教学要求
1 理解函数极限的,ε-δ”，,ε-M”定义
及单侧极限概念；
2 掌握函数极限的基本性质及两个重
要极限；
3 理解广义极限、无穷大量及无穷小
量等概念。
第三章 函数极限
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
§ 1 函数极限概念
一 x 趋 于 ? 时 函数的极限
设 函数 f 定 义 在 ? ???,a 上,类 似于数列情形，我 们 研究当自 变 量 x 趋 于 ?? 时,
对应 的函数 值 能否无限地接近于某个定数 A 。例如,对 于函数 ? ?
x
xf
1
?
我们 用 Matlab 画出 它 的 图像
x = 5, 5 0 ; y = 1, / x ; p l o t ( x,y,' r ' ),
a x i s ( [ 5,5 5,0,0, 2 2 ] )
当 x 无限增大 时,函数 值 无
限 地接近于 0 ；
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
而 对 于函数 ? ? xxg a r c t a n?, 则 当 x 趋 于 ?? 时 函数 值 无限地接近于
2
? 。我 们
称 这 两个函数当 ???x 时 有极限 。
一般地，当 x 趋 于 ?? 时 函数极限的精确定 义 如下,
定 义 1 设 f 定 义 在 ? ???,a 上的函数,A 为 定数。若 对 任 给 的 0??,存在正
数 ? ?aM ?,使得当 Mx ? 时 有 ? ? ??? Axf, 则 称 函数 f 当 x 趋 于 ?? 时 以 A 为 极
限, 记 作 ? ? Axf
x
?
???
lim 或 ? ? ? ????? xAxf 。
在定 义 1 中正数 M 的作用与数列极限定 义 中 N 的相 类 似，表明 x 充分大的程
度；但 这 里所考 虑 的是比 M 大的所有 实 数 x,而不 仅仅 是正整数 n 。因此，当 x 趋
于 ?? 时 函数 f 以 A 为 极限意味着,A 的任意小 邻 域内必含有 f 在 ?? 的某 邻 域内
的全部函数 值 。
M
定 义 1 的几何意 义 如 下 图 所示，
对 任 给 的 0??,在坐 标 平面上平行于 x轴 的两条直 线 ??? Ay 与 ??? Ay, 围
成以直 线 Ay ? 为 中心 线, 宽为 ?2 的 带 形区域；定 义 中的, 当 Mx ? 时 有
? ? ??? Axf,表示：在直 线 Mx ? 的右方，曲 线 ? ?xfy ? 全部落在 这 个 带 形区
域之内。如果正数 ? 给 的小一点，即当 带 形区域更窄一点，那 么 直 线
Mx ? 一般要往右平移；但无 论带 形区域如何窄,总 存在 这样 的正数 M,使
得曲 线 ? ?xfy ? 在直 线 Mx ? 的右 边 部分全部 落在 这 更窄的 带 形区域内。
现设 f 为 定 义 在 ? ???U 或 ? ??U 上的函数，当 ???x 或 ??x 时,若函数 值
? ?xf 能无限地接近某定数 A, 则 称 f 当 ???x 或 ??x 时 以 A 为 极限，分 别记 作
? ? Axf
x
?
???
lim 或 ? ? ? ????? xAxf
? ? Axf
x
?
??
lim 或 ? ? ? ???? xAxf
这 两 种 函数极限的精确定 义 与定 义 1 相仿，只 须 把定 义 1 中的,Mx ?,分 别 改 为
,Mx ??,或,Mx ?,即可。
显然,若 f 为 定 义 在 ? ??U 上的函数,则
? ? ? ? ? ? AxfxfAxf
xxx
????
????????
limlimlim （ 1 ）
例 1 证 明 0
1
lim ?
??
x
x
。
证 任 给 0??,取
?
1
?M, 则
当 Mx ? 时 有
?????
Mxx
11
0
1
所以 0
1
lim ?
??
x
x
。
例 2 证 明,1 ）
2
a r c t a nlim
?
??
???
x
x； 2 ）
2
a r c t a nlim
?
?
???
x
x
证 任 给 0??,由于
?
?
??
?
?
?
?
?
??
2
a r c t a n x （ 2 ）
等价于
2
a r c t a n
2
?
?
?
? ????? x,而此不等式的左半部分 对 任何 x 都成立，所以只
要考察其右半部分 x 的 变 化范 围 。 为 此，先限制
2
?
