－
S
i1 i2
例 13-12 图示电路，已知 R1=R2=1?,L1=L2=0.1H,M=0.5H，
us=1V，试求,t=0时开关闭合后的电流 i1(t)和 i2(t)。
0)0()0( 21 ?? ?? ii
Sss MIsIsLR
1)()()(
2111 ???
0)()()( 2221 ???? sIsLRss M I
sL1 sL2
s
1
＋
－
R1
R2
sM
)(1 SI
)(2 SI
t = 0时打开开关 k,
求电流 i,
0)0(
5)0(
2
1
?
?
?
?
i
Ai
)12.00 0 7 5.0(
11.0)(
21 ??
??
sss
ssI
12.00 0 7 5.0
05.0)(
22 ??? sssI
Aeeti tt )5.05.01()( 2067.61 ?? ???
Aeeti tt )(5.0)( 2067.62 ?? ??
例,13-13
+
- Us k
R1 L1 L2
R2
i1 i20.3H 0.1H
10V
2Ω
3Ω
10/S
2
0.3S 1.5
3
0.1S
I(S)
S
SSI
4.05
5.1
10
)(
?
?
?
SS
S
)4.05(
5.110
?
??
5.12
75.12
??? SS
tei 5.1275.12 ???
)0()0( 1 ?? ? ii
t
i
5
2
3.75
0 )0()0( 2 ?? ? ii
5.1)(3.0)(1 ?? ssIsU L
3 7 5.05.1256.6 ???? S
UL1(S)
)(1.0)(2 ssIsU L ?
5.12
19.23 7 5.0
??? S
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
10/S
2
0.3S 1.5
3
0.1S
I(S)
uL1
-6.56 t-0.375?(t)
0.375?(t)
uL2
t-2.19
tL etu 5.122 19.2)(375.0 ???? ?
tL etu 5.121 56.6)(375.0 ???? ?
t
i
5
2
3.75
0
Aii 75.31.0 375.0)0()0( 22 ??? ??
Ai 75.33.0 375.053.0)0(1 ?????
小结,运算法分析动态电路的步骤
1.由换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2,画运算电路图
3,应用电路分析方法求象函数。
4,反变换求原函数。
磁链守恒,)0()()0()0(
212211 ??? ??? iLLiLiL
75.34.0053.0 ????
