第 十 章 定 积 分 的 应 用
§ 1 平 面 图 形 的 面 积
教学内容,平面 图 形面 积 的 计 算
教学目的,理解定 积 分的意 义 ；
学会、掌握微元法 处 理 问题 的基本思想
熟 记 平面 图 形面 积 的 计 算公式。
直角坐 标 系下平面 图 形的面 积,
由定 积 分的几何意 义, 连续 曲 线 )0()( ?? xfy 与直
线 xabbxax,)(,??? 轴 所 围 成
的 曲 边 梯形的面 积为
?
?
b
a
dxxfA )(
若 )( xfy ? 在 ],[ ba 上不都是非 负 的,
b
?
?
b
a
dxxfA |)(|
一般的，有两条 连续 曲 线 )(,)(
2211
xfyxfy ?? 及直 线
)(,abbxax ??? 所 围 成的平面 图 形的面 积为
?
??
b
a
dxxfxfA )]()([
12
?
??
d
c
dyygygA )]()([
12
1, 简单图 形,?X 型和 ?Y 型平面 图 形,
简单图 形的面 积, 给 出 ?X 型和 ?Y 型平面 图 形的面 积 公式, 对 2
1, 由曲 线 0),( ?yxF 和 0),( ?yxG 围 成的所 谓,两 线 型” 图 形,介
绍 面 积计 算 步骤,
注意利用 图 形的几何特征 简 化 计 算, ( 参 阅 [4]P232 — 240 E86 — 93 )
例 1 求抛物线 xy ?
2
与直线 032 ??? yx 所围的平面图形的
面积,
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
所给的区域不是一个规范的 x - 区域,如图需将其切成两块,即可化
成 x - 形区域的面积问题
第一块的面积等于
int('2*sqrt(x)','x',0,1)
ans = 4/3
3
4
2)]([
1
0
1
0
1
?????
??
dxxdxxxA
第二 块的面积等于
int('sqrt(x) - (x - 3)/2','x',1,9)
ans = 28/3
28/3+4/3
ans = 10.6667
?
?
?
??
9
1
2
3
28
)
2
3
( dx
x
xA
总面积
3
2
10
21
??? AAA
我们也可以把图形看成 y - 形区域计算其面积
int(' - y^2+2*y+3','y',- 1,3)
ans = 32/3
例 2 求由曲 线 2,0,1 ???? xyxxy 围 成的平面 图 形的面 积,
例 3 求由抛物 线 xy ?
2
与直 线 032 ??? yx 所 围 平面 图 形的面 积,
1, 参数方程下曲 边 梯形的面 积 公式,设 区 间 ],[ ba 上的曲 边 梯形的曲
边 由方程, 由参量方程表示 ?? ???? ttyytxx )(,)(
且 )(,)( tytx 在 ],[ ?? 上 连续, )(,)( ?? xbxa ??, 0)( ?? tx （ 对 于
0)( ?? tx 或 0)( ?? ty 的情况 类 似 讨论 ）。
dttxtydxtyS
??
???
?
?
?
?
)(|)(||)(|
计 算中，主要的困 难 是上下限的确定。上下限的确定通常有两 种 方法,
1 ） 具体 计 算 时 常利用 图 形的几何特征,
2 ）从 参数方程 )(,)( tyytxx ?? 定 义 域的分析确定
例 2 求摆线 0,)c os1(,)s i n( ????? atayttax 的一拱与 x
轴所围的平面图形的面积
由图看出,0?t 对应原点 (0,0 ),?2?t 对应一拱的终点
)0,2( ?a 所以其面积为
?? ?????? ?? 2
0
22
2
0
)c o s1(])s i n()[c o s1( dttadtttataA
i
rr ?
i
?? ?
i
??
ii
rrr ???
A
o
D
int('a^2*(1 - cos(t))^2',0,2*pi)
ans = 3*pi*a^2
例 2 求由曲线
43
1,tyttx ???? 所围图形的面积, ( cd3 )
由图看出,积分的上下限应为 t 从 – 1 到 1,其面积为,
??
??
?????
1
1
33
1
1
)4)(1()()( dttttdttytxA
极坐 标 下平面 图 形的面 积,
若曲线是极坐标方 程
???? ???,)(rr
?