? ?, 则 有
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?? ?
??
?
2
t a n
2
t a nx
故 对 任 给 的正数 ? ?
?
?
?
?
?
?
2
?
，只 须 取 ?
?
?
?
?
?
?? ?
?
2
t a nM, 则 当 Mx ?? 时 便有（ 2 ）式
成立。 这 就 证 明了 1 ）。 类 似地可 证 2 ）。
注 由 结论 （ 1 ）可知，当 ??x 时 xa r c t a n 不存在极限。
二 x 趋 于
0
x 时 函数的极限
设 f 为 定 义 在
0
x 某个空心 邻 域 ? ?
0
0
xU 内的函数。 现 在 讨论 当 x 趋 于
0
x ? ?
0
xx ?
时, 对应 的函数 值 能否 趋 于某个定 数 A 。 这类 函数极限的精确定 义 如下,
定 义 2 （函数极限的 ?? ? 定 义 ） 设 函数 f 在
0
x 某个空心 邻 域 ? ?
/
0
0
,?xU 内有定
义, A 为 定数。若 对 任 给 的 0??,存在正数 ? ?
/
?? ?,使得当 ????
0
0 xx 时 有
? ? ??? Axf, 则 称 函数 f 当 x 趋 于
0
x 时 以 A 为 极限, 记 作 ? ? Axf
xx
?
?
0
lim 或
? ? ? ?
0
xxAxf ?? 。
下面我 们举 例 说 明如何 应 用 ?? ? 定 义 来 验证 这种类 型的函数极限。 请读 者特
别 注意以下 各例中 ? 的 值 是怎 样 确定的。
例 3 设 ? ?
2
4
2
?
?
?
x
x
xf, 证 明 ? ? 4lim
2
?
?
xf
x
。
证 由于当 2?x 时, ? ? 2424
2
4
4
2
??????
?
?
?? xx
x
x
xf,
故 对给 定的 0??,只要取 ?? ?, 则 当 ???? 20 x 时 有 ? ? ??? 4xf 。 这 就 证 明
了 ? ? 4lim
2
?
?
xf
x
。
例 4 证 明,1 ）
0
s i ns i nlim
0
xx
xx
?
?； 2 ）
0
c o sc o slim
0
xx
xx
?
?
证 先建立一个不等式：当
2
0
?
?? x 时 有
xxx tansi n ?? （ 3 ）
事 实 上，在如 图 3 - 2 的 单 位 圆 内，当
2
0
?
?? x 时, 显 然有
Δ O A B扇形O A DΔ O C D
SSS ??,
即 xxx t a n
2
1
2
1
s i n
2
1
??,由此立得（ 3 ）式。
又当
2
?
?x 时 有 xx ?? 1s i n,故 对 一切 0?x 都有 xx ?si n ；当 0?x 时,由
? ? xx ???si n 得 xx ??? si n 。 综 上,我 们 又得到不等式
xx ?|s i n|, Rx ? （ 4 ）
其中等号 仅 当 0?x 时 成立。
现证 1 ）。由（ 4 ）式得
0
00
0
2
s i n
2
c os2s i ns i n xx
xxxx
xx ??
??
?? 。
对 任 给 的 0??,只要取 ?? ?, 则 当 ????
0
0 xx 时,就有 ???
0
s i ns i n xx 。
所以
0
si nsi nlim
0
xx
xx
?
?
。 2 ）的 证 明留 给读 者作 为练习 。
例 4 证 明
3
2
12
1
lim
2
2
1
?
??
?
?
xx
x
x
。
证 当 1?x 时 有
123
1
3
2
12
1
3
2
12
1
2
2
?
?
??
?
?
??
??
?
x
x
x
x
xx
x
若限制 x 于 110 ??? x （此 时 0?x ）,则 112 ??x 。于是,对 任 给 的 0??,只
要取 ? ?1,3m i n ?? ?, 则 当 ???? 10 x 时,便有 ??
?
??
??
?
3
1
3
2
12
1
2
2
x
xx
x
。
例 5 证 明
2
0
2
11lim
0
xx
xx
???
?
（ 1
0
?x ）
证 由于 1?x, 1
0
?x,因此
2
0
0
2
0
00
2
0
2
22
0
2
0
2
1
2
1
11
11
x
xx
x
xxxx
xx
xx
xx
?
