第九章 正弦稳态电路的分析 教学基本要求 1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法； 2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式； 3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法； 4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况； 5、掌握最大功率传输的概念及在不同情况下的最大传输条件； 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换 (2). 正弦稳态电路的分析 (3). 正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算 (4). 最大功率传输。 (5). 串、并联谐振的概念 2．教学难点：(1).复阻抗和复导纳的概念以及它们之间的等效变换。 (2).直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应用。 (3). 正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算。 (4).应用相量图分析电路的方法。 (5). 谐振的概念。 三、本章与其它章节的联系： 　　本章内容以直流电路的分析和第八章阐述的相量法为基础， 正弦稳态电路的分析方法在第10、11、12章节中都要用到。 四、学时安排 总学时：10 教 学 内 容 学 时  1．阻抗和导纳、阻抗（导纳）的串联和并联 2  2．电路的相量图、正弦稳态电路的分析 2  3．正弦稳态电路的功率、复功率、最大功率传输 2  4. 串联电路的谐振 2  5. 习题课 2  五、教学内容 §9－1　 阻抗和导纳 　　阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。 1. 阻抗 1）阻抗的定义 　　 图9.1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗 Z 。即 　　　　　单位：Ω 　　上式称为复数形式的欧姆定律，其中 称为阻抗模， 称为阻抗角。由于 Z 为复数，也称为复阻抗，这样图 9.1 所示的无源一端口网络可以用图 9.2 所示的等效电路表示，所以 Z 也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。   图 9.1 无源线性一端口网络 图 9.2 等效电路 2）单个元件的阻抗 　　当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为：    a 电阻 b 电容 c 电感 图 9.3 单个元件的网络 a图 　 b图 　 c图  　　说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 3） RLC 串联电路的阻抗   图 9.4 RLC 串联电路 图 9.5 阻抗三角形 　　由 KVL 得：  　　　　　　　　　  　　因此，等效阻抗为  　　其中 R—等效电阻 (阻抗的实部)；X—等效电抗(阻抗的虚部) ；Z、R 和 X 之间的转换关系为： 　　　　　 或  　　可以用图 9.5 所示的阻抗三角形表示。 结论： 对于 RLC 串联电路： 　　（1） 当ωL ＞ 1/ωC 时，有 X ＞0 ， φz＞0 ，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 9.6 所示；   图9.6 ωL ＞ 1/ωC 时的相量图和等效电路 　　（2）对于RLC串联电路当ωL ＜ 1/ωC时，有 X ＜0 ，φz＜0 ，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 9.7 所示；   图9.7　ωL ＜ 1/ωC 时的相量图和等效电路 　　（3） 当ωL ＝ 1/ωC 时，有 X＝0 ， φz＝0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.8所示；   图9.8　ωL ＝ 1/ωC 时的相量图和等效电路 （4） RLC 串联电路的电压 UR 、U X 、U 构成电压三角形，它和阻抗三角形相似,满足： 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。 2. 导纳 1）导纳的定义 　　图 9.1 所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳 Y 。即 　 　　单位：S 　　上式仍为复数形式的欧姆定律，其中 称为导纳模， 称为导纳角。由于 Y 为复数，称为复导纳，这样图 9.1 所示的无源一端口网络可以用图 9.9 所示的等效电路表示，所以 Y 也称为一端口网络的等效导纳或输入导纳。  