1,熟练掌握导数的四则运算法则 ;
2,熟练掌握反函数复合函数求导法则 ;
3,熟记基本初等函数与常见的初等函
数的导数表达式 ;
4,了解高阶导数的定义和高阶导数的
运算法则,包括高阶导数的莱布尼兹
公式
5,掌握导数和微分的基本应用。
第五章 导 数
教学要求,
下页
第 五 章 导数与微分
§ 1 导数概念
在第一章我们研究了函数,函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但
是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因
变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即
将发射载人宇宙 飞船,火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞
行速度都必须准确 的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻
的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。
下页
变速运动物体的速度问题
在中学里我们学过 平均速度
t
s
?
?
,平均速度只能使我们对物体在一段时间
内的运动大致情况有个了解,这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭
速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道
时速度都有一定的要求,至于火箭升空 那就不仅要掌握火箭的 度，而且 要掌握
火箭飞行速度的变化规律。
不过瞬时速度的概念并不神秘,它可以通过平均速度的概念来把握 。 根据牛
顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短
的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似
代替称为“以匀代不匀”。 设物体运动的路程是时间的函数 )( tS,则在
0
t 到
t 这段时间内的平均速度为
0
0
tt
)S(tS(t)
v
?
?
?
下页
可以看出 t 与
0
t 越接近，平均速度 v 与
0
t 时刻的瞬时速度越接近，当
t 无限接近
0
t 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在
0
t 时刻的瞬时速度,即物体在
0
t 时刻的瞬时速度为
0
0
tt
0
tt
)S(tS(t)
lim)v(t
0 ?
?
?
?
（ 1 ）
按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下,
因为自由落体运动的运动方程为,
T],[0t,gt
2
1
s
2
??,
按照上面的公式
00
tt
0
2
0
2
tt
0
0
tt
gt)t(t
2
g
lim
tt
gt
2
1
gt
2
1
lim
tt
ss
limv(t)
000
???
?
?
?
?
?
?
???
这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。
0t
t?
t
下页
切线问题
设曲线的方程为 )( xf,
p
L 为过曲线上两点 ),(
000
yxP 与 ),( yxP 的割线，
则
p
L 的斜率为
0
0
p
xx
)f(xf(x)
k
?
?
?
如图 (d51) 当点 ),( yxP 沿着曲线趋近
),(
000
yxP 时，割线
p
L 就趋近于点 ),(
000
yxP
处的切线，
p
k 趋近于切线的斜率 K,因此切
线的斜率应定义为
0
0
xx
xx
)f(xf(x)
limK
0 ?
?
?
?
（ 2 ）
上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊 内容
o x
y
)(xfy?
? ?
T
0x x
N
M
下页
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置
播放
下一页 上一页
二,导 数的定 义
上述的 速度和切 线 的例子 虽 然各有其特殊内容，但如果撇 开 它 们 具 体 的物理
意 义, 单 从数量 关 系上看它 们 有共同的本 质,两者都表示函数因 变 量随自 变 量 变
化的快慢程度，即都反映了函数的 变 化率
0
0
xx xx
)f(xf ( x)
lim
0 ?
?
?
（ 3 ）
定 义 1, 设 函数 )( xfy ? 在点
0
x 的某 邻 域内有定 义,若极限
0
0
xx
xx
)f(xf(x)
lim
0 ?
?
?
存在,则 称函数 f 在点
0
x 可 导,并称 该 极限 为 函数 f 在点
0
x 处 的 导 数,
000
xxxxxx0
|
dx
df
,|
dx
dy
,|y,)(xf
???
?? 等,
若上述极限不存在,则 称 f 在点
0
x 不可 导 。
下页
注,令 xxx ???
0
,)()(
00
xfxxfy ????, 则 （ 3 ）式可改写 为
)(xf
Δx
)f(xΔx)f(x
lim
Δx
Δy
lim
0
00
0Δx0Δx
??
??
?
??
（ 4 ）
所以,导 数是函数增量△ y 与自 变 量增量△ x 之比
x
y
?
