2010-5-21 1
第十三章 函数列与函数项级数
一 函数列及其一致收敛性
对定义在区间 I 上的函数列 Exxf
n
?},)({,设 Ex ?
0
，若数列 })({
0
xf
n
收
敛，则称函数列 })({ xf
n
在点
0
x 收敛，
0
x 称为函数列 })({ xf
n
收敛点；若数列
})({
0
xf
n
发散，则称函数列 })({ xf
n
在点
0
x 发散。
使函数列 })({ xf
n
收敛的全体收敛点集合称为函数列 })({ xf
n
收敛域（ 注
意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列 })({ xf
n
在数集 ED ? 上每一点都收敛，则称函数列 })({ xf
n
在数
集 D 上收敛，这时 D 上每一点 x,都有函数列的一个极限值
)()(lim xfxf
n
n
?
??
2010-5-21 2
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列 })({ xf
n
的极限函数。
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” ) 的,N??,定义,
例 1 对定义在 ),( ???? 内的等比函数列 )( xf
n
?
n
x,用,N??,定义
验证其收敛域为 ] 1,1 ( ?,且
??n
lim )( xf
n
?
??n
lim
n
x ?
?
?
?
?
?
,1,1
,1 ||,0
x
x
例 2 )( xf
n
?
n
nxsin
,用,N??,定义验证在 ),( ???? 内
??n
lim )( xf
n
? 0,
函数列的一致收敛性,
设函数列 })({ xf
n
在 E 上收敛于 )( xf,若对任意的 0??,存在自然数
)( ?NN ?,当 Nn ? 时，对 E 中一切 x 都有
2010-5-21 3
??? )()( xfxf
n
则称函数列 )}({ xf
n
在 E 上一致收敛于 )( xf 。
注意 这里的 N 只与 ? 有关，与 x 无关，这一点是一致收敛与逐点收
敛的本质区别。
一致收敛的几何意义
对任给的 ? - 带 }|)(|;),({ ??? xfyyx,总存在一个 N, Nn ? 时,)( xf
n
的图
形全部落入这个 ? - 带内。
一致收敛情况图示
2010-5-21 4
对任意 0??, n 充分大时,)( xf
n
将全部落入 ? －带以内。
)}({ xf
n
收敛但不一致收敛的几何意义,
对任意 Dx ?, )()(lim xfxf
n
n
?
??
，但存在一个 0
0
??,对任意的 N,都可
找到一个
0
n,尽管 Nn ?
0
，但 )(
0
xf
n
总有一部分落在
0
? 带以外。
f(x)
fn(x)
2010-5-21 5
例 证明函数列
22
1
)(
xn
nx
xf
n
?
? 在 ]1,0[ 上收敛但不一致收敛
证明 1 ）函数列在 ]1,0[ 上收敛。
显然 对任意的 ]1,0[?x, 0)(
21
?
?
?
nx
n
xf
n
n
2 ）但 )( xf
n
不一致收敛于 0
f(x)
fn(x)
2010-5-21 6
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n ＝ 8, 20, 50 的情况）
c lf,x= 0,1/1 00,1;
y 1= 8*x,/ (1+ 6 4 *x,^2) ;
y 2= 20* x,/(1 +4 00* x.^ 2) ;
y 3= 50* x,/(1 +2 500 *x,^2 );
plo t( x,y 1,x,y 2,x,y 3,'l ine wi dth ',2 )
h ol d o n
p lo t([ - 0,1,1],[0,0],' b ',[0,0 ],[ - 0,1,0.6 ],' b ')
a xi s([ - 0,1,1,2,- 0.1,0,6 ])
l eg end (' y1,n= 8','y2,n =2 0','y 3,n =5 0')
2010-5-21 7
可以看出，对于 5.0
0
??,无论 n 再大,)( xf
n
的图象总有一部分落在
0
?
－带以外。
事实上存在
n
x
n
1
0
?,
000
.2
1
|)()(| ???? xfxf
nn
,
0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 1, 2
- 0, 1
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
y 1,n = 8
y 2,n = 2 0
y 3,n = 5 0
2010-5-21 8
所以该函数列是不一致收敛的。
例 函数列 }{
n
x 在 ]1,0[ 上不一致收敛，但在 1,],0[ ??? 上一致收敛。
先看看该函数列的图象
c l f,x = 0, 1 / 1 0 0,1;
y 1 = x, ^ 4 ; y 2 = x, ^ 1 0 ; y 3 = x, ^ 5 0 ;
p l o t ( x,y 1,x,y 2,x,y 3,' l i n e w i d t h ',2 )
2010-5-21 9
对于 1
0
??,不管 n 再大，
n
x 的图象总有一部分落在
0
? －带以外 。
事实上,我们容易看出
n
en
n
???
