2010-5-21 1
第十四章 幂 级 数
§ 1 幂 级 数
幂级数的一般概念,
型如
?
?
?
?
0
0
)(
n
n
n
xxa 和 ?
?
? 0n
n
n
xa 的 函数项级数称为 幂级数, 幂级数
由系数数列 }{
n
a 唯一确定, 幂级数至少有一个收敛点, 以下 着重
讨论型如
?
?
? 0n
n
n
xa 的幂级数,
一, 幂级数的收敛 区间
2010-5-21 2
定 理 1 （ Abel 定理 ） 若幂级数
?
n
n
xa 在点 0?? xx 收敛,
则对满足不等式 || || xx ? 的任何 x,幂级数
?
n
n
xa 收敛而且绝对收
敛 ；若在点 xx ? 发散,则对满足不等式 || || xx ? 的任何 x,幂级
数
?
n
n
xa 发散,
证 ?
n
n
xa 收敛,{
n
n
xa } 有界, 设 |
n
n
xa | ? M,有
|
nnn
n
n
n
Mr
x
x
xaxa ??? |||||,其中 1 || ??
x
x
r,
?
???,
n
Mr ?
?
??? ||
n
n
xa,
定理的第二部分是第一部分的逆否命题,
2010-5-21 3
定义（收敛半径）由定理 1,幂级数
?
n
n
xa 的收域是以原点为中
心的区间，若以 R2 表示该区间长度，则称 R 为 幂级数
?
n
n
xa 的收敛
半径 R,
定理 14, 2 （幂级数的收敛半径）对于幂级数
?
?
? 0n
n
n
xa 设
n
n
n
a
??
? lim?,
则
1 ） ???? ?0 时，幂级数的收敛半径
?
1
?R
2 ） 0?? 时，幂级数的收敛半径 ???R
2010-5-21 4
3 ） ???? 时，幂级数的收敛半径 0?R
证
??n
lim ?
n
n
n
xa ||
??n
lim |||||| xxa
n
n
??,( 强调开方次数与 x 的次数
是一致的 ),? ……
由于
??n
lim,
||
||
1
??
?
?
n
n
a
a
??n
lim ??
n
n
a ||,因此亦可用比值法求收敛半
径,
推论 若 ||lim
1
n
n
n
a
a
?
??
??, 则幂级数的收 敛半径
?
1
?R
2010-5-21 5
例 1 求级数
?
?
? 1
2
n
n
n
x
的收敛区域。
解 两种方法都得到 1??,即 1?R,收敛区间为 )1,1( ?,又
1??x 时，级数为
?
?
? 1
2
1
n
n
，所以原级数收敛，即收敛区域为 ]1,1[ ? 。
例 2 求幂级数 ?? ????
n
xx
x
n
2
2
的收敛域, ? ) 1,1 [ ? ?
例 3 求下列幂级数的收敛域,
(i)
?
?
? 0
!
n
n
n
x; (ii)
?
?
? 0
!
n
n
xn,
2010-5-21 6
例 4 求幂级数 ?????
7
4
5
3
3
2
3
4
3
3
3
2
3
1
xxxx 的收敛域,
解 ?????
7
4
5
3
3
2
3
4
3
3
3
2
3
1
xxxx
?
?
?
?
?
?
0
2
1
3
1
n
n
n
x
n
x 是缺项幂级数,
??n
lim,
3
1
||
||
1
??
?
n
n
a
a
3?R, 收敛区间为 ) 3,3 ( ?,
由于 3??x 时,通项 0??, 因此,该幂级数的收敛域为
) 3,3 ( ?,
例 5 求级数
?
?
?
?
0
)1(2
1
n
nn
x
的收敛域
2010-5-21 7
解 令
1
1
?
?
x
t,所论级数成为幂级数
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 0
22
n n
n
n
n
tt
,由几何级数
的敛散性结果,当且仅当 22 ??? t 时级数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
2
n
n
t
收敛, 因此当且仅
当 2
1
1
2 ?
