数 学 分 析
1° 使学生深刻理解微分中值定理及其分析意
义与几何意义。掌握它的证明方法，了解
它在微分中值定理中的地位。
2° 通过知识学习，使学生初步具有应用中值
定理进行分析论证的能力，能用以证明某
些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助
函数解决问题的办法。
3° 使学生学会应用值定理研究函 数在某区间
上的某些整体性质，如单调性，有界性等
4° 使学生掌握中值定理，领会其实质，为微
分学的应用打好坚实的理论基础。
第六章 微分中值定理及其应用
教学目标：
1? 2?
x
y
o
)(xfy?
C
一 罗尔定理与拉格朗日 定理
数学分析研究的基本 对 象是定 义 在 实 数集上函数的性 质,而研究函数性 质 的最重要 工具
之一就是微分中 值 定理，微分中 值 定理主要指拉格朗日中 值 定理。
一,极 值 概念,
1, 回忆 极 值 的概念和 可微极 值 点的必要条件,
定理 ( F e r m a t ) 设函数 f 在点
0
x 的某
邻域内有定义，且在点
0
x 可导，若点
0
x 为 f
的极值点,则必有 0)(
0
?? xf
1, 罗尔 中值 定理：若函数 f 满 足如下
条件,
（ i）在闭区间 [a,b] 上连续；
（ ii）在开区间（ a,b）内可导；
§ 1 拉格朗日中值定理
（ i i i ） )()( bfaf ?,
则 在（ a, b ）内至少存在一点 ξ,使得
f ? （ ξ ） =0
（分析）由条件（ i ）知 f 在 [a, b] 上
有最大 值 和最小 值,再由条件（ ii ）及（ i i i ）, 应 用 费马 定理便可得到 结论 。
证明：因为 f 在［ a,b ］ 上 连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m 表示，现分两
种情况讨论,
( i ) 若 M = m,则 f 在［ a,b ］上必为常数，从而结论显然成立 。
( i i ) 若 m ＜ M,则因 f ( a ) = f ( b ),使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 ( a,b ) 内某
点 ξ 处取得，从而 ξ 是 f 的极值点，由条件 ( i i ) f 在点 ξ 处可导，故由费马定理推知
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
度相等，则至少存在一条水平切线。
注 2：习惯上把结论中的 ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。
例如,
?
?
?
??
?
?
??
????
?
?
2x1,1
1x2,0
1|x|,x
F ( x )
x
易 见, F 在 x= - 1 不 连续,在 x= ± 1 不可 导, F( - 2) ≠ F （ 2 ）,即 罗尔 定理的三个条件均不成
立，但是在（ - 2, 2 ）内存在点 ξ,满 足 0)( ?? ?F
但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：
缺条件 1
a b a b a b
缺条件 3缺条件 2
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 x 10
注 3, 罗尔 定理 结论 中的 ξ 值 不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如,
?
?
?
?
?
?
?
?
0x0,
0x,s i nx
f ( x )
x
1
4
2
x= - 0, 2, 0.0 05, 0.2 ; y = ( x, ^ 4 ), * ( ( s i n ( 1, / x ) ), ^ 2 ) ;
p l o t ( x,y,' r ' )
a x i s ( [ - 0.2,0, 2,- 0, 0 0 1,0, 0 0 2 ] )
在 [ - 1, 1 ] 上 满 足 罗尔 定理的条件,
显 然
?
?
?
?
?
?
?
??
0x0,
c oss i n2xs i n4x
( x)f
x
1
x
1
x
1
23
2
在（ - 1, 1 ）内存在无限多个
n
c = )(
2
1
zn
n
?
?
使得 )(
n
cf ? =0 。
b1? 2?x xo
y
)(xfy?