?
的极限,这 个增量比称
为 函数 关 于自 变 量的平均 变 化率（又称差商），而 导 数 )(
0
xf ? 则为 f 在
0
x 处关 于
x 的 变 化率，它能 够 近似描 绘 函数 )( xfy ? 在点
0
x 附近的 变 化性 态 。
例 1 求函数
2
)( xxf ? 在点 1?x 处 的 导 数，并求曲 线 在点（ 1, 1 ） 处 的
切 线 方程。
解：由定 义 求得
Δx
1Δx)(1
lim
Δx
f(1)Δx)f(1
lim(1)f
2
0Δx0Δx
??
?
??
??
??
2Δx)(2lim
Δx
Δx2Δx
lim
0Δx
2
0Δx
???
?
?
??
下页
由此知道抛物 线
2
xy ? 在点（ 1, 1 ） 处
的切 线 斜率 为 2(1)fk ???
所以切 线 方程 为
1)2(x1y ???
即 12 ?? xy,
例 2 求函数
x
y
1
? 在 0
0
?x 处
的 导 数
解 根据 导 数的定 义
2
000
0Δx
00
00
0Δx
00
0Δx
0
x
1
Δ x)(xx
1
lim
Δ x)(xΔ xx
Δxxx
lim
Δx
x
1
Δxx
1
lim)(xf
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
下页
例 3 证 明函数 |x|f(x) ? 在点 0x
0
? 处 不可 导,
证, 因 为
?
?
?
??
?
??
?
?
0x,1
0x,1
x
x
0x
f(0)f(x)
极限
0x
f ( 0)f ( x)
lim
0x ?
?
?
不存在,所以 )( xf 在 0?x 处 不可 导,
例 4 证 明 函数
?
?
?
?
?
?
?
?
0x,0
0x,
x
1
xs i n
f ( x)
在 0?x 处 不可 导
证 明 由于 极限
0x
f ( 0)f ( x)
lim
0x ?
?
?
,
不存在,所以 f ( x) 在 0?x 处 不可 导,
y
o
1/π1/π x
1
|x|
x
y
o
不可导点
不可导点
下页
例 5 常量函数 cf(x) ? 在任何一点 x 的 导 数都等于零，即 0(x)f ??
接下来我 们 来了解一下函数在点
0
x 可 导 与函数
在点
0
x 连续 的 关 系,为 此先介 绍 有限增量公式,
由无穷小量和导数的定义，（ 4 ）式可写为
o ( Δx )) Δx(xfΔy
0
???
我们称这个是式子为 有限增量公式。
注,此公式 对 x? = 0 仍旧成立。
利用有限增量公式，可得下面结论,
定理 1 若函数 )( xf 在
0
x 处可导，则函数 )( xf 在
0
x 处连续。 但是可导仅是
连续的充 分条件，而不是必要条件，比如,函数
|| xy ? 在 0?x 处连续，但不可导。
例 2 证 明函数 )()(
2
xDxxf ? 仅 在点
0
x = 0 处 可 导。 其中 )( xD 为 狄利克雷函数
)Δx(xf 0?
下页
?
?
?
?
为无理数x当,0
为有理数x当,1
D(x)
证,当 x 0 ≠ 0 时,由 归结 原理可得 f(x) 在
0
xx ? 处 不 连续,所以,由定
理 5.1, xf(x) ? 在 0??
0
xx 处 不可 导 。
当 0x
0
? 时,由于 D(x) 为 有界函数,因此得到
.0xD(x)lim
0x
f(0)f(x)
lim(0)f
0x0x
??
?
?
??
??
下页
（ 二 ）函数在一点的 单 侧导 数
类 似于函数在一点有左、右极限,对 于定 义 在某 个 闭 区 间 或半 开 区 间 上的函
数，如果要 讨论 改函数在端点 处 的 变 化率 时,就要 对导 数概念加以 补 充，引出 单
侧导 数的概念。
定 义 2 设 函数 )( xfy ? 在点
0
x 的某右 邻 域 δ)x,(x
00
? 上有定 义,若右
极限
Δx
)f(xΔx )f(x
lim
Δx
Δy
lim
00
0Δy0Δx
??
