1° 使学生初步掌握数列极限这一重要概念
的内涵与外延；
2° 使学生学会用定义证明极限的基本方法
3° 通过知识学习，加深对数学的抽象性特
点的认识；体验数学概念形成的抽象化思
维方法；体验数学“符号化”的意义及
“数
形结合”方法；
4° 了解我国古代数学家关于极限思想的论
述，增强爱国主义观念。
第二章数列极限
教学目标,
下页
我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去
研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我
们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就 事实上还没
有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 y ＝ f （ x ）
所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数
学的研究领域。极限是进入高等数学是钥匙和工具。我们从最简单的
也是最基本的数列极限开始研究。
1 数列极限的概念
课题引入
1 °予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
下页
2 °数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数
列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念
例 1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。
天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，
万世不竭 。”也就是说一根一尺 长的木棒，每
天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行
下去。将每天截后的木棒排成一
列,如图所示,其长度组成的数列为
?
?
?
?
?
?
n
2
1
,
n = 1 0 ; x = 0, n ; y = 1, / 2, ^ x ; x 1 = [ 0, n ] ; y 1 = 1, / 2, ^ x ;
l i n e ( [ x 1 ; x 1 ],[ 0 * x 1 ; y 1 ],' l i n e w i d t h ',5 )
a x i s ( [ - 1,n + 1,0,1, 1 ] )
下页
0 2 4 6 8 10
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
分析,1 °、
?
?
?
?
?
?
n
2
1
随 n 增大而 减 小，且无限接近于常数 0 ；
2 °数 轴 上描点，将其 形象 表示,
1
0 1 / 2
1 /4
- 1
下页
例 2 三国时期，我国科学家 刘徽 就提出了“割圆求周”的思想, 用
直径为 1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧
量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去,就得到一个（ 内
接多边形 的周长组成的） 数列,
E B
an
an+1
A
D
下页
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
????? 1,
4
2
2
r
a
rrDE
n
????
?
?
?
?
?
?
?
42
2
2
2
2
1
nn
n
a
DE
a
a
2
2
)
4
11(
n
a
?? = ?2
2
4
n
a? )
用 Matla b 计算
n
a 和图示如下,
clf,n= 5 ; t=0:2*pi/n:2*pi;
r=1*ones(size(t));
for i= 1, n;
for j=6*2^i ;
end
z= j *sin(pi./i) ;
end
polar(t,r);
下页
可以看出,随着 n 的无限增大,
n
a 无 限地接近圆的周长 ? 。 这
正如刘徽所说“割之弥细，所失弥小，割之又割，以之不可割，则与圆
合体而无所失矣”
这两个数列有一个共同的特征，都存在一个常数 A, 当 n 充分大
时,|| Aa
n
? 充分的小,即不管事先给多么 小的一个正数,比如 0,1,
0,01,0,00 1 ?,我们都能找到一个相应的自然数 N, 当 Nn ? 时
?,001.0,01.0,1.0|| ?? Aa
n
c l f,n = 3 0 ; k = 1, n ; a k = 1, / k ;
p l o t ( k,a k,' r, ' ),h o l d o n,
p l o t ( [ 0,n ],[ 0,0 ] )
a x i s ( [ 1,n,- 0, 5,1 ] )
下页
5 10 15 20 25 30
-0.5
0
0.5
1
下页
由此，可给出数列的定义,
对于数列 }{
n
a,设 A 是一个常数，若任给 0,??,都存在相
应的自 然数 NnN ?,时,??? Aa
n
,则称 A 为数列 }{
n
a 的
极限。
下面我们通过图示，对数列定义作几点说明,
二、数列 极限 定义
1 °将上述 实例 一般化可得,
对 数列 ? ?
n
a,若存在某常数 a,当 n 无限增大 时, a
n
能 无限 接近常
数 a, 则 称 该 数 为 收敛 数列, a 为 它的 极限 。
下页
例如：
?
?
?
?
?
?
n
1
,a =0 ；
?
?
?
?
?
? ?
?
n
n
)1(
3
,a =3;
? ?
2
n, a 不存在，数列不 收敛 ；
? ?
n
)1( ?
,a 不存在，数列不 收敛 ；
2 °将,n 无限增大 时,，数学“符号化” 为,
“存在 N,当 n ＞ N 时,
将,a
n
无限接近 a,，数学“符号化” 为,
任? ε ＞ 0, aa n ? ＜ ε
例如 对
?
?
?
?
?
? ?
?
n
n
)1(
3 以 3? 极限, 对 ε =
10
1
，要使
下页
3
)1(
3 ?
?
???
n
aa
n
n =
10
11
?
n
只需取 N=10,即可
3 °“抽象化”得“数列 极限,的 定义
定义, 设 ? ?
n
a 是一个数列,a 是一个确定的常数，若 对 任给的正数 ε,
总存在某一自然数 N,使得当 n ＞ N 时,都有
aa
n
?
＜ ε
则称数列 ? ?
n
a 收敛 于 a, a 为它的 极限 。记作
aa
n
n
?
??
lim
｛ ( 或 a n → a,(n → ? ) )
说明（ 1 ）若数列 ? ?
n
a 没有 极限, 则 称该数列 为 发散数列。
下页
( 2 ）数列极限定义的“符号化”记法,
aa
n
n
?
??
lim ? ?? ＞ 0, ? N,当 n ＞ N,有 aa
n
?