1
)
1
1( 充分大时，
3
1
)
1
1( ??
n
n
所以该函数列在 ]1,0[ 上不一致收
敛。
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9
1
2010-5-21 10
再看看该函数列在 1,],0[ ??? 上的图象
c lf,x= 0,1/1 00,0,7 ;
y 1= x.^ 13 ;y2 =x,^ 18 ;y 3= x,^20 ;
p lo t(x,y 1,x,y 2,x,y3,' b','l in ewi dt h',2),ho ld on
p lo t([ 0,0.7 ],[0,0],'r ',[0,0],[ - 0,02,0,0 2],' r')
p lo t([ 0,0.7 ],[0,005,0,0 05],' m')
a xi s([ 0,0,7 1,- 0,01,0,0 2 ])
2010-5-21 11
对任意的 0??,总存在 N,当 n> N 时,nx 的图象将全部落入 ? －带之
内。 事实上,nn xf ??? )(0, 所以，该函数列在 1,],0[ ??? 上是一致收敛。
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7
- 0, 0 1
- 0, 0 0 5
0
0, 0 0 5
0, 0 1
0, 0 1 5
0, 0 2
2010-5-21 12
函数项级数及其 一致收敛 性
定理 13, 1 ( 一致收敛的 C a u c h y 准则 ) 函数列 Dxxf
n
?,)}({ 一致收敛
的充分必要条件是：对任意 0??,存在某一自然数 N,当 Nmn ?,时，对
一切 Dx ?,都有 ??? |)()(| xfxf
mn
证 )? ( 利用式,ffffff
nmnm
????? )
)? 易见逐点收敛, 设
??n
lim )( xf
n
? )( xf,??,有
2
|)()(|
?
?? xfxf
nm
,
令 ??m,? ?
?
???
2
|)()(| xfxf
n
对 ?? x D 成立,即 )( xf
n
? ??
? ??
)( xf,
) ( ??n, ?x D,
2010-5-21 13
定理 13, 2 函数列 Dxxf
n
?,)}({ 一致收敛的充分必要条件是,
0|)()(|suplim ??
?
??
xfxf
n
Dx
n
推论 设在数集 D 上 )( xf
n
? )( xf,) ( ??n, 若存在数列 }{
n
x ? D,使
0 |)()(| ???
nnn
xfxf,则函数列 )}({ xf
n
在数集 D 上非一致收敛,
应用此判断函数列 )}({ xf
n
在数集 D 上非一致收敛时,常作辅助函数
?)( xF
n
)( xf
n
― )( xf 取在 }{
n
x 为数集 D 上的最值点,
例 7 对定义在区间 ] 1,0 [ 上的函数列
2010-5-21 14
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
?
,1
1
,0
),,2,1 (,
1
2
1
,22
,
2
1
0,2
)(
2
2
x
n
n
n
x
n
xnn
n
xxn
xf
n
?
证明,
??n
lim )( xf
n
? 0,但在 ] 1,0 [ 上不一致收敛,
证 10 ?? x 时,只 要
1?
? xn,就有 )( xf
n
? 0, 因此,在 ] 1,0 ( 上有
)( xf ?
??n
lim )( xf
n
? 0, 0)0( ?
n
f,? )0(f ?
??n
lim )0(
n
f ? 0,
于是,在 ] 1,0 [ 上有 )( xf ?
??n
lim )( xf
n
? 0, 但由于
0
2
1
|)()(|max
]1,0[
????
?
?
?
?
?
??
?
n
n
fxfxf
nn
x
,) ( ??n,
因此,该函数列在 ] 1,0 [ 上不一致收敛,
2010-5-21 15
例 判别下面函数列在区间 ]1,0[ 上的一致收敛性
1 ) }
1
{
xn
nx
??
2 ) })1({
n
xnx ?
解 1 ） x
xn1
nx
lim)( ?
??
?
??n
xf
nxn
xx
x
xn
nx
xfxf
n
2
|
1
)1(
|sup|
1
|sup|)()(|sup ?
??
?
??
??
??
0|)()(|suplim ??
??
xfxf
n
n
所以，函数列 }
1
{
xn
nx
??
在区间 ]1,0[ 上一致收敛。
2 ）
?
?
?
?
?
???
?
???
??
?? 0,0)]1([lim
0,0
)1(lim)(
xxnx
x
xnxxf
nn
n
n
n
求极大点方法可求得
2010-5-21 16
1
)
1
1
1(|)1(|sup|)()(|sup
?
?
?????
nn
n
n
xnxxfxf
0
1
|)()(|sup lim ???
??
e
xfxf
n
n
函数列 })1({
n
xnx ? 在 ]1,0[ 上不一致收敛。
例 )( xf
n
22
2
2
xn
xen
?
?, 证明在 R 内 )( xf
n
? 0,但不一致收敛,
证 显然有 )( xf
n
? 0,|)()(| xfxf
n
? ? )( xf
n
在点
n
x ?
n2
1
处取得极
大值 02
2
1
2
1
????