A
B
2,拉格朗日（ L a g r a n g e ）中 值 定理：若函数 ? 满 足如下条件,
（ i ） ? 在 闭 区 间 [ ba,] 上 连续 ；
（ ii ） ? 在 开 区 间 ( ba,) 内可 导 ；
则 在（ a, b ） 内至少存在一点 ξ,
使得
ab
afbf
f
?
?
??
)()(
)( ?
（分析） 罗尔 定理是拉格朗日
中 值 定理,? （ a ） = ? ( b ) 时 的特殊情况,应 用
罗尔 定理 证 明此定理要构造 辅 助函数 )( xF,使得 )( xF 满 足 罗尔 定理的条件
（ i ） - ( i i i ) 且
ab
afbf
xfxF
?
?
????
)()(
)()(,
b][ a,xa),(x
ab
f ( a)f ( b )
f ( a)f ( x)F ( x) ??
?
?
???
证 明：作 辅 助函数
a)(x
ab
f ( a)f ( b )
f ( a)f ( x)F ( x) ?
?
?
???
显 然,F （ a ） = F ( b ) （ =0 ），且 F 在 [ a, b ] 上 满 足 罗尔 定理的另两个条件，故存在点
ξ ? (a, b ),使得
0
)()(
)()( ?
?
?
????
ab
afbf
fF ??
即
ab
afbf
f
?
?
??
)()(
)( ?
注 1 ° 罗尔 定理是拉格朗日中 值 定理 )()( bfaf ? 时 的特例
注 2 °几何意 义,在 满 足拉格朗日中 值 定理条件的曲 线 )( xfy ? 上至少存在一点
))(,( ?? fP, 该 曲 线 在 该 点 处 的切 线 平行 于曲 线 两端点的 连线 AB,我 们 在 证 明中引入的 辅
助函数 )( xF,正是曲 线 )( xfy ? 与直 线 AB
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy ?
?
?
??
之差，事 实 上,这 个 辅 助函数的引入相当于坐 标 系 统 原点在平面内的旋 转,使在新坐 标 系下，
线 段 AB 平行于新 х 轴 （ F （ a ） = F （ b ））。
注 3 °此定理的 证 明提供了一个用构造函数法 证 明数学命 题 的精彩典范；同 时 通 过 巧妙
地数学 变换,将一般化 为 特殊，将 复杂问题 化 为简单问题 的 论证 思想，也是数学分析的重要
而常用的数学思 维 的体 现 。
注 4 °拉格朗日中 值 定理的 结论 常称 为 拉格朗日公式,它有几 种 常用的等价形式，可根
据不同 问题 的特点，在不同 场 合灵活采用,
),(),)(()()( baabfafbf ????? ??
)1,0(),)](([)()( ??????? ?? ababafafbf
)1,0(,)()()( ?????? ?? hhafafhaf
注 5 °拉格朗日中 值 定理的两个条件彼此有 关,并不彼此独立，因 为, f 在（ a,b ）
可 导 可以推出 f 在（ a, b ） 连续, 但反之不成立。把 这 两个条件的“重叠”部分去掉，
改成“函数 )( xf 在（ a, b ）可 导 且 )( xf 在 a 右 连续 在 b 左 连续, 这样,两个条件互相
独立，但文字累 赘 且不便 记忆,因此一般不 这样 叙述。
中 值 定理的 简单应 用, ( 讲 1 时 )
3,拉格朗日中 值 定理的几个重要推 论
推论 1 函数 )( xf 在区 间 I 上可 导 且 )(,0)( xfxf ??? 为 I 上的常 值 函数,
证明,任取两点 Ixx ?
21
,（ 设
21
xx ? ），在区 间 [
21
,xx ] 上 应 用拉格朗日
中 值 定理，存在 ξ ? （
21
,xx ） ? I,使得
0))(()()(
1212
????? xxfxfxf ?
推论 2 函数 )( xf 和 )( xg 在区 间 I 上可 导 且,)()( ),()( cxgxfxgxf ??????