＜ ε
( 3 ）上述定义中 ε 的双重性,? 的任意性
ε ＞ 0 是 任意的,但在求 N 时，又可 视为 是 给定的,由“任意性”
可知，不等式
aa
n
?
＜ ε,可用 ?2|| ?? aa
n
，
k
n
aa ??? || ??来代
替,＜”号也可用,≤” 号来代替
( 4 ）上述定义中 N 的双重性,N 的相应性,N 是仅 依赖于 ε 的
自然数，有时记作 N=N （ ε ）（这并非说明 N 是 ε 的函数,是即：
N 是 对应确定 的！但 N 又 不是唯一的,只要存在一个 N,就会存在
无穷多个 N 。
（ 5 ）如何用肯定的语气叙述 aa nn ???lim,
下页
x
a-ε a+ε
aN an aN
a
0
??
＞ 0, ? N, ? n 。尽管 n 。 ＞ N,但
aa
o
n
?
≥ ε 。
（ 6 ）如何用肯定的语气叙述，数列 ? ?
n
a 发散,
Ra ??, )( a
OO
?? ?? ＞ 0, ? N, ? n
o,尽管 n o ＞ N,但
aa
o
n
?
≥ ε o 。
（ 7 ）
aa
n
n
?
??
lim
的几何意义,
即 a 的任给 ε 邻城，都存在一个足够大的确定的自然数 N,使数列
? ?
n
a 中,所有下标大于 N 的 a n,都落在 a 的 ε 邻城内。
下页
三、用极限定义证明 aa
n
n
?
??
lim 的例题
例 1, 证明
0
1
lim ?
??
k
n
n
（ K 为正实数）
证：由于
kk
nn
1
0
1
??
所以 ? ε ＞ 0,取 N =
?
?
?
?
?
?
?
?
k
1
1
?
,当 n ＞ N 时,便有 ??? 0
1
k
n
注：或写作,? ε ＞ 0,取 N=
?
?
?
?
?
?
?
?
k
1
1
?
，当 n ＞ N 时，有
????
KK
nn
1
0
1
，∴
0
1
lim ?
??
k
n
n
下页
例 2, 证明
3
4
3
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
分析，要使 ???
?
??
? nnn
n 12
4
12
3
4
3
22
2
（为简化，限定 n 3?
只要
?
12
?n
证,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? 3,
12
m a x,0
?
? N取,当 n N?,有
???
?
??
? nnn
n 12
4
12
3
4
3
22
2
由定义
3
4
3
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
下页
由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤,
（ 1 ） 化减 aa
n
?
（ 2 ） 适当放大 aa
n
?,通常放大成
n
M
aa
n
?? 的形式
为 放大 方便, 有时候, 要? 当予先限定 n ＞ n 。
（ 3 ） 解 ??
n
M
,求出需要的 N
例 3, 证 明
n
n
q
??
lim
=0, 这 里 1|| ?q
证, 若 q=0,结 果 显 然成立
若 0 ＜ q ＜ 1,令 q = h
h
(
1
1
?
＞ 0 )
由于 由贝努利不等式
n
nn
h
qq
)1(
1
?
??
nhnh
1
1
1
?
?
?
所以,?? ＞ 0,取 N= Nn
h
N ?
?
?
?
?
?
?
? 当,
1
?
，有 0?
n
q ＜ ?
下页
请注意数列的变化情况
注,1 °特 别 地写当 q=
2
1
时,此即 为 上述 实 例中的
0)
2
1
(lim ?
??
n
n
２° 贝 努利不等式 nhh
n
??? 1)1(
例 4 证明 1lim ?
??
n
n
a,其中 1?a 。
先任取数 1?a,用 Matlab 计算出
n
a 的值，并将 其 画在坐标上。
n=20; x = 1, n ;
y = 3, ^ ( 1, / x ) ; y 1 = 1 + 3, / x ;
p l o t ( x,y,' r, ',x,y 1,' b ' ) h o l d o n
p l o t ( [ 1,n ],[ 1,1 ] ) a x i s ( [ 0,n,0,3 ] ) ;
l e g e n d ( ' a ^ 1 / n ',' 1 + a / n ' ) ;
下页
0 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
a 1 /n
1+a/n
可以看出,且有
n
aan ?? 1 即
n
aan ?? |1|
随着 n 的无限增大,n a 无限的接近 1, 1lim ?
??
n
n
a,
返回
四、小结,( 可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下 )
本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例题学习
也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意,
1 °极限概念的,ε - N,叙述要熟练掌握，并注意理科 ε, N 的双重性。
2 °用极限定义证明极限时，关键是由任给的 ε ＞ 0 通过反解不等式｜ a
n
- a ｜＜
ε 求 N,其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；
即要尽 可能化简，又不要过度,N 的表达式一定仅依赖于 ε,当然 N 是否是自
然数，倒是无关紧要的。
3 °同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维
方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本
着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复
习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。
下页
对于圆周率 ? 的估计，我国 古代数学家过出了很大
贡献。我国最早的算书《周髀算经》（公元 70 0 年）
已经谈到“圆径一而周三”，即 3??, 三国时候
（ 263 ）,三国时期，我国科学家 刘徽 就提出了“割
圆求周”的思想，直径为 1 的圆周分成六等份，量
得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样分割
下去,算出了 14.3?? （称徽率）。南北朝时代的祖冲之（ 429 - 500 ）在《缀
术》一书中求得 ? 在 1415926.3 与 1415927.3 之间，于是定
14159265.3?? 叫做圆率正数，
133
355
?? 叫做“密率”，
7
22
?? 叫做“约
率,，后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧洲最早得出这个近似值德
人鄂图早 1100 余年。
§ 2 收 敛 数列的性 质
1,极限唯一性,（ 证 ）
2,收 敛 数列有界性 —— 收 敛 的必要条件,（ 证 ）
3,收 敛 数列保号性,
定理 2.4 设 ( 0lim ??