?
?
?
?
?
?
ne
n
f
n
,) ( ??n, )}({ xf
n
不一致收敛,
例 6
22
1
)(
xn
x
xS
n
?
?, 证明在 ),( ???? 内 )( xS
n
? ??
? ??
0,) ( ??n,
证 易见
??n
lim,0)()( ?? xSxS
n
而
2010-5-21 17
nnx
xn
nxn
x
xSxS
n
2
1
)(1
||2
2
1
1
||
|)()(|
222
?
?
??
?
?? 在 ),( ???? 内成立,
? ??
二 函数项级数及其一致收敛性
我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去
认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，
且和的导数等于每个函数的导数的和；有限个可积函数的和是可积的，且
和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具
有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可 积性
呢？一般来说，这是不行的！
2010-5-21 18
例 讨论
?
?
? 1n
n
x 的收敛域
由几何级数的敛散性,1|| ?x 时
?
?
? 1n
n
x 收敛,1|| ?x 时
?
?
? 1n
n
x 发散,所
以
?
?
? 1n
n
x 的收敛域为 )1,1( ?
例 讨论级数
?
?
? 1
2
sin
n
n
n
x
收敛域
22
1
|
sin
|
nn
x
n
?,所以级数
?
?
? 1
2
sin
n
n
n
x
收敛域为 ),( ????
一致收敛性概念
2010-5-21 19
例 函数项级数
?
?
?
?
??
2
1
)(
n
nn
xxx 每一项 在 ]1,0[ 上都是连续的,而
其部分和为
n
n
xxS ?)(,从而
?
?
?
?
??
??
??
.1,1
,10,0
)(lim)(
x
x
xSxS
n
n
在 ]1,0[ 上却是不连续的。
c l f,x = 0, 1 / 1 0 0, 1 ;
n = 2, 2, 8 ;
y 1 = x, ^ 2 ; y 2 = x, ^ 4 ; y 3 = x, ^ 6 ; y 4 = x, ^ 1 0 0 ;
p l o t ( x,y 1,x,y 2,x,y 3,' b ',x,y 4,' r ',' l i n e w i d t h ',2 )
2010-5-21 20
那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积
性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念
－一致收敛性。
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9
1
2010-5-21 21
函数级数 一致收敛判别法,
定理 13, 3 ( 柯西准则 ) 函数级数
?
?
? 1
)(
n
n
xu 在区间 I 一致收敛 ?
IxNpNnN ????????,,,,0? 有
???
?
|)()(| xSxS
npn
或
?????
?
|)()()(|
1
xuxuxu
nmm
?
定理 13, 4 函数项级数
?
?
? 1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛于 )( xS 的充分必要条件
是,0|)()(|suplim ??
?
??
xSxS
n
Dx
n
2010-5-21 22
例 讨论函数级数
?
?
?
?
?
?
1
1
)
1
(
n
nn
n
x
n
x
在区间 ]1,1[ ? 上的一致收敛性
0
1
2
|
11
|
|
121
|||
11
121
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
???
?????
?
npn
x
n
x
pn
x
pn
x
n
x
n
x
SS
pnn
pnpnnn
npn
?
所以,函数级数
?
?
?
?
?
?
1
1
)
1
(
n
nn
n
x
n
x
在区间 ]1,1[ ? 上一致收敛性
一般来说,柯西准则用起来不大方便,下面给出一个较简便的判别方
法
2010-5-21 23
定理 13, 5 ( W e i e r s t r a s s 判别法 ) 设级数
?
)( xu
n
定义在区间 D 上,
? n
M 是收敛的正项级数, 若当 n 充分大时,对 ?? x D 有 | |)( xu
n n
M?,则
?
在 D 上一致收敛,
证,|)(| )(
1 111
? ???
? ?
?
?
??
?
?
???
p
i
p
i
in
p
i
inin
p
i
in
MMxuxu 然后用 C a u c h y 准则,
亦称此判别法为优级数判别法, 称满足该定理条件的正项级数
? n
M 是级
数
?
)( xu
n
的一个优级数, 于是 T h 4 可以叙述为, 若级数
?
)( xu
n
在区间 D
上存在优级数,则级数
?
)( xu
n
在区间 D 上一致收敛, 应用时,常可试取
|})({|sup xuM
n
Dx
n
?
?, 但应注意,级数
?
)( xu
n
在区间 D 上不存在优级数,?? 级
数
?
)( xu
n
在区间 D 上非一致收敛,
2010-5-21 24
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别
所在,
例 证明
?
?
?
?
1
24
1
n
xn
x
在 R 上一致收敛,
因为
?
?
?
??
?