.I?x
推 论 3 （ 导 数极限定理） 设 函数 f 在点
0
x 的某 邻 域 U （
0
x ）内 连续,在 U °（
0
x ）内可
导,且极限 )(lim
0
xf
xx
?
?
存在,则 f 在点
0
x 可 导,且
)(lim)(
0
0
xfxf
xx
???
?
证 明：分 别 按左右 导 数来 证 明上式成立
（ 1 ） 任取 )(
0
0
xux ??, )( xf 在 [ xx
o
,] 上 满 足拉格朗日中 值 定理条件, 则 存在
ξ ),( xx
o
?,使得
)(
)()(
0
0
?f
xx
xfxf
??
?
?
由于
0
x ＜ ξ ＜ x,因此当
?
?
0
xx 时 随之有 ξ →
?
0
x, 对 上式两 边 取极限，使得
)0()(lim
)()(
lim)(
0
0
0
0
0
0
?????
?
?
??
??
??
?
xff
xx
xfxf
xf
xxxx
?
（ 2 ）同理可得 )0()(
00
???? xfxf
因 为
0
lim
xx ?
)( xf ? = k 存在，所以 )0(
0
?? xf = )0(
0
?? xf = k,从而 kxfxf ????
??
)()(
00
即
kxf ?? )(
0
注 1 °由推 论 3 可知：在区 间 I 上的 导 函数 )( xf ? 在 I 上的 每 一点，要 么 是 连续 点，要 么
是第二 类间 断点，不可能出 现 第一 类间 断点。
注 2 ° 导 数极限定理适合于用来求分段函数的 导 数。
推论 4 ( 导 函数的介 值 性 ) 若函数 f 在 闭 区 间 ],[ ba 上可 导,且,0)()( ???
??
bfaf
.0)( ),,( ?????? ?? fba ( 证 )
一,单调 性 函数
1, 单调 性判法,
定理 6,3 设 函数 )( xf 在区 间 ),( ba 内可 导, 则 在 ),( ba 内 )( xf ↗ ( 或↘ ) ? 在
),( ba 内 0)( ?? xf ( 或 0? ),
证明：必要性 0)(0
)()(
0
0
0
????
?
?
xf
xx
xfxf
充分性 fxxfxfxf ?????? 0))(()()(
1212
? 在 I 上递增。
例 设 xxxf ??
3
)( 讨论它的单调区间。
解 )13)(13(13)(
2
?????? xxxxf
x= - 1:0.01:1; y=x.^3 - x; g=3*x.^2 - 1;
plot(x,y,'r',x,g,'b')
axis([ - 1,1,- 1,0.6 ] )
??????? )(,0)(,)
3
1
,( xfxfx,
???
?
? )(,0)(,)
3
1
,
3
1
[ xfxfx
?????? )(,0)(,),
3
1
[ xfxfx
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
)(xf
)(xf?
例 2 求函数
31292)(
23
???? xxxxf
的单调区间。
f='2*x^3 - 9*x^2+12*x - 3';
dfdx=diff(f,'x')
dfdx = 6*x^2 - 18*x+12
s='6*x^2 - 18*x+ 12',
x0=solve(s)
s =6*x^2 - 18*x+12 x0 = 1,2
1 20??f 0??f 0??f
-1 0 1 2 3 4 5
-40
-20
0
20
40
60
80
100
)(xf
clf,x= - 1:1/20:5;y=2*x.^3 - 9*x.^2+12*x - 3;
plot(x,y)
定理 6, 4 设 函数 )( xf 在区 间 ),( ba 内可 导, 则 在 ),( ba 内 )( xf 严格↗ ( 或严
格↘ ) ?