图 9.9 无源线性一端口网络等效导纳 2）单个元件的导纳 　　当无源网络内为单个元件时如图 9.3 所示，等效导纳分别为： 　 a图 　b图 　　c图  　　说明 Y 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 3） RLC 并联电路的导纳   图 9.10 RLC 并联电路 图 9.11 导纳三角形 　　　　由 KCL 得：  　　　　　　　　　 　　因此，等效导纳为  　　其中 G—等效电导(导纳的实部) ； B—等效电纳(导纳的虚部) ；Y 、G 和 B 之间的转换关系为： 　　　　 或  　　可以用图 9.11 所示的导纳三角形表示。 结论： 对于 RLC 并联电路： 　　（1） 当 ωL ＞ 1/ωC 时，有 B ＞0 ， φy＞0 ，表现为电流超前电压，称电路为容性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 9.12 所示；   图 9.12 ωL ＞ 1/ωC 时的相量图和等效电路 　 （2）当 ωL ＜ 1/ωC 时，有 B ＜0 ， φy＜0 ，表现为电压超前电流，称电路为感性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 9.13 所示；   图 9.13 ωL ＜ 1/ωC 时的相量图和等效电路 　 （3） 当ωL = 1/ωC 时，有 X＝0 ， φz＝0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.14所示   图 9.14 ωL = 1/ωC时 的 相量图和等效电路 　 （4）RLC 并联电路的电流 IR、IX 、I 构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足 　　　　　　  注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。 3. 复阻抗和复导纳的等效互换 　　 同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为： 　　　 即：    9.15 串联电路和其等效的并联电路 如图 9.15 的串联电路，它的阻抗为： 其等效并联电路的导纳为： 即等效电导和电纳为： 同理，对并联电路，它的导纳为  其等效串联电路的阻抗为：  即等效电阻和电抗为：  　 　 例9-1电路如图(a)所示，已知：R=15Ω,L=0.3mH, C=0.2mF, 求 i ,uR ,uL ,uC 。    例 9 — 1 图（a） （b） （c） 解：电路的相量模型如图（b）所示，其中： 　　　　　  　　　　　  因此总阻抗为  　　　　　　　  　 总电流为  　电感电压为 　电阻电压为  　电容电压为 　相量图如图（c）所示，各量的瞬时式为： 　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  注意 :UL=8.42＞U=5，说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效值。 例9-2 RL 串联电路如图（a）所示，求在ω＝106rad/s 时的等效并联电路图（b）。   例 9 — 2 图（ a ） （ b ） 　　解：RL 串联电路的阻抗为： 　　　　　  　导纳为： 　得等效并联电路的参数  　　　 　　  §9－2　 阻抗(导纳)的串联和并联 1. 阻抗的串联 　　 图 9.16 为 n 个阻抗串联的电路，根据 KVL 得：   图 9.16 n 个阻抗串联图 图9.17 等效电路图 　　　　　 　　其中  　　Z 为等效阻抗，因此图 9.16 的电路可以用图 9.17 的等效电路替代。 　　串联电路中各个阻抗的电压分配为： 　　其中 为总电压， 为第 k 个阻抗的电压。 2. 导纳的并联   图 9.18 n 个阻抗并联图 9.19等效电路 图 9.18 为 n 个阻抗并联的电路，根据 KCL 得： 　　　　  　其中  　Y 为等效导纳，因此图 9.18 的电路可以用图 9.19 的等效电路替代。 　　 并联电路中各个阻抗的电流分配为： 　　　 其中 为总电流， 为第 k 个导纳的电流。 　　两个阻抗 Z 1 、 Z 2 的并联等效阻抗为：  　　注：阻抗的串联和并联计算及分压和分流计算在形式上与电阻的串联和并联及分压和分流计算相似。 例9-3　 求图示电路的等效阻抗， 已知ω＝ 105 rad/s 。  例 9 — 3 图 解： 感抗和容抗为： 　　　　　　  　　　　　　  　　 所以电路的等效阻抗为 　　　 例9-4　 图示电路对外呈现感性还是容性？  例 9 — 4 图 解： 图示电路的等效阻抗为： 　　　  　　　　所以 电路对外呈现容性。 例9-5　 图示为 RC 选频网络，试求 u1 和 u0 同相位的条件及   例 9 — 5 图 解：设 　　 　　　　输出电压  　　　　输出电压和输入电压的比值  　　　　因为  　　　　　　　　　 　　　 当 ，上式比值为实数，则 u1 和 u0 同相位，此时有 §9－3　 正弦稳态电路的分析 1．电阻电路与正弦电流电路的分析比较 　　　　　　　　 　　结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的 。 因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。 2. 典型例题 例9-6求图 (a) 电路中各支路的电流。已知电路参数为:    例 9 — 6 图（ a ） （ b ） 解：电路的相量模型如图（b）所示。 　　 