?
?
?
??
?
???
?
????
于是,对 任 给 的 0?? （不妨 设 10 ?? ? ），只要取 ??
2
1
2
0
x?
?, 则 当 ????
0
0 xx
时,就有 ?????
2
0
2
11 xx 。
应 用 ?? ? 定 义还 立刻可得
cc
xx
?
?
0
lim
,
0
0
lim xx
xx
?
?
这 里 c 为 常数，
0
x 为给 定 实 数。
通 过 以上各个例子,读 者 对 函数极限的 ?? ? 定 义应 能体会到下面几点,
1, 定 义 2 中的正数 ?,相当于数列极限 N?? 定 义 中的 N,它依 赖 于 ?,
但也不是由所唯一确定，一般来 说, ? 愈小,? 也相 应 地要小一些，而且把 ? 取得
更小些也无妨。如在例 3 中可取
2
?
? ? 或
3
?
? ? 等等。
2, 定 义 中只要求函数 f 在
0
x 某一空心 邻 域内有定 义,而一般不考 虑 f 在
点
0
x 处 的函数 值 是否有定 义,或者取什 么值 。 这 是因 为, 对 于函数极限我 们 所研
究的是当 x 趋 于
0
x 过 程中函数 值 的 变 化 趋势 。如在例 3 中，函数 f 在点 2?x 是没
有定 义 的，但当 2?x 时 f 的函数 值趋 于一个定数。
3, 定 义 2 中的不等式 ????
0
0 xx 等价于 ? ??;
0
0
xUx ?,而不等式
? ? ??? Axf 等价于 ? ? ? ??;AUxf ? 。于是,?? ? 定 义 又可写成,
任 给 0??,存在 0??,使得 对 一切 ? ??;
0
0
xUx ? 有 ? ? ? ??;AUxf ? 。或更 简
()y f x?
A
0x ?? 0x ??0x
??
x
y
o
A??
A ??
单 地表 为,任 给 0??,存在 0??,使得 ? ?? ? ? ??? ;;
0
0
AUxUf ? 。
4, ?? ? 定 义 的几何意 义 如 图 3 - 3 所示。
对 任 给 的 0??,在坐 标 平面上画一条以直 线
Ay ? 为 中心 线, 宽 ?2 为 的横 带, 则 必存在以
直 线
0
xx ? 为 中心 线, 宽 ?2 为 的 竖带,使函数
? ?xfy ? 的 图 象在 该竖带 中的部分落在横 带 内,
但点 ? ?? ?
00; xfx 可能例外（或无意 义 ）。
单侧极限
有些函数在其定 义 域上某些点左 侧 与右 侧 的解析式不 同（如分段函数定 义 域
上的某些点），或函数在某些点 仅 在其一 侧 有定 义 （如在定 义 区 间 端点 处 ）,这
时 函数在那些点上的极限只能 单侧 地 给 出定 义 。
例如，函数
? ?
?
?
?
?
?
?
0,
0,
2
xx
xx
xf （ 5 ）
当 0?x 而 趋 于 0 时, 应 按 ? ?
2
xxf ? 来考察函数 值 的 变 化 趋势 ；当 0?x 而 趋 于 0 时,
应 按 ? ? xxf ? 来考察。又如函数
2
1 x? 在其定 义 区 间 ? ?1,1? 端 点 1??x 处 的极
限，也只能在点 1??x 的右 侧 和点 1?x 的左 侧 来分 别讨论 。
定 义 3 设 函数 f 在 ? ?
/
0
0
,?xU
?
内有定 义, A 为 定数。若 对 任 给 的 0??,存在
正数 ? ?
/
?? ?,使得当 ????
00
xxx （或
00
xxx ??? ? ） 时 有 ? ? ??? Axf
则 称 A 为 函数 f 当 x 趋 于
?
0
x （或
?
0
x ） 时 的右左极限, 记 作 ? ? Axf
xx
?
?
?
0
lim
（ ? ? Axf
xx
?
?
?
0
lim ）或 ? ? ? ?
?
??
0
xxAxf （ ? ? ? ?
?
??
0
xxAxf
右极限与左极限 统 称 为 单侧 极限 。 f 在点
0
x 的右极限与左极限又分 别记为
? ? ? ?xfxf
xx
?
?