?
??
??
(0 ＜ x? ＜ ? )
或
0
0
xx xx
)f(xf ( x)
lim
0 ?
?
??
( ????
00
xxx )
存在,则 称 该 极限 值为 f 在点 x 0 的右 导 数,记 作 )('
0
xf
?；
类 似地，可定 义 左 导 数
Δx
)f(xΔx )f(x
lim)(xf
00
0Δx
0
_
??
??
?
?
右 导 数和左 导 数 统 称 为单侧导 数。
下页
如同左、右极限与极限之 间 的 关 系,导数与单侧导数的关系是,
定理 5, 2 若函数 )( xf 在点
0
x 的某邻域内有定义，则 )(
0
xf ? 存在的充分必要条件
是,)(,)(
00
xfxf
??
?? 都存在，且
)('
0
xf
?
= )('
0
xf
?
。
说 明：分段函数在分界点 处讨论导 数便是依据 这 一 结论,通 过 左、右 导 数来判断 该
点是否存在 导 数及若存在 应 等于什 么 。
例 1lim
0||
lim)0(,||)(
00
??
?
?
?
???
????
?
x
x
x
x
fxxf
xx
1lim
0||
lim)0(
00
??
?
??
????
?
x
x
x
x
f
xx
例 讨论函数 xxxf s g n)(
2
? 在 0?x 的导数。
下页
x
y
2xy?
0
xy?
解
?
?
?
?
?
??
?
?
0,
0,
)(
2
2
xx
xx
xf
0
0
lim)0(
2
0
?
?
??
??
?
x
x
f
x
0
0
lim)0(
2
0
?
?
??
??
?
x
x
f
x
由定理 2, 0)0( ??f
连续 函数不存在 导 数 举 例
0?x 处是 角 点，不可导
,
0,
0,
)(
2
?
?
?
?
?
?
xx
xx
xf
下页
0?x 处振荡，左右导数都不存在。
,
0x0,
0x,
x
1
x s i n
f ( x )
??
?
?
?
?
?
?
0
1
1/π－ 1/π x
y
下页
（ 三 ） 导 函数
若函数在区 间 I 上 每 一点都可 导 （ 对 区 间 端点,仅 考 虑 相 应 的 单侧导 数）,则 称 f
为 I 上的可 导 函数。此 时对每 一个 χ ∈ I,都有 f 的一个 导 数 )(' xf （或 单侧导 数）与之
对应, 这样 就定 义 了一个在 I 上的函数，称 为 f 在 I 上的 导 函数，也 简 称 为导 数,记 作
dx
df
dx
dy
yxf,,,)( ?? 等, 即
Ix,
Δx
f ( x)Δ x)f(x
lim( x)f
0Δx
?
??
??
?
,
说 明,1 °区 间 上的可 导 概念与 连续 一 样,也是逐点定 义 的局部概念。
2 °在物理学中 导 数 y ˊ 也常用牛 顿记 号 y
`
表示，而 记 号
dx
dy
是莱布尼茨
首先引用的。目前我 们 把
dx
dy
看作 为 一个整体，也可 把它理解 为
dx
dy
施加于 y 的求 导
运算，待到学 过,微分”之后，将 说 明 这 个 记 号 实际 上是一个,商”，相 应 于上述各 种
表示 导 数的形式,。
00
xxxx
|
dx
dy
或|f
??
?
下页
例 6 证 明,
( i ) 为正整数nnxx
nn
,)(
1?
?? ;
( i i ) s i n x)( c os x,c os x)( s i n x ?????
( i i i ),
x
1
)( l n x特 别,)0x,1a,0a(l og
x
1
)x( l og
e
aa
???????