ⅰ） 对 ),,( bax ?? 有 0)( ?? xf ( 或 )0? ;
ⅱ） 在 ),( ba 内任子区 间 上,0)( ??? xf
例 证明不等式 xe
x
?? 1
证明,设 1)(1)( ???????
xx
exfxexf
0?x 时 0)( ?? xf
1° 使学生深刻理解微分中值定理及其分析意
义与几何意义。掌握它的证明方法，了解
它在微分中值定理中的地位。
2° 通过知识学习，使学生初步具有应用中值
定理进行分析论证的能力，能用以证明某
些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助
函数解决问题的办法。
3° 使学生学会应用值定理研究函 数在某区间
上的某些整体性质，如单调性，有界性等
4° 使学生掌握中值定理，领会其实质，为微
分学的应用打好坚实的理论基础。
第六章 微分中值定理及其应用
教学目标：
1? 2?
x
y
o
)(xfy?
C
一 罗尔定理与拉格朗日 定理
数学分析研究的基本 对 象是定 义 在 实 数集上函数的性 质,而研究函数性 质 的最重要 工具
之一就是微分中 值 定理，微分中 值 定理主要指拉格朗日中 值 定理。
一,极 值 概念,
1, 回忆 极 值 的概念和 可微极 值 点的必要条件,
定理 ( F e r m a t ) 设函数 f 在点
0
x 的某
邻域内有定义，且在点
0
x 可导，若点
0
x 为 f
的极值点,则必有 0)(
0
?? xf
1, 罗尔 中值 定理：若函数 f 满 足如下
条件,
（ i）在闭区间 [a,b] 上连续；
（ ii）在开区间（ a,b）内可导；
§ 1 拉格朗日中值定理
（ i i i ） )()( bfaf ?,
则 在（ a, b ）内至少存在一点 ξ,使得
f ? （ ξ ） =0
（分析）由条件（ i ）知 f 在 [a, b] 上
有最大 值 和最小 值,再由条件（ ii ）及（ i i i ）, 应 用 费马 定理便可得到 结论 。
证明：因为 f 在［ a,b ］ 上 连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m 表示，现分两
种情况讨论,
( i ) 若 M = m,则 f 在［ a,b ］上必为常数，从而结论显然成立 。
( i i ) 若 m ＜ M,则因 f ( a ) = f ( b ),使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 ( a,b ) 内某
点 ξ 处取得，从而 ξ 是 f 的极值点，由条件 ( i i ) f 在点 ξ 处可导，故由费马定理推知
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
度相等，则至少存在一条水平切线。
注 2：习惯上把结论中的 ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。
例如,
?
?
?
??
?
?
??
????
?
?
2x1,1
1x2,0
1|x|,x
F ( x )
x
易 见, F 在 x= - 1 不 连续,在 x= ± 1 不可 导, F( - 2) ≠ F （ 2 ）,即 罗尔 定理的三个条件均不成
立，但是在（ - 2, 2 ）内存在点 ξ,满 足 0)( ?? ?F
但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：
缺条件 1
a b a b a b
缺条件 3缺条件 2
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 x 10
注 3, 罗尔 定理 结论 中的 ξ 值 不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如,
?
?
?
?
?
?
?
?
0x0,
0x,s i nx
f ( x )
x
1
4
2
x= - 0, 2, 0.0 05, 0.2 ; y = ( x, ^ 4 ), * ( ( s i n ( 1, / x ) ), ^ 2 ) ;
p l o t ( x,y,' r ' )
a x i s ( [ - 0.2,0, 2,- 0, 0 0 1,0, 0 0 2 ] )
在 [ - 1, 1 ] 上 满 足 罗尔 定理的条件,
显 然
?
?
?
?
?
?
?
??
0x0,
c oss i n2xs i n4x
( x)f
x
1
x
1
x
1
23
2
在（ - 1, 1 ）内存在无限多个
n
c = )(
2
1
zn
n
?
?
使得 )(
n
cf ? =0 。
b1? 2?x xo
y
)(xfy?