??
0
lim0
0
? ? ? ?xfxf
xx
?
?
??
0
lim0
0
按定 义 3 容易 验证 函数（ 5 ）在 0?x 的左右极限分 别为
? ? ? ? 0limlim00
00
????
??
??
xxff
xx
? ? ? ? 0limlim00
2
00
????
????
xxff
xx
。
同 样还 可 验证 符号函数 xs g n 在 0?x 的左右极限分 别为
? ? 11lims g nlim
00
????
??
?? xx
x
11lims g nlim
00
??
??
?? xx
x
例 4 讨论
2
1 x? 在定 义 区 间 端点 1? 处 的 单侧 极限。
解 由于 1?x,故有
? ?? ? ? ?xxxx ?????? 12111
2
任 给 0??,则 当 ? ?
2
12 ??? x 时,就有
???
2
1 x （ 6 ）
于是取
2
2
?
? ?, 则 当 ???? x10 即 11 ??? x? 时,（ 6 ） 式成立。
这 就推出
01lim
2
1
??
?
?
x
x
。 类 似地可得
? ?
01lim
2
1
??
?
??
x
x
。
单侧 极限与双 侧 极限的 关 系
关 于函数极限
? ?xf
xx
0
lim
?
与相 应 的左右极限之 间 的 关 系，有下述定理,
定理 3,1 ? ? Axf
xx
?
?
0
lim ? ? ? ? ? Axfxf
xxxx
??
??
??
00
limlim
类 似有,,)()(,)( AffAf ?????????
应 用定理 3,1,除了可 验证 函数极限的存在（如 对 函数（ 3 ）有 ? ? 0lim
0
?
?
xf
x
），
还 常可 说 明函数极 限的不存在，如前面提到的符号函数 xs g n,由于它在 0?x 处
的左右极限不相等，所以 x
x
sg nlim
0?
不存在。
例 8 证 明, 极限
1
2
lim
2
1
?
??
?
x
xx
x
不存在,
例 9 设 函数 )( xf 在点
0
x 的某 邻 域内 单调, 若 )(lim
0
xf
xx ?
存在,则 有
)(lim
0
xf
xx ?
= ).(
0
xf
1 理解函数极限的,ε-δ”，,ε-M”定义
及单侧极限概念；
2 掌握函数极限的基本性质及两个重
要极限；
3 理解广义极限、无穷大量及无穷小
量等概念。
第三章 函数极限
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
§ 1 函数极限概念
一 x 趋 于 ? 时 函数的极限
设 函数 f 定 义 在 ? ???,a 上,类 似于数列情形，我 们 研究当自 变 量 x 趋 于 ?? 时,
对应 的函数 值 能否无限地接近于某个定数 A 。例如,对 于函数 ? ?
x
xf
1
?
我们 用 Matlab 画出 它 的 图像
x = 5, 5 0 ; y = 1, / x ; p l o t ( x,y,' r ' ),
a x i s ( [ 5,5 5,0,0, 2 2 ] )
当 x 无限增大 时,函数 值 无
限 地接近于 0 ；
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
而 对 于函数 ? ? xxg a r c t a n?, 则 当 x 趋 于 ?? 时 函数 值 无限地接近于
2
? 。我 们
称 这 两个函数当 ???x 时 有极限 。
一般地，当 x 趋 于 ?? 时 函数极限的精确定 义 如下,
定 义 1 设 f 定 义 在 ? ???,a 上的函数,A 为 定数。若 对 任 给 的 0??,存在正
数 ? ?aM ?,使得当 Mx ? 时 有 ? ? ??? Axf, 则 称 函数 f 当 x 趋 于 ?? 时 以 A 为 极
限, 记 作 ? ? Axf
x
?