??
?
???
??
?
?
??
??
drS
rSS
n
i
n
i
i
)(
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
)(???r
?
Ao
D
?
?
?
)(2 ???r)(1 ???r
A
o
DD
和参数方程一 样,极坐 标 情况面 积 的 计 算主要困 难 是 积 分上下限的确
定。 确定上下限方法通常也是
1 ）利用 图 象； 2 ）分析 )(?rr ? 定 义 域
A
D
o ?
?
)(2 ???r)(
1 ???r
????? drr ])()([21 2
1
2122? ?
A
D
o
??
)(2 ???r
)(1 ???r
? ? ??20 2 )(21 dr
D
A
)(???r
o
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
例 3 求双扭线 ?2c os
22
ar ?
围成的平面图形的面积
解 先看一下双纽线 的图象,
t=0:pi/50:2*pi;
r=sqrt(cos(2*t));
r1=real(r);
polar(t,r1,'r' )
它由两支，因 ]4/,4/[02c os0
2
???? ??????r,所以双扭线
?2c os
22
ar ? 所围成的平面图形的面积 为
????
?
?
?
?
dadrS 2c os)(
2
1
2
4/
4/
2
4/
4/
2
??
??
???
int('a^2*cos(2*x)',- pi/4,pi/4)
ans = a^2
例 1 求 曲线 )(2)(
222222
yxayx ??? 与
222
ayx ?? 所围部分的面
积
例 2,三叶形曲 线 )0(3s i n ?? aar ? 所围成的平面图形的面积
解 先用 Matlab 画出 三叶形曲 线 )0(3s i n ?? aar ? 的图形
t=0:pi/50:2*pi; r= sin(3 *t); r1=real(r);
polar(t,r1,'r' )
0, 2
0, 4
0, 6
0,8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
33 0
18 0 0
a b
S(x)
x
计算所围成的面积 ????
??
dadrS 3s i n
2
3
)(
2
1
3
3/
0
2
3/
0
2
??
???
int(' 1,5* sin( 3*t)',0,pi/3)
ans =1,
§ 2 由平行 截面面 积 体 积
上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，
导出了极坐标下平面图形的面积公式,
?
?
?
?
?? drS )(
2
1
2
现在我们看下面一个空间立体，假设
我们知道它在 x 处截面面积为 S(x),
可 否利用类似于上节极坐标下推导面积公式
的思想求出它的体积？
x
y
z
o
RR
R
可 否利用类似于上节极坐标下推导面积公式 的思想求出它的体积？
如果像切 红 薯片一 样,把它切成薄
片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体
积加在一起就近似等于该立体的体积。即
? ?
? ?
??
n
i
n
i
iii
xxSV
1 1
)(
由此可得
?
?
b
a
dxxSV )(
这 里，体 积 的 计 算的 关键 是求截面面 积 S(x),
常用的方法先画出草图，分析图象求出 S(x)
例 1 求两圆柱
222222
,azxayx ????
所围的立体体积
x
y
z
o
R
R
R
所围的立体体积
先画出两圆柱的图象，图中看到的是
所求立体的八分之一的图像,该立体被平面 ??x （因 为 两 圆 柱半径相同）
所截的截面,是一个边长为
22
??a 的正方
形,所以截面面积
22
)( ?? ?? aS,考虑到是 8 个卦限，所以有
int('8*(a^2 - x^2)',0,'a')
ans = 16/3*a^3
3
0
22
3
16
)(8 adxxaV
a
???
?
再看一个例题
例 2 求椭圆柱
x
y
10cm
5cm
8cm
与坐标面 0?z,斜面 )0(,
2
?? z
y
z,所围部分的体积,
由图可以看出,底面椭圆方程是,
4
25
1001
10016
2
2
22
x
y
yx
?????
截面是与 yz 平面平行的三角形 。
截面 1 （兰）三角形面积等于 25 ；
截面 2 （红）三角形的底边平方
4
25
100
2
2
x
y ?? ；
因两三角形相似 ?
16
25
25
4
)(
,
10025
)(
22
2
xy
xS
yxS
???
?