?
??
x
,即
2
1
|1| ??x 时级数
?
?
?
?
0
)1(2
1
n
nn
x
收敛, 所以所论级
数的收敛域为
),
2
3
()
2
1
,( ?????,
例 6 求幂级数
?
2
3
nn
x 的收敛半径,
2010-5-21 8
解
??n
lim ?
2
3
n n
??n
lim 1,13 ??? R
n
,
二,幂级数的 性质,
定理 14, 3 若幂级数
?
n
n
xa 的收敛半径为 R ) 0 ( ?,则该幂级数在
区间 ),( RR? 内闭一致收敛,
证 ? ],[ ba ? ),( RR?,设 } ||,|| max{ bax ?,则对 ?? x ],[ ba,有
|| ||
n
n
n
n
xaxa ?,级数
?
n
n
xa 绝对收敛,由优级数判别法,? 幂
级数
?
n
n
xa 在 ],[ ba 上一致收敛, 因此,幂级数
?
n
n
xa 在区间
),( RR? 内闭一致收敛,
2010-5-21 9
定理 14, 4 设幂级数
?
n
n
xa 的收敛半径为 R ) 0 ( ?,且在点
Rx ? ( 或 Rx ?? ) 收敛,则幂级数
?
n
n
xa 在区间 ],0 [ R ( 或 ] 0,[ R? ) 上
一致收敛,
证
n
n
n
n
n
R
x
Raxa ?
?
?
?
?
?
?,
?
n
n
Ra 收敛,函数列
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
R
x
在区间 ],0 [ R
上递减且一致有界,由 A b e l 判别法,幂级数
?
n
n
xa 在区间 ],0 [ R 上
一致收敛,
2010-5-21 10
易见,当幂级数
?
n
n
xa 的收敛域为 ],[ RR? ( R ) 0? 时,该幂级数
即在区间 ],[ RR? 上一致 收敛,
逐项求导和积分后的级数,
设
?
?
?
??
1
)(
n
n
n
xa
?
?
?
?
1
1
n
n
n
xna,
*)
? ?
?
?
?
1
0
n
x
n
n
dtta
*)*
1
1
,
1
?
?
?
?
?
n
nn
x
n
a
*) 和 **) 仍为幂级数, 我们有
定理 14, 5 *) 和 **) 与
?
n
n
xa 有相同的收敛半径,
2010-5-21 11
值得注意的是,*) 和 **) 与
?
n
n
xa 虽有相同的收敛半径（ 因而
有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域, 例如级数
?
?
? 1n
n
n
x
,
三, 幂级数的运算性质,
定义 两个幂级数
?
?
? 0n
n
n
xa 和
?
?
? 0n
n
n
xb 在点 0?x 的某邻域内相等是
指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数,
定理 14 。 6
?
?
? 0n
n
n
xa ?
?
?
? 0n
n
n
xb,) 1 (,?????? nba
nn
,
2010-5-21 12
定理 14 。 7 幂级数
?
?
? 0n
n
n
xa 和
?
?
? 0n
n
n
xb 的收敛半径分别为
a
R 和
b
R,
},mi n{
ba
RRR ?,则
i)
? ?
?
n
n
n
n
xaxa ??,?,||
a
Rx ? — Const, 0??,
ii)
?
?
? 0n
n
n
xa +
?
?
? 0n
n
n
xb ?
n
nn
n
xba )(
0
?
?
?
?
,Rx || ?,
iii ) (
?
?
? 0n
n
n
xa )(
?
?
? 0n
n
n
xb ) ?
n
n
n
xc
?
?
? 0
,
?
?
?
?
n
k
knkn
bac
0
,Rx || ?,
定理 14, 8 设在 ),( RR? ( R ) 0? 内
?
?
? 0n
n
n
xa ? )( xf, 则
2010-5-21 13
1 ） )( xf 在 ),( RR? 内连续 ;
2 ） 若级数
?
n
n
Ra ? 或
?
