（二十九）一年级《数学分析》期末考试题 一 （ 满分 2 0 分，每小题 2 分）判断题： 1． 设是数集E的聚点 . 则存在,使在外仅有数集E的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( ) 4 当无穷积分和都收敛时 , 积分必收敛 . ( ) 5. 若级数收敛 , 则必有. ( ) 6. 设且. 则级数必收敛 . ( ) 7 设在区间I上对有. 若级数在区间I上 一致收 敛 , 则级数也在区间I上 一致收敛 . ( ) 8 设在区间I上函数列收敛于函数.若存在数列I, 使 ,则函数列在区间I上非一致收敛 . ( ) 9 设函数在区间内有任意阶导数 , 且其Maclaurin 级数在内收敛 . 则在内有 . ( ) 10. 设函数在区间上按段光滑 , 为其 Fourier级数 . 则对,当在点连续时 , 有 . ( ) 二 ( 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题: 1  . 2.  . 3.  . 4. , .  . 5. 幂级数的收敛区间为 . 二 (满分 2 4 分，每小题 6 分）计算题: 1 . 2 把函数展开成  的幂级数 . 3 在区间上把函数展开成Fourier级数 . 4 求幂级数的和函数 . 三 (满分1 0 分，每小题 5 分）判敛题: 1 判断级数  的敛散性 . 2 . 讨论函数列在区间上的一致收敛性. 四 (满分3 6 分，每小题 9 分）证明题: 1 叙述并证明微积分学基本定理 . 2 证明函数项级数在内条件收敛 . 3 设函数项级数和在区间I上一致收敛 . 试证明级数 也在区间I上一致收敛 . 4 . 试证明函数在区间内连续 . （三十）一年级《数学分析》期末考试题 一（ 满分 2 0 分，每小题 4 分）单项选择题： 1. 如果数列发散但有界， 则 ( ) A。 的每个子列都发散; B. 子列和中至少有一个发散; C. 数列必不单调; D. 有且仅有一个聚点 . 2. 如果函数在区间上不是( R )可积 , 则 ( ) A 在区间上有无穷多个间断点; B , 使对区间的任何分法T , 有 , 其中 . C. 在区间上无界; D. 在区间上有界 . 3. 设且对,有, 则 ( ) A. ; B. 级数; C. 级数; D. 级数可能收敛 , 也可能发散 . 4 如果函数列的每个函数都在区间上连续 , 且在上 , 则 ( ) A 当函数在上间断时,在上非一致收敛; B 当函数在上连续时,在上一致收敛; C 当函数列在上非一致收敛时, 函数在上间断; D 函数在上有界 . 5. 设幂级数 在点 收敛 , 则在点 ( ) A. 绝对收敛; B. 绝对收敛; C. 收敛; D. 发散. 二. （ 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题: 6. 由曲线  和直线  所围平面图形的面积为 . 7.  . 8.  . 9. .  . 10. 幂级数的收敛域为 . 三. （ 满分2 4分，每小题 6 分）计算题: 1. . 2. 把双曲正弦函数 展开成  的幂级数 . 3. 在区间上把函数  展开成Fourier级数 . 4 求幂级数的和函数 . 四.（ 满分2 4分，每小题 6 分）判敛题： 1 判断级数的敛散性 . 若收敛 , 判断是绝对收敛还是条件收敛 . 2 . 判断函数列在内是否一致收敛 . 五.（ 满分3 6分，每小题 9 分）证明题: 1 叙述并证明计算定积分的Newton - Leibniz 公式 . 2 . 证明函数在内连续 . 3 设 和 为正项级数 , 且对有 . 试证明 : . 4 设函数列在区间I上一致收敛于函数. 试证明: 若在 I上有界 , 则至多除有限项外 , 函数列在区间I上一致有界 . （三十一） 一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设, 则 ; ； 2 极限 的值为 ； 已知 。 二 计算下列积分：（共15分，每题5分） 1 ; 解：    2  解：由于   ， 所以 =。 3 。 解：    二 （10分）求旋轮线 的一拱的弧长。 解：由曲线弧长计算公式   =。 三 （10分）设 讨论 在[0，1]的可积性。 解： 任意划分[0，1]： ， 用  ， 故由函数可积的充要条件知，在[0，1]上不可积。 四 判断下列级数的敛散性（15分）： 1．  ； 解：由于  故 发散。 2. ; 解： 因为 所以 收敛。 3. 。 解：     五 （10分）设 证明函数列在上不一致收敛。 证明： 由于 故  又  六（15分）求幂级数的收敛半径，收敛域与和函数。 解：（1） 由于 故 又当  （2） 因为 故  即有 于是有 即知  所以  八 （10分）设收敛，且，证明：收敛，且。 证明： 因为     又  故