1 掌握函数的概念及表示方法；
2 理解函数的单调性、有界性、奇
偶性、周期性等基本性质；
3 理解复合函数、反函数、基本初
等函数、初等函数等概念。
第一章 实数集与函数
教学目标,
下页
第一章 实 数集与函数
§ 1 实 数
数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概
念
一,实 数及其性 质,
回 顾 中学中 关 于 有理 数 和无理数的 定 义,
有理数,
(,0 )p q q
?
?
?
?
?
?
p
能 用 互 质 分 数 为 整 数, 表 示 的 数 ；
q
有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环 小 数 表 示 的 数
若 规 定,
0 1 2 0 1 2
., ( 1 ) 9 9 9
nn
a a a a a a a a??
则 有限十 进 小数都能表示成无限循 环 小数 。
例如,001.2 记为 ?999000.2 ； 0 记为 ?000.0 ； 8? 记为 999.7?
下页
实数大小的比较
定义 1 给定两个 非 负实 数
????
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,??
其中
kk
ba,为非负整数,9,0 ??
kk
ba 。若由
1 ） ?,2,1,0,?? kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx ?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
???,而
11 ??
?
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx ? （或 xy ? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx ???,则称 xy ?
实 数的有理数近似表示
定义 2 设 ??
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax ?
210
.?
下页
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
n
nn
xx
10
1
??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ??
n
aaaax
210
.??
x 的 n 位不足近似值规定为：
n
nn
aaaax
10
1
.
210
??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax ?
210
.??
比如 2 1.41 42?, 则
1.4,1.41,1.414,1.4142,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1.5,1.42,1.415,1.4143,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b?? 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
下页
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得
nn
yx ?,取
2
nn
yx
r
?
?
则 r 显然为有理数，且
yyrxx
nn
????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c hi m e de s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
下页
二, 绝对值与不等式
绝对值 定 义,
,0
||
,0
aa
a
aa
??
? ?
???
从数 轴 上看 的 绝对值 就是到原点的距 离,
a 0 - a
绝对值 的一些主要性 质
| | | | 0 0 | | 0
- < < ; | |,0
4.
5, | | | | | |
||
6,,0
||
a a a a
a a a
a h h a h a h h a h h
a b a b a b
a b a b
aa
b
bb
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
1,当 且 仅 当 时
2, - | | | |
3, | |
下页
性质 4（三角不等式）的证明,
性 质 4 （ 三角不等式 ） 的 证 明,
? ? ? ?
??
?
?
由 性 质 2 - | a | a | a |,- | b | b | b |
两 式 相 加 - ( | a | + | b | ) a + b | a | + | b |
由 性 质 3 上 式 等 价 于 | a + b | | a | + | b |
把 上 式 的 b 换 成 - b 得 | a - b | | a | + | b |
由此 可 推出
??
???
????
???????
|||)(|||
)(|)(|
AxfA
AxfAAxf
下页
三, 几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba ??,1 s i n ?x, s i n xx ?
（ 2 ） 对,,,,
21
?
?? R
n
aaa ? 记
,
1
)(
1
21
?
?
?
???
?
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
?
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
??
??
??
???
?
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
?
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式, ),( )( )(
iii
aMaGaH ?? 等号当且 仅 当
n
aaa ??? ?
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式, ( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x?? 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
有, ( 1 )
n
h?? 上式右端任何一 项,
下页
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
下页
a b
a b
ao
}{ bxax ?? 称为半开区间,),[ ba记作
}{ bxax ?? ],( ba记作称为半开区间,
}{),[ xaxa ????无限区 间
下页
x
ao
o xb
}{),[ xaxa ????
}{),( bxxb ????
),( ????
下页
xa??a ??a
??
x
??
a??a ??a
下页
二 有界数集, 确 界原理,
1,有界数集,
定 义 ( 上、下有界,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M （ L ）,
使得对一切 Sx ? 都有 )( LxMx ??,则称 S 为有上界 ( 下界 ) 的数集。
若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如, 闭 区 间, (,) (,a b a b 为 有限数）,邻 域等都是有界数集,集合
? ?),(,s i n ??????? xxyyE 也是有界数集,
无界数集, 若 对 任意 0M ?, 存在,| |x S x M??, 则 称 S 为 无界集。
例如,),0 (,) 0,(,),( ????????,有理数集 等都是无界数集,
例 1 证 明 集合
?
?
?
?
?
?