??
aa
n
n
或 )0?, 则对 ar ??? 0 ( 或
,),0 ???? Nra raNn
n
????,( 或 ).ra
n
?
例 1 设,lim,lim bbaa
n
n
n
n
??
????
证明,若,ba ? 则
.,,
nn
baNnN ?????? （ 证 ）
定理 2 。 5 设,lim,lim bbaa
n
n
n
n
??
????
若
nn
baNnN ????,时有,
?,ba ?
下页
（注意, =, ；并注意 bb
n
? 和 0?b 的情 况 ）,
推论 若,0lim ??
??
aa
n
n
则对,,,,0 raNnNar
n
????????
1,迫 敛 性 Th ( 证 )
例 2 求 l i m
n
n
n
??
2,绝对值 收 敛 性,
, lim,lim aaaa
n
n
n
n
???
????
( 注意反之不确 ),
,0 lim,0lim ???
????
n
n
n
n
aa ( 证 )
推论 设 数列 {
n
a } 和 {
n
b } 收 敛,则
}.lim,lim { m i n },{ min lim
},lim,lim m a x {},m a x {lim
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
nn
n
baba
baba
??????
??????
?
?
下页
6 四 则 运算性 质,
例 3 求
10
10
l i m
m
m
k
n
k
a n a n a
b n b n b
??
? ? ?
? ? ?
例 4 求 l i m
1
n
n
n
a
a
??
?
例 5 求 l i m ( 1 )
n
n n n
??
??
7,子列收 敛 性, 子列概念,
Th ( 数列收 敛 充要条件 ) {
n
a } 收 敛 ? {
n
a } 的任何子列收 敛 于同一极
限,
下页
Th ( 数列收 敛 充要条件 ) {
n
a } 收 敛 ? 子列 {
12 ?k
a }, {
k
a
2
} 和 { }
3 k
a 都收 敛,
一, 利用数列极限性 质 求极限,
两个基本极限,),1 (,0lim,0
1
lim ???
????
qq
n
n
nn
1, 利用四 则 运算性 质 求极限,
例 1,
52
10
21
13
lim
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
n
註,关 于 n 的有理分式当 ??n 时 的极限情况
例 2 填空,
⑴ ____;__________
)12(
)12()2(
lim
102
862
?
?
??
??
n
nn
n
⑵,_________,
8
1
732
23
lim
322
3223
???
???
???
??
ka
ananna
ananan
k
n
例 3
下页
例 3 ),1 (lim nnn
n
??
??
例 4,1,
1
lim ?
?
??
a
a
a
n
n
n
2,利用迫敛性的 基本技法, 大小 项 双逼法
例 5 求下列极限,
⑴ );12s i n ( ) 13 (lim
2
??
??
n
n
n
⑵ ?
?
??
?
n
i
n
in0
2;
3
1
lim
⑶,
12
1
24
1
14
1
lim
22
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
n
nn
n
?
例 6,lim
n
n
n
??
(,)1
22
11
2
?
??
????
?
n
nn
nnn
n nn
下页
例 7 ).1(,0 kia
i
??? 求 证
}.,,,m a x {lim
2121 k
n
n
k
nn
n
aaaaaa ?? ????
??
例 8 设
n
n
n b
a
??
lim 存在, 若,0lim ?
??
n
n
b 则,0lim ?
??
n
n
a
一, 利用子列性 质证 明数列 发 散,
例 9 证 明数列
?
?
?
?
?
?
?
??
13n
) 1 (2 nn
n
发 散,
下页
§ 3 数列极限存在的条件
单调有界定理,任何单调 有界数列都有极限。
例 1 设
11
1,2
2
n
a
n
??
?? ? ? ? ?, 证明该数列收敛。
例 2 证明数列
,,222,,22,2 ??? ????
收敛，并求其极限,
clf,n= 2 0; a(1)=sqrt(2); plot([0;n],[2;2]),hold on
for i=1:n;
a(i+1)=sqrt(2+a(i));
plot(i,a(i),'r.'),hold on
end
a xis([1,n,1,2.2])
下页
数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且
nn
aa ??
?
2
1
利用单调有界定理,设其极限为 A,则有
AA ?? 2,A=2
例 3 证明
n
n
n
)
1
1(lim ?
??
存在。（ c16,n= ）
先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界（小于 3 ），所以极限存在，且
由图象看出：随着 n 的增大,
n
n
n
a )
1
1( ?? 逐渐接近一个 ?718.2 的无理数 e
clf,n =5 0; x=1,n ; f(x )= (1+ 1./ x),^x;
plot([0; n],[2,718 ;2,718 ]),ho ld on
plot(x,f (x),'r.')
下页
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
2
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
2, 7
2, 8
下页
证明,
Cauchy 收 敛 准 则,
Th 2,10 数列 { }
n
a 收 敛,,,,,,0 ?? ?????????
nm
aaNnmN
（ 或数列 { }
n
a 收 敛,
.,p,,,0 ?? ???????????
