2010-5-21 1
第十二章 数项级数
§ 1 级数的收敛性
要求,
1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论,
2 掌握理解级数的基本性质
要点,1 ）级数的收敛性,2 ）级数的基本性质
1 数项级数的概念、记号, 将数列
}{
n
u
的各项用加号连接起来，即
?? ????
n
uuu
21
或 ?
?
? 1n
n
u
称为 数值级数，简称级数。其中第 n 项
n
u
称为通项。
2010-5-21 2
级数的敛散性与和,,
2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想
级数的部分和,, nn
uuuS ???? ?
21
3 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以
及求和等概念
级数的收敛性,若 SS
n
n
?
??
lim 存在，称级数
?
?
? 1n
n
u 收敛，
S
称为级数的和；
余 和：称 ?
?
?
???
nk
knn
uSSr 为级数 ?
?
? 1n
n
u 的余和
若部分和数列 }{ nS 发散，则称级数 ?
?
? 1n
nu 发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
2010-5-21 3
例 1 讨论几何级数 0,
1
1
?
?
?
?
?
aar
n
n
的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前 n 项和 的计算公式,1?r 时,
n
n
n
n
r
r
a
r
a
r
ara
araraS
?
?
?
?
?
?
?????
?
111
1
?
1 ） 当
1|| ?r
时，
r
a
S
n
n
?
?
??
1
lim,几何级数收敛，其和为
r
a
?1；
2 ） 当
1|| ?r
时,??
??
n
n
Sl i m,此时几何级数发散，和不存在；
3 ） 当
1|| ?r
时，显然
}{
n
S
发散；
结论, 几何级数 0,
1
1
?
?
?
?
?
aar
n
n
，当
1|| ?r
时，收敛，其和为
r
a
?1；
2010-5-21 4
例 2 讨论级数
?
?
?
?
1
)1(
1
n
nn
的敛散性,
解 利用
1
11
)1(
1
?
??
? nnnn
求出部分和
n
S,
例 3 讨论级数 ?
?
? 1
2
n
n
n
的敛散性,
解 设 ?
?
?
?
?
??????
n
k
nnk
n
nnk
S
1
132
22
1
2
3
2
2
2
1
2
?,
??
n
S
2
1
1432
22
1
2
3
2
2
2
1
?
?
?
????
nn
nn
?,
132
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
?
????????
nn
nnn
n
SSS ?
=
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?n
n
n
,
) ( ??n
,
2010-5-21 5
?
n
S ? 2,) ( ??n,
因此,该级数收敛,
例 4 讨论级数 ?
?
?
?
1
35
2
n
n
n
的敛散性,
解
5
2
,
5
2
5
2
35
2
?????
?
nS
n
n
n
n
n
? ??
,
) ( ??n
,级数发散,
二 收敛级数的性质
因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级
数收敛的充分必要条件为,
定理 1, （柯西准则）级数 ?
?
? 1n
n
u
收敛 ?
NpNnN ???????,,,0?
有
???
?
||
npn
SS
2010-5-21 6
根据定 理 1,取 1?p,有 ????
? nnn
uSS ||
1
,于是有下面结论,
推论 1, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的必要条件为 0l i m ?
??
n
n
u
本推论可以方便的用来判断级数发散。 注意这只是级数收敛的必要条件，
不是充分条件。
例 5 讨论调和级数 ?? ?????
n
1
3
1
2
1
1 的敛散性。
调和级数显然满足推论 1,
0l i m ?
??
n
n
u
，但，若取
mp ?
2
1
|
2
1
2
1
2
1
|||
221
????????
??
mmm
uuu
mmm
??
由柯西准则，调和级数发散。
例 6 证明级数 ?
?
? 1
2
1
n
n
收敛,
2010-5-21 7
证 显然满足收敛的必要条件, 令
2
1
n
u
n
?,则当 2?n 时有
?
?
???
?
????
p
k
pnnn
kn
uuu
1
2
21
)(
1
| | ?
?,
111
))(1(
1
1
npnnknkn
p
k
?
?
??
???
?
?
?
由定理 1,级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面项的大小无关，因
此级数有如 下性质,
推论 2 去掉、增加或改变级数 ?
?
? 1n
n
u 的有限项，不影响级数的敛散性。
定理 2 （线性性质）若级数 ?
?
? 1n
n
u 和
?
?
? 1n
n
v 收敛，其和分别为
21
,SS
，则级
数
)(
1
n
n
n
vu ?? ?
?
?
?
也收敛，其和为
21
SS ?? ?
2010-5-21 8
定理 3 若级数收敛，其和为 S,则可对该级数任意加括 号，不改变其收敛
性，也不改变其和。
注意发散级数，加括号不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。
例：级数 ?
?
?
?
0
)1(
n
n
发散，但加括号后, 0)11()11( ????? ?
例 7 判断级数 ?
?
? 1
1
s i n
n
n
n 的敛散性,
( 验证 0??
n
u, 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )
1 ） 级数与数列的关系,
? nu
对应部分和数列
? ?
n
S
,
? nu
收敛 ?
? ?
n
S
收敛 ;
2010-5-21 9
对每个数列 {}
n
x,对应级数 ?
?
?
?
??
2
11
)(
n
nn
xxx,对该级数,有
nn
Sx ?, 于是,
数列 {
n
x } 收敛 ? 级数 ?
?
?
?
??
2
11
)(
n
nn
xxx 收敛,
可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式,
2010-5-21 10
§ 2 正项级数
要求, 掌握正项级数敛散性判断方法
重点：比较判别法,比值判别法,根式判别法
一 正项级数收敛性的一般判别原则
显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，正项级数收敛
的充分必要条件是,
定理 5 正 项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛
?
它的部分和数列
}{
n
S
有上界。
例 ?
?
? 1
!
1
n
n
2010-5-21 11
1
2
1
2221
1
321
1
!
1
?
?
??
?
??
?
n
nn ??
从而 3
2
1
2
1
2
1
11
!
1
!3
1
!2
1
11
12
?????????????
?n
n
n
S ??
部分和有界，该正项级数收敛。
比较判别法
由定理 5,容易推出下面判别法,
定理 6（比较原则）有两个正项级数 ?
?
? 1n
n
u,
?
?
? 1n
n
v 若存在自然数
N
,当
Nn ?
时，有 0,?? ccvu
nn
,则
1) 若级数 ?
?
? 1n
n
v 收敛，则 级数
?
?
? 1n
n
u 也收敛；
2010-5-21 12
2) 若级数 ?
?
? 1n
n
u 发散，则级数
?
?
? 1n
n
v 也发散。
例 讨论 ?p 级数 ?
?
? 1
1
n
p
n
的敛散性。
1 ） 1?p 时为调和级数发散；
2) 1?p 时
nn
p
11
? 由比较判别法,?p 级数发散；
3 ）
1?p
时 ]
1
)1(
1
[
1
11
11 ??
?
??
?
ppp
nnpn
1
1
1)
1
1(
1
1
1)]
1
)1(
1
(
)
3
1
2
1
()
2
1
1[(
1
1
1
1
3
1
2
1
1
111
111
?
???
?
???
?
?
????
?
???????
???
???
pnpnn
pn
S
ppp
pppppp
n
?
?
部分和有界，级数收敛。
2010-5-21 13
结论,?p 级数
?
?
? 1
1
n
p
n
1?p 时发散； 1?p 时收敛。
例 1 ） ?
?
? ?1
2
)1(
1
n nn
,
解
2/3
2
1
)1(
1
n
nn
?
?
,而 ?
?
? 1
2/3
1
n
n
收敛
由比较判别法，级数 ?
?
? ?1
2
)1(
1
n nn
收敛。
例 2 ）
?
?
? ?1
3 2
1
1
n n
解 3/2
3 2
1
1
1
n
n
?
?
,而 ?
?
? 1
3/2
1
n
n
发散,
由比较判别法，级数
?
?
? ?1
3 2
1
1
n n
发散。
2010-5-21 14
比较判别法的极限形式,
推论 有两个正项级数 ?
?
? 1n
n
u,
?
?
?
?
1
0,
n
nn
vv 且 k
v
u
n
n
n
?
??
lim
1 ）若级数 ?
?
? 1n
n
v 收敛，且
???? k0
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 也收敛；
2 ）若级数 ?
?