??? ) 1,0 (,
1
x
x
yyE 是无界数集,
下页
证 明,对 任意 0M ?,存在
11
( 0,1 ),,1
1
x y E y M M
Mx
? ? ? ? ? ? ?
?
由无界集定 义, E 为 无界集。
确界, 先给 出 确界的 直 观 定 义, 若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界,记作 Ss u p ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界,记作 Si n f 。
M
M2M1
上确界 上界
m2
m
m1
下确界
下界 下页
确界的精确定义
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最小上界）,
则称数 ? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p??
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最大下界）,
则称数 ? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f??
?
?? ?
0
x
0
x
? ?? ? S
下页
例 1 （ 1 ）,
) 1(
1
?
?
?
?
?
? ?
??
n
S
n
则,_______i n f ______,s u p ?? SS
（ 2 ） ? ?,),0(,s i n ???? xxyyE 则
._________i n f ________,s u p ?? EE
定理 1,1 ( 确 界原理 ), 设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS ? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS ??,
例 4 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? 则 有
.i n fs u p BA ?
证 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最
小上界,s up yA ?? 此式又 As u p ? 是 B 的下界,?? As u p Bi n f （ B 的最大
下界） 下页
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f mini n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f min,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f min BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f mini n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f mini n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f mini n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
下页
下页
§ 3 函数概念
函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数
的, 因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1,函数的 几点 说 明,
函数的两要素, 定义域和对应法则
约定, 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D? ? ?，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
??
?
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
下页
函数的表示法, 解析法,列表法,图 像法,
分段函 数
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
??
?
???
?
??
?
狄里克雷函数
1,
()
0
x
Dx
x
?
? ?
?
为 有 理 数
,为 无 理 数
黎曼函数
1
,
()
0 0 1 0 1
p
x
qqRx
?
?
?
?
?
?
?
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
三 函数的四则运算
y
1
-1
xo
下页
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy ????,)(,,)(,若
???? })(|{
*
EDxgxE ?,则
*
Ex ??, 通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样，
*
Ex ?? 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量
的函数，记作 ))(( xgfy ?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy ?
})(|{ Dxgx ?
f
x
)( xgu ?
下页
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy ?函数
o
x
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
下页
1 常函数
2 幂函数
?
xy ?
幂函数
35
,xx
??
c l f,x = - 1, 0, 0 2, 1 ;
y 1 = x, ^ ( - 3 ) ; y 2 = x, ^ ( - 5 ) ;
p l o t ( x,y 1,x,y 2 ),h o l d o n
a x i s ( [ - 1,1,- 5 0 0,5 0 0 ] ) ;
l e g e n d ( ' x ^ - 3 ',' x ^ - 5 ' ) ;
p l o t ( [ - 2,2 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 5 0 0,5 0 0 ],' r ' )
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
x-3
x-5
下页
幂函数
2 1 / 2
,xx 图象
c l f,x = 0, 0, 0 2, 1, 6 ;
y 1 = x, ^ 2 ; y 2 = x, ^ ( 1 / 2 ) ;
a x i s ( [ - 0, 1,1, 4,- 0, 1,1, 2 ] )
l e g e n d ( ' x ^ ',' x ^ 1 / 2 ' )
p l o t ( x,y 1,x,y 2,' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
p l o t ( [ - 0, 1,2 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 0, 1,1, 5 ],' r ' )
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
x-2
x-4
下页
幂函数 2 1 / 2,xx 图象
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
x1/2
下页
3 1 / 3,xx
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x3
x1/3
下页
xx 2lo g,2 图像
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-2
0
2
4
6
8
log2x
2x
下页
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
asin (x)
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
acos (x)
下页
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
atan(x)
arctgx 图 像
下页
下页
-M
y
M
x
o
y=f(x)
X
有界函数
§ 4 具有某些特性的函数
1,有界函数 若函数 )( xf 在定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f 为 D 上
的 有 界函数。这个定义显然等价于，对一切 Dx ?,恒有 Kxf ?|)(|
有界函数的几何意义
下页
M
-M
xo X
0x
y无界函数
请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。
例 ),0(,s i n)( ???? xxxxf 是无界函数。 证 明 对 任意的
0?M,存在 Mnn ??
2
2:
?
?,取
2
2
?
? ?? nx m, 则
下页
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
Mnxf m ???
2
2)(
?
?