证,（ i ） 对 于 y = x
n
,由于
1nn
n
2n2
n
1n1
n
nn
ΔxCΔxxCxC
Δx
xΔ x)(x
Δx
Δy
???
????
??
? ?
因此
)ΔxcΔxxcx(clim
Δx
Δy
limy
1nn
n
2n2
n
1n1
n
0Δx0Δx
???
??
?????? ?
=
1n1n1
n
nxxc
??
?
下页
( i i ) 下面 证 第一个等式,类 似可 证 第二个等式，由于
Δx
)
2
Δx
c os ( x
2
Δx
2s i n
Δx
s i n xΔx)s i n ( x
?
?
??
=,)
2
Δx
c os ( x
2
Δx
2
Δx
s i n
??
因为 c o s x 是（ - ∞,+ ∞ ） 上的 连续 函数，因此得到
)
2
Δx
c os ( xlim
2
Δx
2
Δx
s i n
lim)( s i n x
0Δx0Δx
????
??
= c o s x,
( i i i ) 由于
)
x
Δx
(1l og
Δx
1
Δx
xl ogΔx)(xl og
a
aa
??
??
=,)
x
Δx
(1l og
x
1
Δx
x
a
?
下页
所以
e
a
Δx
x
a
0Δx
x
a
l og
x
1
)
x
Δx
(1l og
x
1
lim)( l og ????
?
,
若 a = e,且以 e 为 底的自然地数常写作 ln x, 则 由 l n e = 1 及上式有
x
1
)( l n x ??,
三,导 数的几何意 义
我 们 知 道 时的极限即正是割 线是割线的切 线切线在点
00
xxk,xxf ( x) ??
0
0
xx xx
)f(xf ( x)
limk
0 ?
?
?
?
由 导 数的定 义, )(' xfk ?,所以曲 线 )( xfy ? 在点 ),(
00
yx 的切 线 方程是
)x)(x(xf'yy
000
??? （ 7 ）
下页
这 就是 说,函数 f 在点 x
0
的 导 数 )('
0
xf
是曲 线 )( xfy ? 在点 （ x
0,
y
0
） 处 的切 线 斜率
，若 α 表示 这 条切 线 与 x 轴 正向的 夹 角,则
)(xf'
0
= t a n α,
从而 )('
0
xf ＞ 0 意味着切 线 与 x 轴 正向的 夹 角
为锐 角； )('
0
xf = 0 表示切 线 与 x 轴 平行 。
例 7 求曲 线 y = x
3
在点 P （ x
0
,y
0
） 处 的切
线 方程与法 线 方程。
解：由于
x
y
?
?
=
2
0
2
0
33 xxxx ????
2
0
2
0
2
0
0Δx
0
3x)ΔxΔx3x( 3xlim)(xf ?????
?
所以根据（ 7 ）式，曲 线
3
xy ? 在点 P 的切 线
方程 为 )(3
0
2
00
xxxyy ???
下页
由解析几何知道，若切 线 斜率 为 k, 则 法 线 斜率 为
k
1
?,从而 过 点 P 的法 线 方 为
)x(x
)(xf
1
yy
0
0
0
?
?
???
因此曲 线
3
xy ? 过 点 P （ 0
0
?x ）的法 线 方程 为
)x(x
3x
1
xy
02
0
3
0
????
若 0
0
?x, 则 法 线 方程 为 0?x 。
下页
四,小 结
本 节课 重点在于,导 数”的定 义
)(
0
xf ? =
0
0
00
)()(
limlim
xx
xfxf
x
y
xx
?
?
?
?
?
????
1 °深刻理解 导 数，左（右） 导 数的概念 （ 三个阶段）
取差 ts ??,对整个运动作分割（ 第一次否定）
求平均
t
s
?
?
以“匀代不匀”；
t
s
t
?
?