? 1n
n
v 发散，且
???? k0
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 也发散。
例 判别下列级数的敛散性
1 ） ?
?
?
?
1
!
1
n
nn
2 ） ?
?
?
?
1
)
1
1l n (
n
n
解 首先要找出一个敛散性已知的级数
1 ）前面我们证明过级数
?
?
? 1
!
1
n
n
收敛，用它作比较得
0
!/1
)!/(1
lim ?
?
??
n
nn
n
2010-5-21 15
所以 ?
?
?
?
1
!
1
n
nn
收敛。
2 ）前面讲过调和级数发散，用调和级数作比较得
1)/11l n [ (lim
!/1
)/11l n (
lim ???
?
????
n
nn
n
n
n
所以 ?
?
?
?
1
)
1
1l n (
n
n
发散
用比较判别法，需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础，用
起来不大方便，我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法,
二 比式判别法和根式判别法
定理 7 （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数 ?
?
? 1n
n
u
2010-5-21 16
i) 若存在 NnN ?,时有 1
1
??
?
q
u
u
n
n
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 注意
1
1
??
?
q
u
u
n
n
不能换为 1
1
?
?
n
n
u
u
)
ii) 若存在
NnN ?,
时有 1
1
?
?
n
n
u
u
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 发散。
证 i) 不妨设 1?n 时就有 1
1
??
?
q
u
u
n
n
成立,有
??,,,,
12
3
1
2
q
u
u
q
u
u
q
u
u
n
n
???
?
依次相乘,?
1
1
?
?
nn
q
u
u
,即
1
1
?
?
n
n
quu, 由
10 ?? q
,得
n
q ???
?,? n
u ? ? ?
?,
2010-5-21 17
ii) 可见 }{
n
u 往 后递增,?,0??
n
u ) ( ??n,
推论 1 有 正项级数 ?
?
? 1n
n
u 且 l
u
u
n
n
n
?
?
??
1
l i m
i ） 若
1?l
则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛
ii ）
1?l
或
???l
,
?
? n
u
=
??
, ( 证 )
定理 8 （柯西判别法或根式判别法）有正项级数 ?
?
? 1n
n
u
i) 若存在
NnN ?,
时有
1?? qu
n
n
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 注意
1?? qu
n
n
不能换为
1?
n
n
u
)
2010-5-21 18
ii) 若存在无限个 n,有 1?
n
n
u,则级数
?
?
? 1n
n
u 发散。
推论 2 有正项级数 ?
?
? 1n
n
u 且 lu
n
n
n
?
??
l i m
i ）若
1?l
则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛
ii ）若
1?l
则级数 ?
?
? 1n
n
u 发散
例 判别下列级数的敛散性
1 ） ?
?
?
?
1
)
12
(
n
n
n
n
,
因
2
1
12
limlim ?
?
?
????
n
n
u
n
n
n
n
,级数 ?
?
?
?
1
)
12
(
n
n
n
n
收敛
2010-5-21 19
2 ）
?
?
? 1
!
n
n
n
n
因 1)
1
(lim
/!
)1()1/()!1(
limlim
11
??
?
?
???
?
?
????
?
?
e
n
n
nn
nnn
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n
级数 ?
?
? 1
!
n
n
n
n
收敛。
例 7 研究级数 ?
??
n
n
2
) 1 (3
的敛散 性,
解
1
2
1
2
)1(3
limlim ??
??
?
????
n
n
n
n
n
n
u
,
?
?
???
,
例 8 判断级数 ?
?
?
?
?
?
? ?
2
1
n
n
n
和 ?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
n
n
n
的敛散性,
解 前者通项不趋于零,后者用检根法判得其收敛,
2010-5-21 20
三 积分判别法
级数与无穷积分的关系,
? ? ?
??
?
?
?
??
1
1
1
)(
n
n
n
fdxxf ?
?
? 1n
n
u,其中
?
?
?
1n
n
n
fu, 无穷积分可化为级数 ;
对每个级数,定义函数
?,2,1,1,)( ????? nnxnuxf
n,易见有
?
?
? 1n
n
u
=
?
??
1
)( dxxf, 即级数可化为无穷积分,
因此,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果, 可以用其中的
一个研究另一个,
定理 12, 9 设
f
为
),1[ ??
上的非负函数，那么正项级数
?
)( nf
与反常积分
dxxf
?
??
1
)( 同时敛散。
2010-5-21 21
例 用积分判别法研究 p 级数 ?
pn
1
的敛散性。
例 讨论级数 （ 1 ） ?
?
? 1 )( l n
1
n
pnn,（ 2 ） ?
?
? 1 )ln) ( l n( l n
1
n
pnnn 的敛散性
2010-5-21 22
§ 3 一般项级数
一 交错级数
定理 9 （莱布尼兹（ Leibniz ） 判别法）有交错级数 ?
?
?
?
??
1
1
0,)1(
n
n
n
uu,
若 i ）
1
,
?
??
nn
uun ii ） 0l i m ?
??
n
n
u
则级数 ?
?
?
?
1
)1(
n
n
n
u 收敛，并有
1
||
?
?
nn
ur,
证 ( 证明部分和序列 } {
n
S 的两个子列 } {
2 n
S 和 } {
12 ?n
S 收敛于同一极限,
为此先证明 } {
2 n
S 递增有界, )
)()()()(
22122124321)1(2 ????
?????????
nnnnn
uuuuuuuuS ?
?
nnn
Suuuuuu
22124321
)()()( ???????
?
?,?
n
S
2
↗ ;
2010-5-21 23
又
1212223212
)()( uuuuuuuS
nnnn
????????
??
?,即数列 } {
2 n
S 有界,
由单调有界原理,数列
} {
2 n
S
收敛, 设
)(,
2
??? nsS
n,
)(,
12212
?????
??
nsuSS
nnn
?
sS
n
n
?
??
l i m,
由证明数列
} {
2 n
S
有界性可见,?
?
?
?
???
1
1
1
) 1 (0
n
n
n
uu, 余和
?
?
?
?
?
?
nm
m
m
u
1
2
)1(
亦 交错 级数
?
余和
n
r
与
1?n
u
同号,且
1
||
?
?
nn
ur
,
例 1 判别级数 ?
?
?
??
1
)0( ) 1 (
n
n
n
a
n
a
的敛散性,
解
10 ?? a
时,由 Leibniz 判别法,
?
?
收敛 ;
1?a
时,通项
0??
,
?
发散
2010-5-21 24
二, 绝对收敛级数及其性质,
1,绝对收敛和条件收敛,
以 Leibniz 级数为例,先说明 收敛
??
绝对收敛,
定理 12 。 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ?
||
n
a
收敛
?
? n
a
收敛,
证 ( 用 C auchy 准则 ),
一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛,
例 2 判断例 1 中的级数绝对或条件收敛性,
2,绝对收敛级数可重排性,
对级数 ?
?
? 1n
n
u, 令
2010-5-21 25
?
?
?
?
?
?
?
?
,0,0
,0,
2
||
n
nn
nn
n
u
uuuu
v
?
?
?
?
??
?
?
?
, 0,0
,0,
2
||
n
nn
nn
n
u
uuuu
w
则有 i) ?
n
v
和 ?
n
w
均为正项级数,且有
|| 0
nn
uv ??
和
|| 0
nn
uw ??;
ii) nnn
wvu ??||
,nnn
wvu ??
,
定理 3 i) 若 ?
||
n
u
???
, 则 ? n
v
???
, ? n
w
???
,
ii) 若 ? n
u
条件收敛,则 ? n
v
???
,? n
w
???
,
证 i) 由
|| 0
nn
uv ??
和
|| 0
nn
uw ??
,ⅰ > 成立,
ii) 反设不真,即
? n
v
和
? n
w
中至少有一个收敛,不妨设
? n
v
???
, 由
n
u
=
n
v
n
w?
,
n
w
=
n
v
n
u?
以及
? n
v
???
和
? n
u
收敛,
?
? n
w
???
,
2010-5-21 26
而
nnn
wvu ??||,? ? ||
n
u ???,与
? n
u 条件收敛矛盾,
⑶ 绝对收敛级数的可重排性, 更序级数的概念,
定理 4 设 ?
?
n
u
是 ? n
u
的一个更序, 若 ?
||
n
u ???
,则
||
?
?
n
u ???
,
且 ?
?
n
u
= ? n
u
,
证 i ） 若
n
u
0?