? npn
aaNnN N }
例 4 证 明, 任一无限十 进 小数 )10(,0
21
??? ?? ??
n
bbb 的不足近似 值
所 组 成的数列
,
101010
,,
1010
,
10
2
21
2
211
???
n
n
bbbbbb
????
收 敛, 其中 ) 9,,2,1 ( ??ib
i
是 9,,1,0 ? 中的数,
下页
证 令 ?
n
a,
101010
2
21
n
n
bbb
??? ? 有
?
?
?
?
?
?
?????????
???
?
?
?
?
?
?
112
2
1
1
10
1
10
1
1
10
9
101010
pnpn
pn
n
n
n
n
npn
bbb
aa ??
1
10
9
?
?
n
? ?,
1
10
1
)1.0(1
10
1
1.01
)1.0(1
n
n
p
n
p
????
?
?
??
例 5 设,s i ns i ns i n,10
2
n
n
n
qqqqqqxq ?????? ? 试证 明数列
{ }
n
x 收 敛,
数列
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
1
1 单调 有界 证 法欣 赏,
Cauchy (1789 — 1857 ) 最先 给 出 这 一极限,Riemann （ 1826 — 1866 ）最先 给 出
以下 证 法一,
下页
证 法一 （ Riemann 最先 给 出 这 一 证 法 ） 设,
1
1
n
n
n
x ?
?
?
?
?
?
?? 应 用二 项 式展 开,
得
????
n
nx
n
1
1 ???
??
??
?
?
32
1
!3
)2)(1(1
!2
)1(
n
nnn
n
nn
n
nn
nn 1
!
123)1(
?
??? ?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
n
n
nnnnnn
1
1
2
1
1
1
!
12
1
1
1
!3
11
1
!2
1
11 ??,
!2
1
11
1
???
?n
x ???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
1
1
1
!3
1
1
1
1
nnn
+
+
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x 多一 项
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有界, 。 综 上,数列 {
n
x } 单调 有界,
证 法二 ( 利用 Bernoulli 不等式 )
注意到 Bernoulli 不等式 nxnxx
n
,1(,1)1( ????? 为 正整数 ),有
下页
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n
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n
利用 Bernoulli 不等式,有
.1
133
233
)1(
1
1
1
1
23
23
2
1
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nnn
n
n
nx
x
n
n
n
x ? ↗,
为证 {
n
x } 上方有界,考 虑 数列,
1
1
1?
?
?
?
?
?
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??
n
n
n
y 可 类证
n
y ↘, 事 实 上,
下页
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n
y
y
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1
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n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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n
n
n
1
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n
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nn
n
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n
n
nnn
n
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1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
n
y
nnn
nnn
,1
44
144
23
23
??
??
???
? ↘,
显 然有,,nyx
nn
??? 有,4
1
???? yyx
nn
? 即数列 {
n
y } 有上界,
评 註, 该证 法的特点是惊而无 险,恰到好 处,
下页
证 法三 ( 利用均 值 不等式 ) 在均 值 不等式
)0(,
1
1
21
??
?
?
i
n
i
i
n
n
aa
n
aaa ?
中,令,1,
1
1
1
121
?
?
?????
? nn
a
n
aaa ? 就有
,
1
1
1
11
1
1
1)1(
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
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nn
n
nn
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,
1 nn
xx ??
?
即
n
x ↗,
下页
令,1,
1
1
1
121
?
?
?????
? nn
a
n
aaa ?
可仿上 证 得 3?n 时
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
n
n
1
1 ↗ 。
( 1?n 时 无意 义,2?n 时诸
i
a = 0,不能用均 值 不等式, ) 当 2?n 时,由
,
1
1
11
1,1
1
1
1
1
1
1
2
n
nnnn
?
???????
?
?
?
?
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,
1
1
11
1
n
n
n
n
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n
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1
1 ↗
n
n
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1
1
1
↘,
2
2
1
1
1
?
?
?
?
?
?
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??
n
x
下页
证 法四 ( 仍利用均 值 不等式 )
???? ????? ??
?
个n
n
nnnn
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1
1
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.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
11
1
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nn
nn
n
xx
nn
n
n
n
n
即
n
x ↗,
, 均 值 不等式妙用两 则,,
下页
证 法五 先 证 明,对 ba ??? 0 和正整数 n,有不等式
,)1(
11
n
nn
bn
ab
ab
??
?
?
??
事 实 上,
?
?
?????
?
?
?
????
ab
abaabbab
ab
ab
nnnnnn 1111
)(( ?
nnnn
abaabb ?????
?? 11
?
<,)1(
n
bn ?
下页
该 不等式又可 变 形 为
? ?,)1(
1?
???
nn
anbanb ( nba,0 ?? 为 正整数 )
在此不等式中,取,
1
1,
1
1
1
n
b
n
a ??
?
?? 则 有,0 ba ?? 就有
n
nn
x
nn
,
1
1
1
1
1
1
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
↗,
取,
2
1
1,1
n
ba ??? 又有 1
2
1
2
1
1 ???
?
?
?
?
?
?
n
n
对 n? 成立,
???
?
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?
?
??,2
2
1
1
n
n
.4
2
1
1
2
2
??
?
?
?
?
?