2,单调 函数
看下面函数的图像，给出单调函数的定义
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
下页
o
-2-4
2 4
-2
2
4
-4奇函数与偶函数
（ 1 ）定义域关于原点对称
（ 2 ）奇函数（偶函数）对任何 Dx ? 有 )()( xfxf ???,
（ )()( xfxf ?? ）
下页
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)(xfy?
两条缺一不可。
c l f,x = - 2, 1 / 2 0, 2 ; y 1 = x, ^ 3 ; y 2 = x, ^ 2 - 1;
s u b p l o t ( 1,2,1 )
p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
下页
p l o t ( [ - 1, 8,1, 8 ],[ 0,0 ] )
p l o t ( [ 0,0 ],[ - 6,6 ] )
l e g e n d ( ' x ^ 3 ' )
s u b p l o t ( 1,2,2 )
p l o t ( x,y 2,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
p l o t ( [ - 1, 8,1, 8 ],[ 0,0 ] )
p l o t ( [ 0,0 ],[ - 2,4 ] )
a x i s ( [ - 2,2,- 2,4 ] ),
l e g e n d ( ' x ^ 2 ' ) ;
下页
奇、偶函数的运算性质
请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质
c l f,x = - 1, 2 * p i, 1 / 2 0, 1, 2 * p i ;
-2 -1 0 1 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
3
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
3
4
x
2
下页
s u b p l o t ( 2,2,1 ) ;
y 1 = s i n ( x ), * x, ^ 3 ; p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],[ - 3 5,1 0 ],' b ' )
t i t l e ( ' x ^ 3 * s i n x ' ) ; h o l d o n
s u b p l o t ( 2,2,2 )
y 2 = c o s ( x ), * x, ^ 2 ; p l o t ( x,y 2,' r ',' l i n e w i d t h ',2)
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],[ - 1 5,5 ],' b ' )
t i t l e ( ' x ^ 2 * c o s x ' ) ;
s u b p l o t ( 2,2,3 ) ;
y 3 = s i n ( x ), * c o s ( x ) ; p l o t ( x,y 3,' r ',' l i n e w i d t h ',2 )
下页
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],[ - 0, 5,0, 5 ],' b ' )
t i t l e ( ' s i n x * c o s x ' ) ;
s u b p l o t ( 2,2,4 ) ; y 4 = 3 * s i n ( x ) + s i n ( x, / 3 ) ;
p l o t ( x,y 4,' r ',' l i n e w i d t h ',2 )
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],
[ - 2,1 5 ],' b ' ),t i t l e ( ' 3 ( s i n x + s i n x / 3 ) ' )
a x i s ( [ - 4,4,- 4,2 0 ] ) ;
下页
-4 -2 0 2 4
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
x
3
* s i n x
-4 -2 0 2 4
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
x
2
* c o s x
-4 -2 0 2 4
- 0, 5
0
0, 5
s i n x * c o s x
-4 -2 0 2 4
0
5
10
15
20
3 ( s i n x + s i n x / 3 )
下页
o
-2-4
2 4
-2
1
周期函数
例如常见的三角函数
1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期
2) 有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数,
狄里克雷 函数，它们显然没有最小周期
下页
周期函数运算后的周期
c l f,x = - 2 * p i, 1 / 2 0, 2 * p i ;
s u b p l o t ( 2,1,1 ) ;
y 1 = 2 * s i n ( 4 * x ), * c o s ( 8 * x ) ; p l o t ( x,y 1 )
h o l d o n
p l o t ( [ - 6,6 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 2,2 ],' r ' ),h o l d o n
p l o t ( [ p i / 2,p i / 2 ],[ - 2,2 ],' r - ')
t i t l e ( ' 2 s i n 2 x * c o s 4 x ' ) ; h o l d o n
s u b p l o t ( 2,1,2 )
y 2 = s i n ( 2 * x ) + c o s ( 4 * x ) ; p l o t ( x,y 2 )
h o l d o n
下页
p l o t ( [ - 6,6 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 2,2 ],' r ' ),h o l d o n
p l o t ( [ p i,p i ],[ - 2,2 ],' r - ')
t i t l e ( ' s i n 2 x + c o s 4 x ' ) ;
a x i s ( [ - 6,6,- 2,2 ] )
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
-1
0
1
2
2 s i n 2 x * c o s 4 x
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-1
0
1
2
s i n 2 x + c o s 4 x
返回
2 理解函数的单调性、有界性、奇
偶性、周期性等基本性质；
3 理解复合函数、反函数、基本初
等函数、初等函数等概念。
第一章 实数集与函数
教学目标,
下页
第一章 实 数集与函数
§ 1 实 数
数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概
念
一,实 数及其性 质,
回 顾 中学中 关 于 有理 数 和无理数的 定 义,
有理数,
(,0 )p q q
?