A
B
2,拉格朗日（ L a g r a n g e ）中 值 定理：若函数 ? 满 足如下条件,
（ i ） ? 在 闭 区 间 [ ba,] 上 连续 ；
（ ii ） ? 在 开 区 间 ( ba,) 内可 导 ；
则 在（ a, b ） 内至少存在一点 ξ,
使得
ab
afbf
f
?
?
??
)()(
)( ?
（分析） 罗尔 定理是拉格朗日
中 值 定理,? （ a ） = ? ( b ) 时 的特殊情况,应 用
罗尔 定理 证 明此定理要构造 辅 助函数 )( xF,使得 )( xF 满 足 罗尔 定理的条件
（ i ） - ( i i i ) 且
ab
afbf
xfxF
?
?
????
)()(
)()(,
b][ a,xa),(x
ab
f ( a)f ( b )
f ( a)f ( x)F ( x) ??
?
?
???
证 明：作 辅 助函数
a)(x
ab
f ( a)f ( b )
f ( a)f ( x)F ( x) ?
?
?
???
显 然,F （ a ） = F ( b ) （ =0 ），且 F 在 [ a, b ] 上 满 足 罗尔 定理的另两个条件，故存在点
ξ ? (a, b ),使得
0
)()(
)()( ?
?
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即
ab
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?
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)()(
)( ?
注 1 ° 罗尔 定理是拉格朗日中 值 定理 )()( bfaf ? 时 的特例
注 2 °几何意 义,在 满 足拉格朗日中 值 定理条件的曲 线 )( xfy ? 上至少存在一点
))(,( ?? fP, 该 曲 线 在 该 点 处 的切 线 平行 于曲 线 两端点的 连线 AB,我 们 在 证 明中引入的 辅
助函数 )( xF,正是曲 线 )( xfy ? 与直 线 AB
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy ?
?
?
??
之差，事 实 上,这 个 辅 助函数的引入相当于坐 标 系 统 原点在平面内的旋 转,使在新坐 标 系下，
线 段 AB 平行于新 х 轴 （ F （ a ） = F （ b ））。
注 3 °此定理的 证 明提供了一个用构造函数法 证 明数学命 题 的精彩典范；同 时 通 过 巧妙
地数学 变换,将一般化 为 特殊，将 复杂问题 化 为简单问题 的 论证 思想，也是数学分析的重要
而常用的数学思 维 的体 现 。
注 4 °拉格朗日中 值 定理的 结论 常称 为 拉格朗日公式,它有几 种 常用的等价形式，可根
据不同 问题 的特点，在不同 场 合灵活采用,
),(),)(()()( baabfafbf ????? ??
)1,0(),)](([)()( ??????? ?? ababafafbf
)1,0(,)()()( ?????? ?? hhafafhaf
注 5 °拉格朗日中 值 定理的两个条件彼此有 关,并不彼此独立，因 为, f 在（ a,b ）
可 导 可以推出 f 在（ a, b ） 连续, 但反之不成立。把 这 两个条件的“重叠”部分去掉，
改成“函数 )( xf 在（ a, b ）可 导 且 )( xf 在 a 右 连续 在 b 左 连续, 这样,两个条件互相
独立，但文字累 赘 且不便 记忆,因此一般不 这样 叙述。
中 值 定理的 简单应 用, ( 讲 1 时 )
3,拉格朗日中 值 定理的几个重要推 论
推论 1 函数 )( xf 在区 间 I 上可 导 且 )(,0)( xfxf ??? 为 I 上的常 值 函数,
证明,任取两点 Ixx ?
21
,（ 设
21
xx ? ），在区 间 [
21
,xx ] 上 应 用拉格朗日
中 值 定理，存在 ξ ? （
21
,xx ） ? I,使得
0))(()()(
1212
????? xxfxfxf ?
推论 2 函数 )( xf 和 )( xg 在区 间 I 上可 导 且,)()( ),()( cxgxfxgxf ??????