??
n
n
n
x
返回
的内涵与外延；
2° 使学生学会用定义证明极限的基本方法
3° 通过知识学习，加深对数学的抽象性特
点的认识；体验数学概念形成的抽象化思
维方法；体验数学“符号化”的意义及
“数
形结合”方法；
4° 了解我国古代数学家关于极限思想的论
述，增强爱国主义观念。
第二章数列极限
教学目标,
下页
我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去
研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我
们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就 事实上还没
有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 y ＝ f （ x ）
所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数
学的研究领域。极限是进入高等数学是钥匙和工具。我们从最简单的
也是最基本的数列极限开始研究。
1 数列极限的概念
课题引入
1 °予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
下页
2 °数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数
列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念
例 1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。
天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，
万世不竭 。”也就是说一根一尺 长的木棒，每
天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行
下去。将每天截后的木棒排成一
列,如图所示,其长度组成的数列为
?
?
?
?
?
?
n
2
1
,
n = 1 0 ; x = 0, n ; y = 1, / 2, ^ x ; x 1 = [ 0, n ] ; y 1 = 1, / 2, ^ x ;
l i n e ( [ x 1 ; x 1 ],[ 0 * x 1 ; y 1 ],' l i n e w i d t h ',5 )
a x i s ( [ - 1,n + 1,0,1, 1 ] )
下页
0 2 4 6 8 10
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
分析,1 °、
?
?
?
?
?
?
n
2
1
随 n 增大而 减 小，且无限接近于常数 0 ；
2 °数 轴 上描点，将其 形象 表示,
1
0 1 / 2
1 /4
- 1
下页
例 2 三国时期，我国科学家 刘徽 就提出了“割圆求周”的思想, 用
直径为 1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧
量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去,就得到一个（ 内
接多边形 的周长组成的） 数列,
E B
an
an+1
A
D
下页
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
????? 1,
4
2
2
r
a
rrDE
n
????
?
?
?
?
?
?
?
42
2
2
2
2
1
nn
n
a
DE
a
a
2
2
)
4
11(
n
a
?? = ?2
2
4
n
a? )
用 Matla b 计算
n
a 和图示如下,
clf,n= 5 ; t=0:2*pi/n:2*pi;
r=1*ones(size(t));
for i= 1, n;
for j=6*2^i ;
end
z= j *sin(pi./i) ;
end
polar(t,r);
下页
可以看出,随着 n 的无限增大,
n
a 无 限地接近圆的周长 ? 。 这
正如刘徽所说“割之弥细，所失弥小，割之又割，以之不可割，则与圆
合体而无所失矣”
这两个数列有一个共同的特征，都存在一个常数 A, 当 n 充分大
时,|| Aa
n
? 充分的小,即不管事先给多么 小的一个正数,比如 0,1,
0,01,0,00 1 ?,我们都能找到一个相应的自然数 N, 当 Nn ? 时
?,001.0,01.0,1.0|| ?? Aa
n
c l f,n = 3 0 ; k = 1, n ; a k = 1, / k ;
p l o t ( k,a k,' r, ' ),h o l d o n,
p l o t ( [ 0,n ],[ 0,0 ] )
a x i s ( [ 1,n,- 0, 5,1 ] )
下页
5 10 15 20 25 30
-0.5
0
0.5
1
下页
由此，可给出数列的定义,
对于数列 }{
n
a,设 A 是一个常数，若任给 0,??,都存在相
应的自 然数 NnN ?,时,??? Aa
n
,则称 A 为数列 }{
n
a 的
极限。
下面我们通过图示，对数列定义作几点说明,
二、数列 极限 定义
1 °将上述 实例 一般化可得,
对 数列 ? ?
n
a,若存在某常数 a,当 n 无限增大 时, a
n
能 无限 接近常
数 a, 则 称 该 数 为 收敛 数列, a 为 它的 极限 。
下页
例如：
?
?
?
?
?
?
n
1
,a =0 ；
?
?
?
?
?
? ?
?
n
n
)1(
3
,a =3;
? ?
2
n, a 不存在，数列不 收敛 ；
? ?
n
)1( ?
,a 不存在，数列不 收敛 ；
2 °将,n 无限增大 时,，数学“符号化” 为,
“存在 N,当 n ＞ N 时,
将,a
n
无限接近 a,，数学“符号化” 为,
任? ε ＞ 0, aa n ? ＜ ε
例如 对
?
?
?
?
?
? ?
?
n
n
)1(
3 以 3? 极限, 对 ε =
10
1
，要使
下页
3
)1(
3 ?
?
???
n
aa
n
n =
10
11
?
n
只需取 N=10,即可
3 °“抽象化”得“数列 极限,的 定义
定义, 设 ? ?
n
a 是一个数列,a 是一个确定的常数，若 对 任给的正数 ε,
总存在某一自然数 N,使得当 n ＞ N 时,都有
aa
n
?
＜ ε
则称数列 ? ?
n
a 收敛 于 a, a 为它的 极限 。记作
aa
n
n
?
??
lim
｛ ( 或 a n → a,(n → ? ) )
说明（ 1 ）若数列 ? ?
n
a 没有 极限, 则 称该数列 为 发散数列。
下页
( 2 ）数列极限定义的“符号化”记法,
aa
n
n
?
??
lim ? ?? ＞ 0, ? N,当 n ＞ N,有 aa
n
?
＜ ε
( 3 ）上述定义中 ε 的双重性,? 的任意性
ε ＞ 0 是 任意的,但在求 N 时，又可 视为 是 给定的,由“任意性”
可知，不等式
aa
n
?