?
?
?
?
?
p
能 用 互 质 分 数 为 整 数, 表 示 的 数 ；
q
有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环 小 数 表 示 的 数
若 规 定,
0 1 2 0 1 2
., ( 1 ) 9 9 9
nn
a a a a a a a a??
则 有限十 进 小数都能表示成无限循 环 小数 。
例如,001.2 记为 ?999000.2 ； 0 记为 ?000.0 ； 8? 记为 999.7?
下页
实数大小的比较
定义 1 给定两个 非 负实 数
????
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,??
其中
kk
ba,为非负整数,9,0 ??
kk
ba 。若由
1 ） ?,2,1,0,?? kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx ?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
???,而
11 ??
?
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx ? （或 xy ? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx ???,则称 xy ?
实 数的有理数近似表示
定义 2 设 ??
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax ?
210
.?
下页
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
n
nn
xx
10
1
??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ??
n
aaaax
210
.??
x 的 n 位不足近似值规定为：
n
nn
aaaax
10
1
.
210
??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax ?
210
.??
比如 2 1.41 42?, 则
1.4,1.41,1.414,1.4142,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1.5,1.42,1.415,1.4143,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b?? 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
下页
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得
nn
yx ?,取
2
nn
yx
r
?
?
则 r 显然为有理数，且
yyrxx
nn
????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c hi m e de s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
下页
二, 绝对值与不等式
绝对值 定 义,
,0
||
,0
aa
a
aa
??
? ?
???
从数 轴 上看 的 绝对值 就是到原点的距 离,
a 0 - a
绝对值 的一些主要性 质
| | | | 0 0 | | 0
- < < ; | |,0
4.
5, | | | | | |
||
6,,0
||
a a a a
a a a
a h h a h a h h a h h
a b a b a b
a b a b
aa
b
bb
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
1,当 且 仅 当 时
2, - | | | |
3, | |
下页
性质 4（三角不等式）的证明,
性 质 4 （ 三角不等式 ） 的 证 明,
? ? ? ?
??
?
?
由 性 质 2 - | a | a | a |,- | b | b | b |
两 式 相 加 - ( | a | + | b | ) a + b | a | + | b |
由 性 质 3 上 式 等 价 于 | a + b | | a | + | b |
把 上 式 的 b 换 成 - b 得 | a - b | | a | + | b |
由此 可 推出
??
???
????
???????
|||)(|||
)(|)(|
AxfA
AxfAAxf
下页
三, 几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba ??,1 s i n ?x, s i n xx ?
（ 2 ） 对,,,,
21
?
?? R
n
aaa ? 记
,
1
)(
1
21
?
?
?
???
?
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
?
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
??
??
??
???
?
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
?
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式, ),( )( )(
iii
aMaGaH ?? 等号当且 仅 当
n
aaa ??? ?
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式, ( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x?? 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
有, ( 1 )
n
h?? 上式右端任何一 项,
下页
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
下页
a b
a b
ao
}{ bxax ?? 称为半开区间,),[ ba记作
}{ bxax ?? ],( ba记作称为半开区间,
}{),[ xaxa ????无限区 间
下页
x
ao
o xb
}{),[ xaxa ????
}{),( bxxb ????
),( ????
下页
xa??a ??a
??
x
??
a??a ??a
下页
二 有界数集, 确 界原理,
1,有界数集,
定 义 ( 上、下有界,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M （ L ）,
使得对一切 Sx ? 都有 )( LxMx ??,则称 S 为有上界 ( 下界 ) 的数集。
若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如, 闭 区 间, (,) (,a b a b 为 有限数）,邻 域等都是有界数集,集合
? ?),(,s i n ??????? xxyyE 也是有界数集,
无界数集, 若 对 任意 0M ?, 存在,| |x S x M??, 则 称 S 为 无界集。
例如,),0 (,) 0,(,),( ????????,有理数集 等都是无界数集,
例 1 证 明 集合
?
?
?
?
?
?