，则 ?
?
n
u
和 ? n
u
是正项级数,且它们的部分和可以互
相控制, 于是,
? n
u
???
,?
?
?
n
u
???
,且和相等,
ii ） 对于一般的
n
u,
? n
u
=
? n
v
?
?
n
w
?
?
?
n
u
=
?
?
n
v
?
??
n
w
,
正项级数
?
?
n
v
和
?
?
n
w
分 别 是 正 项 级 数
? n
v
和
? n
w
的更序, 由
?
||
n
u
???
,据定理 1,
? n
v
和
? n
w
收敛, 由上述 i) 所证,有
?
?
n
v
???
,
?
?
n
w
???
,且有
? n
v
=
?
?
n
v
,
? n
w
? n
u
=
?
?
n
w
?
? n
u
=
?
?
n
u
,
2010-5-21 27
由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律, 是否只有绝对收敛级数才
满足加法交换律呢? 回答是肯定的,
定理 5 ( Riemann ) 若级数 ?
n
u
条件收敛,则对任意实数
s
( 甚至是
?? ),存在级数 ? n
u
的更序 ?
?
n
u
,使得 n
us? ?
?,
证 以 Leibniz 级数 ?
?
?
?
?
1
1
1
) 1 (
n
n
n
为样本,对照给出该定理的证明,
三, 级数乘积简介,
1,级数乘积, 级数乘积,Cauchy 积, [1] P25 — 26,
2,级数乘积的 Cauchy 定理,
定理 ( Cauchy ) 设
||
n
u ? ? ?
?
,
||
n
v ? ? ?
?
,并设
n
uU ?
?
,
n
vV ?
?
,则
它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为
UV
,
2010-5-21 28
例 3 几何级数
1 ||,1
1
1
2
???????
?
rrrr
r
n
??
是绝对收敛的, 将
? ?
2
?
n
r
按 Cauchy 乘积排列,得到
?
??? ???? ??
?? ????????????
?
? 个1
222
2
)()()(1
)1(
1
n
nnn
rrrrrrrr
r
?? ???????
n
rnrr )1(321
2
,
三 阿贝尔判别法和狄里克雷判别法
引理 ( 阿贝尔变换 ) 设 nkba
kk
,,1,,?? 是两组数
nmbB
m
k
kn
,,1,
1
???
?
?
,若 0
21
????
n
aaa ?,且存在 M>0,MB
m
?||,
2010-5-21 29
则 Maba
n
k
kk 1
1
|| ?
?
?
,
证明
1
13221
11122211
1122011
1
1
1
|(||
)()()(|
|)()()(|
|)(|||
Ma
aaaaaaaBM ax
BaaaBaaBaaB
BBaBBaBBa
BBaba
nnnk
nnnnn
nnn
n
k
kkk
n
k
kk
?
????????
????????
???????
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
,
定理 3 ( 狄里克雷判别法 ) 若函数列 }{
n
a 单调递减收敛于 0,且级数 ?
?
? 1n
n
b
的部分和数列 }{
n
B 有界,则级数 ?
?
? 1n
nn
ba
收敛,
证明,
MSSbb
npnpnn
2||||
1
?????
???
?
，利用阿贝尔变换
2010-5-21 30
Mababa
npnpnnn
||2||
111 ?????
??? ?
因 }{
n
a 单调递减收 敛于 0,存在 N, Nn ? 时 ??||
n
a
?Mbaba
pnpnnn
2||
11
???
????
?
由柯西准则，级数 ?
?
? 1n
nn
ba 收敛,
定理 4 ( 阿贝尔判别法 ) 若函数列 }{
n
a 单调有界,且级数 ?
?
? 1n
n
b 收敛,则级
数 ?
?
? 1n
nn
ba 收敛,
证明：不妨设 }{
n
a 单 调递减有下界 aa
n
?? 单调递减收敛于 0,
n
n
n
baa )(
1
?
?
?
??
收敛（狄里克雷判别法），从而级数
2010-5-21 31
? ??
?
?
?
?
?
?
???
1 11
)(
n
n
n
n
n
nnn
babaaba 收敛。
注意两个定理的条件的区别,
取 n
a
↘ 0,? n
b
?
?
??
1
) 1(
n
,由 Dirichlet 判别法,得交错级数
?
?
?
n
n
a
1
) 1(
收敛,
可见 Leibni z 判别法是 Dirichlet 判别法的特例,
由 Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法, 事实上,由数列
}{
n
a
单调有
界
?
}{
n
a
收敛,设
) (,??? naa
n
,考虑级数
??
??
nnn
babaa )(
,
aa
n
?
单调趋于零,
n
B
有界,
?
级数
?
?
nn
baa )(
收敛,又级数
? n
ba
收敛,
?
级数
??
??
nnn
babaa )(
收敛,
2010-5-21 32
例 设数列 }{
n
a 单调减少趋于 0,讨论级数
?
?
? 1
s i n
n
n
nxa 的敛散性。
0?x
时，显然 ?
?
? 1
s i n
n
nx 部分和等零，
0?x
时
|)2/s i n (|
1
|)cos (cos||
)2/s i n (2
1
|
])cos ()[ cos (|
)2/s i n (2
1
|
|
)2/s i n (2
)2/s i n (s i n2
||s i n|
2
1
2
1
1
2
1
2
1
11
x
xnx
x
xkxk
x
x
xkx
kx
n
k
n
k
n
k
????
????
?
?
??
?
??
由狄里可雷判别法，级数 ?
?
? 1
s i n
n
n
nxa 收敛。
例 设
n
a
↘ 0,证明级数
?
nxa
n
s i n
和
?
nxa
n
c o s
对
)2,0( ??? x
收敛,
2010-5-21 33
证 ???
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
s i n
2
3
s i n
2
s i nco s
2
1
2
s i n2
1
x
x
x
kx
x
n
k
xnxnxn )
2
1
s i n ()
2
1
s i n ()
2
1
s i n ( ??
?
?
?
?
?
?
????,
) 2,0 ( ??x 时, 0
2
s i n ?
x
，
?
?
?
?
??
n
k
x
xn
kx
1
2
s i n2
)
2
1
s i n (
co s
2
1
,
可见 ) 2,0 ( ??x 时,级数 ?
kxc o s
的部分和有界, 由 Dirichle t 判别法推得
级数
? nxa n c o s
收敛, 同理可得级数数
? nxa n s i n
收敛,
2010-5-21 34
习 题 课
一,直接比较判敛,
对正项级数，用直接比较法判敛时,常用下列不等式,
⑴
nnn
nn
aha
ha
11
,0,0 ?
?
???,
⑵ 对
n
a?,有 || |s i n|,1 |c os|,1 |s i n|
nnnn
aaaa ???,
⑶ )(
2
1
||
22
nnnn
baba ?? ; 特别地,有
)
1
(
2
1
2
2
n
a
n
a
n
n
??
,)(
2
1
22
nana
nn
??,
⑷ 0?
n
a 时,有
22
)1( 1
nn
aa ???
,
⑸
nn ?? )1l n (
,
⑹
?????
?
,,0
nn
aa
n
充分大时,有 nn
aa ?
2
2010-5-21 35
例 1 判断级数 ?
?
?
??
1
22
)53(s i n
1
n
n
nn
的敛散性,
解
3?n
时,
nnn
nnn 2
1
1
)53(s i n
1
22
??
??
,( 或
2
1
n
? ),……
例 2 判断级数 ?
?
?
?
1
2
n
n
n
na
a
的敛散性,其中
0?a
,
解
10 ?? a
时,有,
1
22
??
? nna
a
n
n
?
???;
1?a
时,?????
?
) (,01
2
n
na
a
n
n
?
???
,
例 3 设数列 }{
n
na 有界, 证明
?
???
2
n
a
,
证 设 ????,,||
2
2
2
n
M
aMna
nn
?
???
2
n
a
,
2010-5-21 36
例 4 设 0?
n
a 且数列 }{
n
an 有正下界, 证明级数 ? ???
n
a,
证 设 ??,,0
n
h
ahan
nn
????,
例 5 0?
n
a, 若 ? ???
n
a
n
,则 ?
???
2
n
a
,
证 ?
??????? )
1
(,)
1
(
2
1
2
2
2
2
n
a
n
a
n
a
nn
n; 又 ? ????,
1
2
n
? ???