1
22224
2
1
,
2
1
||2
||
|
1
|
n
nnxn
x
xn
x
收敛,由 M 判别法
?
?
?
?
1
24
1
n
xn
x
在 R 上一致收敛,
凡是 M 判别法判别的必然是绝对收敛,一致收敛的,对于条件收敛级
数,不能用 M 判别法判定, 下面介绍两个条件收敛,一致收敛的判别法
2010-5-21 25
定理 13, 6 ( 阿贝尔判别法 ) 若函数列 })({ xa
n
在区间 I 单调一致有界,
且函数级数
?
?
? 1
)(
n
n
xb 在区间 I 一致收敛,则函数级数
?
?
? 1
)()(
n
nn
xbxa 在区间 I 一
致收敛,
注意两个定理的条件的区别,
定理 13, 7 ( 狄里克 雷判别法 ) 若函数列 })({ xa
n
在区间 I 单调递减一致
收敛于 0,且函数级数
?
?
? 1
)(
n
n
xb 的部分和函数列 )}({ xB
n
在区间 I 一致有界,
则函数级数
?
?
? 1
)()(
n
nn
xbxa 在区间 I 一致收敛,
2010-5-21 26
例 10 几何级数
?
?
? 0n
n
x 在区间 ],[ aa? )10( ?? a 上一致收敛；但在 ) 1,1( ? 内
非一致收敛,
证 在区间 ],[ aa? 上,有
0
11
sup|)()(|sup
],[],[
?
?
?
?
?
??
?? a
a
a
x
xSxS
nn
aa
n
aa
,) ( ??n,
?
?
一致收敛 ;
而在区间 ) 1,1( ? 内,取 ?
?
?
1n
n
x
n
) 1,1( ?,有
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
1
)1,1()1,1( 1
1
1
1
1
su p|)()(|su p
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
xSxS,) ( ??n,
2010-5-21 27
?
?
非一致收敛, ( 亦可由通项
n
n
xxu ?)( 在区间 ) 1,1( ? 内非一致收敛于
零 ?
?
非一致收敛,)
几何级数
?
?
? 0n
n
x 虽 然在区间 ) 1,1( ? 内非一致收敛,但在包含于 ) 1,1( ? 内的
任何闭区间上却一致收敛, 我们称这种情况为“闭一致收敛”, 因此,我
们说几何级数
?
?
? 0n
n
x 在区间 ) 1,1( ? 内闭一致收敛,
例 1 2 判断函数项级数
?
?
? in
n
nx
2
sin
和
?
?
? in
n
nx
2
cos
在 R 内的一致收敛性,
例 13 设 ),2,1 ( )( ??nxu
n
是区间 ],[ ba 上的单调函数, 试证明,
2010-5-21 28
若级数
?
)( au
n
与
?
)( bu
n
都绝对收敛,则级数
?
)( xu
n
在区间 ],[ ba 上绝对
并一致收敛,
留为作业, |)(||)(| |)(| buauxu
nnn
??, ??
例 14 判断函数项级数
?
?
??
1
)() 1(
n
nn
n
nx
在区间 ] 1,0 [ 上的一致收敛性,
解 记
n
n
n
n
n
x
xv
n
xu ?
?
?
?
?
?
??
?
? 1)(,
) 1(
)(, 则有 1 ） 级数
?
)( xu
n
收敛 ;
2 ） 对每个 ?x ] 1,0 [,)( xv
n
↗；
3 ） e
n
x
xv
n
n
??
?
?
?
?
?
?? 1|)(| 对 ? ?x ] 1,0 [
和 n? 成立, 由 A b e l 判别法,
?
在区间 ] 1,0 [ 上一致收敛,
2010-5-21 29
例 1 5 设数列 }{
n
a 单调收敛于零, 试证明, 级数
?
nxa
n
cos 在区
间 ] 2,[ ??? ? )0( ?? ?? 上一致收 敛,
证 在 ] 2,[ ??? ? 上有
2
1
2
sin2
1
2
1
|
2
sin|2
1
2
1
2
sin2
)
2
1
sin(
|cos|
1
?????
?
?
?
?
?xx
xn
kx
n
k
,
可见级数
?
nxcos 的部分和函数列在区间 ] 2,[ ??? ? 上一致有界, 取
nxxu
n
cos)( ?,
nn
axv ?)(, 就有级数
?
)( xu
n
的部分和函数列在区间
] 2,[ ??? ? 上一致有界,
2010-5-21 30
其实,在数列 }{ na 单调收敛于零的条件下,级数 ? nxa n c os 在不包含
),2,1,0 ( 2 ????kk ? 的 任何区间上都一致收敛,
而 函数列 )}({ xv n 对每一个 ?x ] 2,[ ??? ? 单调且一致收敛于零, 由 Di r ic h le t
判别法,级数 ? nxa n cos 在区间 ] 2,[ ??? ? 上一致收敛,
第十三章 函数列与函数项级数
一 函数列及其一致收敛性
对定义在区间 I 上的函数列 Exxf
n
?},)({,设 Ex ?