?? 0
lim 再回到 t 时刻（第二次否定）
2 °明确 导 数与 单侧导 数，可 导 与 连续 的 关 系,导 数与 导 函数的相互 联 系与区 别 。
3 °能 够 从定 义 出 发 求某些函数的 导 数 。
下页
2,熟练掌握反函数复合函数求导法则 ;
3,熟记基本初等函数与常见的初等函
数的导数表达式 ;
4,了解高阶导数的定义和高阶导数的
运算法则,包括高阶导数的莱布尼兹
公式
5,掌握导数和微分的基本应用。
第五章 导 数
教学要求,
下页
第 五 章 导数与微分
§ 1 导数概念
在第一章我们研究了函数,函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但
是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因
变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即
将发射载人宇宙 飞船,火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞
行速度都必须准确 的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻
的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。
下页
变速运动物体的速度问题
在中学里我们学过 平均速度
t
s
?
?
,平均速度只能使我们对物体在一段时间
内的运动大致情况有个了解,这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭
速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道
时速度都有一定的要求,至于火箭升空 那就不仅要掌握火箭的 度，而且 要掌握
火箭飞行速度的变化规律。
不过瞬时速度的概念并不神秘,它可以通过平均速度的概念来把握 。 根据牛
顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短
的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似
代替称为“以匀代不匀”。 设物体运动的路程是时间的函数 )( tS,则在
0
t 到
t 这段时间内的平均速度为
0
0
tt
)S(tS(t)
v
?
?
?
下页
可以看出 t 与
0
t 越接近，平均速度 v 与
0
t 时刻的瞬时速度越接近，当
t 无限接近
0
t 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在
0
t 时刻的瞬时速度,即物体在
0
t 时刻的瞬时速度为
0
0
tt
0
tt
)S(tS(t)
lim)v(t
0 ?
?
?
?
（ 1 ）
按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下,
因为自由落体运动的运动方程为,
T],[0t,gt
2
1
s
2
??,
按照上面的公式
00
tt
0
2
0
2
tt
0
0
tt
gt)t(t
2
g
lim
tt
gt
2
1
gt
2
1
lim
tt
ss
limv(t)
000
???
?
?
?
?
?
?
???
这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。
0t
t?
t
下页
切线问题
设曲线的方程为 )( xf,
p
L 为过曲线上两点 ),(
000
yxP 与 ),( yxP 的割线，
则
p
L 的斜率为
0
0
p
xx
)f(xf(x)
k
?
?
?
如图 (d51) 当点 ),( yxP 沿着曲线趋近
),(
000
yxP 时，割线
p
L 就趋近于点 ),(
000
yxP
处的切线，
p
k 趋近于切线的斜率 K,因此切
线的斜率应定义为
0
0
xx
xx
)f(xf(x)
limK
0 ?
?
?
?
（ 2 ）
上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊 内容
o x
y
)(xfy?
? ?
T
0x x
N
M
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2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置
播放
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二,导 数的定 义
上述的 速度和切 线 的例子 虽 然各有其特殊内容，但如果撇 开 它 们 具 体 的物理
意 义, 单 从数量 关 系上看它 们 有共同的本 质,两者都表示函数因 变 量随自 变 量 变
化的快慢程度，即都反映了函数的 变 化率
0
0
xx xx
)f(xf ( x)
lim
0 ?
?
?
（ 3 ）
定 义 1, 设 函数 )( xfy ? 在点
0
x 的某 邻 域内有定 义,若极限
0
0
xx
xx
)f(xf(x)
lim
0 ?
?
?
存在,则 称函数 f 在点
0
x 可 导,并称 该 极限 为 函数 f 在点
0
x 处 的 导 数,
000
xxxxxx0
|
dx
df
,|
dx
dy
,|y,)(xf
???
?? 等,
若上述极限不存在,则 称 f 在点
0
x 不可 导 。
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注,令 xxx ???
0
,)()(
00
xfxxfy ????, 则 （ 3 ）式可改写 为
)(xf
Δx
)f(xΔx)f(x
lim
Δx
Δy
lim
0
00
0Δx0Δx
??
??
?
??
（ 4 ）
所以,导 数是函数增量△ y 与自 变 量增量△ x 之比
x
y
?
