（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{}、{}和{}是三个数列，且存在N, n>N时有，则（ ） A {}和{}都收敛时，{}收敛； B. {}和{}都发散时，{}发散； C {}和{}都有界时，{}有界； D. {}有界时，{}和{}都有界； 2、 函数  在 点 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、（）在点必 （ ） A.  ； B. ; C. ; D.  ； 4、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可微，但。则（ ） A. （），使 ； B. （），使 ; C. （），使 ； D.当>时，对（），有>0 ； 5、设在区间Ⅰ上有， 。则在Ⅰ上有（ ） A.  ； B.  ； C.  ； D.  ； 二、（满分15分，每小题3分）填空题 ： 1 ＝ ； 2。在区间[]上的全部间断点为 ； 3 ＝,  ； 4 函数在R内可导，且在（）内递增，在（）内递减,，的单调递减区间为 ； 5  ； 三、（满分36分，每小题6分）计算题： 1、 ; 2、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ; 3、 ； 4、,计算积分 ； 5、 ； 6、斜边为定长的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ; 四、（满分7分）验证题：由有“”定义验证数列极限  ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题： 1 设函数和都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数在区间Ⅰ上一致连续； 2 设函数在点可导且，试证明：～，其中 ； 3 设函数在点具有连续的二阶导数，试证明：  ； 4 试证明：<<时，有不等式 > . （二）一年级《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）判断题： 1、无界数列必发散； （ ） 2、若对>0，函数在[]上连续，则在开区间（）内连续； （ ） 3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ） 4、，若函数在点可导，在点不可导，则函数在点 必不可导 ； （ ） 5、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，但，则对，有 ； （ ） 二、（满分20分，每小题4分）填空题 ： 1、＝ ； 2、曲线的所有切线中，与直线垂直的切线是 ； 3、 ，  ； 4、函数二阶可导， ， 则 ； 5、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，  ； 三、（满分30分，每小题6分）计算题: 1、 ； 2、 ； 3、， 求 ； 4、， 求 ； 5、 ； 四、（满分40分，每小题8分）证明题： 1、设函数在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件：>0，Ⅰ， 有 ，证明在区间Ⅰ上一致连续； 2、证明函数在点不可导 ； 3、设函数在R内连续且，试证明在R有最小值； 4、设<<，在[]上可导，在（）内可导，证明，使得  ； 5、设函数和可导且，又，证明，其中为常数. （三）一年级《数学分析》考试题 一 对错判断题： 1、设为两个数列，若 （）则 ；（ ） 2、若函数以为极限，则可表为 ； （ ） 3、设定义于[]上，若取遍与之间的任意值，则比在[]上连续； （ ） 4、若在连续，且存在，则在有界;（ ） 5、若的导数在[]上连续，则必存在常数L,使  ， ； （ ） 6、① 当时， ； （ ） ②  ； （ ） 7、若和在点都不可导，则在点也不可导; （ ） 8、为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点有：  （ ） 9、若在二阶可导，则（）为曲线的拐点的 充要条件为 ； （ ） 10、若S为无上界的数集，则存在一个递增数列,使得  ； （ ） 二 单项选择题： 1、设  在处连续， 则（ ） A. 1 B.  C.  D. －1 2、设  当是不连续是因为 （ ） A.在无定义 B.不存在 C.  D.左，右极限不相等 3、设 ，其中在处连续但不可导，则 （ ） A. 不存在 B.  C.  D. － 4、当很小时，下列近似公式正确的是 （ ） A.  B. C.  D.  5、若和对于区间（）内每一点都有，在（） 内有 （ ） A. B. D.（c为任意常数） D.  （c为任意常数） 三 证明题： 1 证明  ; 2 证明不等式：  ； 3 对任意实数有 ； 4 证明：方程 （为常数）在内不可能有两个不同的实根； 5 设函数在点存在左，右导数，试证在连续； 6 证明：若极限存在，则它只有一个极限； 四 计算题： 1 写出的其拉格朗日型余项的马克劳林公式； 2 求下列极限： ①  ； ②  ； ③  ； 3 求 的微分； 4 设函数的参量方程  （）所确定，求 . （四）一年级《数学分析》考试题 一 叙述题： 1 用语言叙述 （为定数） 2 叙述Rolle中值定理，并举出下列例子： 1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 3） 第三个条件不成立，结论成立的例子； 二、计算题： 1 求极限 ； 2 求极限 ； 3 求的带Peano型余项的Maclaurin公式； 4 求； 三、研究函数  在处的左，右极限和极限； 四、研究函数 求数集的上、下确界，并依定义加以验证； 五、证明题： 1 用定义证明：  ； 2 证明： () 3 设定义在区间Ⅰ上，若存在常数L，,Ⅰ,有  证明：在Ⅰ上一致连续； 4 设函数在点的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明  . （五）一年级《数学分析》考试题 一 判断题：（满分10分，每小题2分） 1、若，则 ； （ ） 2、有限开区间（）内一致连续的函数必在开区间内有界； （ ） 3、设函数在点的某领域内有定义，若存在数，使，（），则在点可导且 ； （ ） 4、，若函数在点可导，则函数和都在点可导； （ ） 5、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，若对， ，则必有； （ ） 二 单项选择题：（满分20分，每小题4分） 1、函数在点连续的充要条件是 A. 和中至少有一个存在； B. 和存在且相等； C. ==; D.  在点可导 2、设函数定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz条件，，使对Ⅰ，有，则在区间Ⅰ上 （ ） A. 连续但未必一致连续； B. 一致连续但未必连续； C. 必一致连续； D. 必不一致连续； 3、定义为： A. ； B.  ； C. ； D.  ； 4、设函数和在区间Ⅰ内可导，则在该区间内有 （ ） A. ，其中为常数； B. , 其中为常数; C. ; D. ; 5、 为使在点可导，应取（ ） A. ， ； B.  ， ; C. ， ; D.  ， ; 三 计算题：（满分30分，每小题6分） 1、，求 ； 2、，求 ； 3、，求 ； 4、 ； 5、，其中且，写出的含项且具Peano型余项的Maclaurin公式； 四 验证题：（满分16分，每小题8分） 1、用定义验证函数在（）内一致连续； 2 证明函数在点不可导； 五 证明题：（满分24分，每小题8分） 1、设函数和在内连续，若对任何有理数，有，则在内； 2、设函数定义在（）内，且（）和，有，其中M为正实数，证明是（）内的常数函数； 3、设函数在闭区间上连续，在开区间（）内二级可导，且，，试证明：（），使.