0
，若数列 })({
0
xf
n
收
敛，则称函数列 })({ xf
n
在点
0
x 收敛，
0
x 称为函数列 })({ xf
n
收敛点；若数列
})({
0
xf
n
发散，则称函数列 })({ xf
n
在点
0
x 发散。
使函数列 })({ xf
n
收敛的全体收敛点集合称为函数列 })({ xf
n
收敛域（ 注
意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列 })({ xf
n
在数集 ED ? 上每一点都收敛，则称函数列 })({ xf
n
在数
集 D 上收敛，这时 D 上每一点 x,都有函数列的一个极限值
)()(lim xfxf
n
n
?
??
2010-5-21 2
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列 })({ xf
n
的极限函数。
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” ) 的,N??,定义,
例 1 对定义在 ),( ???? 内的等比函数列 )( xf
n
?
n
x,用,N??,定义
验证其收敛域为 ] 1,1 ( ?,且
??n
lim )( xf
n
?
??n
lim
n
x ?
?
?
?
?
?
,1,1
,1 ||,0
x
x
例 2 )( xf
n
?
n
nxsin
,用,N??,定义验证在 ),( ???? 内
??n
lim )( xf
n
? 0,
函数列的一致收敛性,
设函数列 })({ xf
n
在 E 上收敛于 )( xf,若对任意的 0??,存在自然数
)( ?NN ?,当 Nn ? 时，对 E 中一切 x 都有
2010-5-21 3
??? )()( xfxf
n
则称函数列 )}({ xf
n
在 E 上一致收敛于 )( xf 。
注意 这里的 N 只与 ? 有关，与 x 无关，这一点是一致收敛与逐点收
敛的本质区别。
一致收敛的几何意义
对任给的 ? - 带 }|)(|;),({ ??? xfyyx,总存在一个 N, Nn ? 时,)( xf
n
的图
形全部落入这个 ? - 带内。
一致收敛情况图示
2010-5-21 4
对任意 0??, n 充分大时,)( xf
n
将全部落入 ? －带以内。
)}({ xf
n
收敛但不一致收敛的几何意义,
对任意 Dx ?, )()(lim xfxf
n
n
?
??
，但存在一个 0
0
??,对任意的 N,都可
找到一个
0
n,尽管 Nn ?
0
，但 )(
0
xf
n
总有一部分落在
0
? 带以外。
f(x)
fn(x)
2010-5-21 5
例 证明函数列
22
1
)(
xn
nx
xf
n
?
? 在 ]1,0[ 上收敛但不一致收敛
证明 1 ）函数列在 ]1,0[ 上收敛。
显然 对任意的 ]1,0[?x, 0)(
21
?
?
?
nx
n
xf
n
n
2 ）但 )( xf
n
不一致收敛于 0
f(x)
fn(x)
2010-5-21 6
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n ＝ 8, 20, 50 的情况）
c lf,x= 0,1/1 00,1;
y 1= 8*x,/ (1+ 6 4 *x,^2) ;
y 2= 20* x,/(1 +4 00* x.^ 2) ;
y 3= 50* x,/(1 +2 500 *x,^2 );
plo t( x,y 1,x,y 2,x,y 3,'l ine wi dth ',2 )
h ol d o n
p lo t([ - 0,1,1],[0,0],' b ',[0,0 ],[ - 0,1,0.6 ],' b ')
a xi s([ - 0,1,1,2,- 0.1,0,6 ])
l eg end (' y1,n= 8','y2,n =2 0','y 3,n =5 0')
2010-5-21 7
可以看出，对于 5.0
0
??,无论 n 再大,)( xf
n
的图象总有一部分落在
0
?
－带以外。
事实上存在
n
x
n
1
0
?,
000
.2
1
|)()(| ???? xfxf
nn
,
0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 1, 2
- 0, 1
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
y 1,n = 8
y 2,n = 2 0
y 3,n = 5 0
2010-5-21 8
所以该函数列是不一致收敛的。
例 函数列 }{
n
x 在 ]1,0[ 上不一致收敛，但在 1,],0[ ??? 上一致收敛。
先看看该函数列的图象
c l f,x = 0, 1 / 1 0 0,1;
y 1 = x, ^ 4 ; y 2 = x, ^ 1 0 ; y 3 = x, ^ 5 0 ;
p l o t ( x,y 1,x,y 2,x,y 3,' l i n e w i d t h ',2 )
2010-5-21 9
对于 1
0
??,不管 n 再大，
n
x 的图象总有一部分落在
0
? －带以外 。
事实上,我们容易看出
n
en
n
???