?
n
n
Ra ) ( ? 收敛,则 )( xf 在点 Rx ? ( 或
Rx ?? ) 是左 ( 或右 ) 连续的 ;
3 ） 对 x? ? ),( RR?,)( xf 在点 x 可微且有 )( xf ? ?
?
?
?
?
1
1
n
n
n
xna ;
4 ） 对 x? ? ),( RR?,)( xf 在区间 ],0 [ x 上可积,且
?
?
x
dttf
0
)(
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
x
n
a
,
2010-5-21 14
?
?
R
dttf
0
)(
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
R
n
a
,
这是因为, 由级数
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
R
n
a
收敛,知 函数
?
?
x
dttf
0
)(
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
x
n
a
在点 Rx ? 左连续,
因此有
?
?
R
dttf
0
)(
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
R
n
a
,
推论 1 和函数 )( xf 在区间 ),( RR? 内任意次可导,且有
)( xf ? ? ?? ????
? 1
21
2
n
n
xnaxaa,
2010-5-21 15
?????
?
xananxf
nn
n
1
)(
)!1(!)(,
由 推论 1 可见,)( xf 是幂级数的和 函数的必要条件是 )( xf 任意次
可导,
推论 2 若
?
?
? 0n
n
n
xa ? )( xf,则有
??,
!
)0(
,,
!2
)0(
,
1
)0(
),0(
)(
210
n
f
a
f
a
f
afa
n
n
?
??
?
?
??
例 7 验证函数
?
?
?
?
0
!
2
)(
n
nn
n
x
xf 满足微分方程 R??????? xyyy,02,
2010-5-21 16
?? )( xf ?
?
?
?
?
?1
1
)!1(
2
n
nn
n
x
?
?
?
?
?
0
1
!
2
n
nn
n
x
?
?
?
?
0
)(2
!
2
2
n
nn
xf
n
x
,
? )(4)(2)( xfxfxf ?????,代入,? 02 ?????? yyy
第十四章 幂 级 数
§ 1 幂 级 数
幂级数的一般概念,
型如
?
?
?
?
0
0
)(
n
n
n
xxa 和 ?
?
? 0n
n
n
xa 的 函数项级数称为 幂级数, 幂级数
由系数数列 }{
n
a 唯一确定, 幂级数至少有一个收敛点, 以下 着重
讨论型如
?
?
? 0n
n
n
xa 的幂级数,
一, 幂级数的收敛 区间
2010-5-21 2
定 理 1 （ Abel 定理 ） 若幂级数
?
n
n
xa 在点 0?? xx 收敛,
则对满足不等式 || || xx ? 的任何 x,幂级数
?
n
n
xa 收敛而且绝对收
敛 ；若在点 xx ? 发散,则对满足不等式 || || xx ? 的任何 x,幂级
数
?
n
n
xa 发散,
证 ?
n
n
xa 收敛,{
n
n
xa } 有界, 设 |
n
n
xa | ? M,有
|
nnn
n
n
n
Mr
x
x
xaxa ??? |||||,其中 1 || ??
x
x
r,
?
???,
n
Mr ?
?
??? ||
n
n
xa,
定理的第二部分是第一部分的逆否命题,
2010-5-21 3
定义（收敛半径）由定理 1,幂级数
?
n
n
xa 的收域是以原点为中
心的区间，若以 R2 表示该区间长度，则称 R 为 幂级数
?
n
n
xa 的收敛
半径 R,
定理 14, 2 （幂级数的收敛半径）对于幂级数
?
?
? 0n
n
n
xa 设
n
n
n
a
??
? lim?,
则
1 ） ???? ?0 时，幂级数的收敛半径
?