设 　　　　 　　 则  　　 各支路电流为  　　　  　　　  例9-7　 列写图（a）电路的回路电流方程和节点电压方程  例 9 — 7 图（a） 　　解：选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为: 　　　 回路 1  　　　 回路 2  　　　 回路 3  　　　 回路 4    （ b ） （ c ） 　 结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为: 　　　 结点 1  　　　 结点 2  　　　结点 3  例9-8　求图（a）电路中的电流 已知：   例 9 — 8 图（a） （b） 解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中 　　　　　　　  　　  　　方法二： 应用戴维南等效变换   图（ c ） （ d ） 　　求开路电压：由图（c）得 　　 求等效电阻：把图（c）中的电流源断开得 　　　　　 　  　　　 等效电路如图（d）所示，因此电流 　　　　　  例9-9　求图（a）所示电路的戴维南等效电路。   例 9 — 9 图（ a ） （ b ） 　　解：把图（a）变换为图（b），应用 KVL 得 　　　  　　　 解得开路电压  　　　 求短路电流：把 图（b）电路端口短路得 　　　　 　　　　 　 　　　 所以等效阻抗: 　　　　　　  例9-10　用叠加定理计算图（a）电路的电流 ，已知    例 9 — 10 （ a ） （ b ） （ c ） 解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，由图（a）得： 　　　　　  　　　　　  　　　 由图（b）得  　　 则所求电流 　　　  例9-11　已知图示电路：Z =10+j50Ω,Z1=400+j1000Ω,问：β等于多少时， 相位差90°？　  例 9 — 11 图 解：根据 KVL 得  　　所以  　　令上式的实部为零，即  　　　　　 得: ,即电压落后电流 90°相位。 例9-12　已知图（a）所示电路中，U =115V , U1=55.4V , U2= 80V , R1=32W , f=50Hz ， 求： 电感线圈的电阻 R2 和电感 L2 。   例 9 — 12 （a） （b） 解：方法－、 画相量图分析。相量图如图（b）所示，根据几何关系得： 　　　　 　　 　　　 代入数据得 　　  　　　 因为  　　　 所以 　　方法二、列方程求解，因为 　　　　　　  　　　令上式等号两边实部、虚部分别相等得: 　　　　　　　　　  　　　　　　　　　  　　　解得 其余过程同方法一。 §9－4　 正弦稳态电路的功率 1. 瞬时功率 　　设无源一端口网络如图 9.20 所示，在正弦稳态情况下，端口电压和电流为： 　　　　　  式中φ 是电压和电流的相位差，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。   图 9.20 图 9.21 则 一端口网络吸收的瞬时功率为： 上式可以分解为：  　　从上式可以看出瞬时功率有两个分量，一个为恒定量，一个为两倍电压或电流频率的正弦量， P（t）的波形如图9.21所示。瞬时功率还可以写为： 　　　　  上式中第一项始终大于零，为瞬时功率的不可逆部分，第二项为两倍电压或电流频率的正弦量，是瞬时功率的可逆部分，代表电源和一端口之间来回交换的能量。P(t)的波形如图9.22示。 注意：瞬时功率有时为正,有时为负，p＞0,表示电路吸收功率，p＜0，表示电路发出功率。  图 9.22 2. 平均功率 P 　 为了便于测量，通常引入平均功率的概念。平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，即： 　　　  　　 P 的单位是 W（瓦）。式中 cosφ称为功率因数，说明平均功率不仅与电压和电流的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。 注意： 　　当 cosφ =1, 表示一端口网络的等效阻抗为纯电阻，平均功率达到最大。 　　当 cosφ =0 ，表示一端口网络的等效阻抗为纯电抗，平均功率为零。 　　一般有 0 ≤｜cosφ｜≤1 。因此，平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率。 3. 无功功率 Q 　　 工程中还引入无功功率的概念，其定义为：单位： var (乏) 。 当 Q ＞0 ，认为网络吸收无功功率； Q ＜0 ，认为网络发出无功功率。 注意： 　　当 cosφ = 1, 有 sinφ = 0 ，纯电阻网络的无功功率为零。 　　当 cosφ = 0，有 sinφ = 1 ，表示纯电抗网络无功功率最大。 　　因此 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L、C 的性质决定的。 4. 视在功率 S 　　定义视在功率为电压和电流有效值的乘积，即：单位： VA (伏安) 视在功率反映电气设备的容量。 　　有功功率，无功功率和视在功率满足图 9.23 所示的功率三角形关系： 　　　   图 9.23 5. 