2
n
a
,
例 6 设
nnn
bca ??, 若级数
? na
和
? nb
收敛,则级数
? nc
收敛,
例 7 设 0,0 ??
nn
ba, 证明
2010-5-21 37
⑴ ? ???
n
a,? ???
n
b,? ? ???
nn
ba ;
⑵ ?
n
a 和 ?
n
b 之一或两者均发散时,?
nn
ba 仍可能收敛 ;
⑶ ?
???
2
n
a
,?
???
2
n
b
,? ?
???||
nn
ba
,
证 ⑴
n
充分大时,
nnn
aba ??0,
⑵ 取
n
ba
nn
1
??,
⑶ ? ?
22
2
1
||
nnnn
baba ??,
二, 利用同阶或等价无穷小判敛,
例 8 判断下列级数的敛散性,
2010-5-21 38
⑴ ?
n
1
s i n ; ⑵
?
?
? 1
3
1
s i n
n n; ⑶ ?
?
?
?
1
24
3
n
nn
n;
⑷ ?
?
?
?
4
3
3
2
n
n
n
n; ⑸ ? ? ) 1 (,1
1
???
?
?
aa
n
n
,
例 9 判断下列级数 的敛散性,
⑴ ?
?
?
??
??
1
23
2
32
1
n
nn
nn; ⑵ ?
?
?
?
??
1
4
2
21
32
n
n
nn
,
註 设正项级数
? nu
的通项
n
u
为
n
的有理分式, 当
n
u
为
n
的假分式时,
由于
n
u
0??
,
?
? ???; 若
n
u
为
n
的真分式,倘用 比值 法,必有
1
1
?
?
n
n
u
u
,有效的方法是利用等价无穷小判别法,
2010-5-21 39
例 10 设函数 )( xf 在点 0
0
?x 有连续的二阶导数,且 0)0( ?f, 试证明,
⑴ 若 0)0( ??f,则级数 ?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 发散,
⑵ 若 0)0( ?
?f
,则级数 ?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 收敛,
解 把函数 )( xf 在点
0
0
?x
展开成带二阶 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公
式,有
22
2
)(
)0(
!2
)(
)0()0()( x
f
xfx
f
xffxf
?? ??
???
??
????,? 介于
0
与
x
之间,
,
1
2
)(1
)0()
1
(
2
n
f
n
f
n
f
???
???
⑴ 若
0)0( ??f
,则当
n
充分大时 )
1
(
n
f 不变号,可认为
?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 是同号级
数, 有
2010-5-21 40
)
1
(
n
f ∽
n
f
1
)0(?,
?
?
?
????
1
,
1
n
n
?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 发散,
⑵ 若,0)0( ??f 注意到 )( xf ?? 在点 0
0
?x 连续,)( xf ?? 在点 0
0
?x 的某邻
域内有界,设
Mxf 2)( ???
,有 | )
1
(
n
f |=
22
11
2
)(
n
M
n
f
???
?? ?
,
? ?
?
?
?
?
???????
1 1
2
)
1
(,
1
n n
n
f
n
,? ?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 收敛,
当
0)0( ?f
时,常用 Maclaurin 公式确定 )
1
(
n
f 的等价无穷小,
例 11 判断级数 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
)1(
2
n
n
n
n
nk
的敛散性,其中
0?k
且
ek ?
,
解
??, ) (,??? n
e
k
u
n
n
2010-5-21 41
原理, 常用判定级数 ?
n
x 收敛的方法证明 0l i m ?
??
n
n
x 或 0lim
1
?
?
?
?
??
p
i
in
n
x,
例 12 证明 0
3
lim
5
?
??
n
n
n
,
例 13 证明 0
2
2
2
2
2
1
lim
221
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
nnn
n
nnn
?,
例 14 设
n
u
↘
) (,0 ??n
,若 ? n
u
???
,
?
0l i m ?
??
n
n
nu,
证 对
KkK ?????,,0?
,由
? n
u
???
,有
2
2212
?
?????
?? kkkk
uuuku ?,即
???
k
ku
2
20;
2
)1(
1222112
?
???????
???? kkkkk
uuuuuk ?,
即
)22()12(
12
???
?
kuk
k
??
? 12 k
u
,
2010-5-21 42
于是,Kn 2? 时总有 ???
n
nu0, 此即 0l i m ?
??
n
n
nu,
习 题 课 （ 2 ）
例 1 判断级数 ?
?
? 1
s i n
n nn
nx
的敛散性,
解 注意到
2
3
1s i n
nnn
nx
?
,
?
所论级数绝对收敛,故收敛, ( 用 D - 判法
亦可 ),
例 2 考查级数 ?
?
?
?
?
?
1
1
) 0 (
) 1(
n
s
n
s
n
的绝对及条件收敛性,
解
10 ?? s
时为 Leibniz 型级数,……,条件收敛 ;
1?s
时,绝对收敛,
2010-5-21 43
例 3 若 ) (,0,0 ???? nuu
nn
,交错级数 ?
?
?
?
?
1
1
) 1(
n
n
n
u 是 否必收敛?
解 未必, 考查交错级数
?? ?????????
222
11
3
1
3
1
2
1
2
1
11
nn
,
这是交错级数,有
) (,0 ??? nu
n, 但该级数发散, 因为否则应有级数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
11
n
nn
收敛, 而 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
11
n
nn
???
,
由该例可见,在 Leibniz 判别法中,条件
n
u
单调是不可少的,
例 4 判断级数
?? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? 1
1
1
1
13
1
13
1
12
1
12
1
nn
的敛散性,
2010-5-21 44
解 从首项开始,顺次把两项括在一起,注意到
1
2
1
1
1
1
?
?
?
?
? nnn
,以及
级数 ?
n
2
???
,
?
所论级数发散,
例 5 设级数 ? n
na
收敛, 证明级数 ? n
a
收敛,
证
n
naa
nn
1
??, 由 Abel 或 Dirichlet 判法,
?
? n
a
收敛,
例 6
?kx ?
,判断级数 ?
?
? 1
2
s i n
n
n
nx
的敛散性,
解
n
nx
nn
nx
n
nx
2
2co s
2
1
2
2co s1s i n
2
??
?
?
,
?
n2
1
???
,现证 级数 ?
?
? 1
2
2c os
n
n
nx
收敛, 因
?kx ?
时
2010-5-21 45
|s i n|
1
)2(co s2co s
11
x
xkkx
n
k
n
k
?? ??
??
,
又
n2
1
↘
0
,由 Dirichlet 判法,
?
级数 ?
?
? 1
2
2cos
n
n
nx
收敛,
故本题所论级数发散,
例 7 判断级数 ) (
s i n
1
?kx
n
nx
n
??
?
?
的绝对收敛性,
解 由 Dirichlet 判法,得级数收敛, 但
n
nx
nn
nx
n
nx
2
2co s
2
1s i ns i n
2
???
,
仿例 6 讨论,知本题所论级数条件收敛,
例 8 设级数
? ?? )( 1nn aa
绝对收敛,
? nb
收敛, 证明级数
? nn ba
收敛,
2010-5-21 46
证 先证数列 }{
n
a 收敛, 事实上,
?
?
?
???
n
i
nii
aaaa
1
01
)( 收敛,}{
n
a 收 敛,
令 ?
?
?
n
i
in
bB
1
,则数列 }{
n
B 收敛,故有界, 设 MB
n
|| ?,于是由 Abel 变换,有
? ?
? ?
??
????
n
i
n
i
iiinniin
BaaBabaS
1 2
11
)(,
( 或
?
) )(
1
1
1?
?
?
?
??
n
i
iiinn
BaaBa
而
11
22
| | | | | |
nn
i i i i i
ii
a a B M a a
??
??
? ? ? ? ??
?? ? ?
?
?
??
?
2
11
)(
n
iii
Baa 收敛, 又数
列 }{
n
a 和 }{
n
B 收敛,? 数列 }{
nn
Ba 收敛 ? 部分和数列 }{
n
S 收敛,
例 9 设数列 }{
n
na 收敛,级数 ?
?
?
?
?
1
1
)(
n
nn
aan
收敛, 证明级数
? n
a
收敛
2010-5-21 47
证 注意到 ? ?
? ?
?
???
n
k
n
k
knkk
anaaak
1 0
1
)(,?
? ?
? ?
?