?
的极限,这 个增量比称
为 函数 关 于自 变 量的平均 变 化率（又称差商），而 导 数 )(
0
xf ? 则为 f 在
0
x 处关 于
x 的 变 化率，它能 够 近似描 绘 函数 )( xfy ? 在点
0
x 附近的 变 化性 态 。
例 1 求函数
2
)( xxf ? 在点 1?x 处 的 导 数，并求曲 线 在点（ 1, 1 ） 处 的
切 线 方程。
解：由定 义 求得
Δx
1Δx)(1
lim
Δx
f(1)Δx)f(1
lim(1)f
2
0Δx0Δx
??
?
??
??
??
2Δx)(2lim
Δx
Δx2Δx
lim
0Δx
2
0Δx
???
?
?
??
下页
由此知道抛物 线
2
xy ? 在点（ 1, 1 ） 处
的切 线 斜率 为 2(1)fk ???
所以切 线 方程 为
1)2(x1y ???
即 12 ?? xy,
例 2 求函数
x
y
1
? 在 0
0
?x 处
的 导 数
解 根据 导 数的定 义
2
000
0Δx
00
00
0Δx
00
0Δx
0
x
1
Δ x)(xx
1
lim
Δ x)(xΔ xx
Δxxx
lim
Δx
x
1
Δxx
1
lim)(xf
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
下页
例 3 证 明函数 |x|f(x) ? 在点 0x
0
? 处 不可 导,
证, 因 为
?
?
?
??
?
??
?
?
0x,1
0x,1
x
x
0x
f(0)f(x)
极限
0x
f ( 0)f ( x)
lim
0x ?
?
?
不存在,所以 )( xf 在 0?x 处 不可 导,
例 4 证 明 函数
?
?
?
?
?
?
?
?
0x,0
0x,
x
1
xs i n
f ( x)
在 0?x 处 不可 导
证 明 由于 极限
0x
f ( 0)f ( x)
lim
0x ?
?
?
,
不存在,所以 f ( x) 在 0?x 处 不可 导,
y
o
1/π1/π x
1
|x|
x
y
o
不可导点
不可导点
下页
例 5 常量函数 cf(x) ? 在任何一点 x 的 导 数都等于零，即 0(x)f ??
接下来我 们 来了解一下函数在点
0
x 可 导 与函数
在点
0
x 连续 的 关 系,为 此先介 绍 有限增量公式,
由无穷小量和导数的定义，（ 4 ）式可写为
o ( Δx )) Δx(xfΔy
0
???
我们称这个是式子为 有限增量公式。
注,此公式 对 x? = 0 仍旧成立。
利用有限增量公式，可得下面结论,
定理 1 若函数 )( xf 在
0
x 处可导，则函数 )( xf 在
0
x 处连续。 但是可导仅是
连续的充 分条件，而不是必要条件，比如,函数
|| xy ? 在 0?x 处连续，但不可导。
例 2 证 明函数 )()(
2
xDxxf ? 仅 在点
0
x = 0 处 可 导。 其中 )( xD 为 狄利克雷函数
)Δx(xf 0?
下页
?
?
?
?
为无理数x当,0
为有理数x当,1
D(x)
证,当 x 0 ≠ 0 时,由 归结 原理可得 f(x) 在
0
xx ? 处 不 连续,所以,由定
理 5.1, xf(x) ? 在 0??
0
xx 处 不可 导 。
当 0x
0
? 时,由于 D(x) 为 有界函数,因此得到
.0xD(x)lim
0x
f(0)f(x)
lim(0)f
0x0x
??
?
?
??
??
下页
（ 二 ）函数在一点的 单 侧导 数
类 似于函数在一点有左、右极限,对 于定 义 在某 个 闭 区 间 或半 开 区 间 上的函
数，如果要 讨论 改函数在端点 处 的 变 化率 时,就要 对导 数概念加以 补 充，引出 单
侧导 数的概念。
定 义 2 设 函数 )( xfy ? 在点
0
x 的某右 邻 域 δ)x,(x
00
? 上有定 义,若右
极限
Δx
)f(xΔx )f(x
lim
Δx
Δy
lim
00
0Δy0Δx
??