任意阻抗的功率计算 　　 　　  　　  　　以上式子说明功率三角形与阻抗三角形是相似三角形。 　　图 9.24（b）和（c）为图 9.24（a）所示的 RLC 串联电路中电感和电容的瞬时功率的波形，从中可以看出， 当 L 发出功率时， C 刚好吸收功率，当 C 发出功率时， L 刚好吸收功率，说明电感、电容的无功具有互相补偿的作用。    图 9.24 （ a ） （ b ） （ c ） 6. 功率因数的提高 　　有功功率的表达式说明当功率一定时，若提高电压 U 和功率因素 cosφ，可以减小线路中的电流，从而减小线路上的损耗，提高传输效率。电力系统中就是采用高压传输和并联电容提高功率因素的方式来提高传输效率。 　　图 9.25（a）给出了电感性负载与电容的并联电路，图（b）为其相量图，显然并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。   图 9.25 （ a ） （ b ） 根据相量图可以确定并联电容的值，由图可知： 　　　　　　　 因此  　　　　　　  注意： 并联电容后，电源向负载输送的有功功率 UILcosφ1 = UIcosφ2 不变，但是电源向负载输送的无功 UIsinφ2 ＜ UIL sinφ1 减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”的无功来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。 例9-13 图示电路是用三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U = 50V ，I =1A ， P =30W ,求线圈参数。  例 9 — 13 图 解：方法一，由电表的读数知： 　　　 视在功率  　　　 无功功率  　　　 因此  　　　　　　 　　　　 　　方法二 ，由 　　　　　　 因  　　　　　　 且  　　　　　 所以  　　方法三，由  　　　　　 得  　　　　　　 因  　　　　　　 所以  　　　　　　　　　 例9-14　图示电路，已知：f =50Hz, U =220V, P =10kW, 线圈的功率因素 cosφ=0.6 ，采用并联电容方法提高功率因素，问要使功率因数提高到0.9, 应并联多大的电容C，并联前后电路的总电流各为多大？  例 9—14 图 解：　　 　　　 所以并联电容为： 　　　　　　　 　　　 未并电容时，电路中的电流为： 　　　　  　　　 并联电容后，电路中的电流为： 　　　　  §9－5　　 复功率 　　正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系可以通过“复功率”表述。 1. 复功率 　　 设一端口网络的电压相量和电流相量为 ，定义复功率 为： 　　　　　　　　 　　　单位： VA 因此 复功率也可表示为： 　　　 或  注意： 　　（1）复功率 把 P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；辐角是功率因素角。 　　（2）复功率 是复数，但不是相量，它不对应任意正弦量； 　　（3）复功率 满足复功率守恒。因为在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的有功功率之和为零，吸收的无功功率之和为零，即： 　　　　　　　　　  　　　　　　因此  　　 例9-15　电路如图所示，求各支路的复功率。  例 9 — 15 图 　　解： 输入阻抗  　　 电压  　　　　 电源发出的复功率 　　　　　　  　　　 支路的复功率为 　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  §9－6　　 最大传输功率 　　图 9.26（a）所示电路为含源一端口网路向终端负载传输功率，下面分析在正弦稳态条件下负载从含源一端口网络获取最大功率的条件。根据戴维宁定理，把图（a）电路简化为图（b）所示的等效电路进行研究。设 Zi = Ri + jXi ， ZL = RL + jXL ，则负载电流为：   图 9.26 （ a ） （ b ）  　　负载吸收的有功功率为  　　若ZL=RL+jXL 可任意改变，先设RL不变，XL改变，显然，当 Xi+XL=0 ，即XL=-Xi时，有功功率P 获得最大值，这时 　　　　　　　  　　再改变RL使P 获得最大值。把上式对RL求导，并使之为零，得RL=Ri 时，P 获得最大值。 　　综合以上结果，可得负载上获得最大功率的条件是： 　　　　　　 RL=Ri　　XL=-Xi 　　　　　　 即 ZL = Zi * 　　 此时有最大功率  　　 例9-16　电路如图（a）所示，求 　（1）RL =5Ω 时其消耗的功率； 　（2）RL =? 能获得最大功率，并求最大功率； 　（3）在 RL 两端并联一电容，问 RL 和 C 为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求匹配功率。   例 9—16 图（a） （b） 解：（1）电源内阻抗 　　　　　  　　　　　电路中的电流  　　　　　负载电阻消耗的功率  　　（2）当  　　　　　电流为  　　　　　负载电阻消耗的最大功率 　　　　　　　　  　　（3）并联电容后的电路如图（b）所示，导纳为 　　　　  　　　　　令 　　　解得：  　　　　　电流 　　匹配功率  例9-17　电路如图（a）所示，求 ZL =? 