????
n
k
n
k
kknkn
aaknaaS
0 1
1
)( 收敛,
例 10 设 0
n
a,) ( ??n, 证明级数
?
?
?
?
???
?
1
211
) 1(
n
nn
n
aaa ?
收敛,
证法一 由 0na,?
12
0
n
a a a
n
? ? ?
,
) ( ??n
,
因此,所论级数是 Leibniz 型级数,故收敛,
证法二 2) 1(
1
1
???
?
?
n
k
k
,
12
0
n
a a a
n
? ? ?
,
) ( ??n
,
由 Dirichlet 判法 ?
?
收敛,
第十二章 数项级数
§ 1 级数的收敛性
要求,
1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论,
2 掌握理解级数的基本性质
要点,1 ）级数的收敛性,2 ）级数的基本性质
1 数项级数的概念、记号, 将数列
}{
n
u
的各项用加号连接起来，即
?? ????
n
uuu
21
或 ?
?
? 1n
n
u
称为 数值级数，简称级数。其中第 n 项
n
u
称为通项。
2010-5-21 2
级数的敛散性与和,,
2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想
级数的部分和,, nn
uuuS ???? ?
21
3 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以
及求和等概念
级数的收敛性,若 SS
n
n
?
??
lim 存在，称级数
?
?
? 1n
n
u 收敛，
S
称为级数的和；
余 和：称 ?
?
?
???
nk
knn
uSSr 为级数 ?
?
? 1n
n
u 的余和
若部分和数列 }{ nS 发散，则称级数 ?
?
? 1n
nu 发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
2010-5-21 3
例 1 讨论几何级数 0,
1
1
?
?
?
?
?
aar
n
n
的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前 n 项和 的计算公式,1?r 时,
n
n
n
n
r
r
a
r
a
r
ara
araraS
?
?
?
?
?
?
?????
?
111
1
?
1 ） 当
1|| ?r
时，
r
a
S
n
n
?
?
??
1
lim,几何级数收敛，其和为
r
a
?1；
2 ） 当
1|| ?r
时,??
??
n
n
Sl i m,此时几何级数发散，和不存在；
3 ） 当
1|| ?r
时，显然
}{
n
S
发散；
结论, 几何级数 0,
1
1
?
?
?
?
?
aar
n
n
，当
1|| ?r
时，收敛，其和为
r
a
?1；
2010-5-21 4
例 2 讨论级数
?
?
?
?
1
)1(
1
n
nn
的敛散性,
解 利用
1
11
)1(
1
?
??
? nnnn
求出部分和
n
S,
例 3 讨论级数 ?
?
? 1
2
n
n
n
的敛散性,
解 设 ?
?
?
?
?
??????
n
k
nnk
n
nnk
S
1
132
22
1
2
3
2
2
2
1
2
?,
??
n
S
2
1
1432
22
1
2
3
2
2
2
1
?
?
?
????
nn
nn
?,
132
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
?
????????
nn
nnn
n
SSS ?
=
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?n
n
n
,
) ( ??n
,
2010-5-21 5
?
n
S ? 2,) ( ??n,
因此,该级数收敛,
例 4 讨论级数 ?
?
?
?
1
35
2
n
n
n
的敛散性,
解
5
2
,
5
2
5
2
35
2
?????
?
nS
n
n
n
n
n
? ??
,
) ( ??n
,级数发散,
二 收敛级数的性质
因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级
数收敛的充分必要条件为,
定理 1, （柯西准则）级数 ?
?
? 1n
n
u
收敛 ?
NpNnN ???????,,,0?
有
???
?
||
npn
SS
2010-5-21 6
根据定 理 1,取 1?p,有 ????
? nnn
uSS ||
1
,于是有下面结论,
推论 1, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的必要条件为 0l i m ?
??
n
n
u
本推论可以方便的用来判断级数发散。 注意这只是级数收敛的必要条件，
不是充分条件。
例 5 讨论调和级数 ?? ?????
n
1
3
1
2
1
1 的敛散性。
调和级数显然满足推论 1,
0l i m ?
??
n
n
u
，但，若取
mp ?
2
1
|
2
1
2
1
2
1
|||
221
????????
??
mmm
uuu
mmm
??
由柯西准则，调和级数发散。
例 6 证明级数 ?
?
? 1
2
1
n
n
收敛,
2010-5-21 7
证 显然满足收敛的必要条件, 令
2
1
n
u
n
?,则当 2?n 时有
?
?
???
?
????
p
k
pnnn
kn
uuu
1
2
21
)(
1
| | ?
?,
111
))(1(
1
1
npnnknkn
p
k
?
?
??
???
?
?
?
由定理 1,级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面项的大小无关，因
此级数有如 下性质,
推论 2 去掉、增加或改变级数 ?
?
? 1n
n
u 的有限项，不影响级数的敛散性。
定理 2 （线性性质）若级数 ?
?
? 1n
n
u 和
?
?
? 1n
n
v 收敛，其和分别为
21
,SS
，则级
数
)(
1
n
n
n
vu ?? ?
?
?
?
也收敛，其和为
21
SS ?? ?
2010-5-21 8
定理 3 若级数收敛，其和为 S,则可对该级数任意加括 号，不改变其收敛
性，也不改变其和。
注意发散级数，加括号不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。
例：级数 ?
?
?
?
0
)1(
n
n
发散，但加括号后, 0)11()11( ????? ?
例 7 判断级数 ?
?
? 1
1
s i n
n
n
n 的敛散性,
( 验证 0??
n
u, 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )
1 ） 级数与数列的关系,
? nu
对应部分和数列
? ?
n
S
,
? nu
收敛 ?
? ?
n
S
收敛 ;
2010-5-21 9
对每个数列 {}
n
x,对应级数 ?
?
?
?
??
2
11
)(
n
nn
xxx,对该级数,有
nn
Sx ?, 于是,
数列 {
n
x } 收敛 ? 级数 ?
?
?
?
??
2
11
)(
n
nn
xxx 收敛,
可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式,
2010-5-21 10
§ 2 正项级数
要求, 掌握正项级数敛散性判断方法
重点：比较判别法,比值判别法,根式判别法
一 正项级数收敛性的一般判别原则
显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，正项级数收敛
的充分必要条件是,
定理 5 正 项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛
?
它的部分和数列
}{
n
S
有上界。
例 ?
?
? 1
!
1
n
n
2010-5-21 11
1
2
1
2221
1
321
1
!
1
?
?
??
?
??
?
n
nn ??
从而 3
2
1
2
1
2
1
11
!
1
!3
1
!2
1
11
12
?????????????
?n
n
n
S ??
部分和有界，该正项级数收敛。
比较判别法
由定理 5,容易推出下面判别法,
定理 6（比较原则）有两个正项级数 ?
?
? 1n
n
u,
?
?
? 1n
n
v 若存在自然数
N
,当
Nn ?
时，有 0,?? ccvu
nn
,则
1) 若级数 ?
?
? 1n
n
v 收敛，则 级数
?
?
? 1n
n
u 也收敛；
2010-5-21 12
2) 若级数 ?
?
? 1n
n
u 发散，则级数
?
?
? 1n
n
v 也发散。
例 讨论 ?p 级数 ?
?
? 1
1
n
p
n
的敛散性。
1 ） 1?p 时为调和级数发散；
2) 1?p 时
nn
p
11
? 由比较判别法,?p 级数发散；
3 ）
1?p
时 ]
1
)1(
1
[
1
11
11 ??
?
??
?
ppp
nnpn
1
1
1)
1
1(
1
1
1)]
1
)1(
1
(
)
3
1
2
1
()
2
1
1[(
1
1
1
1
3
1
2
1
1
111
111
?
???
?
???
?
?
????
?
???????
???
???
pnpnn
pn
S
ppp
pppppp
n
?
?
部分和有界，级数收敛。
2010-5-21 13
结论,?p 级数
?
?
? 1
1
n
p
n
1?p 时发散； 1?p 时收敛。
例 1 ） ?
?
? ?1
2
)1(
1
n nn
,
解
2/3
2
1
)1(
1
n
nn
?
?
,而 ?
?
? 1
2/3
1
n
n
收敛
由比较判别法，级数 ?
?
? ?1
2
)1(
1
n nn
收敛。
例 2 ）
?
?
? ?1
3 2
1
1
n n
解 3/2
3 2
1
1
1
n
n
?