?
??
??
(0 ＜ x? ＜ ? )
或
0
0
xx xx
)f(xf ( x)
lim
0 ?
?
??
( ????
00
xxx )
存在,则 称 该 极限 值为 f 在点 x 0 的右 导 数,记 作 )('
0
xf
?；
类 似地，可定 义 左 导 数
Δx
)f(xΔx )f(x
lim)(xf
00
0Δx
0
_
??
??
?
?
右 导 数和左 导 数 统 称 为单侧导 数。
下页
如同左、右极限与极限之 间 的 关 系,导数与单侧导数的关系是,
定理 5, 2 若函数 )( xf 在点
0
x 的某邻域内有定义，则 )(
0
xf ? 存在的充分必要条件
是,)(,)(
00
xfxf
??
?? 都存在，且
)('
0
xf
?
= )('
0
xf
?
。
说 明：分段函数在分界点 处讨论导 数便是依据 这 一 结论,通 过 左、右 导 数来判断 该
点是否存在 导 数及若存在 应 等于什 么 。
例 1lim
0||
lim)0(,||)(
00
??
?
?
?
???
????
?
x
x
x
x
fxxf
xx
1lim
0||
lim)0(
00
??
?
??
????
?
x
x
x
x
f
xx
例 讨论函数 xxxf s g n)(
2
? 在 0?x 的导数。
下页
x
y
2xy?
0
xy?
解
?
?
?
?
?
??
?
?
0,
0,
)(
2
2
xx
xx
xf
0
0
lim)0(
2
0
?
?
??
??
?
x
x
f
x
0
0
lim)0(
2
0
?
?
??
??
?
x
x
f
x
由定理 2, 0)0( ??f
连续 函数不存在 导 数 举 例
0?x 处是 角 点，不可导
,
0,
0,
)(
2
?
?
?
?
?
?
xx
xx
xf
下页
0?x 处振荡，左右导数都不存在。
,
0x0,
0x,
x
1
x s i n
f ( x )
??
?
?
?
?
?
?
0
1
1/π－ 1/π x
y
下页
（ 三 ） 导 函数
若函数在区 间 I 上 每 一点都可 导 （ 对 区 间 端点,仅 考 虑 相 应 的 单侧导 数）,则 称 f
为 I 上的可 导 函数。此 时对每 一个 χ ∈ I,都有 f 的一个 导 数 )(' xf （或 单侧导 数）与之
对应, 这样 就定 义 了一个在 I 上的函数，称 为 f 在 I 上的 导 函数，也 简 称 为导 数,记 作
dx
df
dx
dy
yxf,,,)( ?? 等, 即
Ix,
Δx
f ( x)Δ x)f(x
lim( x)f
0Δx
?
??
??
?
,
说 明,1 °区 间 上的可 导 概念与 连续 一 样,也是逐点定 义 的局部概念。
2 °在物理学中 导 数 y ˊ 也常用牛 顿记 号 y
`
表示，而 记 号
dx
dy
是莱布尼茨
首先引用的。目前我 们 把
dx
dy
看作 为 一个整体，也可 把它理解 为
dx
dy
施加于 y 的求 导
运算，待到学 过,微分”之后，将 说 明 这 个 记 号 实际 上是一个,商”，相 应 于上述各 种
表示 导 数的形式,。
00
xxxx
|
dx
dy
或|f
??
?
下页
例 6 证 明,
( i ) 为正整数nnxx
nn
,)(
1?
?? ;
( i i ) s i n x)( c os x,c os x)( s i n x ?????
( i i i ),
x
1
)( l n x特 别,)0x,1a,0a(l og
x
1
)x( l og
e
aa
???????
证,（ i ） 对 于 y = x
n
,由于
1nn
n
2n2
n
1n1
n
nn
ΔxCΔxxCxC
Δx
xΔ x)(x
Δx
Δy
???