＜ ε,可用 ?2|| ?? aa
n
，
k
n
aa ??? || ??来代
替,＜”号也可用,≤” 号来代替
( 4 ）上述定义中 N 的双重性,N 的相应性,N 是仅 依赖于 ε 的
自然数，有时记作 N=N （ ε ）（这并非说明 N 是 ε 的函数,是即：
N 是 对应确定 的！但 N 又 不是唯一的,只要存在一个 N,就会存在
无穷多个 N 。
（ 5 ）如何用肯定的语气叙述 aa nn ???lim,
下页
x
a-ε a+ε
aN an aN
a
0
??
＞ 0, ? N, ? n 。尽管 n 。 ＞ N,但
aa
o
n
?
≥ ε 。
（ 6 ）如何用肯定的语气叙述，数列 ? ?
n
a 发散,
Ra ??, )( a
OO
?? ?? ＞ 0, ? N, ? n
o,尽管 n o ＞ N,但
aa
o
n
?
≥ ε o 。
（ 7 ）
aa
n
n
?
??
lim
的几何意义,
即 a 的任给 ε 邻城，都存在一个足够大的确定的自然数 N,使数列
? ?
n
a 中,所有下标大于 N 的 a n,都落在 a 的 ε 邻城内。
下页
三、用极限定义证明 aa
n
n
?
??
lim 的例题
例 1, 证明
0
1
lim ?
??
k
n
n
（ K 为正实数）
证：由于
kk
nn
1
0
1
??
所以 ? ε ＞ 0,取 N =
?
?
?
?
?
?
?
?
k
1
1
?
,当 n ＞ N 时,便有 ??? 0
1
k
n
注：或写作,? ε ＞ 0,取 N=
?
?
?
?
?
?
?
?
k
1
1
?
，当 n ＞ N 时，有
????
KK
nn
1
0
1
，∴
0
1
lim ?
??
k
n
n
下页
例 2, 证明
3
4
3
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
分析，要使 ???
?
??
? nnn
n 12
4
12
3
4
3
22
2
（为简化，限定 n 3?
只要
?
12
?n
证,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? 3,
12
m a x,0
?
? N取,当 n N?,有
???
?
??
? nnn
n 12
4
12
3
4
3
22
2
由定义
3
4
3
lim
2
2
?
?
??
n
n
n
下页
由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤,
（ 1 ） 化减 aa
n
?
（ 2 ） 适当放大 aa
n
?,通常放大成
n
M
aa
n
?? 的形式
为 放大 方便, 有时候, 要? 当予先限定 n ＞ n 。
（ 3 ） 解 ??
n
M
,求出需要的 N
例 3, 证 明
n
n
q
??
lim
=0, 这 里 1|| ?q
证, 若 q=0,结 果 显 然成立
若 0 ＜ q ＜ 1,令 q = h
h
(
1
1
?
＞ 0 )
由于 由贝努利不等式
n
nn
h
)1(
1
?
??
nhnh
1
1
1
?
?
?
所以,?? ＞ 0,取 N= Nn
h
N ?
?
?
?
?
?
?
? 当,
1
?
，有 0?
n
q ＜ ?
下页
请注意数列的变化情况
注,1 °特 别 地写当 q=
2
1
时,此即 为 上述 实 例中的
0)
2
1
(lim ?
??
n
n
２° 贝 努利不等式 nhh
n
??? 1)1(
例 4 证明 1lim ?
??
n
n
a,其中 1?a 。
先任取数 1?a,用 Matlab 计算出
n
a 的值，并将 其 画在坐标上。
n=20; x = 1, n ;
y = 3, ^ ( 1, / x ) ; y 1 = 1 + 3, / x ;
p l o t ( x,y,' r, ',x,y 1,' b ' ) h o l d o n
p l o t ( [ 1,n ],[ 1,1 ] ) a x i s ( [ 0,n,0,3 ] ) ;
l e g e n d ( ' a ^ 1 / n ',' 1 + a / n ' ) ;
下页
0 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
a 1 /n
1+a/n
可以看出,且有
n
aan ?? 1 即
n
aan ?? |1|
随着 n 的无限增大,n a 无限的接近 1, 1lim ?
??
n
n
a,
返回
四、小结,( 可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下 )
本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例题学习
也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意,
1 °极限概念的,ε - N,叙述要熟练掌握，并注意理科 ε, N 的双重性。
2 °用极限定义证明极限时，关键是由任给的 ε ＞ 0 通过反解不等式｜ a
n
- a ｜＜
ε 求 N,其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；
即要尽 可能化简，又不要过度,N 的表达式一定仅依赖于 ε,当然 N 是否是自
然数，倒是无关紧要的。
3 °同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维
方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本
着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复
习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。
下页
对于圆周率 ? 的估计，我国 古代数学家过出了很大
贡献。我国最早的算书《周髀算经》（公元 70 0 年）
已经谈到“圆径一而周三”，即 3??, 三国时候
（ 263 ）,三国时期，我国科学家 刘徽 就提出了“割
圆求周”的思想，直径为 1 的圆周分成六等份，量
得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样分割
下去,算出了 14.3?? （称徽率）。南北朝时代的祖冲之（ 429 - 500 ）在《缀
术》一书中求得 ? 在 1415926.3 与 1415927.3 之间，于是定
14159265.3?? 叫做圆率正数，
133
355
?? 叫做“密率”，
7
22
?? 叫做“约
率,，后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧洲最早得出这个近似值德
人鄂图早 1100 余年。
§ 2 收 敛 数列的性 质
1,极限唯一性,（ 证 ）
2,收 敛 数列有界性 —— 收 敛 的必要条件,（ 证 ）
3,收 敛 数列保号性,
定理 2.4 设 ( 0lim ??