.I?x
推 论 3 （ 导 数极限定理） 设 函数 f 在点
0
x 的某 邻 域 U （
0
x ）内 连续,在 U °（
0
x ）内可
导,且极限 )(lim
0
xf
xx
?
?
存在,则 f 在点
0
x 可 导,且
)(lim)(
0
0
xfxf
xx
???
?
证 明：分 别 按左右 导 数来 证 明上式成立
（ 1 ） 任取 )(
0
0
xux ??, )( xf 在 [ xx
o
,] 上 满 足拉格朗日中 值 定理条件, 则 存在
ξ ),( xx
o
?,使得
)(
)()(
0
0
?f
xx
xfxf
??
?
?
由于
0
x ＜ ξ ＜ x,因此当
?
?
0
xx 时 随之有 ξ →
?
0
x, 对 上式两 边 取极限，使得
)0()(lim
)()(
lim)(
0
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0
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xff
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xfxf
xf
xxxx
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（ 2 ）同理可得 )0()(
00
???? xfxf
因 为
0
lim
xx ?
)( xf ? = k 存在，所以 )0(
0
?? xf = )0(
0
?? xf = k,从而 kxfxf ????
??
)()(
00
即
kxf ?? )(
0
注 1 °由推 论 3 可知：在区 间 I 上的 导 函数 )( xf ? 在 I 上的 每 一点，要 么 是 连续 点，要 么
是第二 类间 断点，不可能出 现 第一 类间 断点。
注 2 ° 导 数极限定理适合于用来求分段函数的 导 数。
推论 4 ( 导 函数的介 值 性 ) 若函数 f 在 闭 区 间 ],[ ba 上可 导,且,0)()( ???
??
bfaf
.0)( ),,( ?????? ?? fba ( 证 )
一,单调 性 函数
1, 单调 性判法,
定理 6,3 设 函数 )( xf 在区 间 ),( ba 内可 导, 则 在 ),( ba 内 )( xf ↗ ( 或↘ ) ? 在
),( ba 内 0)( ?? xf ( 或 0? ),
证明：必要性 0)(0
)()(
0
0
0
????
?
?
xf
xx
xfxf
充分性 fxxfxfxf ?????? 0))(()()(
1212
? 在 I 上递增。
例 设 xxxf ??
3
)( 讨论它的单调区间。
解 )13)(13(13)(
2
?????? xxxxf
x= - 1:0.01:1; y=x.^3 - x; g=3*x.^2 - 1;
plot(x,y,'r',x,g,'b')
axis([ - 1,1,- 1,0.6 ] )
??????? )(,0)(,)
3
1
,( xfxfx,
???
?
? )(,0)(,)
3
1
,
3
1
[ xfxfx
?????? )(,0)(,),
3
1
[ xfxfx
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
)(xf
)(xf?
例 2 求函数
31292)(
23
???? xxxxf
的单调区间。
f='2*x^3 - 9*x^2+12*x - 3';
dfdx=diff(f,'x')
dfdx = 6*x^2 - 18*x+12
s='6*x^2 - 18*x+ 12',
x0=solve(s)
s =6*x^2 - 18*x+12 x0 = 1,2
1 20??f 0??f 0??f
-1 0 1 2 3 4 5
-40
-20
0
20
40
60
80
100
)(xf
clf,x= - 1:1/20:5;y=2*x.^3 - 9*x.^2+12*x - 3;
plot(x,y)
定理 6, 4 设 函数 )( xf 在区 间 ),( ba 内可 导, 则 在 ),( ba 内 )( xf 严格↗ ( 或严
格↘ ) ?
ⅰ） 对 ),,( bax ?? 有 0)( ?? xf ( 或 )0? ;
ⅱ） 在 ),( ba 内任子区 间 上,0)( ??? xf
例 证明不等式 xe
x
?? 1
证明,设 1)(1)( ???????
xx
exfxexf
0?x 时 0)( ?? xf