1
?R
2 ） 0?? 时，幂级数的收敛半径 ???R
2010-5-21 4
3 ） ???? 时，幂级数的收敛半径 0?R
证
??n
lim ?
n
n
n
xa ||
??n
lim |||||| xxa
n
n
??,( 强调开方次数与 x 的次数
是一致的 ),? ……
由于
??n
lim,
||
||
1
??
?
?
n
n
a
a
??n
lim ??
n
n
a ||,因此亦可用比值法求收敛半
径,
推论 若 ||lim
1
n
n
n
a
a
?
??
??, 则幂级数的收 敛半径
?
1
?R
2010-5-21 5
例 1 求级数
?
?
? 1
2
n
n
n
x
的收敛区域。
解 两种方法都得到 1??,即 1?R,收敛区间为 )1,1( ?,又
1??x 时，级数为
?
?
? 1
2
1
n
n
，所以原级数收敛，即收敛区域为 ]1,1[ ? 。
例 2 求幂级数 ?? ????
n
xx
x
n
2
2
的收敛域, ? ) 1,1 [ ? ?
例 3 求下列幂级数的收敛域,
(i)
?
?
? 0
!
n
n
n
x; (ii)
?
?
? 0
!
n
n
xn,
2010-5-21 6
例 4 求幂级数 ?????
7
4
5
3
3
2
3
4
3
3
3
2
3
1
xxxx 的收敛域,
解 ?????
7
4
5
3
3
2
3
4
3
3
3
2
3
1
xxxx
?
?
?
?
?
?
0
2
1
3
1
n
n
n
x
n
x 是缺项幂级数,
??n
lim,
3
1
||
||
1
??
?
n
n
a
a
3?R, 收敛区间为 ) 3,3 ( ?,
由于 3??x 时,通项 0??, 因此,该幂级数的收敛域为
) 3,3 ( ?,
例 5 求级数
?
?
?
?
0
)1(2
1
n
nn
x
的收敛域
2010-5-21 7
解 令
1
1
?
?
x
t,所论级数成为幂级数
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 0
22
n n
n
n
n
tt
,由几何级数
的敛散性结果,当且仅当 22 ??? t 时级数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
2
n
n
t
收敛, 因此当且仅
当 2
1
1
2 ?
?
??
x
,即
2
1
|1| ??x 时级数
?
?
?
?
0
)1(2
1
n
nn
x
收敛, 所以所论级
数的收敛域为
),
2
3
()
2
1
,( ?????,
例 6 求幂级数
?
2
3
nn
x 的收敛半径,
2010-5-21 8
解
??n
lim ?
2
3
n n
??n
lim 1,13 ??? R
n
,
二,幂级数的 性质,
定理 14, 3 若幂级数
?
n
n
xa 的收敛半径为 R ) 0 ( ?,则该幂级数在
区间 ),( RR? 内闭一致收敛,
证 ? ],[ ba ? ),( RR?,设 } ||,|| max{ bax ?,则对 ?? x ],[ ba,有
|| ||
n
n
n
n
xaxa ?,级数
?
n
n
xa 绝对收敛,由优级数判别法,? 幂
级数
?
n
n
xa 在 ],[ ba 上一致收敛, 因此,幂级数
?
n
n
xa 在区间
),( RR? 内闭一致收敛,
2010-5-21 9
定理 14, 4 设幂级数
?
n
n
xa 的收敛半径为 R ) 0 ( ?,且在点
Rx ? ( 或 Rx ?? ) 收敛,则幂级数
?
n
n
xa 在区间 ],0 [ R ( 或 ] 0,[ R? ) 上
一致收敛,
证
n
n
n
n
n
R
x
Raxa ?
?
?
?
?
?
?,
?
n
n
Ra 收敛,函数列
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
R
x
在区间 ],0 [ R
上递减且一致有界,由 A b e l 判别法,幂级数
?
n
n
xa 在区间 ],0 [ R 上
一致收敛,
2010-5-21 10
易见,当幂级数
?
n
n
xa 的收敛域为 ],[ RR? ( R ) 0? 时,该幂级数
即在区间 ],[ RR? 上一致 收敛,
逐项求导和积分后的级数,
设
?