1
)
1
1( 充分大时，
3
1
)
1
1( ??
n
n
所以该函数列在 ]1,0[ 上不一致收
敛。
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9
1
2010-5-21 10
再看看该函数列在 1,],0[ ??? 上的图象
c lf,x= 0,1/1 00,0,7 ;
y 1= x.^ 13 ;y2 =x,^ 18 ;y 3= x,^20 ;
p lo t(x,y 1,x,y 2,x,y3,' b','l in ewi dt h',2),ho ld on
p lo t([ 0,0.7 ],[0,0],'r ',[0,0],[ - 0,02,0,0 2],' r')
p lo t([ 0,0.7 ],[0,005,0,0 05],' m')
a xi s([ 0,0,7 1,- 0,01,0,0 2 ])
2010-5-21 11
对任意的 0??,总存在 N,当 n> N 时,nx 的图象将全部落入 ? －带之
内。 事实上,nn xf ??? )(0, 所以，该函数列在 1,],0[ ??? 上是一致收敛。
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7
- 0, 0 1
- 0, 0 0 5
0
0, 0 0 5
0, 0 1
0, 0 1 5
0, 0 2
2010-5-21 12
函数项级数及其 一致收敛 性
定理 13, 1 ( 一致收敛的 C a u c h y 准则 ) 函数列 Dxxf
n
?,)}({ 一致收敛
的充分必要条件是：对任意 0??,存在某一自然数 N,当 Nmn ?,时，对
一切 Dx ?,都有 ??? |)()(| xfxf
mn
证 )? ( 利用式,ffffff
nmnm
????? )
)? 易见逐点收敛, 设
??n
lim )( xf
n
? )( xf,??,有
2
|)()(|
?
?? xfxf
nm
,
令 ??m,? ?
?
???
2
|)()(| xfxf
n
对 ?? x D 成立,即 )( xf
n
? ??
? ??
)( xf,
) ( ??n, ?x D,
2010-5-21 13
定理 13, 2 函数列 Dxxf
n
?,)}({ 一致收敛的充分必要条件是,
0|)()(|suplim ??
?
??
xfxf
n
Dx
n
推论 设在数集 D 上 )( xf
n
? )( xf,) ( ??n, 若存在数列 }{
n
x ? D,使
0 |)()(| ???
nnn
xfxf,则函数列 )}({ xf
n
在数集 D 上非一致收敛,
应用此判断函数列 )}({ xf
n
在数集 D 上非一致收敛时,常作辅助函数
?)( xF
n
)( xf
n
― )( xf 取在 }{
n
x 为数集 D 上的最值点,
例 7 对定义在区间 ] 1,0 [ 上的函数列
2010-5-21 14
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
?
,1
1
,0
),,2,1 (,
1
2
1
,22
,
2
1
0,2
)(
2
2
x
n
n
n
x
n
xnn
n
xxn
xf
n
?
证明,
??n
lim )( xf
n
? 0,但在 ] 1,0 [ 上不一致收敛,
证 10 ?? x 时,只 要
1?
? xn,就有 )( xf
n
? 0, 因此,在 ] 1,0 ( 上有
)( xf ?
??n
lim )( xf
n
? 0, 0)0( ?
n
f,? )0(f ?
??n
lim )0(
n
f ? 0,
于是,在 ] 1,0 [ 上有 )( xf ?
??n
lim )( xf
n
? 0, 但由于
0
2
1
|)()(|max
]1,0[
????
?
?
?
?
?
??
?
n
n
fxfxf
nn
x
,) ( ??n,
因此,该函数列在 ] 1,0 [ 上不一致收敛,
2010-5-21 15
例 判别下面函数列在区间 ]1,0[ 上的一致收敛性
1 ) }
1
{
xn
nx
??
2 ) })1({
n
xnx ?
解 1 ） x
xn1
nx
lim)( ?
??
?
??n
xf
nxn
xx
x
xn
nx
xfxf
n
2
|
1
)1(
|sup|
1
|sup|)()(|sup ?
??
?
??
??
??
0|)()(|suplim ??
??
xfxf
n
n
所以，函数列 }
1
{
xn
nx
??
在区间 ]1,0[ 上一致收敛。
2 ）
?
?
?
?
?
???
?
???
??
?? 0,0)]1([lim
0,0
)1(lim)(
xxnx
x
xnxxf
nn
n
n
n
求极大点方法可求得
2010-5-21 16
1
)
1
1
1(|)1(|sup|)()(|sup
?
?
?????
nn
n
n
xnxxfxf
0
1
|)()(|sup lim ???
??
e
xfxf
n
n
函数列 })1({
n
xnx ? 在 ]1,0[ 上不一致收敛。
例 )( xf
n
22
2
2
xn
xen
?
?, 证明在 R 内 )( xf
n
? 0,但不一致收敛,
证 显然有 )( xf
n
? 0,|)()(| xfxf
n
? ? )( xf
n
在点
n
x ?
n2
1
处取得极
大值 02
2
1
2
1
????
