（三十四）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1 叙述第二类曲线积分的定义。 2 叙述Parseval等式的内容。 3 叙述以为周期且在上可积函数的Fourier系数﹑Fourier级数及其收敛定理。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1．求 ，此处为联结三点的直线段。 2．计算二重积分 。 其中 是以和为边的平行四边形。 3．一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。 4．计算三重积分 。 其中是椭球体。 5．计算含参变量积分的值。 三 讨论题（每小题10分，共20分） 1 已 知，试确定二阶偏导数与的关系。 2 讨论积分的敛散性。 数学分析试题（二年级第一学期）答案 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1 设为定向的可求长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设 =++ 是定义在上的向量值函数，则称  为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。 2．函数在可积且平方可积，则成立等式 。 3 若是以为周期且在上可积的函数，则     称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数  称为函数的Fourier级数，记为 。 收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。 （1）在某个区间上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。 （2）在处满足指数为的Holder条件。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1。解 。 在直线段上得  在直线段上得  在直线段上得  所以 。 2．解 . 3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有  由此解得  于是有  并且易知它是极小值点. 4．解 由于 ， 其中 ， 这里表示椭球面  或 。 它的面积为 。 于是 。 同理可得 ， 。 所以 。 5．计算含参变量积分的值。 解 因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 。 从而得 。 三 讨论题（每小题10分，共20分） 1 当时， 。 ， ， ， ， 于是，当时，。 当时， 。 2．首先注意到 。 若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时 。 又因（对任何），故收敛。 若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有     常数， 故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。 （三十五）数学系二年级《数学分析》期末考试题 一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义: 1 二元函数在区域上一致连续 . 2 二重积分. 二． （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题： 1  求和. 极限是否 存在 ? 为什么 ? 2  验证函数在点处连续 ,偏导数存在 , 但不可微 . 三． （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题： 1 设函数可微 , . 求  和 . 2 为从点到点的方向. 求. 3 设计一个容积为的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 . 4 , . 5 求积分. 6 ，其中是以点、和为顶点的三角形域. 7 计算积分 . 其中为沿曲线从 点到点的路径 . 8 V :为V的表面外侧.计算积分 . 四． （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题： 1 . 证明极限不存在 . 2 设函数和可微 . 证明 . 3 设函数在有界闭区域上连续 . 试证明: 若在内任一子区域上 都有 , 则在上. （三十六）二年级 《数学分析》考试题 一 计算题 : 1 求极限 . 2  求和. 3. 设函数有连续的二阶偏导数 , . 求、 和. 4  , 点, 方向. 求 和沿的方向导数. 5 曲线L由方程组  确定 . 求曲线L上点处的切线和法平面方程 . 6 求函数在约束条件之下的条件极值 . ( 无须验证驻点 满足极值充分条件 ) 二. 证明题 : 1 . 试证明在点处的两个累次极限均存在 , 但 二重极限却不存在 . 2  证明函数在点处连续, 偏导数存在 , 但却不可微 . 3 设  验证该函数满足Laplace方程 . 4 设函数在点的某邻域有定义 , 且满足条件. 试证明 在点可微 . （三十七）数学系二年级《数学分析》考试题 一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义: 1 二元函数在区域上一致连续 . 2 二重积分. 二． （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题： 1  求和. 极限是否 存在 ? 为什么 ? 2  验证函数在点处连续 ,偏导数存在 , 但不可微 . 三． （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题： 1 设函数可微 , . 求  和 . 2 为从点到点的方向. 求. 3 设计一个容积为的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 . 4 , . 5 求积分. 6 ，其中是以点、和为顶点的三角形域. 7 计算积分 . 其中为沿曲线从 点到点的路径 . 8 V :为V的表面外侧.计算积分 . 四． （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题： 1 . 证明极限不存在 . 2 设函数和可微 . 证明 . 3 设函数在有界闭区域上连续 . 试证明: 若在内任一子区域上 都有 , 则在上. （三十八） 二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一 计算下列偏导数或全微分（共18分，每题6分）： 1 设，求，，； 2 设，求全微分； 3 求由方程所确定的隐函数的偏导数，。 二 求函数在点处从到方向的方向导数。（12分） 三 （14分）设  1 求，； 2 证明：在点（0，0）处可微。 四 求曲面在点处的切平面和法线方程。（16分） 五 证明：半径为R的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。（14分） 六 （14分）计算下列重积分 ： 1、其中D为直线及曲线围成的区域。 2、其中为由曲面，三个坐标平面及平面围成的区域。 七 （12分）求函数  在约束条件及下的最大值和最小值。 （三十九）二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一（15分）设为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”： 二 计算下列极限：（10分） 1  ； 2 ； 二 （10分）设隐函数  由方程 定义，求  及  。 三 计算下列偏导数：（10分） （1）； （2）； 四 计算下列积分（20分）： （1）  （2）  （3） D由旋轮线  与围成； （4）。 五 计算下列曲线积分（10分）： （1）  （2）  六 （10分）设为单位球面，证明：  七 （15分）利用Gaus公式计算曲面积分：  为球面的外侧。 （四十） 二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一 （16分）： 1 设； 2 设向量场，求 。 二 （15分）： 1 ； 2 。 三 求下列二元函数的极限（16分）： 1 ； 2 。 四 判断下列级数的敛散性（15分）： 1 ； 2 ； 3 。 五 试求幂级数的收敛 半径、收敛域以及和函数（14分）。 六 证明：函数项级数在[0，1] 上一致收敛（14分）。 七 设收敛，数列收敛，证明： 收敛（10分）。 （四十一）二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一 （10分）设为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”： 二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分） 三 证明： 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分） 四 计算下列极限：（9分） 1  ； 2 ； 3 ； 五 计算下列偏导数：（10分） （1）； （2）； 六 （10分）计算下列函数  的Jacobian ： （1）； （2）； 七 （10分）设隐函数  由方程  定义，求  及  。 八（11分）在椭球 内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？ 九、（10分）求椭球面 过其上的点 处的切平面的方程。 十、（10分）设函数是定义在平面开区域内的两个函数，在内均有连续的一阶偏导数，且在内任意点处，均有 又设有界闭，试证：在  中满足方程组  的点至多有有限个。 （四十二） 二年级《数学分析Ⅱ》考试题 一（10分）设为欧氏空间中的任意两个向量，θ是这两个向量之间是夹角，证明“余弦定理”： 二 计算下列偏导数：（10分） （1）； （2）； 三（10分）求用平面  与圆柱相交所成椭圆的面积。 四 计算下列积分（16分）： （1）  （2）  （3） D由旋轮线   与围成； （4）。 五 计算下列曲线积分（14分）： （1）  （2）  六 （10分）设常数a,b,c满足 计算积分：  其中为反时针方向的单位圆周。 七 （10分）设为单位球面，证明：  八 （10分）利用Gaus公式计算曲面积分：  为球面的外侧。 九 （10分）设曲面有法向量是一个常向量，求证：