??? ) 1,0 (,
1
x
x
yyE 是无界数集,
下页
证 明,对 任意 0M ?,存在
11
( 0,1 ),,1
1
x y E y M M
Mx
? ? ? ? ? ? ?
?
由无界集定 义, E 为 无界集。
确界, 先给 出 确界的 直 观 定 义, 若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界,记作 Ss u p ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界,记作 Si n f 。
M
M2M1
上确界 上界
m2
m
m1
下确界
下界 下页
确界的精确定义
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最小上界）,
则称数 ? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p??
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最大下界）,
则称数 ? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f??
?
?? ?
0
x
0
x
? ?? ? S
下页
例 1 （ 1 ）,
) 1(
1
?
?
?
?
?
? ?
??
n
S
n
则,_______i n f ______,s u p ?? SS
（ 2 ） ? ?,),0(,s i n ???? xxyyE 则
._________i n f ________,s u p ?? EE
定理 1,1 ( 确 界原理 ), 设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS ? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS ??,
例 4 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? 则 有
.i n fs u p BA ?
证 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最
小上界,s up yA ?? 此式又 As u p ? 是 B 的下界,?? As u p Bi n f （ B 的最大
下界） 下页
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f mini n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f min,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f min BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f mini n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f mini n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f mini n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
下页
下页
§ 3 函数概念
函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数
的, 因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1,函数的 几点 说 明,
函数的两要素, 定义域和对应法则
约定, 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D? ? ?，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
??
?
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
下页
函数的表示法, 解析法,列表法,图 像法,
分段函 数
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
??
?
???
?
??
?
狄里克雷函数
1,
()
0
x
Dx
x
?
? ?
?
为 有 理 数
,为 无 理 数
黎曼函数
1
,
()
0 0 1 0 1
p
x
qqRx
?
?
?
?
?
?
?
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
三 函数的四则运算
y
1
-1
xo
下页
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy ????,)(,,)(,若
???? })(|{
*
EDxgxE ?,则
*
Ex ??, 通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样，
*
Ex ?? 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量
的函数，记作 ))(( xgfy ?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy ?
})(|{ Dxgx ?
f
x
)( xgu ?
下页
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy ?函数
o
x
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
下页
1 常函数
2 幂函数
?
xy ?
幂函数
35
,xx
??
c l f,x = - 1, 0, 0 2, 1 ;
y 1 = x, ^ ( - 3 ) ; y 2 = x, ^ ( - 5 ) ;
p l o t ( x,y 1,x,y 2 ),h o l d o n
a x i s ( [ - 1,1,- 5 0 0,5 0 0 ] ) ;
l e g e n d ( ' x ^ - 3 ',' x ^ - 5 ' ) ;
p l o t ( [ - 2,2 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 5 0 0,5 0 0 ],' r ' )
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
x-3
x-5
下页
幂函数
2 1 / 2
,xx 图象
c l f,x = 0, 0, 0 2, 1, 6 ;
y 1 = x, ^ 2 ; y 2 = x, ^ ( 1 / 2 ) ;
a x i s ( [ - 0, 1,1, 4,- 0, 1,1, 2 ] )
l e g e n d ( ' x ^ ',' x ^ 1 / 2 ' )
p l o t ( x,y 1,x,y 2,' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
p l o t ( [ - 0, 1,2 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 0, 1,1, 5 ],' r ' )
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
x-2
x-4
下页
幂函数 2 1 / 2,xx 图象
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
x1/2
下页
3 1 / 3,xx
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x3
x1/3
下页
xx 2lo g,2 图像
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-2
0
2
4
6
8
log2x
2x
下页
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
asin (x)
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
acos (x)
下页
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
atan(x)
arctgx 图 像
下页
下页
-M
y
M
x
o
y=f(x)
X
有界函数
§ 4 具有某些特性的函数
1,有界函数 若函数 )( xf 在定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f 为 D 上
的 有 界函数。这个定义显然等价于，对一切 Dx ?,恒有 Kxf ?|)(|
有界函数的几何意义
下页
M
-M
xo X
0x
y无界函数
请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。
例 ),0(,s i n)( ???? xxxxf 是无界函数。 证 明 对 任意的
0?M,存在 Mnn ??
2
2:
?
?,取
2
2
?
? ?? nx m, 则
下页
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
Mnxf m ???
2
2)(
?
?