????
??
? ?
因此
)ΔxcΔxxcx(clim
Δx
Δy
limy
1nn
n
2n2
n
1n1
n
0Δx0Δx
???
??
?????? ?
=
1n1n1
n
nxxc
??
?
下页
( i i ) 下面 证 第一个等式,类 似可 证 第二个等式，由于
Δx
)
2
Δx
c os ( x
2
Δx
2s i n
Δx
s i n xΔx)s i n ( x
?
?
??
=,)
2
Δx
c os ( x
2
Δx
2
Δx
s i n
??
因为 c o s x 是（ - ∞,+ ∞ ） 上的 连续 函数，因此得到
)
2
Δx
c os ( xlim
2
Δx
2
Δx
s i n
lim)( s i n x
0Δx0Δx
????
??
= c o s x,
( i i i ) 由于
)
x
Δx
(1l og
Δx
1
Δx
xl ogΔx)(xl og
a
aa
??
??
=,)
x
Δx
(1l og
x
1
Δx
x
a
?
下页
所以
e
a
Δx
x
a
0Δx
x
a
l og
x
1
)
x
Δx
(1l og
x
1
lim)( l og ????
?
,
若 a = e,且以 e 为 底的自然地数常写作 ln x, 则 由 l n e = 1 及上式有
x
1
)( l n x ??,
三,导 数的几何意 义
我 们 知 道 时的极限即正是割 线是割线的切 线切线在点
00
xxk,xxf ( x) ??
0
0
xx xx
)f(xf ( x)
limk
0 ?
?
?
?
由 导 数的定 义, )(' xfk ?,所以曲 线 )( xfy ? 在点 ),(
00
yx 的切 线 方程是
)x)(x(xf'yy
000
??? （ 7 ）
下页
这 就是 说,函数 f 在点 x
0
的 导 数 )('
0
xf
是曲 线 )( xfy ? 在点 （ x
0,
y
0
） 处 的切 线 斜率
，若 α 表示 这 条切 线 与 x 轴 正向的 夹 角,则
)(xf'
0
= t a n α,
从而 )('
0
xf ＞ 0 意味着切 线 与 x 轴 正向的 夹 角
为锐 角； )('
0
xf = 0 表示切 线 与 x 轴 平行 。
例 7 求曲 线 y = x
3
在点 P （ x
0
,y
0
） 处 的切
线 方程与法 线 方程。
解：由于
x
y
?
?
=
2
0
2
0
33 xxxx ????
2
0
2
0
2
0
0Δx
0
3x)ΔxΔx3x( 3xlim)(xf ?????
?
所以根据（ 7 ）式，曲 线
3
xy ? 在点 P 的切 线
方程 为 )(3
0
2
00
xxxyy ???
下页
由解析几何知道，若切 线 斜率 为 k, 则 法 线 斜率 为
k
1
?,从而 过 点 P 的法 线 方 为
)x(x
)(xf
1
yy
0
0
0
?
?
???
因此曲 线
3
xy ? 过 点 P （ 0
0
?x ）的法 线 方程 为
)x(x
3x
1
xy
02
0
3
0
????
若 0
0
?x, 则 法 线 方程 为 0?x 。
下页
四,小 结
本 节课 重点在于,导 数”的定 义
)(
0
xf ? =
0
0
00
)()(
limlim
xx
xfxf
x
y
xx
?
?
?
?
?
????
1 °深刻理解 导 数，左（右） 导 数的概念 （ 三个阶段）
取差 ts ??,对整个运动作分割（ 第一次否定）
求平均
t
s
?
?
以“匀代不匀”；
t
s
t
?
?
?? 0
lim 再回到 t 时刻（第二次否定）
2 °明确 导 数与 单侧导 数，可 导 与 连续 的 关 系,导 数与 导 函数的相互 联 系与区 别 。
3 °能 够 从定 义 出 发 求某些函数的 导 数 。
下页