时能获得最大功率，并求最大功率。   例 9 — 17 图（ a ） （ b ） 解： 应用戴维宁定理，先求负载阻抗 ZL 左边电路的等效电路。 　　 等效阻抗  　　 等效电源  　　 等效电路如图（b）所示。 　　 因此,当 时， 　　 负载获得最大功率 §9－7　　 串联电路的谐振 　　谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。 1. 谐振的定义 　　 含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足：  2. 串联谐振的条件  图 9.27 图 9.27 所示的 R、L、C 串联电路发生谐振时称串联谐振。电路的输入阻抗为： 　　　　　  根据谐振定义，当时电路发生谐振，由此得 R、L、C 串联电路的谐振条件是 　　谐振角频率为：， 谐振频率为： 上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率又称固有频率。 　　由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为： 　　（1） L、C 不变，改变 ω 达到谐振。 　　（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 达到谐振。 3. R、L、C 串联电路谐振时的特点 谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位； （2）谐振时入端阻抗 Z = R 为纯电阻，图9.28为复平面上表示的|Z|随ω 变化的图形，可以看出谐振时抗值 |Z| 最小，因此电路中的电流达到最大。  图 9.28 （3）谐振时电感电压和电容电压分别为： 　　　  　　上式表明L、C上的电压大小相等，相位相反，如图9.29所示，串联总电压，LC 相当于短路，所以串联谐振也称电压谐振，此时电源电压全部加在电阻上，即。  图 9.29 （4）谐振时出现过电压现象 　　电感电压和电容电压表示式中的 Q 称为品质因数，有 　　　　　　　　 　　如果Q＞1，则有当Q ＞＞1时，电感和电容两端出现大大高于电源电压 U 的高电压，称为过电压现象。 （5） 谐振时的功率 　　有功功率为： P = UIcosφ＝ UI 　　即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。 　　无功功率为：  　　其中  　　即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。如图 9.30 所示。  图 9.30 （6）谐振时的能量关系 　　设电源电压  　　则电流  　　电容电压  　　电容储能  　　电感储能  以上表明： 　　1）电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即 WLm = WCm 。L、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。 　　2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即 　　　　　  　　电感、电容储能的总值与品质因数的关系为： 　　  　　即品质因数 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高 Q 值。 4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性 　　 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。 （1）阻抗的频率特性 　　串联阻抗  　其中（阻抗幅频特性） 　　　　 （阻抗相频特性） 　　图 9.31（a）给出了阻抗幅频特性曲线，（b）给出了阻抗相频特性曲线。   图 9.31 （a） （b） 　　 （2） 电流谐振曲线 　　电流幅值与频率的关系为：  　　得电流谐振曲线如图 9.32 所示。 　　从电流谐振曲线看出谐振时电流达到最大，当ω 偏离ω0 时，电流从最大值 U/R 下降，即：串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。  ? 如图 9.32 　　为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以ω0和I(ω0)，即 　　　  　　得  　　　　　　  　　　所以  　　由上式得通用谐振曲线如图9.33所示。显然Q 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。 　　根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。  图 9.33 　　在通用谐振曲线 处作一水平线，与每一谐振曲线交于两点，对应横坐标分别为，称半功率点，有 　　　　　　 　　把 称为通频带，通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。可以证明 Q 与通频带的关系为： 　　　　　　  （3） UL(ω) 与 UC(ω) 的频率特性 　　　因为  　　　  它们的曲线如图 9.34 所示。 　　 