?
?
?
?
?
?
ne
n
f
n
,) ( ??n, )}({ xf
n
不一致收敛,
例 6
22
1
)(
xn
x
xS
n
?
?, 证明在 ),( ???? 内 )( xS
n
? ??
? ??
0,) ( ??n,
证 易见
??n
lim,0)()( ?? xSxS
n
而
2010-5-21 17
nnx
xn
nxn
x
xSxS
n
2
1
)(1
||2
2
1
1
||
|)()(|
222
?
?
??
?
?? 在 ),( ???? 内成立,
? ??
二 函数项级数及其一致收敛性
我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去
认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，
且和的导数等于每个函数的导数的和；有限个可积函数的和是可积的，且
和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具
有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可 积性
呢？一般来说，这是不行的！
2010-5-21 18
例 讨论
?
?
? 1n
n
x 的收敛域
由几何级数的敛散性,1|| ?x 时
?
?
? 1n
n
x 收敛,1|| ?x 时
?
?
? 1n
n
x 发散,所
以
?
?
? 1n
n
x 的收敛域为 )1,1( ?
例 讨论级数
?
?
? 1
2
sin
n
n
n
x
收敛域
22
1
|
sin
|
nn
x
n
?,所以级数
?
?
? 1
2
sin
n
n
n
x
收敛域为 ),( ????
一致收敛性概念
2010-5-21 19
例 函数项级数
?
?
?
?
??
2
1
)(
n
nn
xxx 每一项 在 ]1,0[ 上都是连续的,而
其部分和为
n
n
xxS ?)(,从而
?
?
?
?
??
??
??
.1,1
,10,0
)(lim)(
x
x
xSxS
n
n
在 ]1,0[ 上却是不连续的。
c l f,x = 0, 1 / 1 0 0, 1 ;
n = 2, 2, 8 ;
y 1 = x, ^ 2 ; y 2 = x, ^ 4 ; y 3 = x, ^ 6 ; y 4 = x, ^ 1 0 0 ;
p l o t ( x,y 1,x,y 2,x,y 3,' b ',x,y 4,' r ',' l i n e w i d t h ',2 )
2010-5-21 20
那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积
性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念
－一致收敛性。
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9
1
2010-5-21 21
函数级数 一致收敛判别法,
定理 13, 3 ( 柯西准则 ) 函数级数
?
?
? 1
)(
n
n
xu 在区间 I 一致收敛 ?
IxNpNnN ????????,,,,0? 有
???
?
|)()(| xSxS
npn
或
?????
?
|)()()(|
1
xuxuxu
nmm
?
定理 13, 4 函数项级数
?
?
? 1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛于 )( xS 的充分必要条件
是,0|)()(|suplim ??
?
??
xSxS
n
Dx
n
2010-5-21 22
例 讨论函数级数
?
?
?
?
?
?
1
1
)
1
(
n
nn
n
x
n
x
在区间 ]1,1[ ? 上的一致收敛性
0
1
2
|
11
|
|
121
|||
11
121
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
???
?????
?
npn
x
n
x
pn
x
pn
x
n
x
n
x
SS
pnn
pnpnnn
npn
?
所以,函数级数
?
?
?
?
?
?
1
1
)
1
(
n
nn
n
x
n
x
在区间 ]1,1[ ? 上一致收敛性
一般来说,柯西准则用起来不大方便,下面给出一个较简便的判别方
法
2010-5-21 23
定理 13, 5 ( W e i e r s t r a s s 判别法 ) 设级数
?
)( xu
n
定义在区间 D 上,
? n
M 是收敛的正项级数, 若当 n 充分大时,对 ?? x D 有 | |)( xu
n n
M?,则
?
在 D 上一致收敛,
证,|)(| )(
1 111
? ???
? ?
?
?
??
?
?
???
p
i
p
i
in
p
i
inin
p
i
in
MMxuxu 然后用 C a u c h y 准则,
亦称此判别法为优级数判别法, 称满足该定理条件的正项级数
? n
M 是级
数
?
)( xu
n
的一个优级数, 于是 T h 4 可以叙述为, 若级数
?
)( xu
n
在区间 D
上存在优级数,则级数
?
)( xu
n
在区间 D 上一致收敛, 应用时,常可试取
|})({|sup xuM
n
Dx
n
?
?, 但应注意,级数
?
)( xu
n
在区间 D 上不存在优级数,?? 级
数
?
)( xu
n
在区间 D 上非一致收敛,
2010-5-21 24
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别
所在,
例 证明
?
?
?
?
1
24
1
n
xn
x
在 R 上一致收敛,
因为
?
?
?
??
?
1
22224
2
1
,
2
1
||2
||
|
1
|
n
nnxn
x
xn
x
收敛,由 M 判别法
?