?
,而 ?
?
? 1
3/2
1
n
n
发散,
由比较判别法，级数
?
?
? ?1
3 2
1
1
n n
发散。
2010-5-21 14
比较判别法的极限形式,
推论 有两个正项级数 ?
?
? 1n
n
u,
?
?
?
?
1
0,
n
nn
vv 且 k
v
u
n
n
n
?
??
lim
1 ）若级数 ?
?
? 1n
n
v 收敛，且
???? k0
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 也收敛；
2 ）若级数 ?
?
? 1n
n
v 发散，且
???? k0
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 也发散。
例 判别下列级数的敛散性
1 ） ?
?
?
?
1
!
1
n
nn
2 ） ?
?
?
?
1
)
1
1l n (
n
n
解 首先要找出一个敛散性已知的级数
1 ）前面我们证明过级数
?
?
? 1
!
1
n
n
收敛，用它作比较得
0
!/1
)!/(1
lim ?
?
??
n
nn
n
2010-5-21 15
所以 ?
?
?
?
1
!
1
n
nn
收敛。
2 ）前面讲过调和级数发散，用调和级数作比较得
1)/11l n [ (lim
!/1
)/11l n (
lim ???
?
????
n
nn
n
n
n
所以 ?
?
?
?
1
)
1
1l n (
n
n
发散
用比较判别法，需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础，用
起来不大方便，我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法,
二 比式判别法和根式判别法
定理 7 （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数 ?
?
? 1n
n
u
2010-5-21 16
i) 若存在 NnN ?,时有 1
1
??
?
q
u
u
n
n
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 注意
1
1
??
?
q
u
u
n
n
不能换为 1
1
?
?
n
n
u
u
)
ii) 若存在
NnN ?,
时有 1
1
?
?
n
n
u
u
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 发散。
证 i) 不妨设 1?n 时就有 1
1
??
?
q
u
u
n
n
成立,有
??,,,,
12
3
1
2
q
u
u
q
u
u
q
u
u
n
n
???
?
依次相乘,?
1
1
?
?
nn
q
u
u
,即
1
1
?
?
n
n
quu, 由
10 ?? q
,得
n
q ???
?,? n
u ? ? ?
?,
2010-5-21 17
ii) 可见 }{
n
u 往 后递增,?,0??
n
u ) ( ??n,
推论 1 有 正项级数 ?
?
? 1n
n
u 且 l
u
u
n
n
n
?
?
??
1
l i m
i ） 若
1?l
则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛
ii ）
1?l
或
???l
,
?
? n
u
=
??
, ( 证 )
定理 8 （柯西判别法或根式判别法）有正项级数 ?
?
? 1n
n
u
i) 若存在
NnN ?,
时有
1?? qu
n
n
，则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 注意
1?? qu
n
n
不能换为
1?
n
n
u
)
2010-5-21 18
ii) 若存在无限个 n,有 1?
n
n
u,则级数
?
?
? 1n
n
u 发散。
推论 2 有正项级数 ?
?
? 1n
n
u 且 lu
n
n
n
?
??
l i m
i ）若
1?l
则级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛
ii ）若
1?l
则级数 ?
?
? 1n
n
u 发散
例 判别下列级数的敛散性
1 ） ?
?
?
?
1
)
12
(
n
n
n
n
,
因
2
1
12
limlim ?
?
?
????
n
n
u
n
n
n
n
,级数 ?
?
?
?
1
)
12
(
n
n
n
n
收敛
2010-5-21 19
2 ）
?
?
? 1
!
n
n
n
n
因 1)
1
(lim
/!
)1()1/()!1(
limlim
11
??
?
?
???
?
?
????
?
?
e
n
n
nn
nnn
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n
级数 ?
?
? 1
!
n
n
n
n
收敛。
例 7 研究级数 ?
??
n
n
2
) 1 (3
的敛散 性,
解
1
2
1
2
)1(3
limlim ??
??
?
????
n
n
n
n
n
n
u
,
?
?
???
,
例 8 判断级数 ?
?
?
?
?
?
? ?
2
1
n
n
n
和 ?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
n
n
n
的敛散性,
解 前者通项不趋于零,后者用检根法判得其收敛,
2010-5-21 20
三 积分判别法
级数与无穷积分的关系,
? ? ?
??
?
?
?
??
1
1
1
)(
n
n
n
fdxxf ?
?
? 1n
n
u,其中
?
?
?
1n
n
n
fu, 无穷积分可化为级数 ;
对每个级数,定义函数
?,2,1,1,)( ????? nnxnuxf
n,易见有
?
?
? 1n
n
u
=
?
??
1
)( dxxf, 即级数可化为无穷积分,
因此,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果, 可以用其中的
一个研究另一个,
定理 12, 9 设
f
为
),1[ ??
上的非负函数，那么正项级数
?
)( nf
与反常积分
dxxf
?
??
1
)( 同时敛散。
2010-5-21 21
例 用积分判别法研究 p 级数 ?
pn
1
的敛散性。
例 讨论级数 （ 1 ） ?
?
? 1 )( l n
1
n
pnn,（ 2 ） ?
?
? 1 )ln) ( l n( l n
1
n
pnnn 的敛散性
2010-5-21 22
§ 3 一般项级数
一 交错级数
定理 9 （莱布尼兹（ Leibniz ） 判别法）有交错级数 ?
?
?
?
??
1
1
0,)1(
n
n
n
uu,
若 i ）
1
,
?
??
nn
uun ii ） 0l i m ?
??
n
n
u
则级数 ?
?
?
?
1
)1(
n
n
n
u 收敛，并有
1
||
?
?
nn
ur,
证 ( 证明部分和序列 } {
n
S 的两个子列 } {
2 n
S 和 } {
12 ?n
S 收敛于同一极限,
为此先证明 } {
2 n
S 递增有界, )
)()()()(
22122124321)1(2 ????
?????????
nnnnn
uuuuuuuuS ?
?
nnn
Suuuuuu
22124321
)()()( ???????
?
?,?
n
S
2
↗ ;
2010-5-21 23
又
1212223212
)()( uuuuuuuS
nnnn
????????
??
?,即数列 } {
2 n
S 有界,
由单调有界原理,数列
} {
2 n
S
收敛, 设
)(,
2
??? nsS
n,
)(,
12212
?????
??
nsuSS
nnn
?
sS
n
n
?
??
l i m,
由证明数列
} {
2 n
S
有界性可见,?
?
?
?
???
1
1
1
) 1 (0
n
n
n
uu, 余和
?
?
?
?
?
?
nm
m
m
u
1
2
)1(
亦 交错 级数
?
余和
n
r
与
1?n
u
同号,且
1
||
?
?
nn
ur
,
例 1 判别级数 ?
?
?
??
1
)0( ) 1 (
n
n
n
a
n
a
的敛散性,
解
10 ?? a
时,由 Leibniz 判别法,
?
?
收敛 ;
1?a
时,通项
0??
,
?
发散
2010-5-21 24
二, 绝对收敛级数及其性质,
1,绝对收敛和条件收敛,
以 Leibniz 级数为例,先说明 收敛
??
绝对收敛,
定理 12 。 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ?
||
n
a
收敛
?
? n
a
收敛,
证 ( 用 C auchy 准则 ),
一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛,
例 2 判断例 1 中的级数绝对或条件收敛性,
2,绝对收敛级数可重排性,
对级数 ?
?
? 1n
n
u, 令
2010-5-21 25
?
?
?
?
?
?
?
?
,0,0
,0,
2
||
n
nn
nn
n
u
uuuu
v
?
?
?
?
??
?
?
?
, 0,0
,0,
2
||
n
nn
nn
n
u
uuuu
w
则有 i) ?
n
v
和 ?
n
w
均为正项级数,且有
|| 0
nn
uv ??
和
|| 0
nn
uw ??;
ii) nnn
wvu ??||
,nnn
wvu ??
,
定理 3 i) 若 ?
||
n
u
???
, 则 ? n
v
???
, ? n
w
???
,
ii) 若 ? n
u
条件收敛,则 ? n
v
???
,? n
w
???
,
证 i) 由
|| 0
nn
uv ??
和
|| 0
nn
uw ??
,ⅰ > 成立,
ii) 反设不真,即
? n
v
和
? n
w
中至少有一个收敛,不妨设
? n
v
???