???
lim 或 ? ? ? ????? xAxf 。
在定 义 1 中正数 M 的作用与数列极限定 义 中 N 的相 类 似，表明 x 充分大的程
度；但 这 里所考 虑 的是比 M 大的所有 实 数 x,而不 仅仅 是正整数 n 。因此，当 x 趋
于 ?? 时 函数 f 以 A 为 极限意味着,A 的任意小 邻 域内必含有 f 在 ?? 的某 邻 域内
的全部函数 值 。
M
定 义 1 的几何意 义 如 下 图 所示，
对 任 给 的 0??,在坐 标 平面上平行于 x轴 的两条直 线 ??? Ay 与 ??? Ay, 围
成以直 线 Ay ? 为 中心 线, 宽为 ?2 的 带 形区域；定 义 中的, 当 Mx ? 时 有
? ? ??? Axf,表示：在直 线 Mx ? 的右方，曲 线 ? ?xfy ? 全部落在 这 个 带 形区
域之内。如果正数 ? 给 的小一点，即当 带 形区域更窄一点，那 么 直 线
Mx ? 一般要往右平移；但无 论带 形区域如何窄,总 存在 这样 的正数 M,使
得曲 线 ? ?xfy ? 在直 线 Mx ? 的右 边 部分全部 落在 这 更窄的 带 形区域内。
现设 f 为 定 义 在 ? ???U 或 ? ??U 上的函数，当 ???x 或 ??x 时,若函数 值
? ?xf 能无限地接近某定数 A, 则 称 f 当 ???x 或 ??x 时 以 A 为 极限，分 别记 作
? ? Axf
x
?
???
lim 或 ? ? ? ????? xAxf
? ? Axf
x
?
??
lim 或 ? ? ? ???? xAxf
这 两 种 函数极限的精确定 义 与定 义 1 相仿，只 须 把定 义 1 中的,Mx ?,分 别 改 为
,Mx ??,或,Mx ?,即可。
显然,若 f 为 定 义 在 ? ??U 上的函数,则
? ? ? ? ? ? AxfxfAxf
xxx
????
????????
limlimlim （ 1 ）
例 1 证 明 0
1
lim ?
??
x
x
。
证 任 给 0??,取
?
1
?M, 则
当 Mx ? 时 有
?????
Mxx
11
0
1
所以 0
1
lim ?
??
x
x
。
例 2 证 明,1 ）
2
a r c t a nlim
?
??
???
x
x； 2 ）
2
a r c t a nlim
?
?
???
x
x
证 任 给 0??,由于
?
?
??
?
?
?
?
?
??
2
a r c t a n x （ 2 ）
等价于
2
a r c t a n
2
?
?
?
? ????? x,而此不等式的左半部分 对 任何 x 都成立，所以只
要考察其右半部分 x 的 变 化范 围 。 为 此，先限制
2
?
? ?, 则 有
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?? ?
??
?
2
t a n
2
t a nx
故 对 任 给 的正数 ? ?
?
?
?
?
?
?
2
?
，只 须 取 ?
?
?
?
?
?
?? ?
?
2
t a nM, 则 当 Mx ?? 时 便有（ 2 ）式
成立。 这 就 证 明了 1 ）。 类 似地可 证 2 ）。
注 由 结论 （ 1 ）可知，当 ??x 时 xa r c t a n 不存在极限。
二 x 趋 于
0
x 时 函数的极限
设 f 为 定 义 在
0
x 某个空心 邻 域 ? ?
0
0
xU 内的函数。 现 在 讨论 当 x 趋 于
0
x ? ?
0
xx ?
时, 对应 的函数 值 能否 趋 于某个定 数 A 。 这类 函数极限的精确定 义 如下,
定 义 2 （函数极限的 ?? ? 定 义 ） 设 函数 f 在
0
x 某个空心 邻 域 ? ?
/
0
0
,?xU 内有定
义, A 为 定数。若 对 任 给 的 0??,存在正数 ? ?
/
?? ?,使得当 ????
0
0 xx 时 有
? ? ??? Axf, 则 称 函数 f 当 x 趋 于
0
x 时 以 A 为 极限, 记 作 ? ? Axf
xx
?
?
0
lim 或
? ? ? ?
0
xxAxf ?? 。
下面我 们举 例 说 明如何 应 用 ?? ? 定 义 来 验证 这种类 型的函数极限。 请读 者特
别 注意以下 各例中 ? 的 值 是怎 样 确定的。
例 3 设 ? ?
2
4
2
?
?
?
x
x
xf, 证 明 ? ? 4lim
2
?
?
xf
x
。
证 由于当 2?x 时, ? ? 2424
2
4
4
2
??????
?
?
?? xx
x
x
xf,
故 对给 定的 0??,只要取 ?? ?, 则 当 ???? 20 x 时 有 ? ? ??? 4xf 。 这 就 证 明
了 ? ? 4lim
2
?