??
aa
n
n
或 )0?, 则对 ar ??? 0 ( 或
,),0 ???? Nra raNn
n
????,( 或 ).ra
n
?
例 1 设,lim,lim bbaa
n
n
n
n
??
????
证明,若,ba ? 则
.,,
nn
baNnN ?????? （ 证 ）
定理 2 。 5 设,lim,lim bbaa
n
n
n
n
??
????
若
nn
baNnN ????,时有,
?,ba ?
下页
（注意, =, ；并注意 bb
n
? 和 0?b 的情 况 ）,
推论 若,0lim ??
??
aa
n
n
则对,,,,0 raNnNar
n
????????
1,迫 敛 性 Th ( 证 )
例 2 求 l i m
n
n
n
??
2,绝对值 收 敛 性,
, lim,lim aaaa
n
n
n
n
???
????
( 注意反之不确 ),
,0 lim,0lim ???
????
n
n
n
n
aa ( 证 )
推论 设 数列 {
n
a } 和 {
n
b } 收 敛,则
}.lim,lim { m i n },{ min lim
},lim,lim m a x {},m a x {lim
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
nn
n
baba
baba
??????
??????
?
?
下页
6 四 则 运算性 质,
例 3 求
10
10
l i m
m
m
k
n
k
a n a n a
b n b n b
??
? ? ?
? ? ?
例 4 求 l i m
1
n
n
n
a
a
??
?
例 5 求 l i m ( 1 )
n
n n n
??
??
7,子列收 敛 性, 子列概念,
Th ( 数列收 敛 充要条件 ) {
n
a } 收 敛 ? {
n
a } 的任何子列收 敛 于同一极
限,
下页
Th ( 数列收 敛 充要条件 ) {
n
a } 收 敛 ? 子列 {
12 ?k
a }, {
k
a
2
} 和 { }
3 k
a 都收 敛,
一, 利用数列极限性 质 求极限,
两个基本极限,),1 (,0lim,0
1
lim ???
????
n
n
nn
1, 利用四 则 运算性 质 求极限,
例 1,
52
10
21
13
lim
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
n
註,关 于 n 的有理分式当 ??n 时 的极限情况
例 2 填空,
⑴ ____;__________
)12(
)12()2(
lim
102
862
?
?
??
??
n
nn
n
⑵,_________,
8
1
732
23
lim
322
3223
???
???
???
??
ka
ananna
ananan
k
n
例 3
下页
例 3 ),1 (lim nnn
n
??
??
例 4,1,
1
lim ?
?
??
a
a
a
n
n
n
2,利用迫敛性的 基本技法, 大小 项 双逼法
例 5 求下列极限,
⑴ );12s i n ( ) 13 (lim
2
??
??
n
n
n
⑵ ?
?
??
?
n
i
n
in0
2;
3
1
lim
⑶,
12
1
24
1
14
1
lim
22
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
n
nn
n
?
例 6,lim
n
n
n
??
(,)1
22
11
2
?
??
????
?
n
nn
nnn
n nn
下页
例 7 ).1(,0 kia
i
??? 求 证
}.,,,m a x {lim
2121 k
n
n
k
nn
n
aaaaaa ?? ????
??
例 8 设
n
n
n b
a
??
lim 存在, 若,0lim ?
??
n
n
b 则,0lim ?
??
n
n
a
一, 利用子列性 质证 明数列 发 散,
例 9 证 明数列
?
?
?
?
?
?
?
??
13n
) 1 (2 nn
n
发 散,
下页
§ 3 数列极限存在的条件
单调有界定理,任何单调 有界数列都有极限。
例 1 设
11
1,2
2
n
a
n
??
?? ? ? ? ?, 证明该数列收敛。
例 2 证明数列
,,222,,22,2 ??? ????
收敛，并求其极限,
clf,n= 2 0; a(1)=sqrt(2); plot([0;n],[2;2]),hold on
for i=1:n;
a(i+1)=sqrt(2+a(i));
plot(i,a(i),'r.'),hold on
end
a xis([1,n,1,2.2])
下页
数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且
nn
aa ??
?
2
1
利用单调有界定理,设其极限为 A,则有
AA ?? 2,A=2
例 3 证明
n
n
n
)
1
1(lim ?
??
存在。（ c16,n= ）
先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界（小于 3 ），所以极限存在，且
由图象看出：随着 n 的增大,
n
n
n
a )
1
1( ?? 逐渐接近一个 ?718.2 的无理数 e
clf,n =5 0; x=1,n ; f(x )= (1+ 1./ x),^x;
plot([0; n],[2,718 ;2,718 ]),ho ld on
plot(x,f (x),'r.')
下页
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
2
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
2, 7
2, 8
下页
证明,
Cauchy 收 敛 准 则,
Th 2,10 数列 { }
n
a 收 敛,,,,,,0 ?? ?????????
nm
aaNnmN
（ 或数列 { }
n
a 收 敛,
.,p,,,0 ?? ???????????
? npn
aaNnN N }
例 4 证 明, 任一无限十 进 小数 )10(,0
21
??? ?? ??
n
bbb 的不足近似 值
所 组 成的数列
,
101010
,,
1010
,
10
2
21
2
211
???
n
n
bbbbbb
????