, 由
n
u
=
n
v
n
w?
,
n
w
=
n
v
n
u?
以及
? n
v
???
和
? n
u
收敛,
?
? n
w
???
,
2010-5-21 26
而
nnn
wvu ??||,? ? ||
n
u ???,与
? n
u 条件收敛矛盾,
⑶ 绝对收敛级数的可重排性, 更序级数的概念,
定理 4 设 ?
?
n
u
是 ? n
u
的一个更序, 若 ?
||
n
u ???
,则
||
?
?
n
u ???
,
且 ?
?
n
u
= ? n
u
,
证 i ） 若
n
u
0?
，则 ?
?
n
u
和 ? n
u
是正项级数,且它们的部分和可以互
相控制, 于是,
? n
u
???
,?
?
?
n
u
???
,且和相等,
ii ） 对于一般的
n
u,
? n
u
=
? n
v
?
?
n
w
?
?
?
n
u
=
?
?
n
v
?
??
n
w
,
正项级数
?
?
n
v
和
?
?
n
w
分 别 是 正 项 级 数
? n
v
和
? n
w
的更序, 由
?
||
n
u
???
,据定理 1,
? n
v
和
? n
w
收敛, 由上述 i) 所证,有
?
?
n
v
???
,
?
?
n
w
???
,且有
? n
v
=
?
?
n
v
,
? n
w
? n
u
=
?
?
n
w
?
? n
u
=
?
?
n
u
,
2010-5-21 27
由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律, 是否只有绝对收敛级数才
满足加法交换律呢? 回答是肯定的,
定理 5 ( Riemann ) 若级数 ?
n
u
条件收敛,则对任意实数
s
( 甚至是
?? ),存在级数 ? n
u
的更序 ?
?
n
u
,使得 n
us? ?
?,
证 以 Leibniz 级数 ?
?
?
?
?
1
1
1
) 1 (
n
n
n
为样本,对照给出该定理的证明,
三, 级数乘积简介,
1,级数乘积, 级数乘积,Cauchy 积, [1] P25 — 26,
2,级数乘积的 Cauchy 定理,
定理 ( Cauchy ) 设
||
n
u ? ? ?
?
,
||
n
v ? ? ?
?
,并设
n
uU ?
?
,
n
vV ?
?
,则
它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为
UV
,
2010-5-21 28
例 3 几何级数
1 ||,1
1
1
2
???????
?
rrrr
r
n
??
是绝对收敛的, 将
? ?
2
?
n
r
按 Cauchy 乘积排列,得到
?
??? ???? ??
?? ????????????
?
? 个1
222
2
)()()(1
)1(
1
n
nnn
rrrrrrrr
r
?? ???????
n
rnrr )1(321
2
,
三 阿贝尔判别法和狄里克雷判别法
引理 ( 阿贝尔变换 ) 设 nkba
kk
,,1,,?? 是两组数
nmbB
m
k
kn
,,1,
1
???
?
?
,若 0
21
????
n
aaa ?,且存在 M>0,MB
m
?||,
2010-5-21 29
则 Maba
n
k
kk 1
1
|| ?
?
?
,
证明
1
13221
11122211
1122011
1
1
1
|(||
)()()(|
|)()()(|
|)(|||
Ma
aaaaaaaBM ax
BaaaBaaBaaB
BBaBBaBBa
BBaba
nnnk
nnnnn
nnn
n
k
kkk
n
k
kk
?
????????
????????
???????
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
,
定理 3 ( 狄里克雷判别法 ) 若函数列 }{
n
a 单调递减收敛于 0,且级数 ?
?
? 1n
n
b
的部分和数列 }{
n
B 有界,则级数 ?
?
? 1n
nn
ba
收敛,
证明,
MSSbb
npnpnn
2||||
1
?????
???
?
，利用阿贝尔变换
2010-5-21 30
Mababa
npnpnnn
||2||
111 ?????
??? ?
因 }{
n
a 单调递减收 敛于 0,存在 N, Nn ? 时 ??||
n
a
?Mbaba
pnpnnn
2||
11
???
????
?
由柯西准则，级数 ?
?
? 1n
nn
ba 收敛,
定理 4 ( 阿贝尔判别法 ) 若函数列 }{
n
a 单调有界,且级数 ?
?
? 1n
n
b 收敛,则级
数 ?
?
? 1n
nn
ba 收敛,
证明：不妨设 }{
n
a 单 调递减有下界 aa
n
?? 单调递减收敛于 0,
n
n
n
baa )(
1
?
?
?
??
收敛（狄里克雷判别法），从而级数
2010-5-21 31
? ??
?
?
?
?
?
?
???
1 11
)(
n
n
n
n
n
nnn
babaaba 收敛。
注意两个定理的条件的区别,
取 n
a
↘ 0,? n
b
?
?
??
1
) 1(
n
,由 Dirichlet 判别法,得交错级数
?
?
?
n
n
a
1
) 1(
收敛,
可见 Leibni z 判别法是 Dirichlet 判别法的特例,
由 Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法, 事实上,由数列
}{
n
a
单调有
界
?
}{
n
a
收敛,设
) (,??? naa
n
,考虑级数
??
??
nnn
babaa )(
,
aa
n
?
单调趋于零,
n
B
有界,
?
级数
?
?
nn
baa )(
收敛,又级数
? n
ba
收敛,
?
级数
??
??
nnn
babaa )(
收敛,
2010-5-21 32
例 设数列 }{
n
a 单调减少趋于 0,讨论级数
?
?
? 1
s i n
n
n
nxa 的敛散性。
0?x
时，显然 ?
?
? 1
s i n
n
nx 部分和等零，
0?x
时
|)2/s i n (|
1
|)cos (cos||
)2/s i n (2
1
|
])cos ()[ cos (|
)2/s i n (2
1
|
|
)2/s i n (2
)2/s i n (s i n2
||s i n|
2
1
2
1
1
2
1
2
1
11
x
xnx
x
xkxk
x
x
xkx
kx
n
k
n
k
n
k
????
????
?
?
??
?
??
由狄里可雷判别法，级数 ?
?
? 1
s i n
n
n
nxa 收敛。
例 设
n
a
↘ 0,证明级数
?
nxa
n
s i n
和
?
nxa
n
c o s
对
)2,0( ??? x
收敛,
2010-5-21 33
证 ???
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
? ?
?
?
2
s i n
2
3
s i n
2
s i nco s
2
1
2
s i n2
1
x
x
x
kx
x
n
k
xnxnxn )
2
1
s i n ()
2
1
s i n ()
2
1
s i n ( ??
?
?
?
?
?
?
????,
) 2,0 ( ??x 时, 0
2
s i n ?
x
，
?
?
?
?
??
n
k
x
xn
kx
1
2
s i n2
)
2
1
s i n (
co s
2
1
,
可见 ) 2,0 ( ??x 时,级数 ?
kxc o s
的部分和有界, 由 Dirichle t 判别法推得
级数
? nxa n c o s
收敛, 同理可得级数数
? nxa n s i n
收敛,
2010-5-21 34
习 题 课
一,直接比较判敛,
对正项级数，用直接比较法判敛时,常用下列不等式,
⑴
nnn
nn
aha
ha
11
,0,0 ?
?
???,
⑵ 对
n
a?,有 || |s i n|,1 |c os|,1 |s i n|
nnnn
aaaa ???,
⑶ )(
2
1
||
22
nnnn
baba ?? ; 特别地,有
)
1
(
2
1
2
2
n
a
n
a
n
n
??
,)(
2
1
22
nana
nn
??,
⑷ 0?
n
a 时,有
22
)1( 1
nn
aa ???
,
⑸
nn ?? )1l n (
,
⑹
?????
?
,,0
nn
aa
n
充分大时,有 nn
aa ?
2
2010-5-21 35
例 1 判断级数 ?
?
?
??
1
22
)53(s i n
1
n
n
nn
的敛散性,
解
3?n
时,
nnn
nnn 2
1
1
)53(s i n
1
22
??
??
,( 或
2
1
n
? ),……
例 2 判断级数 ?
?
?
?
1
2
n
n
n
na
a
的敛散性,其中
0?a
,
解
10 ?? a
时,有,
1
22
??
? nna
a
n
n
?
???;
1?a
时,?????
?
) (,01
2
n
na
a
n
n
?
???