? ?? 4
0
2 )
161(252 dx
xV
int('50*(1 - (x^2)/16)',0,4)
ans =400/3
例 3 )0(,)c os1( ??? aar ? 绕
极轴旋转所得的体积
若对心脏线作如图所示的次分割,
则每个小扇形旋转可看作小球带锥,其
对应的球带宽度
ii
r ?? 球带半径为
ii
r ?s i n 从而所以球带面积为
iiii
rr ??? ?s i n2
整个旋转体体积为
? ?
???
? ?
???
?
????
0 0
333
s i n)c os1(
3
2
s i n)(2
3
1
dadrV
dxxfxfDA |)()(| 21 ??
分 为,
xys
xxSV
xyS
?????
???
???
21
)(
||
§ 1 平 面 图 形 的 面 积
教学内容,平面 图 形面 积 的 计 算
教学目的,理解定 积 分的意 义 ；
学会、掌握微元法 处 理 问题 的基本思想
熟 记 平面 图 形面 积 的 计 算公式。
直角坐 标 系下平面 图 形的面 积,
由定 积 分的几何意 义, 连续 曲 线 )0()( ?? xfy 与直
线 xabbxax,)(,??? 轴 所 围 成
的 曲 边 梯形的面 积为
?
?
b
a
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若 )( xfy ? 在 ],[ ba 上不都是非 负 的,
b
?
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b
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一般的，有两条 连续 曲 线 )(,)(
2211
xfyxfy ?? 及直 线
)(,abbxax ??? 所 围 成的平面 图 形的面 积为
?
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b
a
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12
?
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d
c
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12
1, 简单图 形,?X 型和 ?Y 型平面 图 形,
简单图 形的面 积, 给 出 ?X 型和 ?Y 型平面 图 形的面 积 公式, 对 2
1, 由曲 线 0),( ?yxF 和 0),( ?yxG 围 成的所 谓,两 线 型” 图 形,介
绍 面 积计 算 步骤,
注意利用 图 形的几何特征 简 化 计 算, ( 参 阅 [4]P232 — 240 E86 — 93 )
例 1 求抛物线 xy ?
2
与直线 032 ??? yx 所围的平面图形的
面积,
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
所给的区域不是一个规范的 x - 区域,如图需将其切成两块,即可化
成 x - 形区域的面积问题
第一块的面积等于
int('2*sqrt(x)','x',0,1)
ans = 4/3
3
4
2)]([
1
0
1
0
1
?????
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dxxdxxxA
第二 块的面积等于
int('sqrt(x) - (x - 3)/2','x',1,9)
ans = 28/3
28/3+4/3
ans = 10.6667
?
?
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9
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2
3
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)
2
3
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x
xA
总面积
3
2
10
21
??? AAA
我们也可以把图形看成 y - 形区域计算其面积
int(' - y^2+2*y+3','y',- 1,3)
ans = 32/3
例 2 求由曲 线 2,0,1 ???? xyxxy 围 成的平面 图 形的面 积,
例 3 求由抛物 线 xy ?
2
与直 线 032 ??? yx 所 围 平面 图 形的面 积,
1, 参数方程下曲 边 梯形的面 积 公式,设 区 间 ],[ ba 上的曲 边 梯形的曲
边 由方程, 由参量方程表示 ?? ???? ttyytxx )(,)(
且 )(,)( tytx 在 ],[ ?? 上 连续, )(,)( ?? xbxa ??, 0)( ?? tx （ 对 于
0)( ?? tx 或 0)( ?? ty 的情况 类 似 讨论 ）。
dttxtydxtyS
??
???
?