?
xf
x
。
例 4 证 明,1 ）
0
s i ns i nlim
0
xx
xx
?
?； 2 ）
0
c o sc o slim
0
xx
xx
?
?
证 先建立一个不等式：当
2
0
?
?? x 时 有
xxx tansi n ?? （ 3 ）
事 实 上，在如 图 3 - 2 的 单 位 圆 内，当
2
0
?
?? x 时, 显 然有
Δ O A B扇形O A DΔ O C D
SSS ??,
即 xxx t a n
2
1
2
1
s i n
2
1
??,由此立得（ 3 ）式。
又当
2
?
?x 时 有 xx ?? 1s i n,故 对 一切 0?x 都有 xx ?si n ；当 0?x 时,由
? ? xx ???si n 得 xx ??? si n 。 综 上,我 们 又得到不等式
xx ?|s i n|, Rx ? （ 4 ）
其中等号 仅 当 0?x 时 成立。
现证 1 ）。由（ 4 ）式得
0
00
0
2
s i n
2
c os2s i ns i n xx
xxxx
xx ??
??
?? 。
对 任 给 的 0??,只要取 ?? ?, 则 当 ????
0
0 xx 时,就有 ???
0
s i ns i n xx 。
所以
0
si nsi nlim
0
xx
xx
?
?
。 2 ）的 证 明留 给读 者作 为练习 。
例 4 证 明
3
2
12
1
lim
2
2
1
?
??
?
?
xx
x
x
。
证 当 1?x 时 有
123
1
3
2
12
1
3
2
12
1
2
2
?
?
??
?
?
??
??
?
x
x
x
x
xx
x
若限制 x 于 110 ??? x （此 时 0?x ）,则 112 ??x 。于是,对 任 给 的 0??,只
要取 ? ?1,3m i n ?? ?, 则 当 ???? 10 x 时,便有 ??
?
??
??
?
3
1
3
2
12
1
2
2
x
xx
x
。
例 5 证 明
2
0
2
11lim
0
xx
xx
???
?
（ 1
0
?x ）
证 由于 1?x, 1
0
?x,因此
2
0
0
2
0
00
2
0
2
22
0
2
0
2
1
2
1
11
11
x
xx
x
xxxx
xx
xx
xx
?
?
?
?
??
?
???
?
????
于是,对 任 给 的 0?? （不妨 设 10 ?? ? ），只要取 ??
2
1
2
0
x?
?, 则 当 ????
0
0 xx
时,就有 ?????
2
0
2
11 xx 。
应 用 ?? ? 定 义还 立刻可得
cc
xx
?
?
0
lim
,
0
0
lim xx
xx
?
?
这 里 c 为 常数，
0
x 为给 定 实 数。
通 过 以上各个例子,读 者 对 函数极限的 ?? ? 定 义应 能体会到下面几点,
1, 定 义 2 中的正数 ?,相当于数列极限 N?? 定 义 中的 N,它依 赖 于 ?,
但也不是由所唯一确定，一般来 说, ? 愈小,? 也相 应 地要小一些，而且把 ? 取得
更小些也无妨。如在例 3 中可取
2
?
? ? 或
3
?
? ? 等等。
2, 定 义 中只要求函数 f 在
0
x 某一空心 邻 域内有定 义,而一般不考 虑 f 在
点
0
x 处 的函数 值 是否有定 义,或者取什 么值 。 这 是因 为, 对 于函数极限我 们 所研
究的是当 x 趋 于
0
x 过 程中函数 值 的 变 化 趋势 。如在例 3 中，函数 f 在点 2?x 是没
有定 义 的，但当 2?x 时 f 的函数 值趋 于一个定数。
3, 定 义 2 中的不等式 ????
0
0 xx 等价于 ? ??;
0
0
xUx ?,而不等式
? ? ??? Axf 等价于 ? ? ? ??;AUxf ? 。于是,?? ? 定 义 又可写成,
任 给 0??,存在 0??,使得 对 一切 ? ??;
0
0
xUx ? 有 ? ? ? ??;AUxf ? 。或更 简
()y f x?
A
0x ?? 0x ??0x
??
x
y
o
A??
A ??