,
例 3 设数列 }{
n
na 有界, 证明
?
???
2
n
a
,
证 设 ????,,||
2
2
2
n
M
aMna
nn
?
???
2
n
a
,
2010-5-21 36
例 4 设 0?
n
a 且数列 }{
n
an 有正下界, 证明级数 ? ???
n
a,
证 设 ??,,0
n
h
ahan
nn
????,
例 5 0?
n
a, 若 ? ???
n
a
n
,则 ?
???
2
n
a
,
证 ?
??????? )
1
(,)
1
(
2
1
2
2
2
2
n
a
n
a
n
a
nn
n; 又 ? ????,
1
2
n
? ???
2
n
a
,
例 6 设
nnn
bca ??, 若级数
? na
和
? nb
收敛,则级数
? nc
收敛,
例 7 设 0,0 ??
nn
ba, 证明
2010-5-21 37
⑴ ? ???
n
a,? ???
n
b,? ? ???
nn
ba ;
⑵ ?
n
a 和 ?
n
b 之一或两者均发散时,?
nn
ba 仍可能收敛 ;
⑶ ?
???
2
n
a
,?
???
2
n
b
,? ?
???||
nn
ba
,
证 ⑴
n
充分大时,
nnn
aba ??0,
⑵ 取
n
ba
nn
1
??,
⑶ ? ?
22
2
1
||
nnnn
baba ??,
二, 利用同阶或等价无穷小判敛,
例 8 判断下列级数的敛散性,
2010-5-21 38
⑴ ?
n
1
s i n ; ⑵
?
?
? 1
3
1
s i n
n n; ⑶ ?
?
?
?
1
24
3
n
nn
n;
⑷ ?
?
?
?
4
3
3
2
n
n
n
n; ⑸ ? ? ) 1 (,1
1
???
?
?
aa
n
n
,
例 9 判断下列级数 的敛散性,
⑴ ?
?
?
??
??
1
23
2
32
1
n
nn
nn; ⑵ ?
?
?
?
??
1
4
2
21
32
n
n
nn
,
註 设正项级数
? nu
的通项
n
u
为
n
的有理分式, 当
n
u
为
n
的假分式时,
由于
n
u
0??
,
?
? ???; 若
n
u
为
n
的真分式,倘用 比值 法,必有
1
1
?
?
n
n
u
u
,有效的方法是利用等价无穷小判别法,
2010-5-21 39
例 10 设函数 )( xf 在点 0
0
?x 有连续的二阶导数,且 0)0( ?f, 试证明,
⑴ 若 0)0( ??f,则级数 ?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 发散,
⑵ 若 0)0( ?
?f
,则级数 ?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 收敛,
解 把函数 )( xf 在点
0
0
?x
展开成带二阶 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公
式,有
22
2
)(
)0(
!2
)(
)0()0()( x
f
xfx
f
xffxf
?? ??
???
??
????,? 介于
0
与
x
之间,
,
1
2
)(1
)0()
1
(
2
n
f
n
f
n
f
???
???
⑴ 若
0)0( ??f
,则当
n
充分大时 )
1
(
n
f 不变号,可认为
?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 是同号级
数, 有
2010-5-21 40
)
1
(
n
f ∽
n
f
1
)0(?,
?
?
?
????
1
,
1
n
n
?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 发散,
⑵ 若,0)0( ??f 注意到 )( xf ?? 在点 0
0
?x 连续,)( xf ?? 在点 0
0
?x 的某邻
域内有界,设
Mxf 2)( ???
,有 | )
1
(
n
f |=
22
11
2
)(
n
M
n
f
???
?? ?
,
? ?
?
?
?
?
???????
1 1
2
)
1
(,
1
n n
n
f
n
,? ?
?
? 1
)
1
(
n
n
f 收敛,
当
0)0( ?f
时,常用 Maclaurin 公式确定 )
1
(
n
f 的等价无穷小,
例 11 判断级数 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
)1(
2
n
n
n
n
nk
的敛散性,其中
0?k
且
ek ?
,
解
??, ) (,??? n
e
k
u
n
n
2010-5-21 41
原理, 常用判定级数 ?
n
x 收敛的方法证明 0l i m ?
??
n
n
x 或 0lim
1
?
?
?
?
??
p
i
in
n
x,
例 12 证明 0
3
lim
5
?
??
n
n
n
,
例 13 证明 0
2
2
2
2
2
1
lim
221
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
nnn
n
nnn
?,
例 14 设
n
u
↘
) (,0 ??n
,若 ? n
u
???
,
?
0l i m ?
??
n
n
nu,
证 对
KkK ?????,,0?
,由
? n
u
???
,有
2
2212
?
?????
?? kkkk
uuuku ?,即
???
k
ku
2
20;
2
)1(
1222112
?
???????
???? kkkkk
uuuuuk ?,
即
)22()12(
12
???
?
kuk
k
??
? 12 k
u
,
2010-5-21 42
于是,Kn 2? 时总有 ???
n
nu0, 此即 0l i m ?
??
n
n
nu,
习 题 课 （ 2 ）
例 1 判断级数 ?
?
? 1
s i n
n nn
nx
的敛散性,
解 注意到
2
3
1s i n
nnn
nx
?
,
?
所论级数绝对收敛,故收敛, ( 用 D - 判法
亦可 ),
例 2 考查级数 ?
?
?
?
?
?
1
1
) 0 (
) 1(
n
s
n
s
n
的绝对及条件收敛性,
解
10 ?? s
时为 Leibniz 型级数,……,条件收敛 ;
1?s
时,绝对收敛,
2010-5-21 43
例 3 若 ) (,0,0 ???? nuu
nn
,交错级数 ?
?
?
?
?
1
1
) 1(
n
n
n
u 是 否必收敛?
解 未必, 考查交错级数
?? ?????????
222
11
3
1
3
1
2
1
2
1
11
nn
,
这是交错级数,有
) (,0 ??? nu
n, 但该级数发散, 因为否则应有级数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
11
n
nn
收敛, 而 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
11
n
nn
???
,
由该例可见,在 Leibniz 判别法中,条件
n
u
单调是不可少的,
例 4 判断级数
?? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? 1
1
1
1
13
1
13
1
12
1
12
1
nn
的敛散性,
2010-5-21 44
解 从首项开始,顺次把两项括在一起,注意到
1
2
1
1
1
1
?
?
?
?
? nnn
,以及
级数 ?
n
2
???
,
?
所论级数发散,
例 5 设级数 ? n
na
收敛, 证明级数 ? n
a
收敛,
证
n
naa
nn
1
??, 由 Abel 或 Dirichlet 判法,
?
? n
a
收敛,
例 6
?kx ?
,判断级数 ?
?
? 1
2
s i n
n
n
nx
的敛散性,
解
n
nx
nn
nx
n
nx
2
2co s
2
1
2
2co s1s i n
2
??
?
?
,
?
n2
1
???
,现证 级数 ?
?
? 1
2
2c os
n
n
nx
收敛, 因
?kx ?
时
2010-5-21 45
|s i n|
1
)2(co s2co s
11
x
xkkx
n
k
n
k
?? ??
??
,
又
n2
1
↘
0
,由 Dirichlet 判法,
?
级数 ?
?
? 1
2
2cos
n
n
nx
收敛,
故本题所论级数发散,
例 7 判断级数 ) (
s i n
1
?kx
n
nx
n
??
?
?
的绝对收敛性,
解 由 Dirichlet 判法,得级数收敛, 但
n
nx
nn
nx
n
nx
2
2co s
2
1s i ns i n
2
???
,
仿例 6 讨论,知本题所论级数条件收敛,
例 8 设级数
? ?? )( 1nn aa
绝对收敛,
? nb
收敛, 证明级数
? nn ba
收敛,
2010-5-21 46
证 先证数列 }{
n
a 收敛, 事实上,
?
?
?
???
n
i
nii
aaaa
1
01
)( 收敛,}{
n
a 收 敛,
令 ?
?
?
n
i
in
bB
1
,则数列 }{
n
B 收敛,故有界, 设 MB
n
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例 9 设数列 }{
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收敛, 证明级数
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收敛
2010-5-21 47
证 注意到 ? ?
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例 10 设 0
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收敛,
证法一 由 0na,?
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因此,所论级数是 Leibniz 型级数,故收敛,
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由 Dirichlet 判法 ?
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收敛,