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)(|)(||)(|
计 算中，主要的困 难 是上下限的确定。上下限的确定通常有两 种 方法,
1 ） 具体 计 算 时 常利用 图 形的几何特征,
2 ）从 参数方程 )(,)( tyytxx ?? 定 义 域的分析确定
例 2 求摆线 0,)c os1(,)s i n( ????? atayttax 的一拱与 x
轴所围的平面图形的面积
由图看出,0?t 对应原点 (0,0 ),?2?t 对应一拱的终点
)0,2( ?a 所以其面积为
?? ?????? ?? 2
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22
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int('a^2*(1 - cos(t))^2',0,2*pi)
ans = 3*pi*a^2
例 2 求由曲线
43
1,tyttx ???? 所围图形的面积, ( cd3 )
由图看出,积分的上下限应为 t 从 – 1 到 1,其面积为,
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极坐 标 下平面 图 形的面 积,
若曲线是极坐标方 程
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和参数方程一 样,极坐 标 情况面 积 的 计 算主要困 难 是 积 分上下限的确
定。 确定上下限方法通常也是
1 ）利用 图 象； 2 ）分析 )(?rr ? 定 义 域
A
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A
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A
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150
330
180 0
例 3 求双扭线 ?2c os
22
ar ?
围成的平面图形的面积
解 先看一下双纽线 的图象,
t=0:pi/50:2*pi;
r=sqrt(cos(2*t));
r1=real(r);
polar(t,r1,'r' )
它由两支，因 ]4/,4/[02c os0
2
???? ??????r,所以双扭线
?2c os
22
ar ? 所围成的平面图形的面积 为
????
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2
1
2
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int('a^2*cos(2*x)',- pi/4,pi/4)
ans = a^2
例 1 求 曲线 )(2)(
222222
yxayx ??? 与
222
ayx ?? 所围部分的面
积
例 2,三叶形曲 线 )0(3s i n ?? aar ? 所围成的平面图形的面积
解 先用 Matlab 画出 三叶形曲 线 )0(3s i n ?? aar ? 的图形
t=0:pi/50:2*pi; r= sin(3 *t); r1=real(r);
polar(t,r1,'r' )
0, 2
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1
30
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a b
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计算所围成的面积 ????
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int(' 1,5* sin( 3*t)',0,pi/3)
ans =1,
§ 2 由平行 截面面 积 体 积
上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，
导出了极坐标下平面图形的面积公式,
?
?
?
?
?? drS )(
2
1
2
现在我们看下面一个空间立体，假设
我们知道它在 x 处截面面积为 S(x),
可 否利用类似于上节极坐标下推导面积公式
的思想求出它的体积？
x
y
z
o
RR
R
可 否利用类似于上节极坐标下推导面积公式 的思想求出它的体积？
如果像切 红 薯片一 样,把它切成薄
片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体
积加在一起就近似等于该立体的体积。即
? ?
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1 1
)(
由此可得
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这 里，体 积 的 计 算的 关键 是求截面面 积 S(x),
常用的方法先画出草图，分析图象求出 S(x)
例 1 求两圆柱
222222
,azxayx ????
所围的立体体积
x
y
z
o
R
R
R
所围的立体体积
先画出两圆柱的图象，图中看到的是
所求立体的八分之一的图像,该立体被平面 ??x （因 为 两 圆 柱半径相同）
所截的截面,是一个边长为
22
??a 的正方
形,所以截面面积
22
)( ?? ?? aS,考虑到是 8 个卦限，所以有
int('8*(a^2 - x^2)',0,'a')
ans = 16/3*a^3
3
0
22
3
16
)(8 adxxaV
a
???
?
再看一个例题
例 2 求椭圆柱
x
y
10cm
5cm
8cm
与坐标面 0?z,斜面 )0(,
2
?? z
y
z,所围部分的体积,
由图可以看出,底面椭圆方程是,
4
25
1001
10016
2
2
22
x
y
yx
?????
截面是与 yz 平面平行的三角形 。
截面 1 （兰）三角形面积等于 25 ；
截面 2 （红）三角形的底边平方
4
25
100
2
2
x
y ?? ；
因两三角形相似 ?
16
25
25
4
)(
,
10025
)(
22
2
xy
xS
yxS
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2 )
161(252 dx
xV
int('50*(1 - (x^2)/16)',0,4)
ans =400/3
例 3 )0(,)c os1( ??? aar ? 绕
极轴旋转所得的体积
若对心脏线作如图所示的次分割,
则每个小扇形旋转可看作小球带锥,其
对应的球带宽度
ii
r ?? 球带半径为
ii
r ?s i n 从而所以球带面积为
iiii
rr ??? ?s i n2
整个旋转体体积为
? ?
???
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333
s i n)c os1(
3
2
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3
1
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分 为,
xys
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21
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