单 地表 为,任 给 0??,存在 0??,使得 ? ?? ? ? ??? ;;
0
0
AUxUf ? 。
4, ?? ? 定 义 的几何意 义 如 图 3 - 3 所示。
对 任 给 的 0??,在坐 标 平面上画一条以直 线
Ay ? 为 中心 线, 宽 ?2 为 的横 带, 则 必存在以
直 线
0
xx ? 为 中心 线, 宽 ?2 为 的 竖带,使函数
? ?xfy ? 的 图 象在 该竖带 中的部分落在横 带 内,
但点 ? ?? ?
00; xfx 可能例外（或无意 义 ）。
单侧极限
有些函数在其定 义 域上某些点左 侧 与右 侧 的解析式不 同（如分段函数定 义 域
上的某些点），或函数在某些点 仅 在其一 侧 有定 义 （如在定 义 区 间 端点 处 ）,这
时 函数在那些点上的极限只能 单侧 地 给 出定 义 。
例如，函数
? ?
?
?
?
?
?
?
0,
0,
2
xx
xx
xf （ 5 ）
当 0?x 而 趋 于 0 时, 应 按 ? ?
2
xxf ? 来考察函数 值 的 变 化 趋势 ；当 0?x 而 趋 于 0 时,
应 按 ? ? xxf ? 来考察。又如函数
2
1 x? 在其定 义 区 间 ? ?1,1? 端 点 1??x 处 的极
限，也只能在点 1??x 的右 侧 和点 1?x 的左 侧 来分 别讨论 。
定 义 3 设 函数 f 在 ? ?
/
0
0
,?xU
?
内有定 义, A 为 定数。若 对 任 给 的 0??,存在
正数 ? ?
/
?? ?,使得当 ????
00
xxx （或
00
xxx ??? ? ） 时 有 ? ? ??? Axf
则 称 A 为 函数 f 当 x 趋 于
?
0
x （或
?
0
x ） 时 的右左极限, 记 作 ? ? Axf
xx
?
?
?
0
lim
（ ? ? Axf
xx
?
?
?
0
lim ）或 ? ? ? ?
?
??
0
xxAxf （ ? ? ? ?
?
??
0
xxAxf
右极限与左极限 统 称 为 单侧 极限 。 f 在点
0
x 的右极限与左极限又分 别记为
? ? ? ?xfxf
xx
?
?
??
0
lim0
0
? ? ? ?xfxf
xx
?
?
??
0
lim0
0
按定 义 3 容易 验证 函数（ 5 ）在 0?x 的左右极限分 别为
? ? ? ? 0limlim00
00
????
??
??
xxff
xx
? ? ? ? 0limlim00
2
00
????
????
xxff
xx
。
同 样还 可 验证 符号函数 xs g n 在 0?x 的左右极限分 别为
? ? 11lims g nlim
00
????
??
?? xx
x
11lims g nlim
00
??
??
?? xx
x
例 4 讨论
2
1 x? 在定 义 区 间 端点 1? 处 的 单侧 极限。
解 由于 1?x,故有
? ?? ? ? ?xxxx ?????? 12111
2
任 给 0??,则 当 ? ?
2
12 ??? x 时,就有
???
2
1 x （ 6 ）
于是取
2
2
?
? ?, 则 当 ???? x10 即 11 ??? x? 时,（ 6 ） 式成立。
这 就推出
01lim
2
1
??
?
?
x
x
。 类 似地可得
? ?
01lim
2
1
??
?
??
x
x
。
单侧 极限与双 侧 极限的 关 系
关 于函数极限
? ?xf
xx
0
lim
?
与相 应 的左右极限之 间 的 关 系，有下述定理,
定理 3,1 ? ? Axf
xx
?
?
0
lim ? ? ? ? ? Axfxf
xxxx
??
??
??
00
limlim
类 似有,,)()(,)( AffAf ?????????
应 用定理 3,1,除了可 验证 函数极限的存在（如 对 函数（ 3 ）有 ? ? 0lim
0
?
?
xf
x
），
还 常可 说 明函数极 限的不存在，如前面提到的符号函数 xs g n,由于它在 0?x 处
的左右极限不相等，所以 x
x
sg nlim
0?
不存在。
例 8 证 明, 极限
1
2
lim
2
1
?
??
?
x
xx
x
不存在,
例 9 设 函数 )( xf 在点
0
x 的某 邻 域内 单调, 若 )(lim
0
xf
xx ?
存在,则 有
)(lim
0
xf
xx ?
= ).(
0
xf