?
?
?
1
24
1
n
xn
x
在 R 上一致收敛,
凡是 M 判别法判别的必然是绝对收敛,一致收敛的,对于条件收敛级
数,不能用 M 判别法判定, 下面介绍两个条件收敛,一致收敛的判别法
2010-5-21 25
定理 13, 6 ( 阿贝尔判别法 ) 若函数列 })({ xa
n
在区间 I 单调一致有界,
且函数级数
?
?
? 1
)(
n
n
xb 在区间 I 一致收敛,则函数级数
?
?
? 1
)()(
n
nn
xbxa 在区间 I 一
致收敛,
注意两个定理的条件的区别,
定理 13, 7 ( 狄里克 雷判别法 ) 若函数列 })({ xa
n
在区间 I 单调递减一致
收敛于 0,且函数级数
?
?
? 1
)(
n
n
xb 的部分和函数列 )}({ xB
n
在区间 I 一致有界,
则函数级数
?
?
? 1
)()(
n
nn
xbxa 在区间 I 一致收敛,
2010-5-21 26
例 10 几何级数
?
?
? 0n
n
x 在区间 ],[ aa? )10( ?? a 上一致收敛；但在 ) 1,1( ? 内
非一致收敛,
证 在区间 ],[ aa? 上,有
0
11
sup|)()(|sup
],[],[
?
?
?
?
?
??
?? a
a
a
x
xSxS
nn
aa
n
aa
,) ( ??n,
?
?
一致收敛 ;
而在区间 ) 1,1( ? 内,取 ?
?
?
1n
n
x
n
) 1,1( ?,有
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
1
)1,1()1,1( 1
1
1
1
1
su p|)()(|su p
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
xSxS,) ( ??n,
2010-5-21 27
?
?
非一致收敛, ( 亦可由通项
n
n
xxu ?)( 在区间 ) 1,1( ? 内非一致收敛于
零 ?
?
非一致收敛,)
几何级数
?
?
? 0n
n
x 虽 然在区间 ) 1,1( ? 内非一致收敛,但在包含于 ) 1,1( ? 内的
任何闭区间上却一致收敛, 我们称这种情况为“闭一致收敛”, 因此,我
们说几何级数
?
?
? 0n
n
x 在区间 ) 1,1( ? 内闭一致收敛,
例 1 2 判断函数项级数
?
?
? in
n
nx
2
sin
和
?
?
? in
n
nx
2
cos
在 R 内的一致收敛性,
例 13 设 ),2,1 ( )( ??nxu
n
是区间 ],[ ba 上的单调函数, 试证明,
2010-5-21 28
若级数
?
)( au
n
与
?
)( bu
n
都绝对收敛,则级数
?
)( xu
n
在区间 ],[ ba 上绝对
并一致收敛,
留为作业, |)(||)(| |)(| buauxu
nnn
??, ??
例 14 判断函数项级数
?
?
??
1
)() 1(
n
nn
n
nx
在区间 ] 1,0 [ 上的一致收敛性,
解 记
n
n
n
n
n
x
xv
n
xu ?
?
?
?
?
?
??
?
? 1)(,
) 1(
)(, 则有 1 ） 级数
?
)( xu
n
收敛 ;
2 ） 对每个 ?x ] 1,0 [,)( xv
n
↗；
3 ） e
n
x
xv
n
n
??
?
?
?
?
?
?? 1|)(| 对 ? ?x ] 1,0 [
和 n? 成立, 由 A b e l 判别法,
?
在区间 ] 1,0 [ 上一致收敛,
2010-5-21 29
例 1 5 设数列 }{
n
a 单调收敛于零, 试证明, 级数
?
nxa
n
cos 在区
间 ] 2,[ ??? ? )0( ?? ?? 上一致收 敛,
证 在 ] 2,[ ??? ? 上有
2
1
2
sin2
1
2
1
|
2
sin|2
1
2
1
2
sin2
)
2
1
sin(
|cos|
1
?????
?
?
?
?
?xx
xn
kx
n
k
,
可见级数
?
nxcos 的部分和函数列在区间 ] 2,[ ??? ? 上一致有界, 取
nxxu
n
cos)( ?,
nn
axv ?)(, 就有级数
?
)( xu
n
的部分和函数列在区间
] 2,[ ??? ? 上一致有界,
2010-5-21 30
其实,在数列 }{ na 单调收敛于零的条件下,级数 ? nxa n c os 在不包含
),2,1,0 ( 2 ????kk ? 的 任何区间上都一致收敛,
而 函数列 )}({ xv n 对每一个 ?x ] 2,[ ??? ? 单调且一致收敛于零, 由 Di r ic h le t
判别法,级数 ? nxa n cos 在区间 ] 2,[ ??? ? 上一致收敛,