可以证明当时，UL(ω)与UC(ω)获最大值，峰值的频率为： 　　　  　　 　  　 峰值为 　　  Q 越高，峰值频率越靠近谐振频率。  图 9.34 　　　　　　 例9-18　某收音机的输入回路如图所示， L =0.3mH ， R =10 W ，为收到中央电台 560kHz 信号，求 　（1）调谐电容 C 值； 　（2）如输入电压为 1.5 mV ，求谐振电流和此时的电容电压。  例 9 — 18 图 解：（1） 由串联谐振的条件得： 　　　　　　　  　　　　  　　　　　　  　　　　　　　或  例9-19　一信号源与 R 、 L 、 C 电路串联如图所示，要求谐振频率 f0 =104Hz ，频带宽△f =100Hz ， R=15Ω ，请设计一个线性电路。  例 9 — 19 图 　解：电路的品质因数  　　　所以 　　　　　　　  　　　　　　　  例9-20　一接收器的电路如图所示，参数为： U =10V ， w =5×103 rad/s, 调 C 使电路中的电流最大，Imax =200mA ，测得电容电压为 600V ，求 R、L、C 及 Q 。  例 9 — 20 图 　　解：电路中电流达到最大时发生串联谐振，因此有： 　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  例9-21　图（a）所示电路，电源角频率为ω，问在什么条件下输出电压 uab 不受 G 和 C 变化的影响。   例 9 — 21 图（ a ） （ b ） 　　解：应用电源等效变换，把图（a）电路变换为图（b）电路，显然当 L1、C1 发生串联谐振时，输出电压 uab 不受 G 和 C 变化的影响。因此有： 　　　　　　　  　　　　　令  　　　　　　　  　　　　　　　  §9－8　　 并联电路的谐振 1. G、C、L 并联电路  图 9.35 　　当图9.35所示的 G、C、L 并联电路发生谐振时称并联谐振 ，并联电路的入端导纳为： 　　　　　　　　　　　  　　　 谐振时应满足 　　　 谐振角频率  　　采取与串联谐振电路同样的分析方法得并联谐振电路的特点为： 　　（1）谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位； 　　（2）谐振时入端导纳 Y = G 为纯电导，导纳 |Y | 最小，如图9.36所示，因此电路中的电压达到最大。如图9.37所示。    图 9.36 图 9.37 图 9.38 　(3) 谐振时电感电流和电容电流分别为： 　 　　  　　 式表明 L、C 上的电流大小相等，相位相反，如图9.38所示，并联总电流 ， LC 相当于开路，所以并联谐振也称电流谐振，此时电源电流全部通过电导，即 。 　　(4) 谐振时出现过电流现象 　　电感电流和电容电流表示式中的 Q 称为并联电路的品质因数，有 　　　　　　　  　　如果 Q ＞1 ，则有 当 Q ＞＞1 时， 电感和电容中出现大大高于电源电流的大电流，称为过电流现象。 　　(5) 谐振时的功率 　　有功功率为：  　　即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。 　　无功功率为：  　　　　  　　即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。两种能量的总合为常量：  2. 电感线圈与电容器的并联谐振 　　实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图 9.39 所示。   图 9.39 图 9.40 （1）谐振条件 　 电路的入端导纳为： 　　 　　谐振时 B =0 ，即  　　谐振角频率   图 9.41 上式说明该电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，必须满足 　　　　　　  考虑到一般线圈电阻 R＜＜ωL ，则等效导纳近似为： 　　　　　  谐振角频率近似为  电路的等效电阻为：  等效电路如图 9.40 所示。电路的品质因数为： 　　　　　  （2）谐振特点 　　　 1) 电路发生谐振时，输入阻抗很大 　　　　　　　  　　　 2) 电流一定时，总电压较高  　　　 3) 支路电流是总电流的 Q 倍，相量图如图 9.41 所示。设R＜＜ωL 　　　　　　　　　　  　　　　　　  　　　　　　  例9-22　电阻 R=10Ω 和品质因数 QL=100 的线圈与电容接成并联谐振电路，如图（a）所示，如再并联上一个 100kΩ的电阻，求电路的品质因数 Q 。   例 9 — 22 图（ a ） （ b ） 解：因为 　　所以  则  　 把 图（a）电路等效为图（b）电路，得： 　　　　　　  　　因此  例9-23　电路如图所示，已知： RS =50kΩ， US=100V ， w0=106 ，Q=100 ，谐振时线圈获取最大功率，求：L、C、R 及谐振时 I0 、U 和功率 P 。   例 9 — 23 图（ a ） （ b ） 解： 线圈的品质因数 　　　 　　　把 图（a）电路等效为图（b）电路，考虑到谐振时线圈获取最大功率得： 　　　　　　　  　　　　联立求解以上三式得：  　　　　谐振时总电流  　　　　线圈两端的电压  　　　　功率