收 敛, 其中 ) 9,,2,1 ( ??ib
i
是 9,,1,0 ? 中的数,
下页
证 令 ?
n
a,
101010
2
21
n
n
bbb
??? ? 有
?
?
?
?
?
?
?????????
???
?
?
?
?
?
?
112
2
1
1
10
1
10
1
1
10
9
101010
pnpn
pn
n
n
n
n
npn
bbb
aa ??
1
10
9
?
?
n
? ?,
1
10
1
)1.0(1
10
1
1.01
)1.0(1
n
n
p
n
p
????
?
?
??
例 5 设,s i ns i ns i n,10
2
n
n
n
qqqqqqxq ?????? ? 试证 明数列
{ }
n
x 收 敛,
数列
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
1
1 单调 有界 证 法欣 赏,
Cauchy (1789 — 1857 ) 最先 给 出 这 一极限,Riemann （ 1826 — 1866 ）最先 给 出
以下 证 法一,
下页
证 法一 （ Riemann 最先 给 出 这 一 证 法 ） 设,
1
1
n
n
n
x ?
?
?
?
?
?
?? 应 用二 项 式展 开,
得
????
n
nx
n
1
1 ???
??
??
?
?
32
1
!3
)2)(1(1
!2
)1(
n
nnn
n
nn
n
nn
nn 1
!
123)1(
?
??? ?
?
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1
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2
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1
1
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1
1
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!2
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?n
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nnn
+
+
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1
1
1
1 ?
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??
?
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n
n
n
?
注意到,
1
1
1
1
1 ?
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???
?
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nn
,
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1
1
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n
n
n
n
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且
1?n
x 比
n
x 多一 项
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1
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,0
1
1
1
1
1 ??
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x ↗,
nnn
x
n
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1
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21
1
11
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1
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1
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n
x
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111
1
1
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1
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2
1
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???
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?
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???? ?
有界, 。 综 上,数列 {
n
x } 单调 有界,
证 法二 ( 利用 Bernoulli 不等式 )
注意到 Bernoulli 不等式 nxnxx
n
,1(,1)1( ????? 为 正整数 ),有
下页
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
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?
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n
n
n
n
n
n
x
x
1
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1
1
1
1
1
n
n
n
n
?
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?
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?
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?
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1
1
1
1
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1
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nn
nn
n
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?
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1
1
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2
n
nn
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??
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?
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?
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??
由,1
)1(
1
2
??
?
?
n
利用 Bernoulli 不等式,有
.1
133
233
)1(
1
1
1
1
23
23
2
1
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???
???
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nnn
nnn
n
n
nx
x
n
n
n
x ? ↗,
为证 {
n
x } 上方有界,考 虑 数列,
1
1
1?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
y 可 类证
n
y ↘, 事 实 上,
下页
?
? 1n
n
y
y
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1
1
1
1
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n
n
n
n
1
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1
1
1
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1
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1
1
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
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n
n
n
n
1
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2
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2
1
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n
nn
nn
n
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n
n
n
nnn
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1
2
1
2
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1
2
1
2
1
2
n
y
nnn
nnn
,1
44
144
23
23
??
??
???
? ↘,
显 然有,,nyx
nn
??? 有,4
1
???? yyx
nn
? 即数列 {
n
y } 有上界,
评 註, 该证 法的特点是惊而无 险,恰到好 处,
下页
证 法三 ( 利用均 值 不等式 ) 在均 值 不等式
)0(,
1
1
21
??
?
?
i
n
i
i
n
n
aa
n
aaa ?
中,令,1,
1
1
1
121
?
?
?????
? nn
a
n
aaa ? 就有
,
1
1
1
11
1
1
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1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
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x
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即
n
x ↗,
下页
令,1,
1
1
1
121
?
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?????
? nn
a
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可仿上 证 得 3?n 时
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n
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1
1 ↗ 。
( 1?n 时 无意 义,2?n 时诸
i
a = 0,不能用均 值 不等式, ) 当 2?n 时,由
,
1
1
11
1,1
1
1
1
1
1
1
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n
nnnn
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11
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1
↘,
2
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1
1
1
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??
n
x
下页
证 法四 ( 仍利用均 值 不等式 )
???? ????? ??
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个n
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n
xx
nn
n
n
n
n
即
n
x ↗,
, 均 值 不等式妙用两 则,,
下页
证 法五 先 证 明,对 ba ??? 0 和正整数 n,有不等式
,)1(
11
n
nn
bn
ab
ab
??
?
?
??
事 实 上,
?
?
?????
?
?
?
????
ab
abaabbab
ab
ab
nnnnnn 1111
)(( ?
nnnn
abaabb ?????
?? 11
?
<,)1(
n
bn ?
下页
该 不等式又可 变 形 为
? ?,)1(
1?
???
nn
anbanb ( nba,0 ?? 为 正整数 )
在此不等式中,取,
1
1,
1
1
1
n
b
n
a ??
?
?? 则 有,0 ba ?? 就有
n
nn
x
nn
,
1
1
1
1
1
1
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
↗,
取,
2
1
1,1
n
ba ??? 又有 1
2
1
2
1
1 ???
?
?
?
?
?
?
n
n
对 n? 成立,
???
?
?
?
?
?
??,2
2
1
1
n
n
.4
2
1
1
2
2
??
?
?
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?
?
??
n
n
n
x
返回