2,单调 函数
看下面函数的图像，给出单调函数的定义
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
下页
o
-2-4
2 4
-2
2
4
-4奇函数与偶函数
（ 1 ）定义域关于原点对称
（ 2 ）奇函数（偶函数）对任何 Dx ? 有 )()( xfxf ???,
（ )()( xfxf ?? ）
下页
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)(xfy?
两条缺一不可。
c l f,x = - 2, 1 / 2 0, 2 ; y 1 = x, ^ 3 ; y 2 = x, ^ 2 - 1;
s u b p l o t ( 1,2,1 )
p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
下页
p l o t ( [ - 1, 8,1, 8 ],[ 0,0 ] )
p l o t ( [ 0,0 ],[ - 6,6 ] )
l e g e n d ( ' x ^ 3 ' )
s u b p l o t ( 1,2,2 )
p l o t ( x,y 2,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
p l o t ( [ - 1, 8,1, 8 ],[ 0,0 ] )
p l o t ( [ 0,0 ],[ - 2,4 ] )
a x i s ( [ - 2,2,- 2,4 ] ),
l e g e n d ( ' x ^ 2 ' ) ;
下页
奇、偶函数的运算性质
请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质
c l f,x = - 1, 2 * p i, 1 / 2 0, 1, 2 * p i ;
-2 -1 0 1 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
3
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
3
4
x
2
下页
s u b p l o t ( 2,2,1 ) ;
y 1 = s i n ( x ), * x, ^ 3 ; p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],[ - 3 5,1 0 ],' b ' )
t i t l e ( ' x ^ 3 * s i n x ' ) ; h o l d o n
s u b p l o t ( 2,2,2 )
y 2 = c o s ( x ), * x, ^ 2 ; p l o t ( x,y 2,' r ',' l i n e w i d t h ',2)
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],[ - 1 5,5 ],' b ' )
t i t l e ( ' x ^ 2 * c o s x ' ) ;
s u b p l o t ( 2,2,3 ) ;
y 3 = s i n ( x ), * c o s ( x ) ; p l o t ( x,y 3,' r ',' l i n e w i d t h ',2 )
下页
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],[ - 0, 5,0, 5 ],' b ' )
t i t l e ( ' s i n x * c o s x ' ) ;
s u b p l o t ( 2,2,4 ) ; y 4 = 3 * s i n ( x ) + s i n ( x, / 3 ) ;
p l o t ( x,y 4,' r ',' l i n e w i d t h ',2 )
h o l d o n
p l o t ( [ - 4,4 ],[ 0,0 ],' b ',[ 0,0 ],
[ - 2,1 5 ],' b ' ),t i t l e ( ' 3 ( s i n x + s i n x / 3 ) ' )
a x i s ( [ - 4,4,- 4,2 0 ] ) ;
下页
-4 -2 0 2 4
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
x
3
* s i n x
-4 -2 0 2 4
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
x
2
* c o s x
-4 -2 0 2 4
- 0, 5
0
0, 5
s i n x * c o s x
-4 -2 0 2 4
0
5
10
15
20
3 ( s i n x + s i n x / 3 )
下页
o
-2-4
2 4
-2
1
周期函数
例如常见的三角函数
1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期
2) 有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数,
狄里克雷 函数，它们显然没有最小周期
下页
周期函数运算后的周期
c l f,x = - 2 * p i, 1 / 2 0, 2 * p i ;
s u b p l o t ( 2,1,1 ) ;
y 1 = 2 * s i n ( 4 * x ), * c o s ( 8 * x ) ; p l o t ( x,y 1 )
h o l d o n
p l o t ( [ - 6,6 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 2,2 ],' r ' ),h o l d o n
p l o t ( [ p i / 2,p i / 2 ],[ - 2,2 ],' r - ')
t i t l e ( ' 2 s i n 2 x * c o s 4 x ' ) ; h o l d o n
s u b p l o t ( 2,1,2 )
y 2 = s i n ( 2 * x ) + c o s ( 4 * x ) ; p l o t ( x,y 2 )
h o l d o n
下页
p l o t ( [ - 6,6 ],[ 0,0 ],' r ',[ 0,0 ],[ - 2,2 ],' r ' ),h o l d o n
p l o t ( [ p i,p i ],[ - 2,2 ],' r - ')
t i t l e ( ' s i n 2 x + c o s 4 x ' ) ;
a x i s ( [ - 6,6,- 2,2 ] )
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
-1
0
1
2
2 s i n 2 x * c o s 4 x
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-1
0
1
2
s i n 2 x + c o s 4 x
返回