?
?
??
1
)(
n
n
n
xa
?
?
?
?
1
1
n
n
n
xna,
*)
? ?
?
?
?
1
0
n
x
n
n
dtta
*)*
1
1
,
1
?
?
?
?
?
n
nn
x
n
a
*) 和 **) 仍为幂级数, 我们有
定理 14, 5 *) 和 **) 与
?
n
n
xa 有相同的收敛半径,
2010-5-21 11
值得注意的是,*) 和 **) 与
?
n
n
xa 虽有相同的收敛半径（ 因而
有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域, 例如级数
?
?
? 1n
n
n
x
,
三, 幂级数的运算性质,
定义 两个幂级数
?
?
? 0n
n
n
xa 和
?
?
? 0n
n
n
xb 在点 0?x 的某邻域内相等是
指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数,
定理 14 。 6
?
?
? 0n
n
n
xa ?
?
?
? 0n
n
n
xb,) 1 (,?????? nba
nn
,
2010-5-21 12
定理 14 。 7 幂级数
?
?
? 0n
n
n
xa 和
?
?
? 0n
n
n
xb 的收敛半径分别为
a
R 和
b
R,
},mi n{
ba
RRR ?,则
i)
? ?
?
n
n
n
n
xaxa ??,?,||
a
Rx ? — Const, 0??,
ii)
?
?
? 0n
n
n
xa +
?
?
? 0n
n
n
xb ?
n
nn
n
xba )(
0
?
?
?
?
,Rx || ?,
iii ) (
?
?
? 0n
n
n
xa )(
?
?
? 0n
n
n
xb ) ?
n
n
n
xc
?
?
? 0
,
?
?
?
?
n
k
knkn
bac
0
,Rx || ?,
定理 14, 8 设在 ),( RR? ( R ) 0? 内
?
?
? 0n
n
n
xa ? )( xf, 则
2010-5-21 13
1 ） )( xf 在 ),( RR? 内连续 ;
2 ） 若级数
?
n
n
Ra ? 或
?
?
n
n
Ra ) ( ? 收敛,则 )( xf 在点 Rx ? ( 或
Rx ?? ) 是左 ( 或右 ) 连续的 ;
3 ） 对 x? ? ),( RR?,)( xf 在点 x 可微且有 )( xf ? ?
?
?
?
?
1
1
n
n
n
xna ;
4 ） 对 x? ? ),( RR?,)( xf 在区间 ],0 [ x 上可积,且
?
?
x
dttf
0
)(
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
x
n
a
,
2010-5-21 14
?
?
R
dttf
0
)(
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
R
n
a
,
这是因为, 由级数
?
?
?
?
?
0
1
1
n
nn
R
n
a
收敛,知 函数
?
?
x
dttf
0
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1
1
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nn
x
n
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在点 Rx ? 左连续,
因此有
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R
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)(
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0
1
1
n
nn
R
n
a
,
推论 1 和函数 )( xf 在区间 ),( RR? 内任意次可导,且有
)( xf ? ? ?? ????
? 1
21
2
n
n
xnaxaa,
2010-5-21 15
?????
?
xananxf
nn
n
1
)(
)!1(!)(,
由 推论 1 可见,)( xf 是幂级数的和 函数的必要条件是 )( xf 任意次
可导,
推论 2 若
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? 0n
n
n
xa ? )( xf,则有
??,
!
)0(
,,
!2
)0(
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1
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),0(
)(
210
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f
a
f
a
f
afa
n
n
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例 7 验证函数
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0
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2
)(
n
nn
n
x
xf 满足微分方程 R??????? xyyy,02,
2010-5-21 16
?? )( xf ?
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1
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2
n
nn
n
x
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2
2
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nn
xf
n
x
,
? )(4)(2)( xfxfxf ?????,代入,? 02 ?????? yyy
